单元刚度矩阵

杆系结构单元主要有铰接杆单元和梁单元两种类型, 它 们都只有2个节点i、j。
约定：单元坐标系的原点置于节点i；节点i到j的杆轴
（形心轴）方向为单元坐标系中x轴的正向。 y轴、z轴都与 x轴垂直，并符合右手螺旋法则（图5-3）
y i· j
·
x
（图5-3）
z
对于梁单元， y轴和z轴分别为横截面上的两个惯性主轴。
(8)
(7) (6)
1
X 6.0m
2
5.0m
练习 对平面铰接桁架进行结构离散，并写出数据文件。
P1 3m
○ ○ ○ ○ ○
P2
P3
○ ○
4×4m
已知：E=2.1×109kN/m2 , P1=P3=10kN,
P2=50kN,
15cm
A=
2
(斜杆）
(上下弦杆）
65cm2
40cm2
(竖杆）
4.2 单元（局部）坐标系 杆系结构单元在结构中的位置是复杂的。如图（ 5-2） 桁架所示。
图（5-1）
5.1 结构离散 1、离散方法 取杆件与杆件交点、集中力作用点、杆件与支承的交 点为节点。 相邻两节点间的杆件段是单元; 杆件结构的单元一般只 有2个节点。 2、编号 （1）节点编号 节点编号应按正整数不间断逐点编号。编号时应力求
单元两端点号差最小，以便使结构刚度矩阵元素集中在主
对角线附近，后面结构刚度矩阵组集中有详细说明。
4、示例
Y 16
13 10 7 4 (5) (4) (3) (2) (1) (24) (22) (20) (18) (16) 17 14 11 8 5 (10) (9)
(25) (23) (21) (19) (17)
q=10kN/m
18 15 (15)3.0m
(14) 3.0m 12 (13) 3.0m 9 6 3 (12)3.0m (11)4.0m
u a1 a2 x
（5-3）
式中a1、a2为待定常数，可由结点位移条件确定
x=xi时，
u =u i ；
x=xj时，
u =u j
由此可确定a1、a2 。再将其代入式（5-3），得：
u (u i
u j ui l
xi )
u j ui l
x
（5-4）
② 形函数 将式（5-4）改写为下列形式
（4）有约束的节点数（ NRJ ）、有约束的节点号（KRJ(NRJ)）、 受约束的自由度（KRL(NDF,NRJ)）。
（5）单元截面面积（A）、截面惯性矩（ZI）
（6）节点坐标：X(NJ)、Y(NJ) （7）分布力荷载集度qx(NE)、qyi(NE)、qyj(NE)
（8） 受集中力作用的节点数（MJL）、受集中力作用的
Y
○
○ ○
X
○ ○
P
图（5-2）
如果每一个单元都在统一的整体坐标系XY中写单元刚 度矩阵, 可能导致结构中处于不同位置的同一类型单元，其
单元刚度矩阵不相同。这不利于计算机编程运算。
容易理解，采用适合于单元具体方位的坐标系将会改
善上述状况，得出规格化的结果。这种属于每个单元的坐
标系称为单元坐标系，也称局部坐标系。
u [ N ]{ }
e
（5-5）
式中e由式（5-1）确定，形函数[N]为：
1 [ N ] [ N i N j ] [( x j x ) ( xi x )] l
（5-6）
（2）应变矩阵
1. 三角单元的单元节点力的问题。这些 应力吗？
力
是怎么来的？在那三个节点上不是只应当有
2. 如果单元节点上是力，那么那三条边上的 应力又应当怎样理解？ 3. 相邻单元间的协调只是节点上的协调吗？ 相邻边的协调呢？两个相邻单元在相邻边上 的应力连续吗？
第五章
杆系结构单元
杆系结构是由一些杆件单元组成。主要结构类型有：
节点号（NJL（MJL））、集中力数值（VJL （NDF，MJL））。
DATA.FRA (1) NE、NJ、NDF 25, 18, 3 (2）E、 AMU 3.25e7, 0.15 (3）IO（NE）、JO（NE） 1, 4; 4, 7; 7, 10; 10,13; 13,16; 2, 5; 5, 8; 8, 11; 11,14; 14,17; 3, 6; 6, 9; 9, 12; 12,15; 15,18; 4, 5; 5, 6; 7, 8; 8, 9; 10,11; 11, 12,; 13,14; 14,15; 16,17; 17,18 (4）NRJ 、KRJ(NRJ)、 （KRL(NDF,NRJ)） 3， 1,2,3; 9*1 (5)A(NE)、ZI(NE) (6) X(NJ)、Y(NJ) (7)qx(NE)、qyi(NE)、qyj(NE) (8) MJL, NJL(MJL), VJL(NDF,MJL)
qx i ui
·
l
·
图5-4
j
x
uj
单元结点位移向量为：
ui { } u j
e
j
e
（5-2）
（1）位移模式和形函数
① 位移模式
因为只有2个结点，每个结点位移只有1个自由度，因此 单元的位移模式可设为：
为了便于对单元坐标系中的单元特性进行识别，引入 以下符号：
e——单元坐标单元位移 Fe——单元坐标单元力 [k] ——单元坐标单元刚度矩阵
e
下面，开始讨论几种杆系结构单元在单元坐标中的一 些特性。
5.3 铰结杆单元 1、一维铰接杆单元
图5-4示出了一维铰结杆单元，横截面积为A，长度为l， 弹性模量为E，轴向分布载荷为qx。单元有2个结点i，j， 单元坐标为一维坐标轴x。
梁、拱、框架、桁架等，如图（5-1）所示。
本章主要内容是： • • • 结构离散为单元的有关问题 单元（局部）坐标系和结构（整体）坐标系 单元坐标系中各类杆件单元的特性：单元刚度矩阵、 等价节点力矩阵等。
•
结构坐标系中的单元特性及坐标变换矩阵。
○ ○ ○
○ ○
○ ○
○ ○
梁
拱
框架
桁架
○ ○ ○
○ ○
（2）单元编号 单元也要逐个依次编号。谁前谁后按实际情况而定。 3、记录基本信息
应建立一个数据文件（DATA.***）来记录基本信息，以便计算 时调用。基本信息包括： （1）单元总数（NE）、节点总数（NJ）、节点自由度数(NDF)。 （2）弹性模量（E）、波桑系数（AMU）。 （3）单元I端节点号IO（NE）、 J端节点号JO（NE）