人教版初中数学图形的相似分类汇编含解析

人教版初中数学图形的相似分类汇编含解析
一、选择题
1．如图，O是平行四边形ABCD的对角线交点，E为AB中点，DE交AC于点F，若平行四边形ABCD的面积为8，则DOE
的面积是()
A．2B．3
2
C．1D．
9
4
【答案】C
【解析】
【分析】
由平行四边形的面积，找到三角形底边和高与平行四边形底边和高的关系，利用面积公式以及线段间的关系求解．分别作△OED和△AOD的高，利用平行线的性质，得出高的关系，进而求解．
【详解】
解：如图，过A、E两点分别作AN⊥BD、EM⊥BD，垂足分别为M、N，则EM∥AN，
∴EM：AN＝BE：AB，
∵E为AB中点，
∴BE=1
2 AB，
∴EM＝1
2 AN，
∵平行四边形ABCD的面积为8，
∴2×1
2
×AN×BD＝8，
∴AN×BD＝8
∴S△OED＝1
2
×OD×EM＝
1
2
×
1
2
BD×
1
2
AN＝
1
8
AN×BD＝1．
故选：C．【点睛】
本题考查平行四边形的性质，综合了平行线分线段成比例以及面积公式．已知一个三角形的面积求另一个三角形的面积有以下几种做法：①面积比是边长比的平方比；②分别找到底和高的比．
2．如图，AB 为O e 的直径，C 为O e 上一点，弦AD 平分BAC ∠，交弦BC 于点E ，4CD =，2DE =，则AE 的长为（ ）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
【答案】C
【解析】
【分析】 根据角平分线的定义得到∠CAD=∠BAD ，根据圆周角定理得到∠DCB=∠BAD ，证明△DCE ∽△DAC ，根据相似三角形的性质求出AD ，结合图形计算，得到答案．
【详解】
解：∵AD 平分∠BAC ，
∴∠CAD=∠BAD ，
由圆周角定理得，∠DCB=∠BAD ，
∴∠CAD=∠DCB ，又∠D=∠D ，
∴△DCE ∽△DAC ， ∴DE DC DC DA =，即244AD
=， 解得，AD=8，
∴AE=AD -DE=8-2=6，
故选：C ．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定和性质、圆周角定理，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
3．如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝8，CD 是AB 边上的中线，作CD 的中垂线与CD 交于点E ，与BC 交于点F ．若CF ＝x ，tanA ＝y ，则x 与y 之间满足（ ）
A ．2244x y +=
B ．2244x y -=
C ．2288x y -=
D ．2288x y
+= 【答案】A
【解析】
【分析】
由直角三角形斜边上的中线性质得出CD ＝
12AB ＝AD ＝4，由等腰三角形的性质得出∠A ＝∠ACD ，得出tan ∠ACD ＝GE CE
＝tan A ＝y ，证明△CEG ∽△FEC ，得出GE CE CE FE =，得出y ＝2FE ，求出y 2＝24FE ，得出24y
＝FE 2，再由勾股定理得出FE 2＝CF 2﹣CE 2＝x 2﹣4，即可得出答案．
【详解】
解：如图所示：
∵在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝8，CD 是AB 边上的中线，
∴CD ＝
12
AB ＝AD ＝4， ∴∠A ＝∠ACD ，
∵EF 垂直平分CD ， ∴CE ＝12
CD ＝2，∠CEF ＝∠CEG ＝90°， ∴tan ∠ACD ＝
GE CE ＝tanA ＝y ， ∵∠ACD+∠FCE ＝∠CFE+∠FCE ＝90°，
∴∠ACD ＝∠FCE ，
∴△CEG ∽△FEC ， ∴GE CE ＝CE FE
， ∴y ＝2FE
， ∴y 2＝
24FE ， ∴24y
＝FE 2， ∵FE 2＝CF 2﹣CE 2＝x 2﹣4， ∴24y
＝x 2﹣4， ∴24y
+4＝x 2，
故选：A ．
【点睛】
本题考查了解直角三角形、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握直角三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键．
4．如图，在ABC V 中，点D ，E 分别为AB ，AC 边上的点，且//DE BC ，CD 、BE 相较于点O ，连接AO 并延长交DE 于点G ，交BC 边于点F ，则下列结论中一定正确的是( )
A ．
AD AE AB EC
= B ．AG AE GF BD = C ．OD AE OC AC = D ．AG AC AF EC = 【答案】C
【解析】
【分析】 由//DE BC 可得到DEO V ∽CBO V ，依据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质进行判断即可．
【详解】
解：A.∵//DE BC ， ∴AD AE AB AC
= ,故不正确； B. ∵//DE BC ， ∴
AG AE GF EC = ,故不正确； C. ∵//DE BC ，
∴ADE V ∽ABC V ，DEO V ∽CBO V ,
DE AE BC AC ∴
=，DE OD BC OC = ． OD AE OC AC
∴= ，故正确；
D. ∵//
DE BC，
∴AG AE
AF AC
,故不正确；
故选C．
【点睛】
本题主要考查的是相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质和判定定理是解题的关键．
5．如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则的值为（）
A．1 B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，可知△ADE与△ABC相似，且面积比为，则相似比为，的值为．
【详解】
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵DE把△ABC分成面积相等的两部分，
∴S△ADE＝S四边形DBCE，
∴＝，
∴＝＝，
故选：C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方的逆用等．6．如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似
图形，且相似比为1
3
，点A，B，E在x轴上．若正方形ABCD的边长为2，则点F坐标为
（）
A．（8，6）B．（9，6）C．
1
9,6
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭
D．（10，6）
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用位似图形的性质结合相似比得出EF的长，进而得出△OBC∽△OEF，进而得出EO 的长，即可得出答案．
【详解】
解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1
3
，
∴
1
3 BC OB
EF EO
==，
∵BC＝2，
∴EF＝BE＝6，
∵BC∥EF，
∴△OBC∽△OEF，
∴1
36
BO
BO
=
+
，
解得：OB＝3，
∴EO＝9，
∴F点坐标为：（9，6），
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质，正确得出OB的长是解题关键．
7．如图，在△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C，使得△A'B'C的边长是△ABC的边长的2倍．设点B的横坐标是﹣3，则点B'的横坐标是（）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】
【分析】
作BD⊥x轴于D，B′E⊥x轴于E，根据位似图形的性质得到B′C＝2BC，再利用相似三角形的判定和性质计算即可．
【详解】
解：作BD⊥x轴于D，B′E⊥x轴于E，
则BD∥B′E，
由题意得CD＝2，B′C＝2BC，
∵BD∥B′E，
∴△BDC∽△B′EC，
∴
1
'2 CD BC
CE B C
==，
∴CE＝4，则OE＝CE−OC＝3，
∴点B'的横坐标是3，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是位似变换、相似三角形的判定和性质，掌握位似变换的概念是解题的关键．8．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，则下列结论正确的是（）
A．AD DE
DB BC
=B．
BF EF
BC AB
=C．
AE
EC FC
DE
=D．
EF BF
AB BC
=
【答案】C
【解析】
【分析】
根据相似三角形的判定与性质逐项分析即可.由△ADE∽△ABC，可判断A的正误；由△CEF
∽△CAB ，可判定B 错误；由△ADE ～△EFC ，可判定C 正确；由△CEF ∽△CAB ，可判定D 错误.
【详解】
解：如图所示：
∵DE ∥BC ，
∴∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C ，
∴△ADE ∽△ABC ， ∴
DE AD AD BC AB DB
=≠， ∴答案A 错舍去；
∵EF ∥AB ，
∴△CEF ∽△CAB ， CF EF BC A B B BF C
=≠ ∴答案B 舍去
∵∠ADE ＝∠B ，∠CFE ＝∠B ，
∴∠ADE ＝∠CFE ，
又∵∠AED ＝∠C ，
∴△ADE ～△EFC ， ∴
AE DE EC FC
=，C 正确； 又∵EF ∥AB ， ∴∠CEF ＝∠A ，∠CFE ＝∠B ，
∴△CEF ∽△CAB ， ∴
EF CE FC BF AB AC BC BC
==≠， ∴答案D 错舍去；
故选C ．
【点睛】 本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握两平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似是解题的关键．
9．如图，在四边形ABCD 中，BD 平分∠ABC ，∠BAD=∠BDC=90°，E 为BC 的中点，AE 与BD 相交于点F ，若BC=4，∠CBD=30°，则DF 的长为（ ）
A．2
3
5
B．
2
3
3
C．
3
3
4
D．
4
3
5
【答案】D
【解析】
【分析】
先利用含30度角的直角三角形的性质求出BD，再利用直角三角形的性质求出DE=BE=2，即：∠BDE=∠ABD，进而判断出DE∥AB，再求出AB=3，即可得出结论．
【详解】
如图，
在Rt△BDC中，BC=4，∠DBC=30°，
∴3
连接DE，
∵∠BDC=90°，点D是BC中点，
∴DE=BE=CE=1
2
BC=2，
∵∠DCB=30°，
∴∠BDE=∠DBC=30°，∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠BDE，
∴DE∥AB，
∴△DEF∽△BAF，
∴DF DE BF AB
＝，
在Rt△ABD中，∠ABD=30°，3，∴AB=3，
∴
2
3 DF
BF
＝，
∴
2
5 DF
BD
＝，
∴DF=224323555
BD =⨯=， 故选D ．
【点睛】
此题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，判断出DE ∥是解本题的关键．
10．如图，在矩形ABCD 中，1AB =，在BC 上取一点E ，沿AE 将ABE ∆向上折叠，使B 点落在AD 上的F 点，若四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，则AD 的长为( )
A ．2
B 3
C 15±
D 15+ 【答案】D
【解析】
【分析】 可设AD=x ，由四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，求解即可．
【详解】
解：∵1AB =，
设AD=x ，则FD=x-1，FE=1，
∵四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，
∴EF AD DF AB =，即111
x x =-， 解得：1152x +=，2152
x -=（不合题意，舍去） 经检验15x +=
，是原方程的解． ∴15AD +=． 故选：D ．
【点睛】
本题考查了翻折变换（折叠问题），相似多边形的性质，本题的关键是根据四边形EFDC 与矩形ABCD 相似得到比例式．
11．把Rt ABC ∆三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A 的余弦值（ ）
A ．扩大为原来的3倍
B ．缩小为原来的13
C ．扩大为原来的9倍
D ．不变 【答案】D
【解析】
【分析】 根据相似三角形的性质解答．
【详解】
三边的长度都扩大为原来的3倍，
则所得的三角形与原三角形相似，
∴锐角A 的大小不变，
∴锐角A 的余弦值不变，
故选：D ． 【点睛】 此题考查相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键．
12．如图，边长为4的等边ABC V 中，D 、E 分别为AB ，AC 的中点，则ADE V 的面积是( )
A 3
B 3
C 33
D ．23【答案】A
【解析】
【分析】 由已知可得DE 是△ABC 的中位线，由此可得△ADE 和△ABC 相似，且相似比为1：2，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出△ABC 的面积．
【详解】
Q 等边ABC V 的边长为4，
2ABC 3S 4434
∴==V Q 点D ，E 分别是ABC V 的边AB ，AC 的中点，
DE ∴是ABC V
的中位线， DE //BC ∴，1DE BC 2=，1AD AB 2=，1AE AC 2
=，
即AD AE DE 1AB AC BC 2
===， ADE ∴V ∽ABC V ，相似比为12
， 故ADE S V ：ABC S 1=V ：4，
即ADE ABC 11S S 44=
=⨯=V V 故选A ．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理，解题的关键是熟练掌握等边三角形的面积公式、相似三角形的判定与性质及中位线定理．
13．在平面直角坐标系中，把△ABC 的各顶点的横坐标都除以
14，纵坐标都乘13，得到△DEF ，把△DEF 与△ABC 相比，下列说法中正确的是( )
A ．横向扩大为原来的4倍，纵向缩小为原来的
13 B ．横向缩小为原来的14
，纵向扩大为原来的3倍 C ．△DEF 的面积为△ABC 面积的12倍
D ．△DEF 的面积为△ABC 面积的
112 【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】
解：△DEF 与△ABC 相比，横向扩大为原来的4倍，纵向缩小为原来的
13；△DEF 的面积为△ABC 面积的
169
， 故选A.
14．如图，点A ，B 是双曲线18y x
=图象上的两点，连接AB ，线段AB 经过点O ，点C 为双曲线k y x
=在第二象限的分支上一点，当ABC V 满足AC BC =且:13:24AC AB =时，k 的值为（ ）．
A．
25
16
-B．
25
8
-C．
25
4
-D．25
-
【答案】B
【解析】
【分析】
如图作AE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F．连接OC．首先证明△CFO∽△OEA，推出
2
()
COF
AOE
S OC
S OA
∆
∆
=，因为CA：AB＝13：24，AO＝OB，推出CA：OA＝13：12，推出CO：OA＝5：12，可得出2
()
COF
AOE
S OC
S OA
∆
∆
=＝
25
144
，因为S△AOE＝9，可得S△COF＝
25
16
，再根据反比例函数的几何意义即可解决问题．
【详解】
解：如图作AE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F．连接OC．
∵A、B关于原点对称，
∴OA＝OB，
∵AC＝BC，OA＝OB，
∴OC⊥AB，
∴∠CFO＝∠COA＝∠AEO＝90°，
∴∠COF＋∠AOE＝90°，∠AOE＋∠EAO＝90°，
∴∠COF＝∠OAE，
∴△CFO∽△OEA，
∴2
()
COF
AOE
S OC
S OA
∆
∆
=，
∵CA：AB＝13：24，AO＝OB，
∴CA：OA＝13：12，
∴CO：OA＝5：12，
∴2()COF AOE S OC S OA ∆∆=＝25144
， ∵S △AOE ＝9，
∴S △COF ＝
2516， ∴||25216
k =， ∵k ＜0， ∴258
k =- 故选：B ．
【点睛】
本题主要考查反比例函数图象上的点的特征、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，根据相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
15．在相同时刻，物高与影长成正比，如果高为1米的标杆影长为2米，那么影长为30米的旗杆的高为（ ）
A ．20米
B ．18米
C ．16米
D ．15米
【答案】D
【解析】
【分析】
在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似，利用标杆的高：标杆影长=旗杆的高：旗杆的影长，列出方程，求解即可得出旗杆的高度．
【详解】
解：根据题意解：标杆的高：标杆影长=旗杆的高：旗杆的影长，
即1:2=旗杆高：30， ∴旗杆的高=
130=152
⨯米． 故选：D ．
【点睛】 本题主要考察的是相似三角形的应用，正确列出方程是解决本题的关键．
16．如图，在直角坐标系中，有两点A (6，3)、B (6，0)．以原点O 为位似中心，相似比为13
，在第一象限内把线段AB 缩小后得到线段CD ，则点C 的坐标为（ ）
A．(2，1) B．(2，0) C．(3，3) D．(3，1)【答案】A
【解析】
【分析】
根据位似变换的性质可知，△ODC∽△OBA，相似比是1
3
，根据已知数据可以求出点C的坐
标．【详解】
由题意得，△ODC∽△OBA，相似比是1
3
，
∴OD DC OB AB
=，
又OB=6，AB=3，
∴OD=2，CD=1，
∴点C的坐标为：（2，1），
故选A．
【点睛】
本题考查的是位似变换，掌握位似变换与相似的关系是解题的关键，注意位似比与相似比的关系的应用．
17．如图，点D在△ABC的边AC上，要判断△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是（）
A．∠ABD=∠C B．∠ADB=∠ABC C．AB CB
BD CD
=D．
AD AB
AB AC
=
【答案】C
【解析】
【分析】
由∠A是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得A与B正确；又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得D正确，继而求得答案，注意排除
法在解选择题中的应用．
【详解】
∵∠A 是公共角，
∴当∠ABD=∠C 或∠ADB=∠ABC 时，△ADB ∽△ABC （有两角对应相等的三角形相似），故A 与B 正确，不符合题意要求；
当AB ：AD=AC ：AB 时，△ADB ∽△ABC （两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似），故D 正确，不符合题意要求；
AB ：BD=CB ：AC 时，∠A 不是夹角，故不能判定△ADB 与△ABC 相似，故C 错误，符合题意要求，
故选C ．
18．如图，在四边形ABCD 中，,90,5,10AD BC ABC AB BC ∠=︒==P ，连接,AC BD ，以BD 为直径的圆交AC 于点E ．若3DE =，则AD 的长为（ ）
A ．55
B ．45
C ．35
D ．25
【答案】D
【解析】
【分析】
先判断出△ABC 与△DBE 相似，求出BD ，最后用勾股定理即可得出结论．
【详解】
如图1，
在Rt △ABC 中，AB=5，BC=10，
∴AC=55，
连接BE ，
∵BD 是圆的直径，
∴∠BED=90°=∠CBA ，
∵∠BAC=∠EDB ，
∴△ABC ∽△DEB ，
∴AB AC DE DB
＝ ，
∴5
3
55
DB
＝，
∴DB=35，
在Rt△ABD中，AD=2225
BD AB
-=，
故选：D．
【点睛】
此题考查勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
19．如图，在ABC
∆中，,D E分别是边,
AB AC的中点，ADE
∆和四边形BCED的面积分别记为12
,S S，那么1
2
S
S的值为（）
A．
1
2
B．
1
4
C．
1
3
D．
2
3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据已知可得到△ADE∽△ABC，从而可求得其面积比，则不难求得1
2
S
S的值．
【详解】
∵,D E分别是边,
AB AC的中点，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴DE：BC=1：2，
所以它们的面积比是1：4，
所以1
2
11
=
413
S
S
=
-，
故选C．
【点睛】
本题考查了三角形的中位线定理和相似三角形的性质：（1）相似三角形周长的比等于相似比；（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
20．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，AC分别交BE，DF于G，H，试判断下列结论：①△ABE≌△CDF；②AG＝GH＝HC；③2EG＝BG；④S△ABG：S四
边形GHDE ＝2：3，其中正确的结论是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】D
【解析】
【分析】 根据SAS ，即可证明①△ABE ≌△CDF ；在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，根据有一组对边平行且相等四边形是平行四边形，即可证明四边形BFDE 是平行四边形，由AD ∥BC ，即可证明△AGE ∽△CGB ，△CHF ∽△AHD ，然后根据相似三角形的对应边成比例，证得AG ∶CG ＝EG ∶BG ＝1∶2，CH ∶AH ＝1∶2，即可证得②AG ＝GH ＝HC ，③2EG ＝BG ；由S △ABG ＝2S △AEG ，S 四边形GHD E ＝3S △AEG ，可得结论④S △ABG ：S 四边形GHDE ＝2：3．
【详解】
解：在平行四边形ABCD 中，
AB ＝CD ，∠BAE ＝∠DCF ，BC ＝DA ，
∵E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，
∴AE ＝CF ，
∴△ABE ≌△CDF ，故①正确；
∵AD ∥BC ，
∴△AGE ∽△CGB ，△CHF ∽△AHD ，
∴AG ∶CG ＝EG ∶BG ＝AE ∶CB ，CH ∶AH ＝CF ∶AD ，
∵E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，
∴AE ＝12AD ，CF ＝12
BC ， ∴AE ∶CB ＝1∶2，CF ∶AD ＝1∶2，
∴EG ∶BG ＝AG ∶CG ＝1∶2，CH ∶AH ＝1∶2
∴AG ＝CH ＝
１３
AC ，2EG ＝BG ，故③正确； ∴AG ＝GH ＝HC ，故②正确；
∵S △ABG ＝2S △AEG ，S 四边形GHD E ＝3S △AEG ，
∴S △ABG ：S 四边形GHDE ＝2：3，故④正确，
故选：D
【点睛】 本题主要考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，熟练掌握这些知识是解本题的关键．。