湖南省长沙市明德中学2017届高三下学期滚动检测一数学

滚动检测一
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知集合M ＝{x ∈R |y ＝lg(2－x )}，N ＝{y ∈R |y ＝2x －
1}，则( )
A ．M ＝N
B ．M ∩N ＝∅
C ．M ⊇N
D ．M ∪N ＝R
2．(2015·广东阳东一中联考)函数f (x )＝1
1－x ＋lg(1＋x )的定义域是( )
A ．(－∞，－1)
B ．(1，＋∞)
C ．(－1,1)∪(1，＋∞)
D ．(－∞，＋∞)
3．已知命题p ：△ABC 中，AB →·AC →
<0，命题q ：△ABC 是钝角三角形，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．命题 “∃x 0∈[π
2，π]，sin x 0－cos x 0>2”的否定是( )
A ．∀x ∈[π
2，π]，sin x －cos x <2
B ．∃x 0∈[π
2，π]，sin x 0－cos x 0≤2
C ．∀x ∈[π
2，π]，sin x －cos x ≤2
D ．∃x 0∈[π
2
，π]，sin x 0－cos x 0<2
5．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a 等于( ) A ．6 B ．－6 C ．0
D ．12
6．(2014·上海)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
(x －a )2
，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x >0.若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为( )
A ．[－1,2]
B ．[－1,0]
C ．[1,2]
D ．[0,2]
7．(2015·呼伦贝尔二模)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
0，x ≤0，
e x ，x >0，则使函数g (x )＝
f (x )＋x －m 有零点的实
数m 的取值范围是( ) A ．[0,1)
B ．(－∞，1)
C ．(－∞，0]∪(1，＋∞)
D ．(－∞，1]∪(2，＋∞)
8．(2015·课标全国Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2x －
1－2，x ≤1，
－log 2(x ＋1)，x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )等于
( ) A ．－7
4
B ．－54
C ．－34
D ．－14
9．(2015·广东广雅中学联考)对于非空集合A ，B ，定义运算：A B ＝{x |x ∈A ∪B ，且x ∉A ∩B }，已知M ＝{x |a <x <b }，N ＝{x |c <x <d }，其中a 、b 、c 、d 满足a ＋b ＝c ＋d ，ab <cd <0，则M N 等于( )
A ．(a ，d )∪(b ，c )
B ．(c ，a ]∪[b ，d )
C ．(a ，c ]∪[d ，b )
D ．(c ，a )∪(d ，b )
10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－x 2－2x ＋a ，x <0，－x 2＋1＋a ，x ≥0，
且函数y ＝f (x )－x 恰有3个不同的零点，则实数
a 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．[－1,0) C ．[－1，＋∞)
D ．[－2，＋∞)
11．已知命题p ：－4<x －a <4，命题q ：(x －2)(3－x )>0，若綈p 是綈q 的充分条件，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－4,3] B ．[－1,6] C ．[－1,4)
D ．[－4,6]
12．(2015·重庆模拟)对于函数f (x )＝4x －m ·2x ＋
1，若存在实数x 0，使得f (－x 0)＝－f (x 0)成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．m ≤1
2
B ．m ≥1
2
C ．m ≤1
D ．m ≥1
第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．若函数f (x )是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x (1－x )，0≤x ≤1，
sin πx ，1<x ≤2，则
f (294)＋f (41
6
)＝________. 14．(2015·江苏时杨中学月考)已知m ≠0，函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
3x －m ，x ≤2，－x －2m ，x >2，若f (2－m )＝f (2＋
m )，则实数m 的值为________．
15．若函数f (x )＝log 0.5(3x 2－ax ＋5)在(－1，＋∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是__________．
16．(2015·北京)设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2x
－a ，x ＜1，
4(x －a )(x －2a )，x ≥1.
(1)若a ＝1，则f (x )的最小值为________； (2)若
f (x )恰有
2
个零点，则实数
a
的取值范围是
________________________________________________________________________． 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17． (10分)(2015·珠海六校第二次联考)已知集合A ＝{x ||x －a |≤2}，B ＝{x |lg(x 2＋6x ＋9)>0}． (1)求集合A 和∁R B ；
(2)若A ⊆B ，求实数a 的取值范围．
18．(12分)(2015·福建八县(市)一中联考)设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0(其中a ≠0)，q ：实数x 满足x －3
x －2
<0.
(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围； (2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．
19.(12分)(2015·德州第一中学月考)已知函数f (x )的定义域为(－2,2)，函数g (x )＝f (x －1)＋f (3－2x )．
(1)求函数g (x )的定义域；
(2)若f (x )是奇函数，且在定义域上单调递减，求不等式g (x )≤0的解集．
20．(12分)设集合A 为函数y ＝ln(－x 2－2x ＋8)的定义域，集合B 为函数y ＝x ＋1
x ＋1
的值域，集合C 为不等式(ax －1a )·(x ＋4)≤0的解集．
(1)求A ∩B ；
(2)若C ⊆∁R A ，求a 的取值范围．
21．(12分)经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，旅游人数f (t )(万人)与时间t (天)的函数关系近似地满足f (t )＝4＋1
t ，人均消费g (t )(元)与时间t (天)的函数关系近似
地满足g (t )＝115－|t －15|.
(1)求该城市的旅游日收益ω(t )(万元)与时间t (1≤t ≤30，t ∈N )的函数关系式； (2)求该城市的旅游日收益的最小值．
22．(12分)已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b
2x ＋1＋2是奇函数．
(1)求b 的值；
(2)判断函数f (x )的单调性并证明；
(3)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．
答案解析
1．D [集合M 是函数y ＝lg(2－x )的定义域，所以M ＝(－∞，2)，集合N 为函数y ＝2x －1
的值域，所以N ＝(0，＋∞)，所以M ∪N ＝R .]
2．C [∵⎩
⎪⎨⎪⎧
1－x ≠0，
1＋x >0，∴x >－1且x ≠1，
所以C 为正确选项，故选C.]
3．A [由于在△ABC 中，AB →·AC →
<0，可得A 为钝角，故△ABC 是钝角三角形，反之不成立，可能是B ，C 之一为钝角．故p 是q 的充分不必要条件．]
4．C [特称命题的否定是全称命题，改量词并否定结论，所以C 正确．] 5．B [作出函数f (x )的图象，
可知函数f (x )在(－∞，－a
2]上单调递减，
在[－a
2
，＋∞)上单调递增．
又已知函数f (x )的单调递增区间是[3，＋∞)， 所以－a
2
＝3，解得a ＝－6.]
6．D [∵当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2， 又f (0)是f (x )的最小值，∴a ≥0. 当x >0时， f (x )＝x ＋1
x ＋a ≥2＋a ，
当且仅当x ＝1时取“＝”．
要满足f (0)是f (x )的最小值，需2＋a ≥f (0)＝a 2， 即a 2－a －2≤0，解之，得－1≤a ≤2， ∴a 的取值范围是0≤a ≤2.选D.]
7．C [设函数h (x )＝f (x )＋x ，当x ≤0时，h (x )＝x 是增函数，此时h (x )的值域是(－∞，0]； 当x >0时，h (x )＝e x ＋x 是增函数，此时h (x )的值域(1，＋∞)． 综上，h (x )的值域是(－∞，0]∪(1，＋∞)．
函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点，即方程f (x )＋x －m ＝0有解，也即方程m ＝f (x )＋x 有解．故m 的取值范围是(－∞，0]∪(1，＋∞)．]
8．A [若a ≤1，f (a )＝2a －
1－2＝－3,2a －
1＝－1(无解)；
若a >1，f (a )＝－log 2(a ＋1)＝－3，a ＝7， f (6－a )＝f (－1)＝2－
2－2＝14－2＝－74
.]
9．C [由新定义的概念可知当a ＋b ＝c ＋d ，ab <cd <0时，a <c <d <b .再由题意可知M N ＝(a ，c ]∪[d ，b )，根据选项可知应为C.故选C.]
10．B [函数y ＝f (x )－x 恰有3个不同的零点等价于函数y ＝⎩
⎪⎨⎪
⎧
－x 2－3x ，x <0，－x 2－x ＋1，x ≥0的图象与
直线y ＝－a 有3个不同的交点，作出图象，如图所示，可得当0<－a ≤1时，满足题意，故－1≤a <0.故选B.]
11．B [由p ：－4<x －a <4成立，得a －4<x <a ＋4； 由q ：(x －2)(3－x )>0成立，得2<x <3，
所以綈p ：x ≤a －4或x ≥a ＋4，綈q ：x ≤2或x ≥3，
又綈p 是綈q 的充分条件，所以⎩
⎪⎨⎪⎧
a －4≤2，
a ＋4≥3，解得－1≤a ≤6，故答案为[－1,6]．]
12．B [若存在实数x 0，使得f (－x 0)＝－f (x 0)， 则4－x 0－m ·2－x 0＋1＝－4x 0＋m ·2x 0＋1， 整理得：2m (2x 0＋2－x 0)＝4x 0＋4－x 0， 2m ＝4x 0＋4－x 02x 0＋2－x 0＝(2x 0＋2－x 0)2－2
2x 0＋2－x 0
＝2x 0＋2－x 0－
2
2x 0＋2－x 0
，
设2x 0＋2－x 0＝t (t ≥2)，2m ＝t －2t ，其在[2，＋∞)上为增函数，当t ＝2时，2m ＝1，m ＝1
2，
所以m ≥1
2.]
13.516
解析 因为函数f (x )的周期是4， 则f (294)＝f (8－34)＝f (－34)，
∵f (x )是奇函数，
∴f (－34)＝－f (34)＝－34×14＝－316，
f (416)＝f (8－76)＝f (－76)＝－f (76)＝－sin 7π6 ＝sin π6＝12
，
则f (294)＋f (416)＝－316＋12＝516.
14．8或－83
解析 若m >0，则f (2－m )＝3(2－m )－m ＝6－4m ，
f (2＋m )＝－(2＋m )－2m ＝－2－3m ，∴6－4m ＝－2－3m ，解得m ＝8.若m <0，则f (2－m )＝
－(2－m )－2m ＝－2－m ，f (2＋m )＝3(2＋m )－m ＝6＋2m ，∴－2－m ＝6＋2m ，解得m ＝－8
3.
15．[－8，－6]
解析 设g (x )＝3x 2－ax ＋5，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧
a 6≤－1，
g (－1)≥0，
解得－8≤a ≤－6.
16．(1)－1 (2)⎣⎡⎭⎫
12，1∪[2，＋∞)
解析 (1)当a ＝1时，f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2x
－1，x <1，
4(x －1)(x －2)，x ≥1.
当x <1时，f (x )＝2x －1∈(－1,1)， 当x ≥1时，f (x )＝4(x 2－3x ＋2) ＝4⎣⎡⎦
⎤⎝⎛⎭⎫x －322－1
4
≥－1， ∴f (x )min ＝－1.
(2)由于f (x )恰有2个零点，分两种情况讨论： 当f (x )＝2x －a ，x <1没有零点时，a ≥2或a ≤0.
当a ≥2时，f (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1时，有2个零点； 当a ≤0时，f (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1时无零点． 因此a ≥2满足题意．
当f (x )＝2x －a ，x <1有一个零点时， 0<a <2.
f (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1有一个零点，此时a <1, 2a ≥1，因此1
2
≤a <1.
综上知实数a 的取值范围是⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
a |12≤a <1或a ≥2.
17．解 (1)∵|x －a |≤2⇔－2≤x －a ≤2⇔a －2≤x ≤2＋a ， ∴集合A ＝{x |－2＋a ≤x ≤2＋a }， ∵lg(x 2＋6x ＋9)>0，
∴x 2＋6x ＋9>1，∴集合B ＝{x |x <－4或x >－2}． ∴∁R B ＝[－4，－2]．
(2)由A ⊆B ，得2＋a <－4或者－2<－2＋a . 解得a <－6或a >0，
所以a 的取值范围为{a |a <－6或a >0}．
18．解 (1)当a ＝1时，由x 2－4ax ＋3a 2<0，解得1<x <3，即p 为真时，实数x 的取值范围是(1,3)；由x －3
x －2
<0，解得2<x <3，即q 为真时，实数x 的取值范围是(2,3)．若p ∧q 为真，
则p 为真且q 为真，所以实数x 的取值范围是(2,3)． (2)由x 2－4ax ＋3a 2<0，得(x －3a )(x －a )<0.
当a >0时，p ：a <x <3a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧
a ≤2，
3a ≥3，解得1≤a ≤2；
当a <0时，p ：3a <x <a ，而⎩
⎪⎨⎪
⎧
3a ≤2，a ≥3无解，不合题意．
所以实数a 的取值范围是[1,2]．
19．解 (1)由题意可知⎩
⎪⎨⎪⎧
－2<x －1<2，－2<3－2x <2，解得12<x <5
2，
∴函数g (x )的定义域为(12，5
2)．
(2)由g (x )≤0得f (x －1)＋f (3－2x )≤0， ∴f (x －1)≤－f (3－2x )．
∵f (x )是奇函数，∴f (x －1)≤f (2x －3)． 又∵f (x )在(－2,2)上单调递减， ∴⎩⎪⎨⎪
⎧
－2<x －1<2，－2<2x －3<2，x －1≥2x －3.
解得12<x ≤2，∴g (x )≤0的解集为(1
2，2]．
20．解 (1)由－x 2－2x ＋8>0得－4<x <2， 即A ＝(－4,2)，∁R A ＝(－∞，－4]∪[2，＋∞)． y ＝x ＋1x ＋1＝(x ＋1)＋1x ＋1－1，
当x ＋1>0，即x >－1时y ≥2－1＝1， 此时x ＝0，符合要求；
当x ＋1<0，即x <－1时，y ≤－2－1＝－3， 此时x ＝－2，符合要求． 所以B ＝(－∞，－3]∪[1，＋∞)， 所以A ∩B ＝(－4，－3]∪[1,2)．
(2)(ax －1a )(x ＋4)＝0有两根x ＝－4或x ＝1a 2.
当a >0时，C ＝{x |－4≤x ≤1
a 2}，不可能C ⊆∁R A ；
当a <0时，C ＝{x |x ≤－4或x ≥1
a
2}，
若C ⊆∁R A ，则1a 2≥2，∴a 2≤1
2，
∴－
22≤a <0.故a 的取值范围为[－2
2
，0)． 21．解 (1)由题意得，ω(t )＝f (t )·g (t )＝(4＋1t
)(115－|t －15|)(1≤t ≤30，t ∈N )，
即ω(t )＝⎩⎨⎧
(4＋1
t )(t ＋100)(1≤t <15，t ∈N )，
(4＋1
t )(130－t )(15≤t ≤30，t ∈N ).
(2)①当1≤t <15，t ∈N 时，ω(t )＝(4＋1
t
)(t ＋100)
＝4(t ＋25t )＋401≥4×225＋401＝441，当且仅当t ＝25
t ，即t ＝5时取等号，此时ω(t )取最
小值，为441；
②当15≤t ≤30，t ∈N 时，ω(t )＝(4＋1t )(130－t )＝519＋(130
t －4t )，易知ω(t )在[15,30]上单调
递减，所以当t ＝30时，ω(t )取最小值，为4031
3
.
因为40313<441，所以该城市旅游日收益的最小值为4031
3万元．
22．解 (1)∵f (x )在定义域R 上是奇函数， ∴f (0)＝0，即b －1
2＋2＝0，∴b ＝1.
(2)由(1)知f (x )＝1－2x 2＋2x ＋1＝－12＋1
2x
＋1. 设x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝12x 1＋1－1
2x 2＋1
＝2x 2－2x 1
(2x 1＋1)(2x 2＋1)
. ∵函数y ＝2x 在R 上是增函数且x 1<x 2， ∴2x 2－2x 1>0.
又(2x 1＋1)(2x 2＋1)>0， ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， ∴f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数．
(3)∵f (x )是奇函数，∴不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (k －2t 2)， ∵f (x )为减函数，由上式推得t 2－2t >k －2t 2.
即对一切t ∈R,3t 2－2t －k >0，从而判别式Δ＝4＋12k <0⇒k <－1
3
.
1
∴k的取值范围是(－∞，－
3)．。