2019-2020学年贵州省思南中学高二5月摸底数学(文)试题(解析版)

2019-2020学年贵州省思南中学高二5月摸底数学（文）试题
一、单选题 1．已知复数2
1z i =+　
，其中i 为虚数单位，则z =（ ） A ．5 B ．3
C ．2
D ．2
【答案】D
【解析】把已知等式变形，然后利用数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式计算得答案. 【详解】 解：()()()2121111i z i i i i -=
==-++-
， 则112z =+=. 故选：D. 【点睛】
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题.
2．已知函数()f x 的导函数()f x '的图象如图所示，那么函数()f x 的图象最有可能的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】当()f x '大于等于0，()f x 在对应区间上为增函数；()f x '小于等于0，()f x 在对应区间上为减函数，由此可以求解． 【详解】
解：2x <-时，()0f x '<，则()f x 单调递减；
20x -<<时，()0f x '>，则()f x 单调递增； 0x >时，()0f x '<，则f （x ）单调递减．
则符合上述条件的只有选项A ． 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查了函数单调性与导函数的关系，重点是理解函数图象及函数的单调性． 3．给出以下四个说法：
①残差点分布的带状区域的宽度越窄相关指数越小
②在刻画回归模型的拟合效果时，相关指数2R 的值越大，说明拟合的效果越好；
③在回归直线方程0.212ˆy
x =+中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量ˆy 平均增加0.2个单位；
④对分类变量X 与Y ，若它们的随机变量2K 的观测值k 越小，则判断“X 与Y 有关系”的把握程度越大． 其中正确的说法是()
A ．①④
B ．②④
C ．①③
D ．②③
【答案】D
【解析】根据残差点分布和相关指数的关系判断①是否正确，根据相关指数2R 判断②是否正确，根据回归直线的知识判断③是否正确，根据22⨯联表独立性检验的知识判断④是否正确. 【详解】
残差点分布宽度越窄，相关指数越大，故①错误.相关指数越大，拟合效果越好，故②
正确.回归直线方程斜率为0.2故解释变量x 每增加一个单位时，预报变量ˆy
平均增加0.2个单位，即③正确.2K 越大，有把握程度越大，故④错误.故正确的是②③，故选
D. 【点睛】
本小题主要考查残差分析、相关指数、回归直线方程和独立性检验等知识，属于基础题.
4．不等式13x -<的解集是（ ） A ．()(),24,-∞-+∞U B ．()2,4-
C ．()1,4
D ．()(),14,-∞⋃+∞
【答案】B
【解析】由13x -<得出313x -<-<，解出即可. 【详解】
由13x -<得313x -<-<，解得24x -<<，因此，不等式13x -<的解集是
()2,4-.
故选：B. 【点睛】
本题考查绝对值不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题. 5．在两个变量的回归分析中，作散点图是为了( ) A ．直接求出回归直线方程 B ．直接求出回归方程
C ．根据经验选定回归方程的类型
D ．估计回归方程的参数 【答案】C
【解析】利用散点图的定义逐一作出判断即可. 【详解】
散点图的作用在于选择合适的函数模型． 故选：C 【点睛】
本题考查对散点图概念的理解，属于基础题
6．通过随机询问150名大学生是否参加某社团活动，得到如下的列联表：
附表：
P(K 2≥k 0)
0.05
0.
010
0.0
01
k 0
3.
841
6.
635 10.828
参照附表，得到的正确的结论是( )
A ．在犯错的概率不超过0.1%的前提下，认为“是否参加该社团活动与性别无关”
B ．在犯错的概率不超过0.1%的前提下，认为“是否参加该社团活动与性别有关”
C ．有99%以上的把握认为“是否参加该社团活动与性别有关”
D ．有99%以上的把握认为“是否参加该社团活动与性别无关” 【答案】C
【解析】先计算卡方，由观测值得出结论。

【详解】
由表中数据求得K 2的观测值k≈10.19，由10.19>6.635知，有99%以上的把握认为“是否参加该社团活动与性别有关”．故选C 【点睛】
由卡方公式计算K 2，得出
的临界值，最后得出结论。

7．极坐标方程cos ρθ=化为直角坐标方程为（ ）
A ．2
21124x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭
B ．2
21124x y ⎛⎫++= ⎪⎝
⎭
C ．2
2
1124x y ⎛⎫+-= ⎪⎝
⎭
D ．2
21124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝
⎭ 【答案】D
【解析】根据cos ρθ=，利用cos ,sin x y ρθρθ==求解. 【详解】 因为cos ρθ=， 所以2
cos ρρθ=，
所以22x y x +=，
即2
21124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝
⎭. 故选：D 【点睛】
本题主要考查极坐标方程和直角坐标方程的转化，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
8．已知实数
，若
，则
的最小值是（ ）
A ．
B ．
C ．4
D ．8 【答案】D 【解析】实数
，
则
,当且仅当
时取等号.
故本题正确答案是
点晴：本题考查的是利用均值不等式求最值的问题.解决本题的关键是巧妙利用
，所以
，把问题转化为关于的最值问题，再用基
本不等式
得到本题的最值.
9．执行如图所示的程序框图，若输出的值为8，则框图中①处可以填（ ）．
A ．7?S ≥
B ．21?S ≥
C ．28?S ≥
D ．36?S ≥
【答案】C
【解析】根据程序框图写出几次循环的结果，直到输出结果是8时. 【详解】
第一次循环：0,1S i == 第二次循环：1,2S i == 第三次循环：3,3S i == 第四次循环：6,4S i == 第五次循环：10,5S i == 第六次循环：15,6S i == 第七次循环：21,7S i == 第八次循环：28,8S i ==
所以框图中①处填28?S ≥时，满足输出的值为8. 故选：C 【点睛】
此题考查算法程序框图，根据循环条件依次写出每次循环结果即可解决，属于简单题目.
10
．下列点不在直线12
22x t y t ⎧=--
⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
(t 为参数)上的是( )
A ．(－1，2)
B ．(2，－1)
C ．(3，－2)
D ．(－3，2)
【答案】D
【解析】先求出直线l 的普通方程，再把点的坐标代入检验，满足则在直线l 上，否则不在. 【详解】
直线l 的普通方程为x ＋y －1＝0，因此点(－3，2)的坐标不适合方程x ＋y －1＝0. 故答案为D 【点睛】
(1)本题主要考查参数方程和普通方程的互化，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 参数方程消参常用的方法有三种:加减消参、代入消参、恒等式消
参法.
11．若圆的方程为2cos 2sin x y θθ=⎧⎨
=⎩ (θ为参数)，直线的方程为1
1
x t y t =+⎧⎨=-⎩ (t 为参数)，则直
线与圆的位置关系是( ) A ．相离 B ．相交 C ．相切 D ．不能确定
【答案】B
【解析】先求出圆和直线的普通方程，再判断直线与圆的位置关系得解. 【详解】
由题得圆的方程为2
2
+4x y =，它表示圆心为原点，半径为1的圆. 直线的方程为x-y-2=0,
所以圆心到直线的距离
2d ==<，
所以直线和圆相交， 故选B 【点睛】
本题主要考查参数方程和普通方程的互化，考查直线和圆的位置关系的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
12．若函数32()39f x x ax x =++-在3x =-时取得极值，则a =（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
【答案】D
【解析】对函数求导，根据函数在3x =-时取得极值，得到()30f '-=，即可求出结果. 【详解】
因为()3
2
39f x x ax x =++-，所以()2
323f x x ax =++'，
又函数()3
2
39f x x ax x =++-在3x =-时取得极值，
所以()327630f a -=-+='，解得5a =. 故选D 【点睛】
本题主要考查导数的应用，根据函数的极值求参数的问题，属于常考题型.
二、填空题
13．命题“230x ,x x ∀∈-+>R ”的否定是___________
【答案】2
000,30x R x x ∃∈-+≤
【解析】全称命题的否定是特称命题. 【详解】
2x R,x x 30∀∈-+>
否定是：2
000x R,x x 30∃∈-+≤
【点睛】
全称命题的否定是特称命题，注意要将全称量词否定为存在量词，结论也要否定. 14．过抛物线2y 4x =的焦点且与对称轴垂直的弦长为______． 【答案】4
【解析】求出抛物线的焦点坐标，然后求解对称轴垂直的弦长． 【详解】
抛物线2
y 4x =的焦点()1,0，
可得：2
y 4=，解得y 2=±． 可得：对称轴垂直的弦长为：4． 故答案为：4． 【点睛】
本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力． 15．α、β是两个平面，m 、n 是两条直线，有下列四个命题：
（1）如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β.（2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n . （3）如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β. （4）如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.
其中正确的命题有________.(填写所有正确命题的编号） 【答案】②③④
【解析】试题分析：：①如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，不能得出α⊥β，故错误； ②如果n ∥α，则存在直线l ⊂α，使n ∥l ，由m ⊥α，可得m ⊥l ，那么m ⊥n ．故正确； ③如果α∥β，m ⊂α，那么m 与β无公共点，则m ∥β．故正确
④如果m ∥n ，α∥β，那么m ，n 与α所成的角和m ，n 与β所成的角均相等．故正确
【考点】命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系
16．计算：
1111133557(21)(21)
n n ++++=⨯⨯⨯-+L __________． 【答案】
21
n
n + 【解析】分析：原式变形后，利用裂项相消法，计算即可得到结果． 详解：由裂项相消法原式=
11111111(1...)(1)2335212122121
n
n n n n -+-++-=-=
-+++ 点睛：此题考查了数列的求和，熟练掌握裂项相消法运算法则是解本题的关键．
三、解答题
17．已知ABC ∆的内角A,B,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且32,cos 5
a B ==. (1)若4
b =,求sin A 的值; (2)若4ABC S ∆=,求b ,
c 的值. 【答案】(1)
2
5
;(2)b =【解析】(1)先求出sin B ，再利用正弦定理可得结果； (2)由ABC S ∆求出c ，再利用余弦定理解三角形. 【详解】
(1)∵3
cos 05
B =>,且0B π<<，
∴4sin 5
B ==，
由正弦定理得
sin sin a b A B
=， ∴
4
2sin 25sin 45
a B A
b ⨯=
==； (2)∵1
sin 42
ABC S ac B ∆==，
∴14
2c 425
⨯⨯⨯=， ∴5c =，
由余弦定理得2
2
2
2
2
3
2cos 25225175
b a
c ac B =+-=+-⨯⨯⨯
=，
∴b =【点睛】
本题考查正弦余弦定理解三角形，是基础题.
18．在平面直角坐标系xOy 中，
已知直线12:(3x t l t y ⎧=-⎪⎪
⎨
⎪=+⎪⎩
为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4sin()3
π
ρθ=+.
（1）求曲线C 的直角坐标方程；
（2）设点M 的直角坐标为(0,3)，直线l 与曲线C 的交点为,A B ，求MA MB +的值.
【答案】(1)
2220x y y +--=
【解析】(1)把4sin 3πρθ⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
展开得2sin ρθθ=+，两边同乘ρ
得22sin cos ρρθθ=+,再代极坐标公式得曲线C 的直角坐标方程.(2)
将
123x t y ⎧=-⎪⎪
⎨
⎪=+⎪⎩
代入曲线C
的直角坐标方程得230t ++=，再利用直线参数方程t 的几何意义和韦达定理求解. 【详解】
（1）把4sin 3πρθ⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
，展开得2sin ρθθ=+， 两边同乘ρ
得22sin cos ρρθθ=+①． 将ρ2=x 2+y 2，ρcosθ=x ，ρsinθ=y 代入①，
即得曲线C
的直角坐标方程为2220x y y +--=②．
（2
）将123x t y ⎧=-⎪⎪
⎨⎪=+⎪⎩
代入②
式，得230t ++=，
点M 的直角坐标为（0，3）．
设这个方程的两个实数根分别为t 1，t 2，则t 1+t 2
t 1.t 2=3 ∴ t 1＜0， t 2＜0
则由参数t
的几何意义即得12MA MB t t +=+=【点睛】
本题主要考查极坐标和直角坐标的互化，考查直线参数方程t 的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
19．随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表：
（1）求y 关于t 的线性回归方程$$y bt
a =+$； （2）用所求回归方程预测该地区2019年()7t =的人民币储蓄存款.
（附：()()()
1
12
22
1
1
====---==
--∑∑∑∑$n n
i
i
i i
i i n
n
i i
i i x x y y x y nx y
b
x x x
nx $=-a
y bx ，其中x ，y 为样本平均值）
【答案】（1）$
1.2 3.6y t =+（2）12 【解析】（1）利用公式求出$,a b
$代入线性回归方程$$y bt a =+$即可.
（2）将t =7，代入回归方程，即可预测该地区今年的人民币储蓄存款． 【详解】
（1）根据题意得：12345
35
t ++++==，
567810
7.25
++++=
=y ，
5
1
15263748510120==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑i i
i t y
，
2222221
1234555==++++=∑n
i
i t
，
1
5
2
21
120108
1.25545
5==--==
=--∑∑$n
i i
i i i t y nt y
b
t t
，
$7.2 1.23 3.6=-=-⨯=a
y bt ，所以y 关于t 的线性回归方程$ 1.2 3.6y t =+ （2）当t =7时，y=1.2×7+3.6=12（千亿元）． 【点睛】
本题主要考查了线性回归方程，还考查了数据处理和运算求解的能力，属于中档题. 20．共享单车的投放，方便了市民短途出行，被誉为中国“新四大发明”之一.某市为研究单车用户与年龄的相关程度，随机调查了100位成人市民，统计数据如下：
（1）求出列联表中字母x 、y 、m 、n 的值；
（2）①从此样本中，对单车用户按年龄采取分层抽样的方法抽出5人进行深入调研，其中不小于40岁的人应抽多少人？
②从独立性检验角度分析，能否有90%以上的把握认为该市成人市民是否为单车用户与年龄是否小于40岁有关. 下面临界值表供参考：
【答案】（1）30m =，50n =，38x =，18y =（2）①2人，②不能 【解析】（1）由图表运算即可得解；
（2）①由分层抽样，按比例即可得解，②先利用()()()()()
2
n ad bc k a b c d a c b d -=++++，
求出k ，再结合临界值表即可判断. 【详解】
解：（1）由图表可得：1007030m =-=，100503218y =--=，1005050n =-=，
703238x =-=，
即30m =，50n =，38x =，18y =，
（2）①因为单车用户为30人，不小于40岁的为12人，共抽5人， 故不小于40岁的应抽12
5230
⨯
=人； ②()()()()()2
n ad bc k a b c d a c b d -=++++()2
1001232381850503070
⨯-⨯=⨯⨯⨯ 1.714 2.706≈<， 故不能有90%以上的把握认为该市成人市民是否为单车用户与年龄是否小于40岁有关. 【点睛】
本题考查了分层抽样方法，重点考查了独立性检验，属基础题. 21．已知椭圆C ：
的焦距为2
，左顶点与上顶点连线的斜率为．
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）过点P （m ，0）作圆x 2+y 2＝1的一条切线l 交椭圆C 于M ，N 两点，当|MN |的值最大时，求m 的值． 【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）由题意得，解方程组即可得解；
（Ⅱ）讨论切线l 的斜率存在和不存在，当存在时设切线l 方程为y ＝k （x ﹣m ），与椭圆联立得（1+4k 2）x 2﹣8k 2mx +4k 2m 2﹣4＝0，由直线与圆相切得，再利用弦长公
式表示，从而得解.
【详解】
（Ⅰ）由题意可知，解之得a ＝2，b ＝1.故椭圆C 的标准方程为．
（Ⅱ）由题意知，|m |≥1，当|m |＝1时，．
当|m |＞1时，易知切线l 的斜率存在，设切线l 方程为y ＝k （x ﹣m ）． 由
，得（1+4k 2）x 2﹣8k 2mx +4k 2m 2﹣4＝0，
设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则
，
由于过点P （m ，0）的直线l 与圆x 2+y 2＝1相切，得
，
；
所以 ．
当且仅当，即时，|MN |＝2，即|MN |的最大值为2．
故m 的值为．
【点睛】
本题考查了椭圆的几何性质及方程，弦长公式等知识点，属于中档题目． 22．已知函数32()f x x ax bx c =+++在2
3
x =-与1x =时都取得极值． （1）求,a b 的值与函数()f x 的单调区间；
（2）若对[1,2]x ∈-,不等式2
()f x c <恒成立，求c 的取值范围．
【答案】解：（1）1,22
a b =-=-，递增区间是（﹣∞，2
3-）和（1，+∞），递减区间
是（2
3
-
，1）．（2）1,2c c <->或 【解析】（1）求出f '（x ），由题意得f '（2
3
-
）＝0且f '（1）＝0联立解得a 与b 的值，然后把a 、b 的值代入求得f （x ）及f '（x ），讨论导函数的正负得到函数的增减区间； （2）根据（1）函数的单调性，由于x ∈[﹣1，2]恒成立求出函数的最大值为f （2），代入求出最大值，然后令f （2）＜c 2列出不等式，求出c 的范围即可． 【详解】
（1）()3
2
f x x ax bx c =+++，f '（x ）＝3x 2+2ax +b
由()2124'0393'1320f a b f a b ⎧⎛⎫-=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=++=⎩
解得，122
a b ⎧=-⎪
⎨⎪=-⎩
f '（x ）＝3x 2﹣x ﹣2＝（3x +2）（x ﹣1），函数f （x ）的单调区间如下表：
所以函数f （x ）的递增区间是（﹣∞，23-）和（1，+∞），递减区间是（23
-，1）． （2）因为()[]3
2
12122f x x x x c x =-
-+∈-，，，根据（1）函数f （x ）的单调性， 得f （x ）在（﹣1，23-）上递增，在（2
3
-，1）上递减，在（1，2）上递增，
所以当x 23=-时，f （x ）2227=
+c 为极大值，而f （2）＝22
227
c c +>+，所以f （2）＝2+c 为最大值．
要使f （x ）＜2c 对x ∈[﹣1，2]恒成立，须且只需2c ＞f （2）＝2+c ． 解得c ＜﹣1或c ＞2． 【点睛】
本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，属于中档题．。