安徽省淮北市第四中学高一数学理下学期期末试题含解析

安徽省淮北市第四中学高一数学理下学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知，则( )
A． B． C D．
参考答案：
B
略
2. 的值为()
A．B．C．D．
参考答案：
C
略
3. 方程的解所在区间
是 ( )
A. (0,2)
B. (1,2)
C. (2,3)
D. (3,4)
参考答案：
C
略
4. 若，是方程的两个根，则（）
A． B．
C． D．
参考答案：
D
略5. 若α∈，且，则的值等于()
A. B. C. D.
参考答案：
D
试题分析：，.
考点：三角恒等变形、诱导公式、二倍角公式、同角三角函数关系．
6. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给出下列四个命题：
①?n⊥α；②?m∥n；③?n⊥β；④?n∥α．其中正确命题的序号是( )
A．①④B．②④C．①③D．②③
参考答案：
C
考点：空间中直线与平面之间的位置关系．
专题：证明题；空间位置关系与距离．
分析：对四个命题分别进行判断，即可得出结论．
解答：解：根据线面垂直的性质定理可知①正确；
α∥β，γ∩α=m，γ∩β=n，则由平面与平面平行的性质，可得m∥n，正确．∵m∥n，m⊥α，∴n⊥α，∵α∥β，∴n⊥β，故正确；
根据线面垂直的性质定理可知④，不正确．
故选：C．
点评：本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，以及空间中直线与平面之间的位置关系和平面与平面之间的位置关系，属于基础题．
7. 平行于同一平面的两条直线的位置关系
A．平行 B．相交 C．异面 D．平行、相交或异面
参考答案：
D
8. 规定，则函数的值域为（）
A. B. C. D.
参考答案：
A
略
9. 从一篮子鸡蛋中任取1个,如果其重量小于30克的概率为0.3,重量在[30,40]克的概率为0.5,那么重量不小于30克的概率为( )
A.0.3
B.0.5
C.0.8
D.0.7
参考答案：
D
10. 与直线2x+y－1=0关于点（1，0）对称的直线方程是（）
A. 2x+y－3=0
B. 2x+y+3=0
C. x+2y+3=0
D. x+2y－3=0
参考答案：
A
在所求直线上取点（x，y），关于点（1，0）对称的点的坐标为（a，b），则
∴a=2-x，b=-y，∵（a，b）在直线2x+y-1=0上
∴2a+b-1=0∴2（2-x）-y-1=0∴2x+y-3=0
故选A
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 半径为2的圆中，120°圆心角所对的弧的长度．
参考答案：
【考点】G7：弧长公式．
【分析】利用弧长公式l=计算．
【解答】解：由弧长公式可得：l===．
故答案为：
12. 已知f（x）是上偶函数，当x（0，+∞）时，f（x）是单调增函数，且
则<0的解集为__________．
参考答案：
略
13. 在等比数列{a n}中，，则_________.
参考答案：
3n－1
因为在等比数列中，，解得，故答案为.
14. 在△中，角所对的边分别为，已知，，．则
=
.
参考答案：
15. 化简=_____________.
参考答案：
1
略
16. 有下列五个命题：
① 函数的图像一定过定点；
② 函数的定义域是，则函数的定义域为；
③ 已知=,且，则；
④ 已知且，则实数；
⑤ 函数的单调递增区间为.
其中正确命题的序号是__________．（写出所有正确命题的序号）
参考答案：
①④
略
17. 已知函数y=f(x)的反函数为y=g(x),若f(3)=－1,则函数y=g(x－1)的图象必经过
点 .
参考答案：
解析：f(3)=－1 y=f(x)的图象经过点(3,－1) y=g(x)的图象经过点(－1,3) g(－1)=3 g(0－
1)=3 y=g(x)的图象经过点(0,3).
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. (1)判断函数f(x)=在上的单调性并证明你的结论？
（2）猜想函数在上的单调性？（只需写出结论，不用证明）
（3）利用题（2）的结论，求使不等式在上恒成立时的实数m的取值范围？
参考答案：
（1）在上是减函数，在上是增函数。

证明：设任意，则（2）由上及f(x)是奇函数，可猜想：f(x)在和上是增函数，
f(x)在和上是减函数，
（3）∵在上恒成立
∴在上恒成立.
由（2）中结论，可知函数在上的最大值为10，
此时x=1，要使原命题成立，当且仅当
∴解得.
∴实数的取值范围是
19. 在锐角三角形中，边a、b是方程x2﹣2x+2=0的两根，角A、B满足：2sin（A+B）﹣=0，求角C的度数，边c的长度及△ABC的面积．
参考答案：
【考点】HX：解三角形；HT：三角形中的几何计算．
【分析】由2sin（A+B）﹣=0，得到sin（A+B）的值，根据锐角三角形即可求出A+B的度数，进而求出角C的度数，然后由韦达定理，根据已知的方程求出a+b及ab的值，利用余弦定理表示出
c2，把cosC的值代入变形后，将a+b及ab的值代入，开方即可求出c的值，利用三角形的面积公式表示出△ABC的面积，把ab及sinC的值代入即可求出值．
【解答】解：由2sin（A+B）﹣=0，得sin（A+B）=，
∵△ABC为锐角三角形，
∴A+B=120°，C=60°．
又∵a、b是方程x2﹣2x+2=0的两根，∴a+b=2，a?b=2，
∴c2=a2+b2﹣2a?bcosC=（a+b）2﹣3ab=12﹣6=6，
∴c=，
S△ABC=absinC=×2×=．
20. S n为数列{a n}的前n项和，已知对任意，都有，且. （1）求证：{a n}为等差数列；
（2）设，求数列{b n}的前n项和T n.
参考答案：
（1）见解析；（2）
【分析】
（1）利用与的关系将条件转化为递推关系，化简即可得
，即由定义可证.
（2）利用等差数列通项公式求出，从而求得，利用裂项求和法即可求出其前项和. 【详解】（1），①
当时, ②
①-②得，
即，
∵，∴
即，
∴为等差数列
（2）由已知得，即
解得（舍）或
∴
∴
∴
【点睛】本题主要考查了等差数列证明，以及裂项求和法的应用，属于中档题. 等差数列的证明主要有两种方法：（1）定义法，证得即可，其中为常数；（2）等差中项法：证得即可.
21. （12分）已知函数f（x）=3x+k（k为常数），A（﹣2k，2）是函数y=f1（x）图象上的点．
（1）求实数k的值及函数y=f1（x）的解析式：
（2）将y=f1（x）的图象向右平移3个单位，得到函数y=g（x）的图象，若2f1（x+﹣3}）﹣g （x）≥1对任意的x＞0恒成立，试求实数m的取值范围．
参考答案：
考点：反函数；函数的图象与图象变化．
专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
分析：（1）根据题意，把点A的坐标代入函数y=f（x）中，求出k的值，得f（x），从而求出y=f1（x）；
（2）根据图象平移，得函数y=g（x）的解析式，化简不等式2f1（x+﹣3}）﹣g（x）≥1，利用函数的性质，结合分离常数法，即可求出关于m的不等式的解集．
解答：（1）∵函数f（x）=3x+k（k为常数），
且A（﹣2k，2）是函数y=f1（x）图象上的点；
∴32+k=﹣2k，
解得k=﹣3；
∴f（x）=3x﹣3，
∴函数y=f1（x）=log3（x+3）；
（2）将y=f1（x）=log3（x+3）的图象向右平移3个单位，得到函数y=g（x）的图象，
∴y=g（x）=log3x；
∵2f1（x+﹣3）﹣g（x）≥1，
即2log3（x+﹣3+3）﹣log3x≥1，
∴log3≥1；
即≥3对任意的x＞0恒成立，
∴x+≥3，
即2+m≥（3﹣x）x；
∵x＞0，设函数t=（3﹣x）x，
∴t=﹣x2+3x=﹣+≤；
∴m+2≥，
解得m≥﹣；
∴实数m的取值范围[﹣，+∞）．
点评：本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了利用分离常数法求函数最值的问题，考查了解不等式的问题，是综合性题目．22. 已知关于的一元二次函数.
（1）设集合P={1，2， 3}和Q={－1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为和，求函数在区间[上是增函数的概率；
（2）设点（，）是区域内的随机点，求上是增函数的概率.
参考答案：
解：（1）∵函数的图象的对称轴为
要使在区间上为增函数，
当且仅当>0且
若=1则=－1，若=2则=－1，1；若=3则=－1，1；
∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5∴所求事件的概率为.
（2）由（Ⅰ）知当且仅当且>0时，
函数上为增函数，
依条件可知试验的全部结果所构成的区域为
构成所求事件的区域为三角形部分.由
∴所求事件的概率为.
略。