2024年华东师大版高一数学下册月考试卷936

2024年华东师大版高一数学下册月考试卷936
考试试卷
考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟
学校：______ 姓名：______ 班级：______ 考号：______
总分栏
题号一二三四五总分
得分
评卷人得分
一、选择题(共5题，共10分)
1、若角的终边上有一点则的值是（）
A.
B.
C.
D.
2、【题文】“x2≥1”是“x≥1”的()
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
3、【题文】若方程的根在区间上，则的值为（）
A.
B. 1
C. 或2
D. 或1
4、函数f（x）的图象无论经过怎样平移或沿直线翻折，函数f（x）的图象都不能与函数y=的图象重合，则函数f（x）可以是（）
A. y=
B. y=
C. y=
D. y=
5、已知||=3，||=1，与的夹角为那么|﹣4|等于（）
A. 2
B. 2
C.
D. 13
评卷人得分
二、填空题(共6题，共12分)
6、若向量与满足：||=2，||=2，（+2）2=4，则与所夹的角为____．
7、已知函数f（x）=则f（x）的值域为 ____．
8、=▲ .
9、
【题文】使成立的的取值范围是
10、设集合A={1，2，3}，B={1，3，9}，其中x∈A且x∉B，则x= ______ ．
11、已知幂函数y=f（x）的图象过则f（9）=______ ．
评卷人得分
三、证明题(共8题，共16分)
12、如图；已知AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PC切⊙O于C，AD⊥PC于D，CE⊥AB于E，求证：
（1）AD=AE
（2）PC•CE=PA•BE．
13、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，
sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决
问题：
已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，
AC=b；BC=a
（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；
（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．
14、AB是圆O的直径，CD是圆O的一条弦，AB与CD相交于E，∠AEC=45°，圆O的半径为1，求证：EC2+ED2=2．
15、已知D是锐角△ABC外接圆劣弧的中点；弦AD与边BC相交于点E，而且AB：AC=2：1，AB：EC=3：1．求：
（1）EC：CB的值；
（2）cosC的值；
（3）tan的值．
16、如图；过圆O外一点D作圆O的割线DBA，DE与圆O切于点E，交AO的延长
线于F，AF交圆O于C，且AD⊥DE．
（1）求证：E为的中点；
（2）若CF=3，DE•EF=，求EF的长．
17、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，
sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决
问题：
已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，
AC=b；BC=a
（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；
（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．
18、如图，已知：D、E分别为△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD交于点O，直
线AO与BC边交于M，与DE交于N，求证：BM=MC．
19、已知G是△ABC的重心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：
AG2=GC•GD．
评卷人得分
四、作图题(共3题，共21分)
20、作出下列函数图象：y=
21、作出函数y=的图象．
22、绘制以下算法对应的程序框图：
第一步；输入变量x；
第二步，根据函数f（x）=
对变量y赋值；使y=f（x）；
第三步，输出变量y的值．
评卷人得分
五、综合题(共1题，共3分)
23、已知函数f（x）=ax2+4x+b，其中a＜0，a、b是实数，设关于x的方程f（x）=0的两根为x1，x2；f（x）=x 的两实根为α；β．
（1）若|α-β|=1，求a、b满足的关系式；
（2）若a、b均为负整数；且|α-β|=1，求f（x）解析式；
（3）试比较（x1+1）（x2+1）与7的大小．
参考答案
一、选择题(共5题，共10分)
1、B
【分析】
试题分析：先利用诱导公式化简根据三角函数的定义知
即故选B.
考点：运用诱导公式化简求值；任意角的三角函数的定义．
【解析】
【答案】
B.
2、B
【分析】
【解析】由x2≥1得x≥1或x≤-1.由x≥1得x2≥1.所以x2≥1是x≥1的必要而不充分条件.
【解析】
【答案】B
3、D
【分析】
【解析】
试题分析：令f（x）=且x＞－1，则方程的实数根即为f（x）的零点．则当x＞0时；f（x）在区间（k，k+1）（k∈Z）上单调递增；
由于f（1）=ln2－2＜0；f（2）=ln3－1＞0；
∴f（1）•f（2）＜0；故f（x）在（1，2）上有唯一零点．
当x＜0时，f（x）在区（－1，0）上也是增函数，由f（－）=ln+=－ln100＜3－lne3=0；
f（－）=ln+200＞200－ln1＞200＞0；
可得 f（－）•f（－）＜0，故函数f（x）在（－－）上也有唯一零点；
故f（x）在区（－1；0）上也唯一零点，此时，k=－1．
综上可得；∴k=±1，故选D．
考点：函数的零点的定义；零点存在定理。

点评：中档题，判断函数的零点所在的区间的方法，主要是零点存在定理。

本题解答体现了化归与转化、分类讨论的数学思想。

【解析】
【答案】D
4、D
【分析】
【解答】解：y= =﹣log2x．
A．因为函数y=（）x与y= 互为反函数；所以它们的图象关于y=x对称，所以A合适． B．y=log2（2x）=1+log2x，所以将函数y=log2（2x）沿着y轴向下平移一个单位得到y=log2x，然后关于x轴对称后可与函数y= 的图象重合；所以B合适．
C．将函数y=log2（x+1）沿着x轴向右平移一个单位得到y=log2x，然后关于x轴对称后可与函数y= 的图象重合；所以C合适．
故选D．
【分析】分别利用对数函数的运算法则确定函数与函数y= 的关系．
5、C
【分析】
【解答】解：| |=3，| |=1，与的夹角为
可得cos
即有
故选：C．
【分析】由向量的数量积的定义可得cos 再由向量的模的平方即为向量的平方，化简整理计算即可得到所求值．
二、填空题(共6题，共12分)
6、略
【分析】
设与所夹的角为θ，则由题意可得+4+4=4+4+16=4，∴=-4．
故有2×2×cosθ=-4；
∴cosθ=-1；θ=π；
故答案为π．
【解析】
【答案】设与所夹的角为θ，则由题意可得+4 +4 =4，求得=-4；由此求得cosθ 的值，可得θ 的值．
7、略
【分析】
∵f（x）==-1+
∵≠0；
∴-1+≠-1；
则f（x）的值域为{y|y≠-1}．
故答案为：{y|y≠-1}．
【解析】
【答案】欲求原函数的值域，可先把原函数化成-1+ 的形式，后利用≠0；求出f（x）的值域即可．
8、略
【分析】
解:
【解析】
【答案】
9、略
【分析】
【解析】略
【解析】
【答案】（-1,0）
10、略
【分析】
解：集合A={1；2，3}，B={1，3，9}；
∵x∈A；
∴x=1或2或3；
x∉B；
∴x≠1或3或9；
故得x=2．
故答案为：2
根据元素与集合的关系进行判断。

本题主要考查元素与集合的关系，属于基础题．【解析】
2
11、略
【分析】
解：设幂函数y=f（x）=xα，再由题意可得f（2）= 即2α= =
∴α=- ∴y=f（x）= ．
∴f（9）= =
故答案为．
设幂函数y=f（x）=xα，再由题意可得f（2）= 由此求得α的值，可得y=f（x）的解析式，从而可求f（9）的值．
本题主要考查用待定系数法求幂函数的解析式，属于基础题．
【解析】
三、证明题(共8题，共16分)
12、略
【分析】
【分析】（1）连AC；BC；OC，如图，根据切线的性质得到OC⊥PD，而AD⊥PC，则OC∥PD，得∠ACO=∠CAD，则∠DAC=∠CAO，根据三角形相似的判定易证得Rt△ACE≌Rt△ACD；
即可得到结论；
（2）根据三角形相似的判定易证Rt△PCE∽Rt△PAD，Rt△EBC∽Rt△DCA，得到PC：PA=CE：AD，BE：CE=CD：AD，而CD=CE，即可得到结论．
【解析】
【解答】证明：（1）连AC、BC，OC，如图，
∵PC是⊙O的切线；
∴OC⊥PD；
而AD⊥PC；
∴OC∥PD；
∴∠ACO=∠CAD；
而∠ACO=∠OAC；
∴∠DAC=∠CAO；
又∵CE⊥AB；
∴∠AEC=90°；
∴Rt△ACE≌Rt△ACD；
∴CD=CE；AD=AE；
（2）在Rt△PCE和Rt△PAD中；∠CPE=∠APD；
∴Rt△PCE∽Rt△PAD；
∴PC：PA=CE：AD；
又∵AB为⊙O的直径；
∴∠ACB=90°；
而∠DAC=∠CAO；
∴Rt△EBC∽Rt△DCA；
∴BE：CE=CD：AD；
而CD=CE；
∴BE：CE=CE：AD；
∴BE：CE=PC：PA；
∴PC•CE=PA•BE．
13、略
【分析】
【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；
（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．
【解析】
【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；
则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；
∴S= AB•CE= c•bsin（α+β）= bcsin（α+β）；
即S= bcsin（α+β）；
（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；
∵AD⊥BC；
∴AB•ACsin（α+β）= BD•AD+ CD•AD；
∴sin（α+β）= ；
= + ；
=sinαcosβ+cosαsinβ．
14、略
【分析】
【分析】首先作CD关于AB的对称直线FG，由∠AEC=45°，即可证得CD⊥FG，由勾股定理即可求得CG2=CE2+ED2，然后由△OCD≌△OGF，易证得O，C，G，E四点共圆，则可求得
CG2=OC2+OG2=2．继而证得EC2+ED2=2．
【解析】
【解答】证明：作CD关于AB的对称直线FG；
∵∠AEC=45°；
∴∠AEF=45°；
∴CD⊥FG；
∴CG2=CE2+EG2；
即CG2=CE2+ED2；
∵△OCD≌△OGF（SSS）；
∴∠OCD=∠OGF．
∴O；C，G，E四点共圆．
∴∠COG=∠CEG=90°．
∴CG2=OC2+OG2=2．
∴EC2+ED2=2．
15、略
【分析】
【分析】（1）求出∠BAD=∠CAD，根据角平分线性质推出= ；代入求出即可；（2）作BF⊥AC于F；求出AB=BC，根据等腰三角形性质求出AF=CF，根据三角函数的定义求出即可；
（3）BF过圆心O，作OM⊥BC于M，求出BF，根据锐角三角函数的定义求出即可．
【解析】
【解答】解：（1）∵弧BD=弧DC；
∴∠BAD=∠CAD；
∴；
∴．
答：EC：CB的值是．
（2）作BF⊥AC于F；
∵= ，= ；
∴BA=BC；
∴F为AC中点；
∴cosC= = ．
答：cosC的值是．
（3）BF过圆心O；作OM⊥BC于M；
由勾股定理得：BF= = CF；
∴tan ．
答：tan 的值是．
16、略
【分析】
【分析】要证E为中点，可证∠EAD=∠OEA，利用辅助线OE可以证明，求EF的长需要借助相似，得出比例式，之间的关系可以求出．
【解析】
【解答】（1）证明：连接OE
OA=OE=＞∠OAE=∠OEA
DE切圆O于E=＞OE⊥DE
AD⊥DE=＞∠EAD+∠AED=90°
=＞∠EAD=∠OEA
⇒OE∥AD
=＞E为的中点．
（2）解：连CE；则∠AEC=90°，设圆O的半径为x
∠ACE=∠AED=＞Rt△ADE∽Rt△AEC=＞
DE切圆O于E=＞△FCE∽△FEA
∴，
∴
即DE•EF=AD•CF
DE•E F= ；CF=3
∴AD=
OE∥AD=＞=＞=＞8x2+7x-15=0
∴x1=1，x2=- （舍去）
∴EF2=FC•FA=3x（3+2）=15
∴EF=
17、略
【分析】
【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；
（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．
【解析】
【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；
则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；
∴S= AB•CE= c•bsin（α+β）= bcsin（α+β）；
即S= bcsin（α+β）；
（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；
∵AD⊥BC；
∴AB•ACsin（α+β）= BD•AD+ CD•AD；
∴sin（α+β）= ；
= + ；
=sinαcosβ+cosαsinβ．
18、略
【分析】
【分析】延长AM，过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．根据平行线分线段成比例的性质和逆定理可得CF∥BE，根据平行四边形的判定和性质即可得证．
【解析】
【解答】证明：延长AM；过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再
连接CF．
又∵DE∥BC；
∴；
∴CF∥BE；
从而四边形OBFC为平行四边形；
所以BM=MC．
19、略
【分析】
【分析】构造以重心G为顶点的平行四边形GBFC，并巧用A、D、F、C四点共圆巧证乘积．延长GP至F，使PF=PG，连接FB、FC、AD．因G是重心，故AG=2GP．因GBFC是平行四边形，故GF=2GP．从而AG=GF．又∠1=∠2=∠3=∠D，故A、D、F、C四点共圆，从而GA、
GF=GC•GD．于是GA2=GC•GD．
【解析】
【解答】证明：延长GP至F；使PF=PG，连接AD，BF，CF；
∵G是△ABC的重心；
∴AG=2GP；BP=PC；
∵PF=PG；
∴四边形GBFC是平行四边形；
∴GF=2GP；
∴AG=GF；
∵BG∥CF；
∴∠1=∠2
∵过A；G的圆与BG切于G；
∴∠3=∠D；
又∠2=∠3；
∴∠1=∠2=∠3=∠D；
∴A；D、F、C四点共圆；
∴GA；GF=GC•GD；
即GA2=GC•GD．
四、作图题(共3题，共21分)
20、【解答】幂函数y={#mathml#}x32 {#/mathml#}的定义域是[0；+∞），图象在第一象限，过原点且单调递增，如图所示；
【分析】
【分析】根据幂函数的图象与性质，分别画出题目中的函数图象即可．
21、【解答】图象如图所示。

【分析】
【分析】描点画图即可
22、解：程序框图如下：【分析】
【分析】该函数是分段函数，当x取不同范围内的值时，函数解析式不同，因此当给出一个自变量x的值时，必须先判断x 的范围，然后确定利用哪一段的解析式求函数值，因为函数解析式分了三段，所以判断框需要两个，即进行两次判断，于是，即可画出相应的程序框图．
五、综合题(共1题，共3分)
23、略
【分析】
【分析】（1）根据f（x）=x的两实根为α、β，可列出方程用a，b表示两根α，β，根据|α-β|=1，可求出a、b满足的关系式．
（2）根据（1）求出的结果和a、b均为负整数，且|α-β|=1，可求出a，b；从而求出f（x）解析式．
（3）因为关于x的方程f（x）=0的两根为x1，x2，用a和b表示出（x1+1）（x2+1），讨论a，b的关系可比较（x1+1）（x2+1）与7的大小的结论．
【解析】
【解答】解：（1）∵f（x）=x；
∴ax2+4x+b=x；
α= ，β= ．
∵|α-β|=1；
∴=|a|；
∴a2+4ab-9=0；
（2）∵a、b均为负整数，a2+4ab-9=0；
∴a（a+4b）=9，解得a=-1，b=-2．
∴f（x）=-x2+4x-2．
（3）∵关于x的方程f（x）=0的两根为x1，x2；
∴ax2+4x+b=0
∴x1x2= ，x1+x2=- ．
∴（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1= - +1．
- +1-7= ；
∵a＜0；
当b＞6a+4时，（x1+1）（x2+1）＜7．当b=6a+4时，（x1+1）（x2+1）=7．当b＜6a+4时，（x1+1）（x2+1）＞7．。