河北省石家庄市同济中学高一数学理月考试卷含解析

河北省石家庄市同济中学高一数学理月考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若数列{a n}满足（，d为常数）,则称数列{a n}为“调和数列”.已知数列为
调和数列，且，则的最大值是（）
A. 50
B. 100
C. 150
D. 200
参考答案：
B
【分析】
根据调和数列定义知为等差数列，再由前20项的和为200知，最后根据基本不等式可求出的最大值。

【详解】因为数列为调和数列，所以，
即为等差数列
又，
又大于0
所以
【点睛】本题考查了新定义“调和数列”的性质、等差数列的性质及其前n项公式、基本不等式的性质，属于难题。

2. 三棱柱的侧棱AA1和BB1上各有一动点P，Q满足A1P=BQ，过P、Q、C三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积比为（）A．3：1 B．2：1 C．4：1 D．
参考答案：
B
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】由已知中三棱柱的侧棱AA1和BB1上各有一动点P，Q满足A1P=BQ，我们可得四边形PQBA与四边形PQB1A1的面积相等，等于侧面ABPQB1A1的面积的一半，根据等底同高的棱锥体积相等，可将四棱
椎C﹣PQBA的体积转化三棱锥C﹣ABA1的体积，进而根据同底同高的棱锥体积为棱柱的，求出四棱椎C﹣PQBA的体积，进而得到答案．
【解答】解：设三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为V
∵侧棱AA1和BB1上各有一动点P，Q满足A1P=BQ，
∴四边形PQBA与四边形PQB1A1的面积相等
故四棱椎C﹣PQBA的体积等于三棱锥C﹣ABA1的体积等于V
则四棱椎C﹣PQB1A1的体积等于V
故过P、Q、C三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积比为2：1
故选B
【点评】本题考查的知识点是棱柱的体积，棱锥的体积，其中根据四边形PQBA与四边形PQB1A1的面积相等，等于侧面ABPQB1A1的面积的一半，将四棱椎C﹣PQBA的体积转化三棱锥C﹣ABA1的体积，进
而根据同底同高的棱锥体积为棱柱的，求出上下两部分的体积，是解答本题的关键．
3. 已知函数且在区间上的最大值和最小值
之和为，则的值为
（A）（B）（C）（D）
参考答案：
B
略
4. 在△ABC中，BD = 2CD，若，则
A. B. C. D.
参考答案：
C
5. 某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y，观影人数记为x，其函数图象如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y与x的函数图象，给出下列四种说法，①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本；②图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变；④图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本．其中，正确的说法是
（）
A. ①③
B. ①④
C. ②③
D. ②④
参考答案：
C
【分析】
解题的关键是理解图象表示的实际意义，进而得解．
【详解】由图可知，点A纵坐标的相反数表示的是成本，直线的斜率表示的是票价，
故图(2)降低了成本，但票价保持不变，即②对；图(3)成本保持不变，但提高了票价，即③对；
故选：C．
【点睛】本题考查读图识图能力，考查分析能力，属于基础题．
6. = （）
A. 2
B.
C.
D. 1
参考答案：B
【分析】
直接根据两角和正切公式的变形形式，整理即可得到答案. 【详解】，所以
，
所以原式，故选B.
7. 若a，b是任意实数，且，，则（）
A. B.
C. D.
参考答案：
B
【分析】
利用特殊值对选项进行排除，由此得出正确选项.
【详解】不妨设：对于A选项，故A选项错误.对于C选项，，故C选项错误.对于D选项，，故D选项错误.综上所述，本小题选B.
【点睛】本小题主要考查比较大小，考查不等式的性质，属于基础题.
8. 下面的程序框图(1)输出的数值为（）
A． B. C. D.
参考答案：
B
略
9. 若则当x>1时，a、b、c的大小关系是 ( )
A. B. C. D.
参考答案：
C
10. 生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为
（万元），商品的售价是每件20元，为获取最大利润(利润=收入－成本)，该企业一个月应生产该商品数量为（）
A．9万件B．18万件C．22万件D．36万件
参考答案：
B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数，则
= ．
参考答案：
1009﹣
【考点】函数的值．
【分析】推导出f （x）+f（1﹣x）=1，从而=1007+f （）+f（1），由此能求出结果．
【解答】解：∵函数，
∴f（x）+f（1﹣x）====1，
∴=1007+f（）+f（1）
=1007++=1007+=1009﹣．
故答案为：．
12. 已知函数f(x)＝Asin 2x，g(x)＝，直线x＝m与f(x)，g(x)的图象分别交M、N 两点，且|MN|（M、N两点间的距离）的最大值为10，则常数A的值为Δ .
参考答案：
5
略
13. 在120个零件中，一级品24个，二级品36个，三级品60个，用系统抽样方法从中抽取容量为20的样本，则三级品a被抽到的可能性为________．
参考答案：
略
14. 已知tanα=2，则= ．
参考答案：
1
【考点】GI：三角函数的化简求值．
【分析】化简所求的表达式为正切函数的形式，代入求解即可．
【解答】解：tanα=2，则===1．
故答案为：1．
15. 函数的对称轴是________，对称中心是___________.参考答案：
，
16. 当时，上面算法输出的结果是
．
参考答案：
略
17. 设，则的值为___________________
参考答案：
11
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 如图，A，B，C为函数的图象
上的三点，它们的横坐标分别是t, t+2, t+4 (t1).
(1)设ABC的面积为S 求S=f (t) ；
(2)判断函数S=f (t)的单调性；
(3) 求S=f (t)的最大值.
参考答案：
解：（1）过A,B,C,分别作AA1,BB1,CC1垂直于x轴，垂足为A1,B1,C1，则S=S梯形AA1B1B+S梯形BB1C1C－S梯形AA1C1C.
（2）因为v=在上是增函数,且v5,
上是减函数，且1<u; S上是增函数，所以复合函数S=f(t) 上是减函数
（3）由（2）知t=1时，S有最大值，最大值是f (1)
19. 如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮
位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
（1）求炮的最大射程；
（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．
参考答案：
（1）炮的最大射程是10千米．
（2）当不超过6千米时，炮弹可以击中目标．
试题分析：（1）求炮的最大射程即求（k＞0）与x轴的横坐标，求出后应用基本不等式求解．（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解
试题解析：（1）令y＝0，得kx－（1＋k2）x2＝0，
由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0，
故x＝＝≤＝10，当且仅当k＝1时取等号．所以炮的最大射程为10千米．
（2）因为a＞0，所以炮弹可击中目标
存在k＞0，使3.2＝ka－（1＋k2）a2成立
关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根
判别式Δ＝（－20a）2－4a2（a2＋64）≥0
a≤6.
所以当a不超过6（千米）时，可击中目标．
考点：函数模型的选择与应用20. 一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4.
(1)从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；
(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为，求的概率.
参考答案：
(1)从袋中随机取两个球，可能的结果有6种，
而取出的球的编号之和不大于4的事件有两个，1和2，1和3，
∴取出的球的编号之和不大于4的概率.
(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为，将球放回袋中，
然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为，
所有有(种)，
而有1和3，1和4，2和4三种结果，
∴.
21. 已知平面向量，，.
（1）若，求的值；
（2）若，与共线，求实数m的值.
参考答案：
（1）；（2）4.
【分析】
（1）结合已知求得：，利用平面向量的模的坐标表示公式计算得解.
（2）求得：，利用与共线可列方程，解方程即可.
【详解】解：（1），
所以.
（2），
因与共线，所以，解得.
【点睛】本题主要考查了平面向量的模的坐标公式及平面向量平行的坐标关系，考查方程思想及计算能力，属于基础题。

22. （10分）已知二函数f（x）=ax2+bx+5（x∈R）满足以下要求：
①函数f（x）的值域为[1，+∞）；②f（﹣2+x）=f（﹣2﹣x）对x∈R恒成立．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设M（x）=，求x∈[e，e2]时M（x）的值域．
参考答案：
考点：二次函数的性质．
专题：函数的性质及应用．
分析：（1）配方，利用对称轴和值域求参数，
（2）将M（x）化简，然后通过换元法利用基本不等式求值域．
解答：（1）∵f（x）=ax2+bx+5=a（x+）2+5﹣，
又∴f（﹣2+x）=f（﹣2﹣x），
∴对称轴为x=﹣2=﹣，
∵值域为[﹣2，+∞），
∴a＞0且5﹣=1，
∴a=1，b=4，则函数f（x）=x2+4x+5，
（2）∵M（x）==，∵x∈[e，e2]，∴令t=lnx+1，则t∈[2，3]，
∴===t++2，
∵t∈[2，3]，∴t++2∈[5，]，
∴所求值域为：[5，]．
点评：本题考查二次函数的性质和换元法求函数的值域，难点是换元法的使用，注意换元要注明范围．。