2018高考数学(理)二轮复习闯关导练：大题演练争高分(三) Word版含解析

大题演练争高分(三)
时间：60分钟满分：70分
“保3题”试题部分
17．(导学号：50604136)(2017·昆明调研)(本小题满分12分)
已知正项等比数列{}
a n满足a4＝2a2＋a3，a23＝a6.
(Ⅰ)求{}
a n的通项公式；
(Ⅱ)求a n·log2()a n的前n项和T n.
18.(导学号：50604137)(2017·黄石二模)(本小题满分12分)
某人为研究中学生的性别与每周课外阅读量这两个变量的关系，随机抽查了100名中学生，得到频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据的分组区间为：[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]．
(Ⅰ)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生周课外阅读时间的平均数．
(Ⅱ)在样本数据中，有20位女生的每周课外阅读时间超过4小时，15位男生的每周课外阅读时间没有超过4小时．
①请画出每周课外阅读时间与性别列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的
附：K2＝n(ad－bc)
(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)
②若从样本的女生中随机抽取2人调查，其中每周课外阅读时间超过4小时的人数为X，求X的分布列与期望．
19.(导学号：50604138)(2017·铜川联考)(本小题满分12分)
已知AB 是圆O 的直径，C ，D 是圆上不同两点，且CD ∩AB ＝H ，AC ＝AD ，P A ⊥圆O 所在平面．
(Ⅰ)求证：PB ⊥CD ；
(Ⅱ)若PB 与圆O 所在平面所成角为π4，且∠CAD ＝2π
3
，求二面角C －PB －D 的余弦值．
“争2题”试题部分
20．(导学号：50604139)(2017·遵义调研)(本小题满分12分)
已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为1
2
，过椭圆G 右焦点F 的直线m ：x ＝1与椭
圆G 交于点M (点M 在第一象限)．
(Ⅰ)求椭圆G 的方程；
(Ⅱ)已知A 为椭圆G 的左顶点，平行于AM 的直线l 与椭圆G 相交于B ，C 两点，请判断直线MB ，MC 是否关于直线m 对称，并说明理由．
21.(导学号：50604140)(2017·北海质检)(本小题满分12分)
已知函数f (x )＝x 2
＋b 图象上的点P (2,1)关于直线y ＝－x 的对称点Q 在函数g (x )＝ln(－x )＋a 上．
(Ⅰ)设h (x )＝g (x )－f (x )，求h (x )的最大值；
(Ⅱ)对任意x 1∈[－e ，－1]，x 2∈[e ，e 2]，不等式2k []g (x 1)＋2＋f (x 1)－6<ln []f (x 2)＋3恒成立，求实数k 的取值范围．
请考生在第(22)、(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时标出所选题目的题号．
22．(导学号：50604141)(2017·文山调研)(本小题满分10分) 选修4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，C 1
的参数方程为⎩⎨
⎧
x ＝1－22t ，
y ＝1＋2
2
t (t 为参数)，在以坐标原
点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，C 2的极坐标方程ρ2－2ρcos θ－3＝0.
(Ⅰ)说明C 2是哪种曲线，并将C 2的方程化为普通方程；
(Ⅱ)C 1与C 2有两个公共点A ，B ，定点P 的极坐标⎝
⎛⎭⎫2，π
4，求线段AB 的长及定点P 到A ，B 两点的距离之积．
23．(导学号：50604142)(2017·临夏质检)(本小题满分10分) 选修4－5：不等式选讲 已知函数f ()x ＝||2x －1＋||x －2a . (Ⅰ)当a ＝1时，求f ()x ≤3的解集；
(Ⅱ)当x ∈[]1，2时，f ()x ≤3恒成立，求实数a 的取值范围． 选考题题号( )
大题演练争高分(三)
17．解：(Ⅰ)设数列{}a n 的首项为a 1，公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q 3＝2a 1q ＋a 1q 2()a 1q 22＝a 1
q 5
，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝2
q ＝2，或⎩
⎪⎨⎪
⎧
a 1＝－1q ＝－1， ∵q >0，∴a n ＝2n .5分 (Ⅱ)log 2(a n )·a n ＝log 2(2n )·2n ＝n ·2n ， ∵T n ＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ，
2T n ＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋n ·2n ＋
1，
∴－T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2
n ＋1
＝2(1－2n )1－2
－n ·2n ＋1＝(1－n )2n ＋
1－2
∴T n ＝(n －1)2n ＋
1＋2.12分
18．解：(Ⅰ)由频率分布直方图得
x ＝1×0.05＋3×0.2＋5×0.3＋7×0.25＋9×0.15＋11×0.05＝5.8.2分
(Ⅱ)①由(Ⅰ)知，100位学生中有100×0.75＝75(位)的每周课外阅读时间超过4小时， 25
5分
结合列联表可算得K 2的观测值 k ＝100×(15×20－55×10)270×30×25×75
＝10063
≈1.59<3.841.7分
所以不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“该校学生的每周课外阅读时间与性别有关”．
②X 的可能取值为0,1,2.8分
其概率分别为P (X ＝0)＝C 210C 230＝987，P (X ＝1)＝C 110C 1
20C 230＝4087，P (X ＝2)＝C 220
C 230＝3887
.10分
故X 的分布列为：
X 0 1 2 P
987
4087
3887
11分
X 的期望值为E (X )＝0×987＋1×4087＋2×3887＝116
87
.12分
19．(Ⅰ)证明：∵AB 是圆O 的直径，
∴∠ACB ＝∠ADB ＝π
2
，
∵AC ＝AD ，∴Rt △ACB ≌Rt △ADB ， ∴AB ⊥CD ，
又∵P A ⊥圆O 所在平面，CD 在圆O 所在平面内，∴P A ⊥CD ， ∵P A ∩AB ＝A ，∴CD ⊥平面P AB ，∴PB ⊥CD .5分
(Ⅱ)建立如图所示的直角坐标A －xyz 系：设P A ＝2，
∵∠PBA 是直线PB 与圆O 所在平面所成的平面角，且∠PBA ＝π
4
，∴AB ＝2，
∵∠CAB ＝∠DAB ＝π
3
，∴AC ＝1，CD ＝3，
∴D (32，12，0)，C (－32，1
2，0)，B (0,2,0)，P (0,0,2)，
BD →＝(32，－32，0)，BC →＝(－32，－32，0)，BP →
＝(0，－2,2)，
设平面PBD 的法向量为v ＝(x ，y ，z )，
则⎩⎪⎨⎪⎧ v ·
BD →＝0v ·BP →＝0，⎩⎪⎨⎪⎧
32x －32y ＝0－2y ＋2z ＝0，令x ＝3，则v ＝(3，1,1)，
同理解得平面PBC 的法向量为u ＝(3，－1，－1)， 设二面角C －PB －D 的大小为θ，
∴cos θ＝v ·u
||u ·||u
＝
3×3＋1×(－1)＋1×(－1)5×5
＝1
5. 即二面角C －PB －D 的余弦值为1
5
.12分
20．解：(Ⅰ)由题意得c ＝1, 1分 由c a ＝1
2
可得a ＝2，2分 所以b 2＝a 2－c 2＝3, 3分
所以椭圆的方程为x 24＋y 2
3＝1.4分
(Ⅱ)由题意可得点A (－2,0)，M (1，3
2
)，6分
所以由题意可设直线l ：y ＝1
2
x ＋n ，n ≠1.7分
设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，
由⎩⎨⎧
x 24＋y 2
3
＝1，y ＝1
2x ＋n
得x 2＋nx ＋n 2－3＝0.
由题意可得Δ＝n 2－4(n 2－3)＝12－3n 2>0，即n ∈(－2,2)且n ≠1. 8分 x 1＋x 2＝－n ，x 1x 2＝n 2－3
因为k MB ＋k MC ＝y 1－32x 1－1＋y 2－
32
x 2－1
10分
＝12x 1＋n －32x 1－1＋12x 2＋n －32x 2－1
＝1＋n －1x 1－1＋n －1x 2－1
＝1＋(n －1)(x 1＋x 2－2)x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1
＝1－(n －1)(n ＋2)n 2＋n －2
＝0，
所以直线MB ，MC 关于直线m 对称.12分
21．解：(Ⅰ)点P (2,1)关于直线y ＝－x 的对称点Q (－1，－2)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝22＋b －2＝ln1＋a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧
b ＝－3a ＝－2
， ∴h (x )＝g (x )－f (x )＝ln(－x )－x 2＋1，
h ′(x )＝1
x －2x ＝－2(x 2－12)
x ＝
－2(x －22)(x ＋22
)
x ，
∵x ∈(－∞，0)，∴当x ∈(－∞，－2
2
)时，h ′(x )>0； 当x ∈(－
2
2
，0)时，h ′(x )<0， ∴h (x )在(－∞，－22)上单调递增；在(－2
2，0)上单调递减，
∴h ()x max ＝h ⎝⎛⎭⎫－22＝1
2
()1－ln2.6分
(Ⅱ)设T ()x ＝ln []f ()x ＋3＝2ln x ，
∵ T ′(x )＝2
x
，当x ∈[e ，e 2]时，T ′(x )>0，即单调递增，
∴在[e ，e 2]上T (x )min ＝T (e)＝lne ＝1，
设G (x )＝2k []g (x )＋2＋f (x )－6＝2k ln(－x )＋x 2
－9，G ′(x )＝2k x ＋2x ＝2(x 2＋k )x
，
①当k ≥0时，在[－e ，－1]上G ′(x )<0，即单调递减， 即G (x )max ＝G (－e)＝2k ＋e 2－9，
依题得2k ＋e 2
－9<1，∴k <10－e 2
2
，
又∵k ≥0，∴0≤k <10－e 2
2
；
②当k <0时，∵x ∈[－e ，－1]， ∴ln(－x )≥0，x 2≤e 2<9
∴G (x )＝2k ln(－x )＋x 2－9<0<1
综上，实数k 的取值范围为k ∈(－∞，10－e 2
2
).12分
22．解：(Ⅰ)C 2是圆，C 2的极坐标方程ρ2－2ρcos θ－3＝0， 化为普通方程：x 2＋y 2－2x －3＝0即：(x －1)2＋y 2＝4.4分
(Ⅱ)P 的极坐标为⎝
⎛⎭⎫2，π
4，平面直角坐标为(1,1)，在直线C 1上， 将C 1
的参数方程⎩⎨
⎧
x ＝1－22t ，
y ＝1＋2
2
t (t 为参数)
代入x 2＋y 2－2x －3＝0中得：⎝⎛⎭⎫1－
22t 2＋⎝⎛⎭⎫1＋22t 2－2⎝
⎛⎭⎫
1－22t －3＝0 化简得：t 2＋2t －3＝0 设两根分别为t 1，t 2， 由韦达定理知：⎩⎨⎧
t 1＋t 2＝－2，
t 1·
t 2＝－3，
所以AB 的长|AB |＝|t 1－t 2|
＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2
＝2＋12＝14，8分
定点P 到A ，B 两点的距离之积 |P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝3.10分 23．解：(Ⅰ)原不等式可化为||2x －1＋||x －2≤3，依题意，当x >2时，3x －3≤3，则x ≤2，无解，
当1
2
≤x ≤2时，x ＋1≤3， 则x ≤2，所以1
2
≤x ≤2，
当x <12时，3－3x ≤3，则x ≥0，所以0≤x <12，
综上所述：原不等式的解集为[]0，25分 (Ⅱ)原不等式可化为||x －2a ≤3－||2x －1， 因为x ∈[]1，2，所以||x －2a ≤4－2x ，
即2x －4≤2a －x ≤4－2x ，故3x －4≤2a ≤4－x 对x ∈[]1，2恒成立，
当1≤x ≤2时，3x －4的最大值2,4－x 的最小值为2，所以a 的取值范围为{}110分。