剖分-点联图和剖分-边联图的kirchhoff指标
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
８６
第 ６ 期
马婷妍ꎬ王维忠 剖分￣点联图和剖分￣边联图的 Ｋｉｒｃｈｈｏｆｆ 指标
( ａ) Ｐ２ ( ｂ) Ｓ( Ｐ２ ) ( ｃ) Ｐ２∨
Ｐ２ ( ｄ) Ｐ２ ⊻Ｐ２
Ｋｉｒｃｈｈｏｆｆ 指标ꎮ 同时给出了主要结果的两个简单的应用实例ꎬ验证了结果的正确性ꎮ
[ 关 键 词] Ｋｉｒｃｈｈｏｆｆ 指标ꎻ 剖分￣点联图ꎻ 剖分￣边联图
[ 中图分类号] Ｏ１５７. ５ [ 文献标识码] Ａ
１９９３ 年ꎬＫｌｅｉｎ 等 [１] 提出了图的电阻距离的概念ꎮ 将图 Ｇ 的每条边用一个固定电阻代替ꎬ则对应得
系:
Ｋｆ( Ｇ) ＝
ｒ ｉｊ ( Ｇ)
ｉ<ｊ
ｎ －１
＝ ｎ
ｉ ＝１
１
ꎮ
μｉ
Ｋｉｒｃｈｈｏｆｆ 指标是分子结构描述符ꎬ是一个重要的拓扑指标ꎬ关于它的研究已有很多成果 [４￣１３] ꎬ其中
文献[１３] 研究了 Ｒ￣点联和 Ｒ￣边联图的 Ｋｉｒｃｈｈｏｆｆ 指标ꎮ 受此启发ꎬ本文考虑剖分￣点联和剖分￣边联图的
ø
引理 ２ [１４] 设 Ｇ１ 为 ｎ１ 个顶点 ｍ１ 条边的 ｄ￣正则图ꎬＧ２ 为 ｎ２ 阶图ꎬ则 Ｇ１ 和 Ｇ２ 的剖分￣边联图 Ｇ１ ⊻
其中 Ｔ ＝
Ｇ２ 的 Ｌａｐｌａｃｉａｎ 矩阵的{１} ￣可逆矩阵 Ｌ (１)
Ｇ１ ⊻Ｇ２ 为
éê ｄ( Ｌ ｌ( Ｇ１) ＋ ｄｎ２ Ｉ) －１
ê ( Ｌ ＋ ｄｎ Ｉ) －１ Ｂ
若顶点i和j相邻?则aij1?否则aij0?图g的laplacian矩阵lgdgag?其特征值为12????n0lg特征值的多重集就称作图g的laplacian谱?设bgbijnm是图g的点边关联矩阵?若顶点i与边ej关联?则bij1?否则bij0?1预备知识定义14图g的剖分图sg是指在图g的每条边上添加一个新的顶点而得到的图?图g1和图g2的剖分点联图g1????g2是指将g1的剖分图sg1中的每个旧的顶点与g2的每个顶点相连而得到的图?图g1和图g2的剖分边联图g1?g2是指将g1的剖分图sg1中的每个新的顶点与g2的每个顶点相连而得到的图?例如?设g1g2p2?则图p2的剖分图图g1和图g2的剖分点联图以及图g1和图g2的剖分边联图分别如图1所示?为了方便?设jnn表示元素均为1的n阶矩阵?1表示元素均为1的列向量?????68????ap2bsp2cp2????p2dp2?p2图1g1g2p2时的剖分图剖分点联图及剖分边联图引理114设g1g2分别为n1n2阶连通图?则g1和g2的剖分点联图g1????g2的laplacian矩阵的1可逆矩阵l1g1????g2为t12btg112lg1n2i101212lg1n2i1bg112lg1n2i1000lg2n1i11n1n2jn2n2???其中t12i14btg112lg1n2i????1bg1?引理214设g1为n1个顶点m1条边的d正则图?g2为n2阶图?则g1和g2的剖分边联图g1?g2的laplacian矩阵的1可逆矩阵l1g1?g2为dllg1dn2i1btg1lg1dn2i10lg1dn2i1bg1n22lg1dn2i1000lg2m1i11m1n2jn2n2???其中lg1为g1的线图?引理315设g为n阶连通图?则kfgntrl1g1tl1g1?2主要结果首先?给出剖分点联图g1????g2的kirchhoff指标计算公式?定理2
接矩阵 Ａ Ｇ ＝ ( ａ ｉｊ ) ｎ × ｎ 定义如下:若顶点 ｉ 和 ｊ 相邻ꎬ则 ａ ｉｊ ＝ １ꎻ否则 ａ ｉｊ ＝ ０ꎮ 图 Ｇ 的 Ｌａｐｌａｃｉａｎ 矩阵 Ｌ Ｇ ＝
Ｄ Ｇ － Ａ Ｇ ꎬ其特征值为 μ１ ≥μ２ ≥≥μ ｎ ＝ ０ ( Ｌ Ｇ 特征值的多重集就称作图 Ｇ 的 Ｌａｐｌａｃｉａｎ 谱) ꎮ 设 Ｂ Ｇ ＝
到电网络 Ｎꎬ图 Ｇ 的顶点 ｉ 和 ｊ 之间的电阻距离 ｒ ｉｊ 等于电网络 Ｎ 中节点 ｉ 和 ｊ 之间的有效电阻ꎬ其求解过
程遵循基尔霍夫法则和欧姆定律ꎮ Ｋｉｒｃｈｈｏｆｆ 指标 Ｋｆ( Ｇ) 定义为图 Ｇ 的所有顶点对之间的电阻距离之
和ꎮ １９９６ 年ꎬＧｕｔｍａｎ [２] 和 Ｚｈｕ [３] 等分别证明了图的 Ｋｉｒｃｈｈｏｆｆ 指标与其拉普拉斯特征值之间的如下关
Ｇ１
１ Ｔ １
Ｂ
Ｌ ＋ ｎ２ Ｉ
２ Ｇ１ ２ Ｇ１
Ｔ
(
＋ ｎ２ Ｉ
)
－１
( １２ Ｌ
Ｂ Ｇ１
０
Ｇ１
＋ ｎ２ Ｉ
)
)
－１
０
－１
０
( Ｌ Ｇ２
ùú
ú
ú
０
úꎬ
ú
１
＋ ｎ１ Ｉ) －１ －
Ｊ ｎ２ ×ｎ２ úú
û
ｎ１ ｎ２
－１
１
１
１
Ｉ ＋ Ｂ ＴＧ１ æç Ｌ Ｇ１ ＋ ｎ２ Ｉ ö÷ Ｂ Ｇ１ ꎮ
２
４
è２
２０１９ 年 １２ 月
第 ３５ 卷第 ６ 期
陕西理工大学学报( 自然科学版)
Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｈａａｎｘｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ ( Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ)
Ｄｅｃ. ２０１９
Ｖｏｌ. ３５ Ｎｏ. ６
为了方便ꎬ设 Ｊ ｎ × ｎ 表示元素均为 １ 的 ｎ 阶矩阵ꎬ１ 表示元素均为 １ 的列向量ꎮ
收稿日期:２０１９￣０２￣０１
修回日期:２０１９￣０４￣０８
基金项目:国家自然科学基金资助项目(１１５６１０４2)
∗通信作者:王维忠(１９７６—) ꎬ男ꎬ甘肃省会宁县人ꎬ博士ꎬ兰州交通大学副教授ꎬ主要研究方向为代数图论ꎮ
图ꎻ图 Ｇ１ 和图 Ｇ２ 的剖分￣边联图 Ｇ１ ⊻Ｇ２ 是指将 Ｇ１ 的剖分图 Ｓ( Ｇ１ ) 中的每个新的顶点与 Ｇ２ 的每个顶
点相连而得到的图ꎮ 例如ꎬ设 Ｇ１ ＝ Ｇ２ ＝ Ｐ２ ꎬ则图 Ｐ２ 的剖分图、图 Ｇ１ 和图 Ｇ２ 的剖分￣点联图以及图 Ｇ１ 和
图 Ｇ２ 的剖分￣边联图分别如图 １ 所示ꎮ
引理 １
[１４]
图 １ Ｇ１ ＝ Ｇ２ ＝ Ｐ２ 时的剖分图、剖分￣点联图及剖分￣边联图
设 Ｇ１ 、Ｇ２ 分别为 ｎ１ 、ｎ２ 阶连通图ꎬ则 Ｇ１ 和 Ｇ２ 的剖分￣点联图 Ｇ１ ∨
Ｇ２ 的 Ｌａｐｌａｃｉａｎ 矩阵的
{１} ￣可逆矩阵 Ｌ (１)
Ｇ１ ∨Ｇ２ 为
éê
ê
ê１
ê２
ê
êê
ë
( １２ Ｌ
[ 文章编号]２０９６ － ３９９８(２０１９)０６ － ００８６ － ０７
剖分￣点联图和剖分￣边联图的 Ｋｉｒｃｈｈｏｆｆ 指标
马婷妍ꎬ 王维忠 ∗
( 兰州交通大学 数理学院ꎬ 甘肃 兰州 ７３００３０)
[ 摘 要] 借助图的 Ｌａｐｌａｃｉａｎ 矩阵的{１} ￣可逆矩阵ꎬ给出了剖分￣点联图和剖分￣边联图的
Ｋｉｒｃｈｈｏｆｆ 指标ꎮ
本文仅考虑简单的无向图ꎮ 设图 Ｇ ＝ ( ＶꎬＥ) 的顶点集和边集分别为 Ｖ ＝ {１ꎬ２ꎬꎬｎ} 和 Ｅ ＝ { ｅ１ ꎬｅ２ ꎬ
ꎬｅ ｍ } ꎬ并设 Ｄ Ｇ ＝ ｄｉａｇ( ｄ１ ꎬｄ２ ꎬꎬｄ ｎ ) 是图 Ｇ 的度对角矩阵ꎬ其中 ｄ ｉ (１≤ｉ≤ｎ) 为顶点 ｉ 的度ꎮ 图 Ｇ 的邻
２
Ｇ１
ê Ｇ１
ê
０
ê
ë
Ｂ ＴＧ１ ( Ｌ Ｇ１ ＋ ｄｎ２ Ｉ) －１
０
( ｎ２ ＋ ２) ( Ｌ Ｇ１ ＋ ｄｎ２ Ｉ) －１
０
其中 ｌ( Ｇ１ ) 为 Ｇ１ 的线图ꎮ
( Ｌ Ｇ２
ùú
ú
０
úꎬ
ú
１
＋ ｍ１ Ｉ) －１ －
Ｊ ｎ２ ×ｎ２ ú
ｍ１ ｎ２
û
引理 ３ [１５] 设 Ｇ 为 ｎ 阶连通图ꎬ则 Ｋｆ( Ｇ) ＝ ｎｔｒ( Ｌ (１) ( Ｇ) ) － １ Ｔ Ｌ (１) ( Ｇ)１ꎮ
( ｂ ｉｊ ) ｎ × ｍ 是图 Ｇ 的点￣边关联矩阵ꎬ若顶点 ｉ 与边 ｅ ｊ 关联ꎬ则 ｂ ｉｊ ＝ １ꎻ否则 ｂ ｉｊ ＝ ０ꎮ
１
预备知识
定义 [１４] 图 Ｇ 的剖分图 Ｓ( Ｇ) 是指在图 Ｇ 的每条边上添加一个新的顶点而得到的图ꎻ图 Ｇ１ 和图
Ｇ２ 的剖分￣点联图 Ｇ１ ∨
Ｇ２ 是指将 Ｇ１ 的剖分图 Ｓ( Ｇ１ ) 中的每个旧的顶点与 Ｇ２ 的每个顶点相连而得到的
第 ６ 期
马婷妍ꎬ王维忠 剖分￣点联图和剖分￣边联图的 Ｋｉｒｃｈｈｏｆｆ 指标
( ａ) Ｐ２ ( ｂ) Ｓ( Ｐ２ ) ( ｃ) Ｐ２∨
Ｐ２ ( ｄ) Ｐ２ ⊻Ｐ２
Ｋｉｒｃｈｈｏｆｆ 指标ꎮ 同时给出了主要结果的两个简单的应用实例ꎬ验证了结果的正确性ꎮ
[ 关 键 词] Ｋｉｒｃｈｈｏｆｆ 指标ꎻ 剖分￣点联图ꎻ 剖分￣边联图
[ 中图分类号] Ｏ１５７. ５ [ 文献标识码] Ａ
１９９３ 年ꎬＫｌｅｉｎ 等 [１] 提出了图的电阻距离的概念ꎮ 将图 Ｇ 的每条边用一个固定电阻代替ꎬ则对应得
系:
Ｋｆ( Ｇ) ＝
ｒ ｉｊ ( Ｇ)
ｉ<ｊ
ｎ －１
＝ ｎ
ｉ ＝１
１
ꎮ
μｉ
Ｋｉｒｃｈｈｏｆｆ 指标是分子结构描述符ꎬ是一个重要的拓扑指标ꎬ关于它的研究已有很多成果 [４￣１３] ꎬ其中
文献[１３] 研究了 Ｒ￣点联和 Ｒ￣边联图的 Ｋｉｒｃｈｈｏｆｆ 指标ꎮ 受此启发ꎬ本文考虑剖分￣点联和剖分￣边联图的
ø
引理 ２ [１４] 设 Ｇ１ 为 ｎ１ 个顶点 ｍ１ 条边的 ｄ￣正则图ꎬＧ２ 为 ｎ２ 阶图ꎬ则 Ｇ１ 和 Ｇ２ 的剖分￣边联图 Ｇ１ ⊻
其中 Ｔ ＝
Ｇ２ 的 Ｌａｐｌａｃｉａｎ 矩阵的{１} ￣可逆矩阵 Ｌ (１)
Ｇ１ ⊻Ｇ２ 为
éê ｄ( Ｌ ｌ( Ｇ１) ＋ ｄｎ２ Ｉ) －１
ê ( Ｌ ＋ ｄｎ Ｉ) －１ Ｂ
若顶点i和j相邻?则aij1?否则aij0?图g的laplacian矩阵lgdgag?其特征值为12????n0lg特征值的多重集就称作图g的laplacian谱?设bgbijnm是图g的点边关联矩阵?若顶点i与边ej关联?则bij1?否则bij0?1预备知识定义14图g的剖分图sg是指在图g的每条边上添加一个新的顶点而得到的图?图g1和图g2的剖分点联图g1????g2是指将g1的剖分图sg1中的每个旧的顶点与g2的每个顶点相连而得到的图?图g1和图g2的剖分边联图g1?g2是指将g1的剖分图sg1中的每个新的顶点与g2的每个顶点相连而得到的图?例如?设g1g2p2?则图p2的剖分图图g1和图g2的剖分点联图以及图g1和图g2的剖分边联图分别如图1所示?为了方便?设jnn表示元素均为1的n阶矩阵?1表示元素均为1的列向量?????68????ap2bsp2cp2????p2dp2?p2图1g1g2p2时的剖分图剖分点联图及剖分边联图引理114设g1g2分别为n1n2阶连通图?则g1和g2的剖分点联图g1????g2的laplacian矩阵的1可逆矩阵l1g1????g2为t12btg112lg1n2i101212lg1n2i1bg112lg1n2i1000lg2n1i11n1n2jn2n2???其中t12i14btg112lg1n2i????1bg1?引理214设g1为n1个顶点m1条边的d正则图?g2为n2阶图?则g1和g2的剖分边联图g1?g2的laplacian矩阵的1可逆矩阵l1g1?g2为dllg1dn2i1btg1lg1dn2i10lg1dn2i1bg1n22lg1dn2i1000lg2m1i11m1n2jn2n2???其中lg1为g1的线图?引理315设g为n阶连通图?则kfgntrl1g1tl1g1?2主要结果首先?给出剖分点联图g1????g2的kirchhoff指标计算公式?定理2
接矩阵 Ａ Ｇ ＝ ( ａ ｉｊ ) ｎ × ｎ 定义如下:若顶点 ｉ 和 ｊ 相邻ꎬ则 ａ ｉｊ ＝ １ꎻ否则 ａ ｉｊ ＝ ０ꎮ 图 Ｇ 的 Ｌａｐｌａｃｉａｎ 矩阵 Ｌ Ｇ ＝
Ｄ Ｇ － Ａ Ｇ ꎬ其特征值为 μ１ ≥μ２ ≥≥μ ｎ ＝ ０ ( Ｌ Ｇ 特征值的多重集就称作图 Ｇ 的 Ｌａｐｌａｃｉａｎ 谱) ꎮ 设 Ｂ Ｇ ＝
到电网络 Ｎꎬ图 Ｇ 的顶点 ｉ 和 ｊ 之间的电阻距离 ｒ ｉｊ 等于电网络 Ｎ 中节点 ｉ 和 ｊ 之间的有效电阻ꎬ其求解过
程遵循基尔霍夫法则和欧姆定律ꎮ Ｋｉｒｃｈｈｏｆｆ 指标 Ｋｆ( Ｇ) 定义为图 Ｇ 的所有顶点对之间的电阻距离之
和ꎮ １９９６ 年ꎬＧｕｔｍａｎ [２] 和 Ｚｈｕ [３] 等分别证明了图的 Ｋｉｒｃｈｈｏｆｆ 指标与其拉普拉斯特征值之间的如下关
Ｇ１
１ Ｔ １
Ｂ
Ｌ ＋ ｎ２ Ｉ
２ Ｇ１ ２ Ｇ１
Ｔ
(
＋ ｎ２ Ｉ
)
－１
( １２ Ｌ
Ｂ Ｇ１
０
Ｇ１
＋ ｎ２ Ｉ
)
)
－１
０
－１
０
( Ｌ Ｇ２
ùú
ú
ú
０
úꎬ
ú
１
＋ ｎ１ Ｉ) －１ －
Ｊ ｎ２ ×ｎ２ úú
û
ｎ１ ｎ２
－１
１
１
１
Ｉ ＋ Ｂ ＴＧ１ æç Ｌ Ｇ１ ＋ ｎ２ Ｉ ö÷ Ｂ Ｇ１ ꎮ
２
４
è２
２０１９ 年 １２ 月
第 ３５ 卷第 ６ 期
陕西理工大学学报( 自然科学版)
Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｈａａｎｘｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ ( Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ)
Ｄｅｃ. ２０１９
Ｖｏｌ. ３５ Ｎｏ. ６
为了方便ꎬ设 Ｊ ｎ × ｎ 表示元素均为 １ 的 ｎ 阶矩阵ꎬ１ 表示元素均为 １ 的列向量ꎮ
收稿日期:２０１９￣０２￣０１
修回日期:２０１９￣０４￣０８
基金项目:国家自然科学基金资助项目(１１５６１０４2)
∗通信作者:王维忠(１９７６—) ꎬ男ꎬ甘肃省会宁县人ꎬ博士ꎬ兰州交通大学副教授ꎬ主要研究方向为代数图论ꎮ
图ꎻ图 Ｇ１ 和图 Ｇ２ 的剖分￣边联图 Ｇ１ ⊻Ｇ２ 是指将 Ｇ１ 的剖分图 Ｓ( Ｇ１ ) 中的每个新的顶点与 Ｇ２ 的每个顶
点相连而得到的图ꎮ 例如ꎬ设 Ｇ１ ＝ Ｇ２ ＝ Ｐ２ ꎬ则图 Ｐ２ 的剖分图、图 Ｇ１ 和图 Ｇ２ 的剖分￣点联图以及图 Ｇ１ 和
图 Ｇ２ 的剖分￣边联图分别如图 １ 所示ꎮ
引理 １
[１４]
图 １ Ｇ１ ＝ Ｇ２ ＝ Ｐ２ 时的剖分图、剖分￣点联图及剖分￣边联图
设 Ｇ１ 、Ｇ２ 分别为 ｎ１ 、ｎ２ 阶连通图ꎬ则 Ｇ１ 和 Ｇ２ 的剖分￣点联图 Ｇ１ ∨
Ｇ２ 的 Ｌａｐｌａｃｉａｎ 矩阵的
{１} ￣可逆矩阵 Ｌ (１)
Ｇ１ ∨Ｇ２ 为
éê
ê
ê１
ê２
ê
êê
ë
( １２ Ｌ
[ 文章编号]２０９６ － ３９９８(２０１９)０６ － ００８６ － ０７
剖分￣点联图和剖分￣边联图的 Ｋｉｒｃｈｈｏｆｆ 指标
马婷妍ꎬ 王维忠 ∗
( 兰州交通大学 数理学院ꎬ 甘肃 兰州 ７３００３０)
[ 摘 要] 借助图的 Ｌａｐｌａｃｉａｎ 矩阵的{１} ￣可逆矩阵ꎬ给出了剖分￣点联图和剖分￣边联图的
Ｋｉｒｃｈｈｏｆｆ 指标ꎮ
本文仅考虑简单的无向图ꎮ 设图 Ｇ ＝ ( ＶꎬＥ) 的顶点集和边集分别为 Ｖ ＝ {１ꎬ２ꎬꎬｎ} 和 Ｅ ＝ { ｅ１ ꎬｅ２ ꎬ
ꎬｅ ｍ } ꎬ并设 Ｄ Ｇ ＝ ｄｉａｇ( ｄ１ ꎬｄ２ ꎬꎬｄ ｎ ) 是图 Ｇ 的度对角矩阵ꎬ其中 ｄ ｉ (１≤ｉ≤ｎ) 为顶点 ｉ 的度ꎮ 图 Ｇ 的邻
２
Ｇ１
ê Ｇ１
ê
０
ê
ë
Ｂ ＴＧ１ ( Ｌ Ｇ１ ＋ ｄｎ２ Ｉ) －１
０
( ｎ２ ＋ ２) ( Ｌ Ｇ１ ＋ ｄｎ２ Ｉ) －１
０
其中 ｌ( Ｇ１ ) 为 Ｇ１ 的线图ꎮ
( Ｌ Ｇ２
ùú
ú
０
úꎬ
ú
１
＋ ｍ１ Ｉ) －１ －
Ｊ ｎ２ ×ｎ２ ú
ｍ１ ｎ２
û
引理 ３ [１５] 设 Ｇ 为 ｎ 阶连通图ꎬ则 Ｋｆ( Ｇ) ＝ ｎｔｒ( Ｌ (１) ( Ｇ) ) － １ Ｔ Ｌ (１) ( Ｇ)１ꎮ
( ｂ ｉｊ ) ｎ × ｍ 是图 Ｇ 的点￣边关联矩阵ꎬ若顶点 ｉ 与边 ｅ ｊ 关联ꎬ则 ｂ ｉｊ ＝ １ꎻ否则 ｂ ｉｊ ＝ ０ꎮ
１
预备知识
定义 [１４] 图 Ｇ 的剖分图 Ｓ( Ｇ) 是指在图 Ｇ 的每条边上添加一个新的顶点而得到的图ꎻ图 Ｇ１ 和图
Ｇ２ 的剖分￣点联图 Ｇ１ ∨
Ｇ２ 是指将 Ｇ１ 的剖分图 Ｓ( Ｇ１ ) 中的每个旧的顶点与 Ｇ２ 的每个顶点相连而得到的