高考总复习数学二轮提优导学案 专题7 实际应用问题

又因为 tanθ
π 在0，2上单调递增，
5 所以当观察者离墙 2 m 时，视角 θ 最大．
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专题七
实际应用问题
1 (2) 若 tanθ＝2，当 a 变化时，求 x 的取值范围． 2－a 【解答】 由题意得，tan∠BCD＝ x ， 4－a 1 tan∠ACD＝ x ，又 tanθ＝2，
π 2π α∈3， 3 .
4 S＝a π 2π 3－ 3cosα 3 ，且 α∈3， 3 ； ＋ 2sinα 2
答：S 关于 α 的函数表达式为
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实际应用问题
(2) 问 AD 段多长时，S 最小？ 1－4cosα 1 【解答】 令 S′＝ 3a· 2sin2α ＝0，设 cosα0＝4. 当 α 变化时，cosα，S′，S 的变化情况如下表：
2 2
50 50 50 2 ＋ 2＝ ，所以 cos α sin α cos α sin α
50 50 l＝OE＋OF＋EF＝cosα＋sinα
50sinα＋cosα＋1 50 ＋cosαsinα，即 l＝ .当点 F 在点 D 处时，这时角 α 最小，求得此时 cosαsinα
所以 tanθ＝tan(∠ACD－∠BCD)＝ 所以 a2－6a＋8＝－x2＋4x， 2x 1 ＝ ， 2 2 x ＋a－2· a－4
当 1≤a≤2 时，0≤a2－6a＋8≤3，所以 0≤－x2＋4x≤3，
2 x －4x≤0， 即 2 x －4x＋3≥0，
解得 0≤x≤1 或 3≤x≤4，
(例 2)
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实际应用问题
(1) 求 S 关于 α 的函数表达式，并求出 α 的取值范围；
1 BD AD 【解答】 在△ABD 中，由正弦定理得sinα＝ π＝ 2π ， sin3 sin 3 －α 3 3cosα 1 所以 BD＝2sinα，AD＝ 2sinα ＋2，
(例 1(2))
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实际应用问题
2.5 0.5 2 x －x x 2 2 2 5 所以 tanθ＝tan(∠ACD－∠BCD)＝ ＝ 1.25＝ 1.25≤ ＝ 5 ， 2.5×0.5 2 1.25 1＋ x2 x＋ x 1＋ x2
5 当且仅当 x＝ 2 >1 时取等号．
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实际应用问题
第 1讲
三角函数模型
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实际应用问题
目标 1
三角测量问题 (2018· 苏州高新区一中)如图(1)，墙上有一壁画，最高点 A 离地面 4m，
最低点 B 离地面 2m，观察者从距离墙 x(x>1)m，离地面高 a(1≤a≤2)m 的 C 处观赏 该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ.
π π π π α＝6； 当点 E 在 C 点处时， 这时角 α 最大， 求得此时 α＝3.故此函数的定义域为6，3.
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(2) 经核算，三条路的铺设费用均为 400 元/m，试问如何设计才能使铺路的总费 用最低？并求出最低总费用．
则 意知
S＝a
4 3－ 3cosα 3 3cosα 1 3cosα 1 3 1 － ＋ 2 a ＋ 4 a ＝ a ＋ ＋ ＋ 2sinα ，由题 2sinα 2 2sinα 2 2sin α 2
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实际应用问题
(1) 设∠BOE＝α，试求△OEF 的周长 l 关于 α 的函数解析式，并求出此函数的 定义域；
50 【解答】 在 Rt△BOE 中，OB＝50，∠B＝90° ，∠BOE＝α，所以 OE＝cosα.在 50 Rt△AOF 中，OA＝50，∠A＝90° ，∠AFO＝α，所以 OF＝sinα.又∠EOF＝90° ，所以 EF＝ OE ＋OF ＝
α cosα S′ S
π ，α 0 3 1 1 ， 4 2
α0 1 4 0 极小值
2π α0， 3 1 1 － ， 2 4
－
＋
1 所以当 cosα＝4时，S 最小， 15 3cosα 1 5＋ 5 此时 sinα＝ 4 ，AD＝ 2sinα ＋2＝ 10 . 5＋ 5 答：当 AD＝ 10 时，S 最小．
又因为 x>1，所以 3≤x≤4，所以 x 的取值范围为[3,4]．
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实际应用问题
目标 2
三角设计规划模型——三角形
(2018· 镇江期末)如图，准备在墙上钉一个支架，支架由两直杆 AC 与 BD 焊接而成，焊接点 D 把杆 AC 分成 AD，CD 两段，其中两固定点 A，B 间距离为 π 1m，AB 与杆 AC 的夹角为3，杆 AC 长为 1m，若制作 AD 段的成本为 a 元/m，制作 CD 段的成本是 2a 元/m，制作杆 BD 成本是 4a 元/m.设∠ADB＝α，制作整个支架的 总成本记为 S 元．
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专题七
实际应用问题
如图，有一块矩形草坪 ABCD，AB＝100 m，BC＝50 3 m，欲在这块 草坪内铺设三条小路 OE、EF 和 OF，要求 O 是 AB 的中点，点 E 在边 BC 上，点 F 在边 AD 上，且∠EOF＝90° .
(变式)
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(例 1(1))
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(1) 若 a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角 θ 最大？
【解答】 如图(2)，当 a＝1.5 时，过 C 作 AB 的垂线，垂足为 D，则 BD＝0.5， 0.5 且 θ＝∠ACD－∠BCD， 由已知观察者离墙 xm， 且 x>1， 则 tan∠BCD＝ x ， tan∠ACD 2.5 ＝x ，