黑龙江省鸡西市2021届新高考数学三月模拟试卷含解析

黑龙江省鸡西市2021届新高考数学三月模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若cos (2)cos c a B a b A -=-，则ABC V 的形状为（ ） A ．直角三角形 B ．等腰非等边三角形 C ．等腰或直角三角形 D ．钝角三角形
【答案】C 【解析】 【分析】
利用正弦定理将边化角，再由()sin sin A B C +=，化简可得sin cos sin cos B A A A =，最后分类讨论可得； 【详解】
解：因为cos (2)cos c a B a b A -=-
所以()sin sin cos 2sin sin cos C A B A B A -=- 所以sin sin cos 2sin cos sin cos C A B A A B A -=- 所以()sin sin cos 2sin cos sin cos A B A B A A B A +-=-
所以sin cos sin cos sin cos 2sin cos sin cos A B B A A B A A B A +-=- 所以sin cos sin cos B A A A = 当cos 0A =时2
A π
=
，ABC ∆为直角三角形；
当cos 0A ≠时sin sin A B =即A B =，ABC ∆为等腰三角形；
ABC ∆∴的形状是等腰三角形或直角三角形
故选：C ． 【点睛】
本题考查三角形形状的判断，考查正弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
2．将函数
()2cos 2f x x x =-向左平移6π
个单位，得到()g x 的图象，则()g x 满足（ ）
A ．图象关于点,012π⎛⎫
⎪⎝⎭对称，在区间0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭
上为增函数 B ．函数最大值为2，图象关于点,03π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称
C ．图象关于直线6
x π
=
对称，在,123ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣
⎦上的最小值为1 D ．最小正周期为π，()1g x =在0,4⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
π有两个根
【答案】C 【解析】 【分析】
由辅助角公式化简三角函数式，结合三角函数图象平移变换即可求得()g x 的解析式，结合正弦函数的图象与性质即可判断各选项. 【详解】
函数
()2cos 2f x x x =-，
则()2sin 26f x x π⎛
⎫
=-
⎪⎝⎭
， 将()2sin 26f x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
向左平移6π
个单位， 可得()2sin 22sin 2666g x x x πππ⎡⎤
⎛⎫⎛
⎫=+
-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦
， 由正弦函数的性质可知，()g x 的对称中心满足2,6
x k k Z π
π+=∈，解得,12
2
k x k Z π
π
=-
+
∈，所以A 、B 选项中的对称中心错误； 对于C ，()g x 的对称轴满足22,6
2
x k k Z π
π
π+
=
+∈，解得,6
x k k Z π
π=
+∈，所以图象关于直线6
x π
=
对称；当,123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦
，由正弦函数性质可知[]2sin 21,26x π⎛
⎫
+∈ ⎪⎝⎭
，所以在,123ππ⎡⎤
⎢⎥⎣
⎦上的最小值为1，所以C 正确； 对于D ，最小正周期为22ππ=，当0,4x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，22,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由正弦函数的图象与性质可知，2sin 216x π⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭时仅有一个解为0x =，所以D 错误；
综上可知，正确的为C ， 故选：C.
3．设双曲线()22
2
2:10,0x y C a b a b
-=>>的左右焦点分别为12,F F ，点()()0,0E t t >.已知动点P 在双曲线C 的右支上，且点2,,P E F 不共线.若2PEF ∆的周长的最小值为4b ，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是（ ）
A ．⎫
+∞⎪⎪⎝⎭
B ．⎛ ⎝⎦
C ．)
+∞
D ．(
【答案】A 【解析】 【分析】
依题意可得22221PEF C PE PF EF PE PF EF ∆=++=++1224PF a b ≥-= 即可得到()242a b a c +>+，从而求出双曲线的离心率的取值范围； 【详解】
解：依题意可得如下图象，22221PEF C PE PF EF PE PF EF ∆=++=++
112PE PF EF a =++- 1224PF a b ≥-=
()12242PF a b a c ∴=+>+
所以2b c > 则22244c a c -> 所以2234c a >
所以22
24
3
c e a =>
所以e >，即3e ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
故选：A
【点睛】
本题考查双曲线的简单几何性质，属于中档题.
4．已知12,F F 是双曲线2
22:1(0)x C y a a
-=>的两个焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与C 相交于,A B 两
点，若2AB =
2ABF ∆的内切圆半径为（ ）
A ．
23 B ．
3C ．
32
3
D 23
【答案】B 【解析】 【分析】 首先由2AB =的半径即可求解. 【详解】
由题意1b =将x c =-代入双曲线C 的方程,得1y a =±
则2
2,2,3a c a
===由2121222AF AF BF BF a -=-==得2ABF ∆的周长为
2211||22||42||62AF BF AB a AF a BF AB a AB ++=++++=+=设2ABF ∆的内切圆的半径为r ,则113
62232,22r r ⨯=⨯=
, 故选：B
【点睛】
本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的内心的概念，考查了转化的思想，属于中档题. 5．已知函数2()ln(1)33x x f x x x -=++-，不等式()
22(4)50f a x f x +++…对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围为（ ） A ．[2,)-+∞ B ．(,2]-∞-
C ．5,2⎡⎫
-
+∞⎪⎢⎣⎭
D ．5,2
⎛⎤-∞- ⎥⎝
⎦
【答案】C 【解析】 【分析】
确定函数为奇函数，且单调递减，不等式转化为2222
444a x x x ⎫=-+++…，利用双勾函数单调性求最值得到答案. 【详解】
2()ln(1)33(),()x x f x x x f x f x --=++-=-是奇函数，
22()1)33331x x x x f x x x x x
--=++++=+--，
易知2,331x x y y x
y x -=+=-+=均为减函数，故()f x 且在R 上单调递减，
不等式()
22(4)50f x f x +++…，即()
22(4)5f a x f x +--…，
结合函数的单调性可得2
2
45a x x +--…，即2222
444a x x x ⎫
=-+++…， 设2
4t x =
+，2t ≥，故1y t t ⎛
⎫=-+ ⎪⎝⎭
单调递减，故2
2max 5
424x x ⎫-+=-+， 当2t =，即0x =时取最大值，所以5
2
a -…. 故选：C .
6．对于函数()f x ，定义满足()00f x x =的实数0x 为()f x 的不动点，设()log a f x x =，其中0a >且
1a ≠，若()f x 有且仅有一个不动点，则a 的取值范围是（ ）
A ．01a <<或a e =
B ．1a e <<
C ．01a <<或1
e a e = D ．01a <<
【答案】C 【解析】 【分析】
根据不动点的定义，利用换底公式分离参数可得ln ln x
a x =；构造函数()ln x g x x
=，并讨论()g x 的单调性与最值，画出函数图象，即可确定a 的取值范围. 【详解】
由log a x x =得，ln ln x
a x
=. 令()ln x
g x x =
， 则()2
1ln x
g x x -'=
， 令()0g x '=，解得x e =，
所以当()0,x e ∈时，()0g x '>，则()g x 在()0,e 内单调递增； 当(),x e ∈+∞时，()0g x '<，则()g x 在(),e +∞内单调递减； 所以()g x 在x e =处取得极大值，即最大值为()ln 1
e g e e e
==， 则()ln x
g x x
=
的图象如下图所示：
由()f x 有且仅有一个不动点，可得得ln 0a <或1ln a e
=， 解得01a <<或1
e a e =.
本题考查了函数新定义的应用，由导数确定函数的单调性与最值，分离参数法与构造函数方法的应用，属于中档题. 7．已知复数552i
z i i
=+-，则||z =（ ） A ．5 B ．52
C ．32
D ．25
【答案】B 【解析】 【分析】
利用复数除法、加法运算，化简求得z ，再求得z 【详解】
55(2)
551725
i i i z i i i i +=
+=+=-+-，故22||(1)752z =-+=. 故选：B 【点睛】
本小题主要考查复数的除法运算、加法运算，考查复数的模，属于基础题.
8．已知圆22670x y x +--=与抛物线()2
20y px p =>的准线相切，则p 的值为（）
A ．1
B ．2
C ．
1
2
D ．4
【答案】B 【解析】 【分析】
因为圆22
670x y x +--=与抛物线()2
20y px p =>的准线相切，则圆心为（3,0），半径为4，根据相
切可知，圆心到直线的距离等于 半径，可知p 的值为2，选B. 【详解】 请在此输入详解！
9．一个空间几何体的正视图是长为4，宽为3的长方形，侧视图是边长为2的等边三角形，俯视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．
43
3
B ．3
C ．
3
3
D ．23
【分析】
由三视图确定原几何体是正三棱柱，由此可求得体积． 【详解】
由题意原几何体是正三棱柱，1
242
V =⨯=． 故选：B ． 【点睛】
本题考查三视图，考查棱柱的体积．解题关键是由三视图不愿出原几何体． 10．下列不等式正确的是（ ）
A ．3sin130sin 40log 4>>o o
B ．tan 226ln 0.4tan 48<<o o
C ．(
)cos 20sin 65
lg11-<<o
o
D ．5tan 410sin 80log 2>>o o
【答案】D 【解析】 【分析】
根据3sin 40log 4,ln 0.40tan 226,cos(20)sin 70sin 65<1<<<-=>o o o o o
，利用排除法，即可求解．
【详解】
由3sin 40log 4,ln 0.40tan 226,cos(20)cos 20sin 70sin 65<1<<<-==>o o o o o o
，
可排除A 、B 、C 选项，
又由551
tan 410tan 501sin80log log 22
=>>>
=>o o o
， 所以5tan 410sin 80log 2>>o o
．
故选D ． 【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及对数的比较大小问题，其中解答熟记三角函数与对数函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 11．在声学中，声强级L （单位：dB ）由公式1210110I L g -⎛⎫
=
⎪⎝⎭
给出，其中I 为声强（单位：2
W/m ）.160dB L =，275dB L =，那么1
2
I I =（ ）
A ．45
10 B ．45
10
-
C ．32
-
D ．3
210-
由1210110I L g -⎛⎫
= ⎪⎝⎭得lg 1210L I =-，分别算出1I 和2I 的值，从而得到12
I I 的值. 【详解】 ∵1210110I L g -⎛⎫
=
⎪⎝⎭
， ∴()()12
10lg lg1010lg 12L I I -=-=+，
∴lg 1210
L
I =
-， 当160L =时，1160
lg 121261010L I =
-=-=-，∴6110I -=， 当275L =时，2275
lg 1212 4.51010
L I =
-=-=-，∴ 4.5210I -=， ∴
3
6 1.5
124.5210101010
I I ----===， 故选：D. 【点睛】
本小题主要考查对数运算，属于基础题. 12．已知
，
都是偶函数，且在
上单调递增，设函数，若
，则（ ）
A ．且
B ．且
C ．且
D ．且
【答案】A 【解析】
试题分析：由题意得，
，
∴，，
∴若：
，
，∴， 若：
，
，∴
，
若：
，
，∴
，
综上可知
，同理可知
，故选A.
考点：1.函数的性质；2.分类讨论的数学思想.
【思路点睛】本题在在解题过程中抓住偶函数的性质，避免了由于单调性不同导致
与
大小不明
确的讨论，从而使解题过程得以优化，另外，不要忘记定义域，如果要研究奇函数或者偶函数的值域、最值、单调性等问题，通常先在原点一侧的区间(对奇(偶)函数而言)或某一周期内(对周期函数而言)考虑，然后推广到整个定义域上.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知函数()f x 对于x ∈R 都有()()4f x f x -=，且周期为2，当[]3,2x ∈--时，()()2
2f x x =+，
则52f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
________________________. 【答案】14
【解析】 【分析】
利用()()4f x f x -=，且周期为2，可得()()f x f x -=，得5522f f ⎛⎫⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 【详解】
∵()()4f x f x -=，且周期为2，
∴()()f x f x -=，又当[]3,2x ∈--时，()()2
2f x x =+，
∴2
555122224
f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，
故答案为：1
4
【点睛】
本题考查函数的周期性与对称性的应用，考查转化能力，属于基础题.
14．已知函数()sin cos f x x x =+，则下列结论中正确的是_________.①()f x 是周期函数；②()f x 的对称轴方程为k x π=，k ∈Z ；③()f x 在区间3,ππ⎛⎫
⎪上为增函数；
④方程()6f x =在区间3,0π⎡⎤-
【答案】①②④ 【解析】 【分析】
由函数()()2
sin cos sin cos 1sin 2f x x x
x x x =+=+=+，对选项逐个验证即得答案. 【详解】
Q 函数()()
2
sin cos sin cos 1sin 2f x x x x x x =+=
+=+，
()f x ∴是周期函数，最小正周期为
2
π
，故①正确； 当sin 21x =±或sin 20x =时，()f x 有最大值或最小值，此时22
x t π
π=+
或2,x t t Z π=∈，即
24t x ππ=
+或,2t x t Z π=∈，即,4
k x k Z π=∈. ()f x ∴的对称轴方程为4k x π
=，k ∈Z ，故②正确；
当3,44x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,232x ππ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，此时
sin 2y x =在,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在3,24ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，()f x ∴在区间3,4
4ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上不是增函数，故③错误；
作出函数()f x 的部分图象，如图所示
∴方程()65f x =
在区间3,02π⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
有6个根，故④正确. 故答案为：①②④. 【点睛】
本题考查三角恒等变换，考查三角函数的性质，属于中档题. 15．函数1
log 2
y x =____.
【答案】(0,1] 【解析】
由题意得1
2
{?log 0x x >≥，解得定义域为(]0,1．
16．41
(2)x x
+
-的展开式中2x 的系数为____. 【答案】28 【解析】 【分析】
将已知式转化为844
1(1)(2)x x x x
-+-=，则41(2)x x +-的展开式中2
x 的系数8(1)x -中6x 的系数，根据二项式展开式可求得其值. 【详解】
248444
1(21)(1)(2)=x x x x x x x
-+-+-=Q ，所以41(2)x x +-的展开式中2x 的系数就是8(1)x -中6x 的系数，而8
(1)x -中6x 的系数为()2
2
288128C C ⋅-==，
∴展开式中2x 的系数为2828C =
故答案为：28. 【点睛】
本题考查二项式展开式中的某特定项的系数，关键在于将原表达式化简将三项的幂的形式转化为可求的二项式的形式，属于基础题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知二阶矩阵
，矩阵属于特征值
的一个特征向量为
，属于特征值
的一个特征向量为.求矩阵.
【答案】
【解析】 【分析】
运用矩阵定义列出方程组求解矩阵 【详解】
由特征值、特征向量定义可知，， 即
，得
同理可得解得，，，.因此矩阵
本题考查了由矩阵特征值和特征向量求矩阵，只需运用定义得出方程组即可求出结果，较为简单 18．如图，在四边形ABCD 中，2D B ∠=∠，24AD DC ==，3sin 4
B ∠=
.
（1）求AC 的长；
（2）若ABC ∆的面积为6，求sin sin CAB ACB ∠⋅∠的值. 【答案】 (1) 22AC =(2) 9
sin sin 22
CAB ACB ∠⋅∠=
【解析】 【分析】
（1）利用余弦定理可得AC 的长；（2）利用面积得出ac ，结合正弦定理可得. 【详解】
解：（1）由题可知2
1cos cos212sin 8
D B B ∠=∠=-∠=-
. 在ACD ∆中，2222cos 22AC AD CD AC CD D =+-⋅∠=， 所以22AC =
（2）1
sin 62
ABC S AB BC B ∆=⋅=，则16AB BC ⋅=. 又
422
sin sin sin 3
BC AB AC CAB ACB B ===
∠∠∠， 所以2
9sin sin 1622422CAB ACB ∠⋅∠=⨯=.
【点睛】
本题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，已知角较多时一般选用正弦定理，已知边较多时一般选用余弦定理.
19．已知函数()()21f x x a x a R =-+-∈. （Ⅰ）当1a =时，求不等式()1f x ≥的解集；
（Ⅱ）若存在x ∈R 满足不等式()4f x <，求实数a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）1
{3
x x ≤或}1x ≥.（Ⅱ）610a -<< 【解析】
（Ⅰ）分类讨论解绝对值不等式得到答案.
（Ⅱ）讨论2a ≤和2a >两种情况，得到函数单调性，得到只需()42
a f <，代入计算得到答案. 【详解】
（Ⅰ）当1a =时，不等式为2111x x -+-≥，
变形为12
231x x ⎧<⎪⎨⎪-≥⎩或1
121x x ⎧≤≤⎪⎨⎪≥⎩
或1
321x x >⎧⎨-≥⎩，解集为1{3x x ≤或}1x ≥. （Ⅱ）当2a ≤时，31,2()211,1231,1a x a x a f x x a x x a x x a x ⎧
-++<⎪⎪
⎪
=-+-=-+≤≤⎨⎪
-->⎪⎪⎩
，
由此可知()f x 在(,]2a
-∞单调递减，在[,)2
a +∞单调递增，
当2a >时，同样得到()f x 在(,]2a
-∞单调递减，在[,)2
a +∞单调递增，
所以()()2a
f x f ≥，存在x ∈R 满足不等式()4f x <，只需()42a f <，即|1|42
a
-<， 解得610a -<<. 【点睛】
本题考查了解绝对值不等式，不等式存在性问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
20．在孟德尔遗传理论中，称遗传性状依赖的特定携带者为遗传因子，遗传因子总是成对出现例如，豌豆携带这样一对遗传因子：A 使之开红花，a 使之开白花，两个因子的相互组合可以构成三种不同的遗传性状：AA 为开红花，Aa 和aA 一样不加区分为开粉色花，aa 为开白色花．生物在繁衍后代的过程中，后代的每一对遗传因子都包含一个父系的遗传因子和一个母系的遗传因子，而因为生殖细胞是由分裂过程产生的，每一个上一代的遗传因子以
1
2
的概率传给下一代，而且各代的遗传过程都是相互独立的．可以把第n 代的遗传设想为第n 次实验的结果，每一次实验就如同抛一枚均匀的硬币，比如对具有性状Aa 的父系
来说，如果抛出正面就选择因子A ，如果抛出反面就选择因子a ，概率都是
1
2
，对母系也一样．父系､母系各自随机选择得到的遗传因子再配对形成子代的遗传性状．假设三种遗传性状AA ，Aa (或aA )，aa 在
父系和母系中以同样的比例：::(1)u v w u v w ++=出现，则在随机杂交实验中，遗传因子A 被选中的概率是2v p u =+
，遗传因子a 被选中的概率是2
v q w =+．称p ，q 分别为父系和母系中遗传因子A 和a 的频率，:p q 实际上是父系和母系中两个遗传因子的个数之比．基于以上常识回答以下问题：
（1）如果植物的上一代父系､母系的遗传性状都是Aa ，后代遗传性状为AA ，Aa (或aA )，aa 的概率各是多少？
（2）对某一植物，经过实验观察发现遗传性状aa 具有重大缺陷，可人工剔除，从而使得父系和母系中仅有遗传性状为AA 和Aa (或aA )的个体，在进行第一代杂交实验时，假设遗传因子A 被选中的概率为p ，
a 被选中的概率为q ， 1p q +=．求杂交所得子代的三种遗传性状AA ，Aa (或aA )，aa 所占的比例
111,,u v w ．
（3）继续对（2）中的植物进行杂交实验，每次杂交前都需要剔除性状为aa 的个体假设得到的第n 代总体中3种遗传性状AA ，Aa (或aA )，aa 所占比例分别为(),,1n n n n n n u v w u v w ++=．设第n 代遗传因子
A 和a 的频率分别为n p 和n q ，已知有以下公式22,,1,2,11n n
n n n n n
v v u p q n w w +
===⋅⋅⋅
--．证明1n q ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭是等差数列．
（4）求,,n n n u v w 的通项公式，如果这种剔除某种遗传性状的随机杂交实验长期进行下去，会有什么现象发生？
【答案】（1）AA ，Aa (或aA )，aa 的概率分别是14，12，14
．（2）22111,2,u p v pq w q ===（3）答案见解析（4）答案见解析 【解析】 【分析】
（1）利用相互独立事件的概率乘法公式即可求解. （2）利用相互独立事件的概率乘法公式即可求解.
（3）由（2）知22
111,2,n n n n n n n u p v p q w q +++===，求出1n p +、1n q +，利用等差数列的定义即可证出.
（4）利用等差数列的通项公式可得111(1)n n q q =+-，从而可得1n q q nq =+，再由2
211n n n q w q q +⎛⎫== ⎪+⎝⎭
，利用式子的特征可得n w 越来越小，进而得出结论. 【详解】
（1）即Aa 与Aa 是父亲和母亲的性状，每个因子被选择的概率都是
1
2
， 故AA 出现的概率是
1122
⨯，Aa 或aA 出现的概率是1111222224⨯+⨯=，
aa 出现的概率是11
22
⨯
所以：AA ，Aa (或aA )，aa 的概率分别是
14，12，14
（2）22
111,2,u p v pq w q ===
（3）由（2）知22
111,2,n n n n n n n u p v p q w q +++===
于是21112
12122111n n n
n n n n n n
v p q
u p w p q q +++++
+===--+
()()1
121211111n n n n n n n n n n n n
v p q p q q
q w q q q q +++====---++
1111n n
q q +⇒
=+ ∴1n q ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是等差数列，公差为1 （4）
1
11
(1)n n q q =+- 其中，11
21222111v pq
q q w q q
===--+(由（2）的结论得)
所以
1111n n q n q q q nq
=+⇒=+ 于是，2
2
11n n n q w q q +⎛⎫== ⎪+⎝
⎭
2
2
11,11n n n n p nq p nq p q u p nq nq +⎛⎫++=-=== ⎪++⎝⎭
12
()
22(1)n n n p p nq v p q nq ++==⋅
+
很明显2
11n q w nq +⎛⎫
= ⎪
+⎝⎭，n 越大，1n w +越小，所以这种实验长期进行下去， n w 越来越小，而n w 是子代中aa 所占的比例，也即性状aa 会渐渐消失．
【点睛】
本题主要考查了相互独立事件的概率乘法公式、等差数列的定义、等差数列的通项公式，考查了学生的分析能力，属于中档题，
21．设函数()()ln x
f x a x e bx c x =-+-.
（1）若3a =，0c =时，()f x 在(0,)+∞上单调递减，求b 的取值范围； （2）若2a =，4b =，4c =，求证：当1x >时，()168ln 2f x <-． 【答案】（1）(,]e -∞-（2）见解析 【解析】 【分析】
(1) ()f x 在(0,)+∞上单调递减等价于()f x 0'≤在(0,)+∞恒成立，分离参数即可解决.(2)先对()f x 求导，化简后根据零点存在性定理判断唯一零点所在区间，构造函数利用基本不等式求解即可. 【详解】
（1）3a =，0c =时，()(3)x
f x x e bx =-+，
()(3)(2)x x x f x e x e b x e b '=-+-+=-+，
∵()f x 在(0,)+∞上单调递减． ∴(2)0x x e b -+≤，(2)x b x e ≤-． 令()(2)x
g x x e =-，
()(2)(1)x x x g x e x e x e '=+-=-，
01x <<时，()0g x '<；1x >时，()0g x '>，
∴()g x 在(0,1)上为减函数，在(1,)+∞上为增函数． ∴min ()(1)e g x g ==-，∴b e ≤-． ∴b 的取值范围为(,]e -∞-．
（2）若2a =，4b =，4c =时，()(2)44ln x
f x x e x x =-+-，
44()(2)4(1)x x x f x e x e x e x x ⎛
⎫'=-+-+-
=-- ⎪⎝
⎭， 令4
()x
h x e x
=-
，显然()h x 在(1,)+∞上为增函数． 又(1)40h e =-<，2
(2)20h e =->，∴()h x 有唯一零点0x ． 且0(1,2)x ∈，01x x <<时，()0h x <，()0f x '>；
0x x >时，()0h x ≥，()0f x '<，
∴()f x 在()01,x 上为增函数，在()0,x +∞上为减函数．
∴()()0max 0000()244ln x
f x f x x e x x ==-+-．
又()0
0040x h x e
x =-
=，∴00
4
x e x =，004x x e =，00ln ln 4x x +=． ∴()()0
000000
8
2444ln 444ln 4x f x e x x x x x =-+-=
-+-- 001844ln 4x x ⎛⎫
=+-- ⎪⎝⎭
． 18244ln 4168ln 22⎛⎫
<+--=- ⎪⎝⎭
，()012x <<． ∴当1x >时，()168ln 2f x <-． 【点睛】
此题考查函数定区间上单调，和零点存在性定理等知识点，难点为找到最值后的构造函数求值域，属于较难题目.
22．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，113AB BC AA AC ====，，点D E ，分别为AC 和11B C 的中点.
（Ⅰ）棱1AA 上是否存在点P 使得平面PBD ⊥平面ABE ？若存在，写出PA 的长并证明你的结论；若不存在，请说明理由.
（Ⅱ）求二面角A BE D --的余弦值. 【答案】（Ⅰ）存在点P 满足题意，且3
4PA =，证明详见解析；（Ⅱ）1119
. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）可考虑采用补形法，取11A C 的中点为F ，连接EF AF DF ，，，可结合等腰三角形性质和线面垂直性质，先证BD ⊥平面1ACC ，即BD AF ⊥，若能证明AF PD ⊥，则可得证，可通过Rt PAD Rt ADF △∽△我们反推出点P 对应位置应在3
4
PA =
处，进而得证； （Ⅱ）采用建系法，以D 为坐标原点，以DB DC DF ，，分别为x y z ，，轴建立空间直角坐标系，分别求出两平面对应法向量，再结合向量夹角公式即可求解；
【详解】
（Ⅰ）存在点P满足题意，且
3
4 PA=
.
证明如下：
取11
A C的中点为F，连接EF AF DF
，，.
则
11
EF A B AB
∥∥，所以AF⊂平面ABE.
因为AB BC D
=，是AC的中点，所以BD AC
⊥.
在直三棱柱111
ABC A B C
-中，平面ABC⊥平面
1
ACC，且交线为AC，
所以BD⊥平面1
ACC，所以BD AF
⊥.
在平面1
ACC内，3
AP AD
AD DF
==，90
PAD ADF
∠=∠=︒，
所以Rt PAD Rt ADF
△∽△，从而可得AF PD
⊥.
又因为PD BD D
⋂=，所以AF⊥平面PBD.
因为AF⊂平面ABE，所以平面PBD⊥平面ABE.
（Ⅱ）如图所示，以D为坐标原点，以DB DC DF
，，分别为x y z
，，轴建立空间直角坐标系. 易知()
0,0,0
D，
1
,0,0
2
B
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，
3
0,
A
⎛⎫
⎪
⎪
⎝⎭
，
13
4
E
⎛⎫
⎪
⎪
⎝⎭
，
所以
13
4
BE
⎛⎫
=- ⎪
⎪
⎝⎭
u u u r
，
13
2
AB
⎛⎫
= ⎪
⎪
⎝⎭
u u u r
，
1
,0,0
2
DB
⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
u u u r
.
设平面ABE的法向量为(,,)
m x y z
=
u r
，则有
13
0,
44
13
0.
2
m BE x y z
m AB x y
⎧
⋅=-++=
⎪⎪
⎨
⎪⋅==
⎪⎩
u u u v
v
u u u v
v
取2
y=，得(23,2,3
m=--
u r
.
同理可求得平面BDE的法向量为(0,4,3
n=-
r
.
则
11
cos,
19
1243163
m n
m n
m n
⋅
===
++⋅+
v v
v v
v v.
由图可知二面角A BE D
--为锐角，所以其余弦值为
11
19
.
【点睛】
本题考查面面垂直的判定定理、向量法求二面角的余弦值，属于中档题
23．已知椭圆C ()222210,0y x a b a b +=>>的长轴长为4
，离心率2
e =
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设,A B 分别为椭圆与x 轴正半轴和y 轴正半轴的交点，P 是椭圆C 上在第一象限的一点，直线PA 与
y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，问PMN ∆与PAB ∆面积之差是否为定值？说明理由.
【答案】（1）2
214
y x +=（2）是定值，详见解析
【解析】 【分析】
（1）根据长轴长为4
，离心率2e =
，则有22
22a c a a b c =⎧⎪
⎪=⎨⎪-=⎪⎩
求解.
（2）设()()0000,0,0P x y x y >>，则2
2
0044x y +=，直线()0
0:11
y PA y x x =
--，令0x =得，001
M y y x -=
-，则2=-M BM y ，直线022:2y PB y x x -=+，令0y =，得0
022N x x y -=-，则1=-N AN x ，
再根据()()∆∆∆∆∆∆∆∆-=---=-PMN PAB MAN PAN BAN PAN MAN BAN S S S S S S S S 求解. 【详解】
（1
）依题意得22
22
2a c
a a
b
c =⎧⎪
⎪=⎨⎪-=⎪⎩
，
解得2
1a b =⎧⎨
=⎩
， 则椭圆C 的方程2
214
y x +=.
（2）设()()0000,0,0P x y x y >>，则2
2
0044x y +=，
直线()0
0:11
y PA y x x =
--， 令0x =得，0
01
M y y x -=
-，
则00221
M y BM y x =-=+-， 直线02
2:2y PB y x x -=+， 令0y =，得0022N x x y -=
-， 则002112
=-=+-N x AN x y ， ()()PMN PAB MAN PAN BAN PAN MAN BAN S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆∴-=---=-
00002112122212
=⋅=++=--y x AN BM x y . 【点睛】
本题主要考查椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，还考查了平面几何知识和运算求解的能力，属于中档题.。