湖南省株洲市2019-2020学年高考数学二月模拟试卷含解析

湖南省株洲市2019-2020学年高考数学二月模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知命题p ：1m =“”
是“直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直”的充要条件；命题q ：对任意()2,∈=+a R f x x a 都有零点；则下列命题为真命题的是（ ）
A ．()()p q ⌝∧⌝
B ．()p q ∧⌝
C ．p q ∨
D ．p q ∧
【答案】A 【解析】 【分析】
先分别判断每一个命题的真假，再利用复合命题的真假判断确定答案即可. 【详解】
当1m =时，直线0x my -=和直线0x my +=，即直线为0x y -=和直线0x y +=互相垂直， 所以“1m =”是直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直“的充分条件， 当直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直时，21m =，解得1m =±. 所以“1m =”是直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直“的不必要条件.
p ：“1m =”是直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直“的充分不必要条件，故p 是假命题．
当1a =时，2
()1f x x =+没有零点， 所以命题q 是假命题．
所以()()p q ⌝∧⌝是真命题，()p q ∧⌝是假命题，p q ∨是假命题，p q ∧是假命题． 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查充要条件的判断和两直线的位置关系，考查二次函数的图象， 考查学生对这些知识的理解掌握水平.
2．2019年10月1日，为了庆祝中华人民共和国成立70周年，小明、小红、小金三人以国庆为主题各自独立完成一幅十字绣赠送给当地的村委会，这三幅十字绣分别命名为“鸿福齐天”、“国富民强”、“兴国之路”，为了弄清“国富民强”这一作品是谁制作的，村支书对三人进行了问话，得到回复如下： 小明说：“鸿福齐天”是我制作的；
小红说：“国富民强”不是小明制作的，就是我制作的； 小金说：“兴国之路”不是我制作的，
若三人的说法有且仅有一人是正确的，则“鸿福齐天”的制作者是（ ）
A ．小明
B ．小红
C ．小金
D ．小金或小明
【答案】B 【解析】 【分析】
将三个人制作的所有情况列举出来，再一一论证. 【详解】
依题意，三个人制作的所有情况如下所示：
若小明的说法正确，则均不满足；若小红的说法正确，则4满足；若小金的说法正确，则3满足.故“鸿福齐天”的制作者是小红， 故选：B. 【点睛】
本题考查推理与证明，还考查推理论证能力以及分类讨论思想，属于基础题. 3．已知y ax b =+与函数()2ln 5f x x =+和2()4g x x =+都相切，则不等式组30
20
x ay x by -+≥⎧⎨+-≥⎩所确定的
平面区域在2
2
22220x y x y ++--=内的面积为（ ） A ．2π B ．3π
C ．6π
D ．12π
【答案】B 【解析】 【分析】
根据直线y ax b =+与()f x 和()g x 都相切，求得,a b 的值，由此画出不等式组所表示的平面区域以及圆
2222220x y x y ++--=，由此求得正确选项.
【详解】
()()'
'
2,2f x g x x x
==.设直线y ax b =+与()f x 相切于点()00,2ln 5A x x +，斜率为02x ，所以切线方
程为()()00022ln 5y x x x x -+=
-，化简得0022ln 3y x x x =++①.令()'02
2g x x x ==，解得0
1x x =，
200114g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以切线方程为2000
1214y x x x x ⎛⎫⎛⎫
-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，化简得200214y x x x =-+②.由①②对比
系数得02012ln 34x x +=-
+，化简得02
012ln 10x x +-=③.构造函数()()2
12ln 10h x x x x =+->，()()()'
33
21122x x h x x x x
+-=-=，所以()h x 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，所以()h x 在1x =处取得极小值也即是最小值，而()10h =，所以()0h x =有唯一解.也即方程③有唯一解01x =.所以切线方程为23y x =+.即2,3a b ==.不等式组3020x ay x by -+≥⎧⎨
+-≥⎩即230
320x y x y -+≥⎧⎨+-≥⎩
，画出其对应的区域如下图所示.
圆2
2
22220x y x y ++--=可化为()()2
2
1124x y ++-=，圆心为()1,1A -.而方程组230
320
x y x y -+=⎧⎨
+-=⎩的解也是11x y =-⎧⎨=⎩.画出图像如下图所示，不等式组230
320x y x y -+≥⎧⎨+-≥⎩
所确定的平面区域在2222220x y x y ++--=内的部分如下图阴影部分所示.直线230x y -+=的斜率为
1
2
，直线320x y +-=的斜率为1
3-.所以()tan tan BAC AED ADE ∠=∠+∠1123111123+
==-⨯，所以4BAC π∠=，
而圆A 的半径为2426=，所以阴影部分的面积是
()
2126324
π
π⨯⨯=. 故选：B
【点睛】
本小题主要考查根据公共切线求参数，考查不等式组表示区域的画法，考查圆的方程，考查两条直线夹角的计算，考查扇形面积公式，考查数形结合的数学思想方法，考查分析思考与解决问题的能力，属于难题.
4．已知实数,x y 满足约束条件30202x y x y x -+≥⎧⎪
+≥⎨⎪≤⎩
，则3z x y =+的最小值为（ ）
A ．-5
B ．2
C ．7
D ．11
【答案】A 【解析】 【分析】
根据约束条件画出可行域，再将目标函数化成斜截式，找到截距的最小值. 【详解】
由约束条件30202x y x y x -+≥⎧⎪
+≥⎨⎪≤⎩
，画出可行域ABC V 如图
3z x y =+变为3y x z =-+为斜率为-3的一簇平行线，z 为在y 轴的截距， ∴z 最小的时候为过C 点的时候，
解3020x y x y -+=⎧⎨
+=⎩得2
1
x y =-⎧⎨=⎩所以()2,1C -，
此时()33215z x y =+=⨯-+=- 故选A 项
【点睛】
本题考查线性规划求一次相加的目标函数，属于常规题型，是简单题.
5．2-31i
i =+（ ） A ．15-22i B ．15--22
i
C ．
15
+22
i D ．15-
+22
i 【答案】B 【解析】 【分析】
利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】
()()()()
231231515
111222i i i i z i i i i -----=
===--++-． 故选B ． 【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
6．设集合{|3}{|02}A x x B x x x =<=，或，则A B ⋂=（ ） A ．()0-∞，
B ．()23，
C ．()()023-∞⋃，
， D ．()3-∞， 【答案】C 【解析】 【分析】
直接求交集得到答案. 【详解】
集合{|3}
{|02}A x x B x x x =<=，或，则()()023A B ⋂=-∞⋃，，. 故选：C . 【点睛】
本题考查了交集运算，属于简单题.
7．一个圆锥的底面和一个半球底面完全重合，如果圆锥的表面积与半球的表面积相等，那么这个圆锥轴截面底角的大小是（ ） A ．15︒ B ．30︒
C ．45︒
D ．60︒
【答案】D 【解析】 【分析】
设圆锥的母线长为l,底面半径为R,再表达圆锥表面积与球的表面积公式,进而求得2l R =即可得圆锥轴截面底角的大小. 【详解】
设圆锥的母线长为l,底面半径为R,则有2222R Rl R R ππππ+=+,解得2l R =,所以圆锥轴截面底角的余弦值是
1
2
R l =,底角大小为60︒. 故选：D 【点睛】
本题考查圆锥的表面积和球的表面积公式,属于基础题.
8．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结
构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列的概率为（ ）
A ．
15
B ．
120
C ．
112
D ．
340
【答案】C 【解析】 【分析】
先根据组合数计算出所有的情况数，再根据“3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列”列举得到满足条件的情况，由此可求解出对应的概率. 【详解】
所有的情况数有：3
10120C =种，
3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列的情况有：
()()()()()()()()()()1,2,3,3,4,5,5,6,7,7,8,9,1,4,7,3,6,9,1,3,5,3,5,7,5,7,9,1,5,9，共10种，
所以目标事件的概率101
12012
P ==. 故选：C. 【点睛】
本题考查概率与等差数列的综合，涉及到背景文化知识，难度一般.求解该类问题可通过古典概型的概率求解方法进行分析；当情况数较多时，可考虑用排列数、组合数去计算.
9．设集合{}2
20A x x x =-->，{}
2log 2B x x =≤，则集合()R C A B =I
A ．{}
12x x -≤≤ B ．{}
02x x <≤
C ．{}
04x x <≤
D ．{}
14x x -≤≤
【答案】B 【解析】 【分析】
先求出集合A 和它的补集，然后求得集合B 的解集，最后取它们的交集得出结果. 【详解】
对于集合A ，()()210x x -+>，解得1x <-或2x >，故[]
1,2R C A =-.对于集合B ，22log 2log 4x ≤=，
解得04x <≤.故()(]
0,2R C A B ⋂=.故选B. 【点睛】
本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查对数不等式的解法，考查集合的补集和交集的运算.对于有两个根的一元二次不等式的解法是：先将二次项系数化为正数，且不等号的另一边化为0，然后通过因式分解，求得对应的一元二次方程的两个根，再利用“大于在两边，小于在中间”来求得一元二次不等式的解集.
10．若0a b <<，则下列不等式不能成立的是（ ） A ．
11a b
> B ．
11
a b a
>- C ．|a|>|b|
D ．22a b >
【答案】B 【解析】 【分析】
根据不等式的性质对选项逐一判断即可. 【详解】
选项A ：由于0a b <<，即0ab >，0b a ->，所以
110b a
a b ab --=>，所以11a b
>，所以成立； 选项B ：由于0a b <<，即0a b -<，所以
110()b a b a a a b -=<--，所以11a b a
<-，所以不成立； 选项C ：由于0a b <<，所以0a b ->->，所以||||a b >，所以成立；
选项D ：由于0a b <<，所以0a b ->->，所以||||a b >，所以22a b >，所以成立. 故选：B. 【点睛】
本题考查不等关系和不等式，属于基础题.
11．若函数()()2
2
2cos 137f x x x m x m m =+-+++-有且仅有一个零点，则实数m 的值为（ ）
A B C ．4- D ．2
【答案】D 【解析】 【分析】
推导出函数()y f x =的图象关于直线1x =-对称，由题意得出()10f -=，进而可求得实数m 的值，并对m 的值进行检验，即可得出结果. 【详解】
()()()2
21cos 138f x x m x m m =+-+++-Q ，
则()()()2
222111cos 1138cos 38f x x m x m m x m x m m -+=-++--++++-=-++-，
()()()2
222111cos 1138cos 38f x x m x m m x m x m m --=--+---+++-=-++-，
()()11f x f x ∴-+=--，所以，函数()y f x =的图象关于直线1x =-对称.
若函数()y f x =的零点不为1x =-，则该函数的零点必成对出现，不合题意. 所以，()10f -=，即2280m m +-=，解得4m =-或2.
①当4m =-时，令()()()2
14cos 140f x x x =+-+-=，得()()2
4cos 141x x +=-+，作出函数
()4cos 1y x =+与函数()2
41y x =-+的图象如下图所示：
此时，函数()4cos 1y x =+与函数()2
41y x =-+的图象有三个交点，不合乎题意；
②当2m =时，()cos 11x +≤Q ，()()()2
12cos 120f x x x ∴=+-++≥，当且仅当1x =-时，等号成
立，则函数()y f x =有且只有一个零点. 综上所述，2m =. 故选：D. 【点睛】
本题考查利用函数的零点个数求参数，考查函数图象对称性的应用，解答的关键就是推导出()10f -=，在求出参数后要对参数的值进行检验，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
12．已知条件:1p a =-，条件:q 直线10x ay -+=与直线210x a y +-=平行，则p 是q 的( ) A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】C 【解析】
【分析】
先根据直线10x ay -+=与直线2
10x a y +-=平行确定a 的值，进而即可确定结果.
【详解】
因为直线10x ay -+=与直线2
10x a y +-=平行，
所以20a a +=，解得0a =或1a =-；即0q a =：或1a =-； 所以由p 能推出q ；q 不能推出p ； 即p 是q 的充分不必要条件. 故选C 【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判定，熟记概念即可，属于基础题型. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若3
21()(2)573
f x kx k x k =
+--+在()0,2上单调递减，则k 的取值范围是_______ 【答案】(,1]-∞ 【解析】 【分析】
由题意可得导数()0f x '
≤在()0,2恒成立，解出即可．
【详解】
解：由题意，2
()2(2)f'x kx k x =+-， 当0k ≤时，显然()0f x '<，符合题意； 当0k >时，()0f x '<在()0,2恒成立， ∴(0)0,(2)0,(0,1]f f k '≤≤∴∈， ∴(,1]k ∈-∞， 故答案为：(,1]-∞． 【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题．
14．执行如图所示的伪代码，若输出的y 的值为13，则输入的x 的值是_______.
【答案】8 【解析】 【分析】
根据伪代码逆向运算求得结果. 【详解】
输入13y =，若6y x =，则13
26
x =
>，不合题意 若5y x =+，则1358x =-=，满足题意 本题正确结果：8 【点睛】
本题考查算法中的If 语言，属于基础题.
15．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是______.
【答案】1 【解析】 【分析】
该程序的功能为利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【详解】
模拟程序的运行，可得：0S =，1n =， 不满足条件4n >，执行循环体，1S =，2n =，
不满足条件4n >，执行循环体，6S =，3n =， 不满足条件4n >，执行循环体，27S =，4n =， 不满足条件4n >，执行循环体，124S =，5n =， 此时满足条件4n >，退出循环，输出S 的值为1． 故答案为：1． 【点睛】
本题考查程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题. 16．已知平面向量a r
，b r
，c r 满足|a r
|＝1，|b r
|＝2，a r
，b r
的夹角等于3
π，且（a c -r r
）•（b c -r r ）＝0，则|c r
|的取值范围是_____．
【答案】22⎣⎦
， 【解析】 【分析】
计算得到|a b +r r |=2c =r c r |cosα﹣1，解得cosα2
=r ，根据三角函数的有界性计算范围得到答案. 【详解】
由（a c -r r ）•（b c -r r ）＝0 可得 2c =r （a b +r r ）•c a b -⋅=r r |a b +r r |•|c r |cosα﹣1×2cos 3
π=|a b +r r |•|c r |cosα
﹣1，α为a b +r r 与c r 的夹角．
再由 ()
2
22a b
a b +=++r
r r r 2a r •b =r 1+4+2×1×2cos 3
π=7 可得|a b +r r |
=
∴2
c =r c r |cosα﹣1，解得cosα2
=r ．
∵0≤α≤π，∴﹣1≤cosα≤12
≤r 1，即2
c r |c r |+1≤0，解得
2≤|c r |2
≤
，
故答案为⎣⎦
． 【点睛】
本题考查了向量模的范围，意在考查学生的计算能力，利用三角函数的有界性是解题的关键. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．某公司打算引进一台设备使用一年，现有甲、乙两种设备可供选择.甲设备每台10000元，乙设备每台9000元.此外设备使用期间还需维修，对于每台设备，一年间三次及三次以内免费维修，三次以外的维修费用均为每次1000元.该公司统计了曾使用过的甲、乙各50台设备在一年间的维修次数，得到下面的
频数分布表，以这两种设备分别在50台中的维修次数频率代替维修次数发生的概率.
（1）设甲、乙两种设备每台购买和一年间维修的花费总额分别为X 和Y ，求X 和Y 的分布列； （2）若以数学期望为决策依据，希望设备购买和一年间维修的花费总额尽量低，且维修次数尽量少，则需要购买哪种设备？请说明理由.
【答案】（1）X 分布列见解析，Y 分布列见解析；（2）甲设备，理由见解析 【解析】 【分析】
（1）X 的可能取值为10000，11000，12000，Y 的可能取值为9000，10000，11000，12000，计算概率得到分布列；
（2）计算期望，得到()()10800E X E Y ==，设甲、乙两设备一年内的维修次数分别为ξ，η，计算分布列，计算数学期望得到答案. 【详解】
（1）X 的可能取值为10000，11000，12000
5103(10000)5010P X +==
=，303(11000)505P X ===，51
(12000)5010
P X === 因此X 的分布如下
Y 的可能取值为9000，10000，11000，12000
51(9000)5010P Y ==
=，153(10000)5010P Y ===，153(11000)5010P Y ===，153
(12000)5010P Y ===
因此Y 的分布列为如下
（2）()1000011000120001080010510E X =⨯
+⨯+⨯= 1333
()90001000011000120001080010101010
E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=
设甲、乙两设备一年内的维修次数分别为ξ，η
ξ的可能取值为2，3，4，5
51(2)5010P ξ==
=，101(3)505P ξ===，303(4)505P ξ===，51(5)5010
P ξ=== 则ξ的分布列为
()2345 3.7105510
E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯= η的可能取值为3，4，5，6
51(3)5010P η==
=，153(4)5010P η===，153(5)5010P η===，153(6)5010
P η=== 则η的分布列为
()3456 4.810101010
E η=⨯
+⨯+⨯+⨯= 由于()()E X E Y =，()()E E ξη<，因此需购买甲设备 【点睛】
本题考查了数学期望和分布列，意在考查学生的计算能力和应用能力.
18．《山东省高考改革试点方案》规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成．将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A 、B +、B 、C +、C 、D +、D 、E 共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%．选考科目成绩计入考生总成绩时，将A 至E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[91,100]、[81,90]、[71,80]、
[61,70]、[51,60]、[41,50]、[31,40]、[21,30]八个分数区间，得到考生的等级成绩．某校高一年级共
2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布(60,169)N ．
（1）求物理原始成绩在区间(47,86)的人数；
（2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X 表示这3人中等级成绩在区间[61,80]的人
数，求X 的分布列和数学期望． （附：若随机变量(
)2
~,N ξμσ
，则()0.682P μσξμσ-<<+=，(22)0.954P μσξμσ-<<+=，
(33)0.997P μσξμσ-<<+=）
【答案】（Ⅰ）1636人；（Ⅱ）见解析． 【解析】 【分析】
（Ⅰ）根据正态曲线的对称性，可将区间()47,86分为()47,60和()60,86两种情况，然后根据特殊区间上的概率求出成绩在区间()47,86内的概率，进而可求出相应的人数；（Ⅱ）由题意得成绩在区间[61,80]
的概率为25，且23,5X B ⎛⎫
~ ⎪⎝⎭
，由此可得X 的分布列和数学期望． 【详解】
（Ⅰ）因为物理原始成绩(
)
2
60,13N ξ~，
所以(4786)(4760)(6086)P P P ξξξ<<=<<+≤<
11
(60136013)(6021360213)22P P ξξ=
-<<++-⨯≤<+⨯ 0.6820.95422=+
0.818=．
所以物理原始成绩在（47，86）的人数为20000.8181636⨯=（人）． （Ⅱ）由题意得，随机抽取1人，其成绩在区间[61,80]内的概率为
2
5
． 所以随机抽取三人，则X 的所有可能取值为0,1,2,3，且23,5X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭
，
所以()3
32705125P X ⎛⎫===
⎪⎝⎭ ， ()2
132354155125P X C ⎛⎫==⋅⋅=
⎪⎝⎭， ()2232336255125P X C ⎛⎫==⋅⋅=
⎪⎝⎭，
()3
2835125
P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭．
所以X 的分布列为
所以数学期望()355
E X =⨯=． 【点睛】
（1）解答第一问的关键是利用正态分布的三个特殊区间表示所求概率的区间，再根据特殊区间上的概率求解，解题时注意结合正态曲线的对称性．
（2）解答第二问的关键是判断出随机变量服从二项分布，然后可得分布列及其数学期望．当被抽取的总体的容量较大时，抽样可认为是等可能的，进而可得随机变量服从二项分布． 19．已知函数()2x
f x e x =-.
（1）若曲线()y f x =的切线方程为1y ax =+，求实数a 的值；
（2）若函数()()2
23x mf x mx x ϕ=+-+在区间[]2,4-上有两个零点，求实数m 的取值范围.
【答案】（1）1a =-；（2）4132e m e -<<或3
6
m e = 【解析】 【分析】
（1）根据解析式求得导函数，设切点坐标为(
)
0002,x
x e x -，结合导数的几何意义可得方程
00010x x x e e -+=，构造函数()1x x
h x xe e =-+，并求得()h x '，由导函数求得()h x 有最小值()00h =，
进而可知由唯一零点00x =，即可代入求得a 的值；
（2）将()f x 解析式代入()x ϕ，结合零点定义化简并分离参数得23
x x m e -=，构造函数()23x
x x g e
-=，根据题意可知直线y m =与曲线()2
3
x
x x g e
-=有两个交点；求得()g x '并令()0g x '=求得极值点，列出表格判断()g x 的单调性与极值，即可确定与y m =有两个交点时m 的取值范围. 【详解】
（1）依题意，()2x
f x e x =-，()2x
f x e '=-，
设切点为()
0002,x
x e x -，()002x
f x e '=-，
故00
00122x x ax e x e a
⎧+=-⎨-=⎩，
故(
)
0000212x
x
e x e x -+=-，则00010x x
x e e -+=；
令()1x
x
h x xe e =-+，()x
h x xe '=，
故当(),0x ∈-∞时，()0h x '<， 当()0,x ∈+∞时，()0h x '>， 故当0x =时，函数()h x 有最小值，
由于()00h =，故()0h x =有唯一实数根0， 即00x =，则1a =-；
（2）由()()2
2
2303x
mx x mf x x me x ϕ+-+-+===，得23
x x m e
-=.
所以“()x ϕ在区间[]2,4-上有两个零点”等价于“直线y m =与曲线()23
x
x x g e
-=在[]2,4x ∈-有两个交点”；
由于()223
x
x x g x e
-++='. 由()0g x '=，解得11x =-，23x =.
当x 变化时，()g x '与()g x 的变化情况如下表所示：
所以()g x 在[)2,1--，(]3,4上单调递减，在()1,3-上单调递增. 又因为()2
2g e -=，()12g e -=-，
()()3632g e g =
<-，()()4
1341e g g =>-， 故当4132e m e -<<或36m e =时，直线y m =与曲线()2
3
x
x x g e
-=在[]2,4x ∈-上有两个交点， 即当4132e m e -<<或3
6
m e =时，函数()x ϕ在区间[]2,4-上有两个零点. 【点睛】
本题考查了导数的几何意义应用，由切线方程求参数值，构造函数法求参数的取值范围，函数零点的意义及综合应用，属于难题.
20．已知函数()1f x x x a =-+- （I ）当2a =时，解不等式()4f x ≥.
（II ）若不等式()2f x a ≥恒成立，求实数a 的取值范围
【答案】（Ⅰ）1
72
2x x x ⎧⎫≤-≥
⎨⎬⎩
⎭，或 ;（Ⅱ）13⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦
，. 【解析】
试题分析：（1）根据零点分区间法，去掉绝对值解不等式；（2）根据绝对值不等式的性质得()1f x a ≥-，因此将问题转化为12a a -≥恒成立，借此不等式即可． 试题解析：
（Ⅰ）由()4f x ≥得，1324x x ≤⎧⎨-≥⎩，或12
14
x <<⎧⎨≥⎩，或2234x x ≥⎧⎨
-≥⎩ 解得：17
,22
x x ≤-
≥或 所以原不等式的解集为1
72
2x x x ⎧⎫≤-≥
⎨⎬⎩
⎭
，或 . （Ⅱ）由不等式的性质得：()1f x a ≥-， 要使不等式()2f x a ≥恒成立，则12a a -≥ 当0a ≤时，不等式恒成立；
当0a >时，解不等式12a a -≥得1
03
a <≤． 综上1
3
a ≤
． 所以实数的取值范围为
.
21．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为222
22x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数）.以原点O 为极点，x 轴正半轴
为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为2
6(cos sin )14ρρθθ=+-. （1）写出圆C 的直角坐标方程；
（2）设直线l 与圆C 交于A ，B 两点，()2,0P ，求2
2
||||PA PB +的值.
【答案】（1）22
(3)(3)4x y -+-=；（2）20 【解析】 【分析】
（1）利用cos ,sin x y ρθρθ==即可得到答案；
（2）利用直线参数方程的几何意义，()222
22
1212122PA PB t t t t t t +=+=+-.
【详解】
解：（1）由2
6(cos sin )14ρρθθ=+-，得圆C 的直角坐标方程为
226614x y x y +=+-，即22(3)(3)4x y -+-=.
（2）将直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，
得221)3)4--=+，
即260t -+=，设两交点A ，B 所对应的参数分别为1t ，2t ，
从而12t t +=，126t t =
则()2
2
2
22
1212122321220P PB t t t t t t A +=+=+-=-=.
【点睛】
本题考查了极坐标方程与普通方程的互化、直线参数方程的几何意义等知识，考查学生的计算能力，是一道容易题.
22．选修4—5；不等式选讲． 已知函数()|||1|f x x x =--．
(1)若()|1|f x m ≥-的解集非空，求实数m 的取值范围；
(2)若正数,x y 满足22x y M +=，M 为（1）中m 可取到的最大值，求证：2x y xy +≥． 【答案】 (1)[]0,2;(2)见解析. 【解析】
试题分析：（1）讨论三种情况去绝对值符号，可得()1,0,
21,01,1,1,x f x x x x -<⎧⎪
=-≤≤⎨⎪>⎩
所以()max 1f x =，由此得
11m -≤，解得02m ≤≤；（2）利用分析法，由（1）知，2M =，所以22
2x y +=，因为0,0x y >>，
要证2x y xy +≥，只需证()2
224x y x y +≥，即证()()2110xy xy +-≤，只需证1xy ≤ 即可得结果.
试题解析：（1）去绝对值符号，可得()1,0,
21,01,1,1,x f x x x x -<⎧⎪
=-≤≤⎨⎪>⎩
所以()max 1f x =，
所以11m -≤，解得02m ≤≤，
所以实数m 的取值范围为[]
0,2．
（2）由（1）知，2M =，所以2
2
2x y +=． 因为0,0x y >>，
所以要证2x y xy +≥，只需证()2224x y x y +≥， 即证()2
210xy xy --≤，即证()()2110xy xy +-≤.
因为210xy +>，所以只需证1xy ≤，
因为2
2
22xy x y ≤+=，∴1xy ≤成立，所以2x y xy +≥ 解法二：x 2+y 2=2，x 、y ∈R +，x+y≥2xy 02
π
θ≤≤
设：2022x sin y cos θπθθ⎧=⎪⎛
⎫≤≤⎨ ⎪⎝
⎭=⎪⎩
证明：x+y-2xy=2sin 2cos 22sin cos θθθθ+-⋅⋅ =()2sin cos 4sin cos θθθθ+-⋅ 令sin cos t θθ+=
212sin cos t θθ∴+=，02
π
θ≤≤
Q ∴12t ≤≤
22sin cos 1t θθ=-
∴原式=()
2221t t --
=2222t t -++ =2
222t t ⎛⎫--
+ ⎪ ⎪⎝
⎭
=
当2t =
时，min 22220y =-⨯++=
∴ 2x y xy +≥
23．已知ABC ∆的内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，且()2
2sin sin sin sin sin A B C A B -=-. （Ⅰ）求C ；
（Ⅱ）若1,c ABC =∆的周长是否有最大值？如果有，求出这个最大值，如果没有，请说明理由. 【答案】（Ⅰ）3
C π
=；（Ⅱ）有最大值，最大值为3.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得；
（Ⅱ）由正弦定理可得,a A b B ==，则2sin 6a b A π⎛⎫+=+ ⎪⎝
⎭，再根据正弦函数的性质计
算可得； 【详解】
（Ⅰ）由()2
2sin sin sin sin sin A B C A B -=-得
222sin sin sin sin sin A B C A B +-=
再由正弦定理得222a b c ab +-=
因此2221
cos 222
a b c ab C ab ab +-===，
又因为()0,C π∈，所以3
C π
=
.
（Ⅱ）当1c =时，ABC ∆的周长有最大值，且最大值为3， 理由如下：
由正弦定理得1sin sin sin sin 3
a b c A B C ====
π
所以,a A b B =
=，
所以22sin 36a b A B A A A ππ⎛⎫⎛
⎫+=
+=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭.
因为203A π<<，所以5666A πππ
<+<， 所以当6
2
A π
π
+
=
即3
A π
=
时，+a b 取到最大值2，
所以ABC ∆的周长有最大值，最大值为3. 【点睛】
本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，以及三角函数的性质的应用，属于中档题.。