高考数学二轮复习练习：专题限时集训6数列Word版有答案

专题限时集训(六) 数列
(对应学生用书第92页) (限时：120分钟)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在题中横线上．)
1．(四川省凉山州2017届高中毕业班第一次诊断性检测)设数列{a n }满足a 1＝a ，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋1
(n ∈N *
)，若数
列{a n }是常数列，则a ＝________.
－2 [因为数列{a n }是常数列，所以a ＝a 2＝a 21－2a 1＋1＝a 2－2a ＋1
，即a (a ＋1)＝a 2
－2，解得a ＝－2.]
2．(江苏省南京市、盐城市2017届高三第一次模拟)设{a n }是等差数列，若a 4＋a 5＋a 6＝21，则S 9＝________.
63 [由a 4＋a 5＋a 6＝21得a 5＝7，所以S 9＝
a 1＋a 9
2
＝9a 5＝63.]
3．数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)n
a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为________．
1 830 [当n ＝2k 时，a 2k ＋1＋a 2k ＝4k －1； 当n ＝2k －1时，a 2k －a 2k －1＝4k －3. 所以a 2k ＋1＋a 2k －1＝2，所以a 2k ＋1＋a 2k ＋3＝2， 所以a 2k －1＝a 2k ＋3，所以a 1＝a 5＝…＝a 61. 所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 60
＝(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 60＋a 61) ＝3＋7＋11＋…＋(2×60－1) ＝
30×3＋119
2
＝30×61＝1 830.]
4．(江苏省泰州中学2017届高三上学期第二次月考)等差数列{a n }的前n 项和S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6
＝________.
12 [∵S 3＝12，∴S 3＝3a 1＋
3×2
2
d ＝3a 1＋3d ＝12.解得d ＝2， 则a 6＝a 1＋5d ＝2＋2×5＝12.]
5．(2017·江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比q ＝3，S 3＋
S 4＝533
，则a 3＝________.
3 [∵等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比q ＝3，S 3＋S 4＝53
3，
∴
a 1
3
－3－1
＋
a 1
4
－3－1
＝
533，解得a 1＝13.则a 3＝13
×32
＝3.] 6．(2017·江苏省无锡市高考数学一模)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3，S 9，S 6成等差数列．且a 2
＋a 5＝4，则a 8的值为________．
2 [∵等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3，S 9，S 6成等差数列．且a 2＋a 5＝4，
∴⎩⎪⎨
⎪⎧
2×a 1－q 91－q ＝
a 1－q 3
1－q ＋
a 1
－q
6
1－q
，
a 1q ＋a 1q 4＝4，
解得a 1q ＝8，q 3
＝－12
，
∴a 8＝a 1q 7＝(a 1q )(q 3)2
＝8×14
＝2.]
7．(2017·江苏省泰州市高考数学一模)《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为________升．
13
22
[设最上面一节的容积为a 1， 由题设知⎩⎪⎨
⎪⎧
4a 1＋4×32
d ＝3，⎝ ⎛⎭⎪⎫9a 1
＋9×82d －⎝ ⎛⎭
⎪⎫6a 1
＋6×52d ＝4，
解得a 1＝13
22
.]
8．(2017·江苏省淮安市高考数学二模)已知{a n }是公差不为0的等差数列，S n 是其前n 项和，若a 2a 3＝a 4a 5，
S 9＝1，则a 1的值是________.
【导学号：56394041】
－5
27 [设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)， ∵a 2a 3＝a 4a 5，S 9＝1，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1＋d a 1＋2d ＝a 1＋3d a 1＋4d ，
9a 1＋9×8
2d ＝1，
解得a 1＝－527
.]
9．(广东湛江市2017届高三上学期期中调研考试)在各项均为正数的等比数列{a n }中，若log 2a 2＋log 2a 8＝1，则a 3·a 7＝________.
2 [由log 2a 2＋log 2a 8＝1得log 2(a 2a 8)＝1，所以a 2a 8＝2，由等比数列性质可得a 3a 7＝a 2a 8＝2.] 10．(2017·江苏省盐城市高考数学二模)记公比为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝1，S 4－5S 2
＝0，则S 5的值为________．
31 [若等比数列的公比等于1，由a 1＝1，则S 4＝4,5S 2＝10，与题意不符． 设等比数列的公比为q (q ≠1)， 由a 1＝1，S 4＝5S 2，得a 1
－q 4
1－q
＝5a 1(1＋q )，
解得q ＝±2.
∵数列{a n }的各项均为正数，∴q ＝2. 则S 5＝1－2
5
1－2
＝31.]
11．(广东郴州市2017届高三第二次教学质量监测试卷)在△ABC 中，A 1，B 1分别是边BA ，CB 的中点，A 2，
B 2分别是线段A 1A ，B 1B 的中点，…，A n ，B n 分别是线段A n －1A ，B n －1B (n ∈N *，n >1)的中点， 设数列{a n }，
{b n }满足：向量B n A n →＝a n CA →
＋b n CB →
(n ∈N *
)，有下列四个命题，其中假命题是：________.
【导学号：56394042】
①数列{a n }是单调递增数列，数列{b n }是单调递减数列； ②数列{a n ＋b n }是等比数列； ③数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫
a n
b n 有最小值，无最大值；
④若△ABC 中，C ＝90°，CA ＝CB ，则|B n A n →
|最小时，a n ＋b n ＝1
2
.
③ [由BA n →
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n BA →
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n (CA →
－CB →
)，B n B →
＝12n CB →
，B n A n →
＝B n B →
＋BA n →
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n CA →
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n －1－1CB →
，所以a n ＝1－1
2
n ，b n ＝
12
n －1
－1.则数列{a n }是单调递增数列，数列{b n }是单调递减数列，故①正确；数列{a n
＋b n }即为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫12n 是首项和公比均为12的等比数列，故②正确；而当n ＝1时，a 1＝12，b 1＝0，a n
b n 不存在；n
＞1时，a n b n ＝2n －12－2n ＝－1＋12－2
n 在n ∈N *
上递增，
无最小值和最大值，故③错误；在△ABC 中，C ＝90°，CA ＝CB ，则|B n A n →
|2
＝(a 2
n ＋b 2
n )CA →2
＋2a n b n CA →·CB →＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －352－15
，当n ＝1时，取得最小值，即有|B n A n →|最
小时，a n ＋b n ＝1
2
，故④正确．]
12．(天津六校2017届高三上学期期中联考)已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝
a n
a n ＋2
(n ∈N *
)．若b n ＋1＝(n －2λ)·⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a n
＋1(n ∈N *
)，b 1＝－λ，且数列{b n }是单调递增数列，则实数λ的取值范围是________．
⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，23 [因为a n ＋1＝a n a n ＋2⇒1a n ＋1＝2a n ＋1⇒1a n ＋1＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋1⇒1a n ＋1＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a 1＋12n －1＝2n ，所以b n ＋1
＝(n －2λ)·2n ，因为数列{b n }是单调递增数列，所以当n ≥2时b n ＋1>b n ⇒(n －2λ)·2n >(n －1－2λ)·2
n
－1
⇒n >2λ－1⇒2>2λ－1⇒λ<32；当n ＝1时，b 2>b 1⇒(1－2λ)·2>－λ⇒λ<23，因此λ<23
.]
13. (山西大学附属中学2017级上学期11月模块诊断)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 17>0，
S 18<0，则S 1a 1，S 2a 2，…，S 15
a 15中最大的项为________．
S 9
a 9
[S 17>0⇒a 1＋a 17
2>0⇒
a 9
2>0⇒a 9>0，
S 18<0⇒
a 1＋a 182
<0⇒
a 9＋a 10
2
<0⇒a 10＋a 9<0⇒a 10<0，
因此S 1a 1>0，S 2a 2>0，…，S 8a 8>0，S 9a 9>0，
S 10a 10<0，而S 1<S 2<…<S 9，a 1>a 2>…>a 8>a 9，所以S 1a 1<S 2a 2<…<S 8a 8<S 9
a 9
.] 14．(云南大理2017届高三第一次统测)若数列{a n }的首项a 1＝2，且a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N *
)；令b n ＝log 3(a n
＋1)，则b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 100＝________.
5 050 [由a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N *
)可知a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，∴
a n ＋1＋1
a n ＋1
＝3，所以数列{a n ＋1}是以3为首项，3为公比的等比数列，所以a n ＋1＝3n
，∴a n ＝3n
－1，所以b n ＝log 3(a n ＋1)＝n ，因此b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 100＝
＋2
＝5 050.]
二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
15．(本小题满分14分)(泰州中学2017届高三上学期期中考试)已知{a n }是一个公差大于0的等差数列，且满足a 3a 6＝55，a 2＋a 7＝16. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)等比数列{b n }满足：b 1＝a 1，b 2＝a 2－1，若数列c n ＝a n ·b n ，求数列{c n }的前n 项和S n . [解] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则依题意设d >0.由a 2＋a 7＝16，得2a 1＋7d ＝16. ① 由a 3a 6＝55，得(a 1＋2d )(a 1＋5d )＝55. ②
4分
由①得2a 1＝16－7d 将其代入②得(16－3d )(16＋3d )＝220.即256－9d 2
＝220，∴d 2
＝4，又d >0，∴d ＝2.代入①得a 1＝1，∴a n ＝1＋(n －1)2＝2n －1.6分 (2)∵b 1＝1，b 2＝2，∴b n ＝2
n －1
，∴c n ＝a n b n ＝(2n －1)2
n －1
， 8分
S n ＝1·20＋3·21＋…＋(2n －1)·2n －1,2S n ＝1·21＋3·22＋…＋(2n －1)·2n .两式相减可得：
－S n ＝1·20
＋2·21
＋2·22
＋…＋2·2n －1
－(2n －1)·2n
＝1＋2×
－2n －1
1－2
－(2n －1)·2n
，
∴－S n ＝1＋
－2n －1
1－2
－(2n －1)·2n
＝1＋2
n ＋1
－4－(2n －1)·2n
＝2n ＋1
－3－(2n －1)·2n
， ∴S n ＝3＋(2n －1)·2n
－2n ＋1
＝3＋(2n －3)·2n
.
14分
16．(本小题满分14分)(河南省豫北名校联盟2017届高三年级精英对抗赛)已知各项均不相等的等差数列{a n }的前五项和S 5＝20，且a 1，a 3，a 7成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若T n 为数列⎩⎨
⎧⎭
⎬⎫
1a n a n ＋1的前n 项和，且存在n ∈N *，使得T n －λa n ＋1≥0成立，求实数λ的取值范围．
[解] (1)设数列{a n }的公差为d ，则 ⎩⎪⎨
⎪⎧
5a 1＋5×42d ＝20，
a 1＋2d 2＝a 1a 1＋6d ，
即⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1＋2d ＝4，
2d 2
＝a 1d . 2分
又因为d ≠0，所以⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 1＝2，d ＝1.
4分 所以a n ＝n ＋1.
5分
(2)因为
1
a n a n ＋1
＝
1
n ＋n ＋
＝
1n ＋1－1n ＋2
， 所以T n ＝12－13＋13－14＋…＋1n ＋1－1n ＋2＝12－1
n ＋2＝
n
n ＋
. 7分
因为存在n ∈N *
，使得T n －λa n ＋1≥0成立， 所以存在n ∈N *，使得n n ＋－λ(n ＋2)≥0成立， 即存在n ∈N *
，使λ≤n n ＋
2
成立.
10分
又
n n ＋
2
＝
12⎝
⎛⎭
⎪
⎫n ＋4n
＋4≤1
16(当且仅当n ＝2时取等号)，
所以λ≤1
16
.
即实数λ的取值范围是⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，116. 14分
17．(本小题满分14分)(四川省凉山州2017届高中毕业班第一次诊断性检测)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n a n
＋1
＝2n ，n ∈N *
.
(1)若函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A >0,0<φ<π)在x ＝
π
6
处取得最大值a 4＋1，求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π12，π2上的值域； (2)求数列{a n }的通项公式． [解] (1)∵a n a n ＋1＝2n
，则a n ＋1a n ＋2＝2n ＋1
，
∴
a n ＋2
a n
＝2， 又a 1＝1，故a 1a 2＝21
，即a 2＝2， ∴a 3＝2，a 4＝4，
∴A ＝a 4＋1＝5，故f (x )＝5sin(2x ＋φ)，4分 又x ＝π
6
时，f (x )＝5，
∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1，且0<φ<π，解得φ＝π6， ∴f (x )＝5sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，
6分
而x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2，故2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π6，
从而sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，
综上知f (x )∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－52，5. 8分
18．(本小题满分16分)(天津六校2017届高三上学期期中联考)已知各项都是正数的数列{a n }的前n 项和为
S n ，S n ＝a 2n ＋1
2
a n ，n ∈N *
.
(1) 求数列{a n }的通项公式；
(2) 设数列{b n }满足：b 1＝1，b n －b n －1＝2a n (n ≥2)，数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1b n 的前n 项和为T n ，求证：T n <2；
(3)若T n ≤λ(n ＋4)对任意n ∈N *
恒成立，求λ的取值范围.
【导学号：56394043】
[解] (1)n ＝1时，a 1＝a 2
1＋12a 1，∴a 1＝12.
⎩⎪⎨⎪⎧
S n －1＝a 2
n －1＋1
2a n －1
S n ＝a 2
n ＋12
a n
⇒a n ＝a 2n －a 2
n －1＋12a n －12
a n －1，
⇒(a n ＋a n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －a n －1－12＝0，∵a n >0，∴a n －a n －1＝12，
∴{a n }是以12为首项，1
2为公差的等差数列．
∴a n ＝1
2
n .
4分
(2)证明：b n －b n －1＝n ，
⎩⎪⎨⎪⎧
b 2－b 1＝2b 3
－b 2
＝3⋮b n －b n －1
＝n
⇒b n －b 1＝
n ＋
n －
2
⇒b n ＝
n n ＋
2
.
1
b n
＝
2
n n ＋
＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，∴T n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－1
3＋…＋1n －1n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1
，即T n <2.
(3)由
2n
n ＋1
≤λ(n ＋4)得λ≥2n
n ＋n ＋
＝
2n ＋4n ＋5，当且仅当n ＝2时，2n ＋4n
＋5
有最大值2
9， ∴λ≥2
9
.
16分
19．(本小题满分16分)(中原名校豫南九校2017届第四次质量考评)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且
S 5＝a 5＋a 6＝25.
(1)求{a n }的通项公式；
(2)若不等式2S n ＋8n ＋27>(－1)n
k (a n ＋4)对所有的正整数n 都成立，求实数k 的取值范围． [解] (1)设公差为d ，则5a 1＋5×4
2d ＝a 1＋4d ＋a 1＋5d ＝25，∴a 1＝－1，d ＝3.
∴{a n }的通项公式为a n ＝3n －4. 6分
(2)S n ＝－n ＋
3n n －
2
，2S n ＋8n ＋27＝3n 2
＋3n ＋27，a n ＋4＝3n ；8分
(－1)n
k <n ＋1＋9n
，当n 为奇数时，k >－⎝ ⎛⎭
⎪⎫n ＋1＋9n ；当n 为偶数时，k <n ＋1＋9n
，
∵n ＋1＋9n ≥7，当且仅当n ＝3时取等号，∴当n 为奇数时，n ＋1＋9
n
的最小值为7，当n 为偶数时，n
＝4时，n ＋1＋9n 的最小值为294，∴－7<k <29
4
.16分
20．(本小题满分16分)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是函数f (x )＝12＋log 2x
1－x 的图象上任意两点，且OM →＝12(OA
→＋OB →)，已知点M 的横坐标为1
2.
(1)求证：M 点的纵坐标为定值；
(2)若S n ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2n ＋…＋f ⎝
⎛⎭
⎪
⎫n －1n ，n ∈N *，且n ≥2，求S n
；
(3)已知a n
＝⎩⎪⎨⎪⎧
23，n ＝1，
1
S n ＋S
n ＋1
＋
，n ≥2.
其中n ∈N *
.T n 为数列{a n }的前n 项和，若T n <λ(S n
＋1
＋1)对一切n ∈N *
都成立，试求λ的取值范围.
【导学号：56394044】
[解] (1)证明：∵OM →＝12(OA →＋OB →
)，∴M 是AB 的中点．设M 点的坐标为(x ，y )，
由12(x 1＋x 2)＝x ＝1
2
，得x 1＋x 2＝1，则x 1＝1－x 2或x 2＝1－x 1.2分 而y ＝12(y 1＋y 2)＝12[f (x 1)＋f (x 2)]＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
2＋log 2x 11－x 1＋12＋log 2x 21－x 2
＝12⎝
⎛
⎭⎪⎫1＋log 2x 11－x 1＋log 2x 21－x 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋log 2x 11－x 1·x 21－x 2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋log 2x 1x 2x 1x 2＝12()1＋0＝12，∴M 点的纵坐标为定值1
2
. 5分
(2)由(1)，知x 1＋x 2＝1，f (x 1)＋f (x 2)＝y 1＋y 2＝1，
S n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ，S n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2n ＋…＋f ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫1n ， 两式相加，得
2S n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2n ＋…＋⎣⎢⎡⎦
⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＝1＋1＋…＋1n －1，∴S n
＝n －12(n ≥2，n ∈N *).
8分
(3)当n ≥2时，a n ＝
1
S n ＋S n ＋1＋
＝
4
n ＋n ＋
＝4⎝
⎛⎭
⎪
⎫1n ＋1－1n ＋2.10分 T n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝23＋4⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2
＝23＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫1
3－1n ＋2＝2n n ＋2. 12分
由T n <λ(S n ＋1＋1)，得
2n n ＋2<λ·n ＋22.∴λ>4n n ＋
2
＝
4n
n 2
＋4n ＋4
＝
4
n ＋4n
＋4
. ∵n ＋4
n
≥4，当且仅当n ＝2时等号成立，∴
4n ＋4n
＋4
≤44＋4＝1
2. 因此λ>12，即λ的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 16分。