引言及随机事件

7、完备事件组
A1
如果n个事件 A1, A2,..., An 两两
A2
A3
不相容,且 A1 A2 ... An 则称 A1, A2,..., An 是完备事件组.
An
此时,在每次试验中,A1, A2,..., An 必有一个发生, 且仅有一个发生.
例如,任选一个人,调查其生日.样本空间为:
四、随机事件、事件的集合表示
样本空间Ω中满足某些条件的样本点构成的子集 称为随机事件，简称为事件.随机事件通常用字母 A, B,C,...表示.
若试验后的结果 A 则称事件A发生; 若试验后的结果 A 则称A不发生.
只含一个样本点ω的事件叫基本事件,记为{ω} 样本空间Ω 也是它自己的子集,因而也是事件, 称为必然事件. 在每次试验中, 必然事件一定会发生. 空集Φ中不含Ω中的任一元素,称为不可能事件 在每次试验中,不可能事件 一定不发生.
0辆, 1辆, 2辆, 3辆, …
或简记为 0,1, 2, 3,..., n,...
0,1, 2, 3, 4, ....均为样本点. 3.掷两枚硬币,记录正反面出现的情况. 此随机试验的样本空间为:
(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)
共有4个样本点:(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)
点 构成的集合 称为样本空间.记为Ω.
例如:1. 掷一枚骰子,记录其点数. 此随机试验的样本空间为:
1点, 2点, 3点, 4点, 5点, 6点
或简记为 ,,,,,
1, 2, 3, 4, 5, 6 均为样本点.
2.任取一个小时, 记录在该小时内通过校门的车 辆数.此随机试验的样本空间为:
A A
A A A A A A A
A
两个对立事件 一定不相容.
两个不相容事件 未必是对立事件.
例如 掷骰子 ,,,,,
A 1,2= “点数小于3” B 6
AB A与B不相容.
A {3,4,5,6} B A B
但A与B不是对立事件.
构成的集合
例 掷骰子 ,,,,, A A A 4,5,6= “点数大于3”
A {,,} = “点数不大于3” “A不发生”这事件不发生, 就是A发生, 即 A A A 的对立事件是 A, 故称A与 A互为对立事件.
对立事件满足关系: A A A A A A
甚至可以取成 (, )
5.把一尺之棰 任意截成三段,记录各段的长度. 此随机试验的样本空间为:
( x, y, z ) x 0, y 0, z 0且 x y z 1
样本点
由以上例子可知,样本空间可以是 有限集或无限集; 可以是一维点集 或多维点集; 可以是离散点集 也可以是欧氏空间的 某个区域.
A B C (A C) (B C)
(4) 否定律 A A

(5) 对偶律 A B A B
i Ai i Ai
Ai Ai
i
i
(6) A B A AB AB
A BA B
A
B
A A A A A A A A A A A A A A A A A (B A) A B
则称这n个事件互不相容 或互斥. 如果可列个事件 A1, A2 , A3 ,...中任意两个都不相容, 则称这可列个事件互不相容 或互斥.
A1
A3 A2
A4 I
A5
6、对立事件 设A是一个事件, 则事件“A不发生”，即“非A”
称为A的对立事件.记为 A A A 它是由样本空间中 不属于A的所有样本点
A B B A
A B B A AB BA
(2) 结合律 (A B) C A (B C ) A B C
(A B) C A (B C) A B C
(A B) C A (B C ) A B C
( AB)C A(BC ) ABC
(3) 分配律 A B C ( A C ) (B C )
一般地, n个事件A1,A2,…,An 的和记为
n
Ai A1
i 1
A2
...
n
An
或
Ai
i 1

A1 A2
...
An
表示这 n个事件至少有一个发生.
A2 A3
A1
A4
可列个事件A1,A2,A3,…

的和记为
n
An
或

An
n1
表示这可列个事件 至少有一个发生.
3、事件的积（交）
这时A与B没有公共的样本点. 例 掷骰子.
A
B

A 1,2 = “点数小于3”
B 5,6= “点数大于4” A,B互斥.
1 2 1 3 1 4 ...
不同的基本事件 是互不相容的.
如果n个事件 A1, A2,..., An 中的任意两个 都不相容, 即 Ai Aj ( i, j 1,2,..., n, i j )
事件都是相对于一定的 随机试验而言的.
样本空间Ω
随机试验
随机事件 A
必然事件Ω
例如:
不可能事件Φ
掷两颗骰子,“点数和小于13”是必然事件.
掷三颗骰子, “点数和小于13”是随机事件.
掷13颗骰子, “点数和小于13” 是不可能事件.
六、 事件间的关系及运算
1、事件的包含与相等
如果事件A发生必然导致事件B发生，即A中每 个样本点都属于B,则称A含于B，或B包含A. 记为 A B 或 B A
“点数小于7” 为必然事件Ω. “点数为负值”是不可能事件Φ
一切事件 均可以分解为基本事件的并集，
而基本事件则不可再分.*
再如:在征兵体检中,从应征者中任选一人,测量 其身高.此随机试验的样本空间为 (1.4, 2.5)
A 1.75, 2.5为身高在1.75或以上
必然事件与不可能事件 在每次试验之前 都可以 准确预言,不具有随机性,不是随机事件,但为讨论 问题方便,把它们看成是特殊的随机事件,作为随机 事件的两个极端情况.
Ch1 随机事件与概率 §1.1 随机事件
随机试验 对随机现象进行的观察 或实验称为随机试验
或试验.
随机试验有以下三个特点: (ⅰ)可以在相同条件下重复进行(重复性);
(ⅱ)试验的结果不止一个,试验的结果是可观察的.
且在试验前可以明确 一切可能的结果的范围. (可观察性);(明确性); (ⅲ) 试验前不能准确地预言 该次试验将会出现 哪一种结果 (随机性).
4.一天中任取一时刻,记录下某一地点当时的气温.
设此地当天的最低气温为a，最高气温为b,则此
随机试验的样本空间为: [a,b] [a,b]中每个
数 均为样本点.
[
a
]
b
有时候,为了数学处理方便,可以把样本空间
作适当扩大. 如例4中,可把样本空间取为 (273.15 C, )
A
B

例 设A,B,C为三个事件，试用A,B,C 表示下列事件:
1) A,B都发生, C不发生. AB C 或 ABC 2) A,B,C至少有一个发生. A B C
3) A,B,C恰有一个发生. AB C ABC A B C 4) A,B,C最多有一个发生. AB C ABC A B C A BC
或 A B B C C A 5) A,B,C 都不发生. A B C 或 A B C
6)恰有两个事件发生 AB C AB C ABC
7)最多有两个事件发生 A BC A B C
8)至少有两个事件发生 AB C AB C ABC ABC 或 AB BC CA *
例如: 掷一枚骰子, 记录其点数.
此随机试验的样本空间为: 1,2,3,4,5,6
基本事件有: 1 2 3 4 5 6
A 2,4,6 表示掷出偶数点* A 2 4 6 B 1,3,5 表示掷出奇数点 B 1 3 5 C 1, 2, 3,4表示点数小于5 D 4,6 表示掷出大于3的偶数点 D 4 6
例如:1.掷一枚骰子, 记录其点数. 2.任取一个小时, 记录在该小时内通过校门的
车辆数. 3.掷两枚硬币, 记录正反面出现的情况.
4.一天中任取一时刻,记录下某一地点当时的气温.
5.把一尺之棰任意截成三段, 记录各段的长度.
三、 样本空间 随机试验的每一个可能的结果称为一个样本点,
记为ω. 一个随机试验的所有样本点是明确的,全体样本
1.1, 1.2, ..., 1.31, 2.1,2.2,..., 2.29, 3.1, ...., 3.31, ..., 12.1, ..., 12.31
Ai 表示“生日在 i 月”
A1, A2 ,..., A12 构成一个完备事件组. A1
A2
当n=2时, A1 A2 , A1A2
等等.
A
B
A
称为事件A与B的差. 记为 A B
它是由属于A 但不属于B 的样本点构成的集合.
例 掷骰子 A 2,4,6 =“掷出偶数点”
B 1,2= “点数小于3”
A B 4, 6= “不小于3的偶数点”
两事件的差具有性质:
A B A AB
A
B
A-B
5、互斥（互不相容） 事件 若事件A与B 不能同时发生，即 AB 则称A与B互不相容 或互斥
2、事件的和（并）
设A、B为两个事件，则事件“A发生或者B发生” 即事件“A与B至少一个发生”称为事件A与B的和 (并) 记为 A B 或 A B
它是由A,B中一切样本点 共同组成的集合.
例 掷骰子 A 1,2= “点数小于3” A B B 2,4,6 = “掷出偶数点”
A B A B 1,2, 4,6=“点数小于3或者为偶数”
例如: 任选一人, 测量其身高.
BA
A 1.70, 1.80 B ( 1.65, 2.2 ) A B
掷一枚骰子, 记录其点数.
2 2,4,6
事件的相等: 若 A B且 B A 则称事件A与B相等.记为 A B
例如: 掷一枚骰子, 记录其点数.
A= “点数小于3 ” B 1, 2 A B
一般地, n个事件A1,A2,…,An 的积(交) 记为
n
Ai A1 A2 ... An 或 A1A2...An 表示这n个事件
i
同时发生.

可列个事件A1,A2,A3, … 的积(交) 记为 An
n
表示这可列个事件同时发生.
4、事件的差 设A、B为两个事件，则事件 “A发生但B不发生”
设A、B为两个事件，则事件“A发生且B发生”,
即事件“A与B都发生”称为事件A与B的积(交).
记为 A B或 AB 它是由既属于A又属于B 的样本点构成的集合.
例 掷骰子
A 1,2 = “点数小于3”
A
B
B 2,4,6 = “掷出偶数点”
AB
A B AB { 2}=“小于3的偶数点”
A1, A2互为对立事件.
பைடு நூலகம்
如果可列个事件 A1, A2,..., An ,.... 两两不相容,
且

An
n1
则称这可列个事件 是完备事件组.
此时, 在每次试验中, A1, A2,..., An,.... 必有一个发生, 且仅有一个发生.
七、随机事件的运算律
(1) 交换律 A B B A