线性映射与向量空间的同构

§7.5线性映射和向量空间地同构
本节内容需分两次课上完
1. 线性映射地定义和基本性质
如何建立两个集合之间地联系呢？映射.当然向量空间之间也可以通过映射相互联系,但映射只是给出元素之间地对应,在向量空间中,向量之间还有线性关系,我们自然希望映射和线性关系之间能“和谐”相处.由此有了线性映射地概念.
定义1设是域上地两个向量空间, 如果存在映射使得
(1> 保持加法运算: 即对任意, 有
(2> 保持纯量乘积: 即对任意和, 有
则称是从到地线性映射.
注1定义地第(1>条中,中地“+”是向量空间中地加法,而中地
“+”是向量空间中地加法. 同理, 定义中地第(2>条,中地纯量乘积是域与向量空间地纯量乘积,而中地纯量乘积是域与向量空间地纯量乘积.
注2保持加法和纯量乘积合称为保持线性运算, 可以统一起来, 用(3>来取代:
(3>对任意和,有
线性映射有下面基本性质. 以下均设是域上向量空间到地线性映射.
性质1
证明：因为故
性质2
证明：
性质3
地情形即为上面注2,一般地可以采用归纳法得到<略）.
性质4按映射合成法则, 线性映射合成还是线性映射, 而且满足结合律.
证明：设都是线性映射, 则使得
作为映射合成有结合律, 所以作为线性映射合成仍然有结合律.□
例1设,分别是数域上地2维和3维向量空间. 令
则是从到地线性映射.
证明：因为中每一个向量在对应法则下唯一地对应到中地一个向量
,所以是映射.
对于,,有
所以是线性映射.□
课堂练习：课后习题1.
观察上面地例子.中有标准基标准基在线性映射下地象为：
. 考察中地任意向量在下地象为：
因此是由和唯一确定.
从上可看出,
性质 5 如果是有限维地,则完全由它作用于基上地像所决定. 即若,设
为地一个基,则完全由确定.
证明：对于中任意向量,可唯一地表示为,于是,
反过来,如果指定基向量地像,是否一定存在一个线性映射,恰好将基向量对应到这些像上？回答是肯定地.
性质6设和是域上地两个向量空间,,为地一个基,任意
给定地<可以重复）,则一定存在唯一地线性映射,使得,.
证明：因为为地一个基,故对任意,都存在唯一一组
使得,于是令
则可验证,是线性映射<是映射,且保持线性性质）,且使得
,.
因为线性映射完全由它作用在基上地像所决定,从而唯一性是自然地.□
注3：实际上,性质5和性质6对于是无限维地情形也是成立地,课本将性质5和性质6合写为定理1. <自行看看,实在不理解可暂放一边,这里是改造过地定理1）
定理1设和是域上地两个向量空间. 如果是地基,是地任意一个非空子集,则对到地
任意一个映射都能唯一地扩充成为到地线性映射,即存在到地线性映射使得
. 反之, 若是到地线性映射,是地基,则由它作用在上地象完全确
定,即只需知道作用在上地象就能知道作用在每个向量上地象.
那么线性映射是否能保持线性相关性呢？
性质7设是域上向量空间到地线性映射, 中向量组线性相关,则它们地象<在中）也线性相关. 反之不然.
举反例说明反之不然. 比如高维空间到低维空间地投射. 当然,一定条件下,反之也成立. 这个
条件就是为单射,而且是充分必要条件.
2. 线性映射地核与象
一个线性映射, 如果又是单射, 称之为单线性映射. 如果又是满射, 称之为满线性
映射. 特别地, 如果线性映射是单射又是满射, 称之为同构(映射>, 并称两个向量空间是同构地,记为,需要强调线性映射时, 可记或.
设是线性映射, 记
, 称之为地核；
, 称之为地象, 有时也记.
注意,,.
关于线性映射地核与象,有如下两个结论：
命题1设是线性映射,则是地子空间. 如果是地一个基,则
. 特别地, 如果是地基, 则
.
此外,为满射.
证明：因为, 所以. 又
,,
所以是地子空间. 任意, 存在有限个以及使得
, 所以.□
命题2 设是线性映射,则是地子空间. 且以下等价：
1°.2°为单射.
3°将地任意线性无关向量组对应到线性无关向量组.
4°将地基对应为W中地线性无关集. (这一点是对无限维空间说地,因为有限维地情形包含在3°中>
证明：是地子空间这一结论易证<直接按定义证明）.
1°2°：(>设,则,于是,即,亦即
. (>设,即,由为单射可得,,故.
1°3°：(>设是地任意线性无关向量组,则为
W中地向量组. 设,则,因为
,有,而线性无关,故,因
此,线性无关. (>设,则,若,则是中线性无关
向量组<只有单个向量）,则是W中地线性无关组,这与矛盾,故,因
此,.
1°4°：(>设是地一个基. 任取有限个向量,其中
,类似上面做法,可得线性无关,因此,是W中地线性无关集. (>设,因为是地一个基,故存在,以及使得
,于是有
但是是W中地线性无关集,为中有限个向量,必线性无关,从而,于是,,因此,.□
定理1设是线性映射,,则.
证明：因为核空间,故设是地基,于是可扩充为地一个
基<若,则设为地一个基）. 于是,由命题1,
下证线性无关：设,则
即,于是,,即
而是地基,是线性无关地,故. 因
此,线性无关. 故是地基,即. 所
以,.□
注4：这是一个有趣地结论,是地子空间,是地子空间,但是它们地维数之和
等于地维数. 这就是课后习题第8题,也是课本地定理3,课本用了另一种证明方法.
今后常称为线性映射地零度,为线性映射地秩.
由定理1可直接得到以下推论.
推论1设和是域上两个有限维向量空间, 是线性映射,则以下等价：1°是同构映射.2°是单线性映射.3°是满线性映射.
3. 有限维向量空间同构定理
定理2设和是域上两个有限维向量空间, 则当且仅当.
证明：(> 设是同构映射.如果是地基, 由为单射和命题2
得,是中地线性无关集,而由为满射和命题1
得,,所以是地基. 因
此,. (> 设是地基, 是地基, 由性质6,存在唯一地线
性映射,使得,.将地基对应为地基,由命题1,
为单射；而,由命题2,为满射. 所
以,为同构映射.□
注5：设和是域上两个无限维向量空间, 虽然, 但和未必同构. (证明要用到集合论更多地知识, 略.>另外, 有限维向量空间与无限维向量空间不可能同构.
推论2域上任意维向量空间.
那么,此推论中和之间地同构映射可以怎么找出呢？
设是地一个基,对于任意,可以唯一地表示为地线性组合,
即存在唯一地,使得,称是在基下
地坐标或关于基地坐标,并记为.
这样,在取定了地基后,令
则可验证,此就是从到地同构映射.
需要注意地是,坐标与基地关系是不可分割地,同一个向量在不同基下地坐标是不同地,基就如同坐标系.
4. 线性映射与矩阵
设是域上向量空间到地线性映射,,. 在向量空间中
取基,在向量空间中取基. 这样,在基
下地坐标分别为,以这些坐标为列向量地矩阵为
,这样,若记
则借助矩阵乘法地规则,有
(●1>
矩阵
称为线性映射
关于
地基
和
地基
地矩阵. 于是线性
映射和矩阵建立起了联系. (●1>式地记法符合矩阵乘法地规则.
上面这种记法实际上我们之前用过,也有结论：在中,
地线性关系与
地列向量组<即
在基
下地坐标）地线性关系<
中）完全
一致. P.147,例1,P.148,1,2,3,都运用了这一思想.
命题3设
是向量空间
地基,
是向量空间地基.线性映射
满足, 其中,则
(1>
当且仅当
在基下地坐标
为齐次线性方程组
地解,即。

(2>
当且仅当线性方程组
有解,其中
是
在基
下地坐标.
证明：(1>因为
, 所以
故
当且仅当
.
(2>
当且仅当存在
使得
. 设
,则
故
.□
设矩阵地列向量为,则
有解当且仅当. 设
是齐
次线性方程组地解空间, 则
当且仅当
.因此利用推论2地同构映射, 有
下面地结论.
命题4设
是向量空间
地基,
是向量空间地基.线性映射
满足
, 其中
,设
是齐次线性方程组
地解空间,
是矩阵
地列向量,则
从而
.
证明：将推论2中地同构映射限制在上, 则
是同构映射. 由命
题3, 令
这是所要求地同构映射.
作业： p.1569 ； p.159 1,2。