江苏省常熟市一中中考二模数学试题及答案

2014年常熟市第一中学初三第二次调研测试试卷
数 学 2014.5
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题纸相应位置上）
1．2013的相反数是（ ）
A 、12013
B 、12013
- C 、﹣2013
D 、2013
2．①x 5＋x 5＝x 10；②x 5－4＝x ；③x 5·x 5＝x 10；④x 10÷x 5＝x 2；⑤(x 5)2＝x 25．其中结果正确
的是 ( ) A ．①②④
B ．②④
C ．③
D ．④⑤
3．下列函数中自变量x 的取值范围是x ＞1的是（ ）
A ．11-=x y
B ．1-=x y
C ．11-=x y
D ．x
y -=11
4．函数y ＝kx ＋b(k ≠0)与y ＝
k
x
（k ≠0）在同一坐标系中的图像可能是 ( )
5．如图所示的4×4的正方形网格中，△MNP 绕某点旋转一定的 角度，得到△M 1N 1P 1，则其旋转中心可能是 ( ) A ．点A B ．点B C ．点C D ．点D
6．在四张完全相同的卡片上，分别画有圆、菱形、等腰三角形、等腰梯形，现从中随机抽取一张，卡片上的图形恰好是中心对称图形的概率是( )
A ．
14 B ．12 C ．
34
D ．1
7．100名学生进行20s 跳绳测试，测试成绩统计如下表：
则这次测试成绩的中位数m 满足 ( ) A ．40<m ≤50 B ．50<m ≤60 C ．60<m ≤70 D ．m>70
8．如图，△ABC 内接于⊙O ，OD ⊥BC ，垂足为点D ，∠A ＝50°则 ∠OCD 的度数是( ) A ．40°
B ．45°
C ．50°
D ．60°
9．如图，已知菱形ABCD 的对角线AC ．BD 的长分别为6cm 、 8cm ，AE ⊥BC 于点E ，则AE 的长是( )
10.如图(1)所示，E 为矩形ABCD 的边AD 上一点，动点P 、Q 同时从点B 出发，点P 以1cm/秒的速度沿折线BE —ED —DC 运动到点C 时停止，点Q 以2cm/秒的速度沿BC 运动到点C 时
停止．设P 、Q 同时出发t 秒时，△BPQ 的面积为y cm 2
．已知y 与t 的函数关系图象如图(2)(其中曲线OG 为抛物线的一部分，其余各部分均为线段)，则下列结论： ①当0＜t ≤5时，y ＝
t 2； ②当 t ＝6秒时，△ABE ≌△PQB ； ③cos ∠CBE ＝
4
5
④当t ＝29
2
秒时，△ABE ∽△QBP ；
其中正确的是（ ）
A ．①②
B ．①③④
C ．③④
D ．①②④
二、填空题（共24分）
11．4的平方根是 ．
12．某校学生在“爱心传递”活动中，共筹得捐款37400元，请你将数字37400用科学计
数法并保留两个有效数字表示为 ． 13. 已知a －2b ＝－2，则4－2a ＋4b 的值为
14．若某个圆锥的侧面积为28cm ，其侧面展开图的圆心角为45o ，则该圆锥的底面半径为 cm ．
15．抛物线y ＝－x 2－4x 的顶点坐标是 ．
16．如图所示，把矩形纸条ABCD 沿EF 、GH 同时折叠，B 、C 两点恰好落在AD 边的P 点处，若∠FPH ＝90°，PF ＝8，PH ＝6，则矩形ABCD 的边BC 长为_______．
17．九(1)班同学为了解2012年某小区家庭月均用水情况，随机调查了该小区部分家庭，并将调查数据整理如下：
A
B
C D
P
Q E
（1）
(2)
y
t
M N
10 14 40 O
5 20
G
E
若该小区有1000户家庭，根据调查数据估计，则该小区月均用水量超过20 t 的家庭大约有 户．
18. 正方形的A 1B 1P 1P 2顶点P 1、P 2在反比例函数y ＝
8
x
（x ＞0）的图象上，顶点A 1、B 1分别在x 轴、y 轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P 2P 3A 2B 2，顶点P 3在反比例函数y ＝
8
x
（x ＞0）的图象上，顶点A 2在x 轴的正半轴上，求点P 3的坐标____ _____．
三、解答题（本大题共10小题，共76分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（本题满分5分）
计算：()0
20142sin602013321π︒+-+-
20．（本题满分5分）求不等式组()120512112
3x x x ⎧-->⎪
⎨+-+≥⎪
⎩的正整数解．
21．（本题满分5分）先化简，再计算 222221
1211
x x x x x x -+÷+
-++-，其中x 2＋1 22．（5分）解方程
21
11x x x x
++=
+
23．（本题满分5分）如图，在平行四边形ABCD
中，E 、F 是BC 、AB 的中点，DE 、DF 的
延长线分别交AB 、CB 的延长线于H 、G ； （1）求证：BH AB =；
（2）若四边形ABCD 为菱形，试判断G ∠与H ∠的大小，并证明你的结论．
24．（本题8分）某中学计划购买A 型和B 型课桌椅共200套．经招标，购买一套A 型课桌比购买一套B 型课桌椅少用40元，且购买4套A 型和5套B 型课桌椅共需1820元． (1)购买一套A 型课桌椅和一套B 型课桌椅各需多少元？
(2)学校根据实际情况，要求购买这两种课桌椅的总费用不能超过40880元，并且购买A 型课桌椅的数量不能超过B 型课桌椅的数量的2
3
，则该校本次购买A 型和B 型课桌椅 共有几种方案？哪种方案费用最低？
25．（本题8分）已知甲同学手中藏有三张分别标有数字
12、1
4
、1的卡片，乙同学手中藏有三张分别标有数字1、3、2的卡片，卡片外形相同．现从甲、乙两人手中各任取一张卡片，并将它们的数字分别记为a ，b ．
(1)请你用画树形图或列表法列出所有可能的结果；
(2)现制定这样一个游戏规则：若所选出的a 、b 能使得ax 2＋bx ＋1＝0有两个不相等的实数解，则称甲获胜；否则称乙获胜，请问这样的游戏规则公平吗？请你用概率知识解释．
26．（本题满分8分）如图，一居民楼底部B 与山脚P 位于同一水平线上，小李在P 处测得居民楼顶A 的仰角为60°，然后他从P 处沿坡角为45°的山坡向上走到C 处，这时，PC=30 m ，点C 与点A 恰好在同一水平线上，点A 、B 、P 、C 在同一平面内．
（请将下面2小题的结果都精确到0.1m ，参考数据：
41.12≈,73.13≈,45.26≈）
（1）求居民楼AB 的高度； （2）求C 、A 之间的距离．
27．（本小题满分8分）
“五一”期间，甲、乙两个家庭到300 km 外的风景区“自驾游”， 乙家庭由于要携带一些旅游用品，比甲家庭迟出发0.5 h （从甲家庭出发时开始计时），甲家庭开始出发时以60 km/h 的速度行驶．途中的折线、线段分别表示甲、乙两个家庭所走的路程y 甲(km)、y 乙(km)与时间x(h)之间的函数关系对应图象，请根据图象所提供的信息解决下列问题： (1)由于汽车发生故障，甲家庭在途中停留了_______h ；
(2)甲家庭到达风景区共花了多少时间？
(3)为了能互相照顾，甲、乙两个家庭在第一次相遇后约定两车之间的路程不超过15 km，请通过计算说明，按图所表示的走法是否符合约定．
28．（本题9分）已知⊿ABC是⊙O的内接三角形，AB=AC，点P是弧的中点，连接PA、PB、PC。

（1）如图（1）若∠BPC=60°,求证：AC=3AP。

（2）如图（2）若sin∠BPC=24
25
,求tan∠PAB的值。

29．（本题满分12分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D在x轴正半轴上，且OD=OC．
（1）求直线CD的解析式；
（2）求抛物线的解析式；
（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：△CEQ∽△CDO；
（4）在（3）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P点和F点移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C A A B B B A D D 二、填空题
、 ±2 12、 3.7×104 13、 8 14、 1
E
15、 （－2， 4） 16、 120 17、 24 18、(232,232) 19、（5分） 原式
321(23) 1...4'
2
31231
=2........................................5'=⨯++--=++-- 20、（5分） 31
x x <⎧⎨
≥-⎩≤∴得 -1 1 <3 ...4'x 取1，2 ...5'
21、（5分）
原式＝
2
2(1)1(1)(1)2(1)1
x x x x x x -+⋅
++-+-
212(1)1
.............4'
2(1)
2122
=
......5'4
x x x x
x x -=+
--=
-=++当时，原式 22、（5分）
2(1)(21)(1)
1
.............................4'
2
x x x x x x +=++=- 经检验，1
2
x =-是原方程的根。

…5’
23、（5分）
(1) 由⊿CDE ≌HBE 得 DC=BH 由此□ABCD 得：DC=AB
∴BH=AB ……2’ （2）由菱形ABCD 及E 、F 为AB 、BC 的中点， 可证得：⊿CDE ≌ADF 得：∠CDE=∠ADF .
而由菱形对边平行可证得 ∠CDE=∠H ，
∠ADF=∠G
∴∠G=∠H …………5’
24、（8分）
（1 设买一套A 型课桌椅x 元，则买一套B 型课桌椅（x+40）元。

则
45(40)1820
180,40220.
x x x x ++==+= 答设买一套A 型课桌椅180元，则买一套B 型课桌椅220元。

…3’
（2））设买A 型课桌椅a 套，B 型课桌椅b 套
2001802204088023a b a b a b
⎧
⎪+=⎪
+≤⎨⎪⎪≤⎩
6’ 三种方案：A 型78套，B 型122套； A 型79套，B 型121套；
A 型80套，
B 型120套；……7’
费用最低方案：A 型80套，B 型120套….8’
25、（8分）
（1）……………………………3’
（2）5=
9
4
=
9
P P （甲胜）（乙胜） …6’
所以，此规则不公平。

……8分
26、（8分） （1）作CD ⊥BP 于D. 由sin45°=
CD
CP
,得AB=CD=15221.2≈ 答：居民楼AB 的高度约为21.2m 。

……….4’ （2）由tan60°=152
3,AB BP BP
== 得 BP=56， 所以，AC=BP+PD ≈33.4
答：C 、A 之间的距离约为33.4m 。

……………..8’
27、（8分）
（1）甲家庭在途中停留了 1 h 。

（2）∵乙用了6.5-0.5=6h 行驶了300km ， ∴乙的速度为：300÷6=50（km/h ），
∴y 乙=50（x-0.5）=50x-25．………………….. 2’ ∵甲乙家庭相遇在C ，∴当x=5时，y=225，
即得点C （5，225）．由题意可知点B （2，60）， 设BD 所在直线的解析式为y=kx+b ，
∴BC 所在直线的解析式为y=55x-50．……………………4’ 当y=300时，x=
7011 答：甲家庭到达风景区共花了7011
h 5’ （3）符合约定。

………………………………………………………………..6’ 由题意可知，甲、乙在第一次相遇后，在B 、D 处相距最远。

B 处：y 乙－y 甲=15≤15， D 处：y 甲－y 乙 =
75
11
≤15 ….8’ 28、（9分）
(1) 证等边三角形ABC …………………….1’ 由∠APC=60°，∠ACP=30°
证得：∠PAC=90° …3’
tan ∠APC=
3AC
AP
= 得：AC=3AP ……………………………………….4’
(2) 方法一：
过A 作AD ⊥BC 于D ，交PC 于E ，则AD 过圆心O. 连接OC ，过E 作EF ⊥AC 于点F.则
∠BPC=∠BAC=∠DOC ………..5’ 由 tan ∠BPC=
24
25
,可设 CD=24k ，OC=25k=OA, 得OD=7k 所以，AD=32k ， AC=40k
又因为 CF=CD=24k ，得AF=16k ……7’ 由⊿AEF ∽⊿ACD,得AE=20k ， 所以，ED=12k 所以，tan ∠PAB= tan ∠PCD=
121
242
OD k CD k == ……9’
(2)方法二：（2）过A 点作AD ⊥BC 交BC 于D ，连结OP 交AB 于E ，如图， ∵AB=AC ，∴AD 平分BC ，∴点O 在AD 上， 连结OB ，则∠BOD=∠BAC ， ∵∠BPC=∠BAC ， ∴sin ∠BOD=sin ∠BPC=
2425BD
OE
=
， 设OB=25x ，则BD=24x ，∴OD=227,OB BD x += 在Rt △ABD 中，AD=25x+7x=32x ，BD=24x ， ∴AB=2240,AD BD x += ∵点P 是的中点 ， ∴OP 垂直平分AB ，
∴AE=1/2AB=20x ，∠AEP=∠AEO=90°，
在Rt △AEO 中，OE=
2215,AO AE x -= ∴PE=OP-OE=25x-15x=10x ，
在Rt △APE 中，tan ∠PAE=101202
PE x AE x ==， 即tan ∠PAB 的值为1
2
29、（12分）解：（1）∵C （0，1），OD =OC ，∴D 点坐标为（1，0）．……..…..1’ 设直线CD 的解析式为y =kx +b （k ≠0）， 将C （0，1），D （1，0）代入得：
， 解得：b =1，k =﹣1，
∴直线CD 的解析式为：y =﹣x +1． …………………………..3’ （2）设抛物线的解析式为y =a （x ﹣2）2+3， 将C （0，1）代入得：1=a ×（﹣2）2+3，解得a =．
∴y =
（x ﹣2）2+3=
x 2+2x +1． ………………………………..5’
（3）证明：由题意可知，∠ECD =45°，
∵OC =OD ，且OC ⊥OD ，∴△OCD 为等腰直角三角形，∠ODC =45°， ∴∠ECD =∠ODC ，∴CE ∥x 轴，则点C 、E 关于对称轴（直线x =2）对称， ∴点E 的坐标为（4，1）． …………………….6’ 如答图①所示，设对称轴（直线x =2）与CE 交于点M ，则M （2，1），
∴ME =CM =QM =2，∴△QME 与△QMC 均为等腰直角三角形，∴∠QEC =∠QCE =45°． 又∵△OCD 为等腰直角三角形，∴∠ODC =∠OCD =45°， ∴∠QEC =∠QCE =∠ODC =∠OCD =45°，
∴△CEQ ∽△CDO ． …………………8’. （4）存在． ………….9’
如答图②所示，作点C 关于直线QE 的对称点C ′，作点C 关于x 轴的对称点C ″，连接C ′C ″，交OD 于点F ，交QE 于点P ，则△PCF 即为符合题意的周长最小的三角形，由轴
对称的性质可知，△PCF的周长等于线段C′C″的长度．
（证明如下：不妨在线段OD上取异于点F的任一点F′，在线段QE上取异于点P的任一点P′，连接F′C″，F′P′，P′C′．由轴对称的性质可知，△P′CF′的周长=F′C″+F′P′+P′C′；而F′C″+F′P′+P′C′是点C′，C″之间的折线段，由两点之间线段最短可知：F′C″+F′P′+P′C′＞C′C″，即△P′CF′的周长大于△PCE的周长．）
如答图③所示，连接C′E，
∵C，C′关于直线QE对称，△QCE为等腰直角三角形，
∴△QC′E为等腰直角三角形，∴△CEC′为等腰直角三角形，∴点C′的坐标为（4，5）；∵C，C″关于x轴对称，∴点C″的坐标为（0，﹣1）．
过点C′作C′N⊥y轴于点N，则NC′=4，NC″=4+1+1=6，
在Rt△C′NC″中，由勾股定理得：C′C″===．
综上所述，在P点和F点移动过程中，△PCF的周长存在最小值，最小值为．…..12’
11 / 11。