第17讲一元一次方程设元法

第8讲列方程解应用题一一设元的技巧
【知识要点】
恰当地设元是列方程解应用题的关键步骤之一，设什么为元，需要根据具体
问题的条件来确定.
对未知元的选择，有时可将要求的量设为未知元（即问什么设什么），称此为直接设元；有时需要将要求的量以外的其他量设为未知元（即所设的不是所求的，则更易找出符合题意的数量关系），称此为间接设元；有些应用题中隐含一些未知的常量，这些量对于求解无直接联系，但如果不指明这些量的存在，则难求其解，因此需把这些未知的常量设为参数，以便建立等量关系，称此为辅助设元.
列方程解应用题又一关键是：找寻能够表示应用题全部意义的相等关系，找
寻相等关系的基本方法有：
（1）运用基本公式找寻相等关系；（2）从关键词中找寻基本关系；（3）运用不变
量找寻相等关系；⑷对一种“量”从不同的角度进行表述（即计算两次），得到相
等关系.
【例1】如图，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色
块图，由6个不同颜色的正方形组成，已知中间最小的一个正
方形的边长为1,那么这个长方形色块图的面积为_________
思路点拨要求长方形的面积需求出务正方形的边长, 为便于求出长方形长与宽，故不宜直接设元，由于6个正方形边长有一定的依存关系，所以，可以从间接设某个正方形边长入手.
【例2】一只小船从甲港到乙港逆流航行需2小时，水流速度增加一倍后，再从甲港到乙港航行需3小时，水流速度增加后，从乙港返回甲港需航行（）•
A . 0.5小时
B . 1小时C. 1.,2小时D. 1.5小时
思路点拨要求从乙港返回甲港所需的时间，需求甲、乙两港的距离及顺
水速度，考虑增设辅助未知数.
【例3】某音乐厅月初决定在暑假期间举办学生专场音乐会，入场券分为
2
团体票和零售票，其中团体票占总票数的-，若提前购票，则给予不同程度的优
3
惠，在五月份内，团体票每张12元，共售出团体票数的3;零售票每张16元,
5
共售出零售票数的一半，如果在六月份内，团体票按每张16元出售，并计划在
六月份内售出全部余票，那么零售票应按每张多少元定价才能使这两个月的票款收入持平？
思路点拨票款与票数、票价有关，既要用字母表示六月份零售价，又要
用字母表示总票数.
【例4】某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了6.4%,使得利润增加了8个百分点，求经销这种商品原来的利润率.
思路点拨因售出价=进货价X（1 +利润率），故还需设出进货价，利用售出价不变，辅助建立方程.
【例5】 有一片牧场，草每天都在匀速地生长（即草每天增长的量相等）, 如果放牧24头牛，则6天吃完牧草；如果放牧21头牛，则8天吃完牧草.设每 头牛每天吃草的量是相等的，问：
（1） 如果放牧16头牛，几天可以吃完牧草？
（2） 要使牧草永远吃不完，至多放牧几头牛？
思路点拨 需要考虑草每天的增长量、每头牛每天的吃草量及牧场原有的草 量之间的关系，故需增设一些辅助未知数，便于把这些关系表示出来.
【初试锋芒】
1 .一个6位数2abcde 的3倍等于abcde9，则这个6位数等于
2. 有人问一位老师：他教的班有多少学生，老师说：“一半学生在学数学，四分 之一的学生在学音乐，七分之一的学生在念外语，还剩不足六位学生正在操场踢 足球.”则这个“特长班”共有学生—人.
3. 一轮船从甲地到乙地顺流行驶需 4小时，从乙地到甲地逆流行驶需 6小时, 有一木筏由甲地漂流至乙地，需 —小时.
4. 某种产品是由A 种原料x 千克、B 种原料y 千克混合而成，其中A 种原料每 千克50元，B 种原料每千克40元，后来调价，A 种原料价格上涨10%, B 种原
料价格减少15%，经核算产品价格可保持不变，则 x:y 的值是（）.
5. 某城市按以下规定收取每月煤气费： 用煤气如果不超过60立方米，按每立方 米0.8元收费；如果超过60立方米，超过部分按每立方米1.2元收费，已知某用 户4月份的煤气费平均每立方米0.88元，那么，4月份这位用户应交煤气费（）.
A . 60 元
B . 66 元
C . 75 元
D . 78 元
6 •为使某项工程提前20天完成任务，需将原定工作效率提高 25%，则原计划 完成这项工程需要 天.
7 •某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过 10 立方米的，按每立方米m 元水费收费；用水超过10立方米的，超过部分加倍收 费•某
B.-
C. § 55
34
职工某月缴水费16m，则该职工这个月实际用水为( )立方米.
A. 13 B . 14 C. 18 D. 26
8•某种商品若按标价的八折出售，可获利20%，若按原标价出售，可获利().
A. 25%
B. 40%
C. 50%
D. 66.7%
9.某企业生产一种产品，每件成本价是400元，销售价为510元，本季度销售了m件.为进一步扩大市场，该企业决定在降低销售价的同时降低生产成本，经过市场调研，预测下季度这种产品每件销售价降低4%,销售量将提高Io %，
要使销售利润保持不变，该产品每件的成本价应降低多少元？
10.如图，几块大小不等的正方形纸片A、
B、，，，1，无重叠地铺满了一块长
方形.已知正方形纸片E的边长为7,求其余务正方形的边长.
11.某水库共有6个相同的泄洪闸，在无上游洪水注入的情况下，打开一个水闸泄洪使水库水位以a米/时匀速下降.某汛期上游的洪水在未开泄洪闸的情况下使水库水位以b米/时匀速上升，当水库水位超警戒线八米时开始泄洪.
(1)如果打开n个水闸泄洪x小时，写出表示此时相对于警戒线的水面高度的代数式；
(2)经考察测算，如果只打开一个泄洪闸，则需30个小时水位才能降至警戒线; 如果同时打开两个泄洪闸，则需10个小时水位才能降至警戒线.问该水库能否在3个小时内使水位降至警戒线？
12.一批货物准备运往某地，有甲、乙、丙三辆卡车可雇用•已知甲、乙、丙三辆车每次运货量不变，且甲、乙两车单独运这批货物分别用2a次、a次船运完; 若甲、丙两车合运相同次数运完这批货物时，甲车共运了180吨，若乙、丙两车
合运相同次数运完这批货物时，乙车共运了270吨•问：
（1）乙车每次所运货物量是甲车每次所运货物量的几倍？
（2）现甲、乙、丙合运相同次数把这批货物运完时，货主应付车主运费各多少元？（按每运1吨运费20元计算）
【课外巩固】
1•从两块分别重10千克和15千克且含铜的百分比不同的合金上各切下重量相等的一块，再把切下的每一块与另一块切后剩余的部分合在一起，熔炼后两者含
铜的百分比恰好相等，贝U切下的一块重量是（）.
A. 5千克 B . 6千克C. 7千克 D . 8千克2 .完成某项工程，甲、乙合做要2天，乙、丙合做要4天，丙、甲合做要2.4 天，则甲单独完成此项工程需要的天数是（）.
A. 2.8
B. 3
C. 6
D. 12
3.某人购买钢笔和圆珠笔各若干支，钢笔的价格是圆珠笔价格的2倍，付款时，发现所买两种笔的数量颠倒了，因此，比计划支出增加了50%，则此人原计划购买钢笔与圆珠笔数量的比为______________ .
4 .电影胶片绕在盘上，空盘的盘心直径为60毫米.现有厚度为0.15毫米的胶片，它紧绕在盘上共有600圈，那么这盘胶片的总长度约为______ 米（n -3.14）.
5.某同学想用5个边长不等的正方形，拼成如图所示的正方形，请问该同学的想法能实现吗？如果能实现，试求这5个正方形的边长；如果不能，请说明理由.
6.山脚下有一池塘，山泉以固定的流量（即单位时间里流人池中的水量相同）不停地向池塘内流淌，现池塘中有一定深度的水，若用一台A型抽水机则1小时
后正好能把池塘中的水抽完，若用两台A型抽水机则20分钟正好把池塘中的水抽完，问若用三台A型抽水机同时抽，则需要多长时间恰好把池塘中的水抽完?
回列方禅解应屈溜——at元的技巧
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【学力训练】
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