广东省东莞市2019-2020学年高二上学期期末数学试题

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广东省东莞市2019-2020学年高二上学期期末数学试题
试卷副标题
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题)
请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题
1．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且2,45,120b B C ==︒=︒，则边c =（ ） A
B C ．2
D
2．已知实数,x y 满足0
02x y x y ≥⎧⎪
≥⎨⎪+≤⎩
，则目标函数z x
y =-的最大值是（ ）
A ．2
B ．1
C ．1
-
D ．2-
3．糖水溶液（不饱和）的浓度计算公式为()b c a b a =
>糖的质量克
糖水的质量克
，向糖水（不饱和）
中再加入m 克糖，那么糖水（不饱和）将变得更甜，则反应这一事实的不等关系为（ ） A ．
b b m
a a m
+>
+ B ．
b b m
a a m
+<
+ C ．
b b m
a a
+>
D ．
b b m
a a
+<
4．已知双曲线()22
22 1 0,0x y a b a b
-=>>的实轴长是虚轴长的两倍，则它的渐近线方程为
（ ） A ．12
y x =±
B ．y =
C ．2y x =±
D ．y =
5．已知数列{}n a 是等差数列，且313650,19a a a +==，则2a =（ ） A ．3
B ．4
C ．7
D ．8
6．已知a,b 为实数，则“02ab <<”是“2
a b
<
”的（ ）
…
…
订
…
…
…
…
○
线
※
※
内
※
※
答
※
※
题
※
※
…
…
订
…
…
…
…
○
必要条件
7．中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不
为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”.其大意
为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天
的一半，走了6天后到达目的地”，则该人第4天走的路程为（）
A．96里B．48里C．24里D．12里
8．如图，已知三棱锥O ABC
-，点,
M N分别是,
OA BC的中点，点G为线段MN上
一点，且2
MG GN
=，若记,,
OA a OB b OC c
===
u u u r r u u u r r u u u r r
,则OG=
u u u r
（）
A．
111
333
a b c
++
r r r
B．
111
336
a b c
++
r r r
C．
111
633
a b c
++
r r r
D．
111
663
a b c
++
r r r
9．已知实数0,0,
a b
>>且
1
22
b
a
+=，则
b
a
的最大值为（）
A．
4
9
B．
1
2
C．
2
3
D．
2
10．已知1F，2F为双曲线
22
:1
169
x y
C-=的左、右焦点，P为C上异于顶点的点．直
线l分别与1
PF，
2
PF为直径的圆相切于A，B两点，则||(
AB=)
A B．3 C．4 D．5
二、多选题
11．四边形ABCD内接于圆O，5,3,60
AB CD AD BCD
===∠=o，下列结论正确
的有（）
A．四边形ABCD为梯形B．圆O的直径为7
…订…………○…_____考号：___________
…订…………○…C ．四边形ABCD 的面积为4
D ．ABD ∆的三边长度可以构成一个等差
数列
12的椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>，1212,,,A A B B 为顶点，12,F F 为焦点，P 为椭圆上一点，
满足下列条件能使椭圆C 为“黄金椭圆”的有（ ）
A ．111222||,||,||A F F F F A 为等比数列
B ．11290F B A ∠=︒
C ．1PF x ⊥ 轴，且21//PO A B
D ．四边形1221A B A B 的内切圆过焦点12,F F
第II 卷（非选择题)
请点击修改第II 卷的文字说明 三、填空题
13．抛物线2
2
x y =
上的一点M 到焦点的距离为2，则点M 的纵坐标．．．是________. 14．如图，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直
线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1DB u u u u r 的坐标为(2,3,4)，则1AC uuu r
的坐标为
_________.
…
…
线
…
…
…
…
○
…
…
…
…
线
…
…
…
…
○
…
…
15．已知命题“[1,3],
x
∀∈不等式240
x ax
-+≥”为真命题，则a的取值范围为_______.
16．斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多斐波
那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.它是这
样一个数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55……在数学上，斐波那契数列以如
下递推的方法定义：11
a=，
2
1
a=，*
12
(3,)
n n n
a a a n n N
--
=+≥∈，记其前n项和
为n S，设2019
a t=（t为常数），则
2017201620152014
S S S S
+--=______（用t表示），20172019
S a
-=______(用常数表示)
四、解答题
17．已知2
:60,
p x x
--≥()
22
:210
q x m x m m
-+++≤.
（1）若2,
m=且p q
∧为真，求实数x的取值范围；
（2）若q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围.
18．已知等比数列{}n a满足24
a=，
34
128
a a=，数列{}
n n
a b是首项为1公差为1的等
差数列.
（1）求数列{}n a和{}n b的通项公式；
（2）求数列{}n b的前n项和n S.
19．在ABC
∆中，内角,,
A B C的对边分别为,,
a b c，且sin sin()sin
b B a A b
c C
=-+.
（1）求角A的大小.
（2）若BC边上的中线AD=
ABC
S
∆
=求ABC
∆的周长.
20．如图，已知斜三棱柱111
ABC A B C
-中，90,2
BCA AC BC
∠=︒==，
1
A在底面
……线…………○……线…………○ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，且1A D =.
（1）求证：11A B AC ⊥；
（2）求直线1A B 与平面111A B C 所成角的正弦值；
（3）在线段1C C 上是否存在点M ，使得二面角111M A B C --的平面角为90︒？若存在，确定点M 的位置；若不存在，请说明理由.
21．在数学建模课上，老师给大家带来了一则新闻：“2019年8月16日上午，423米的东莞第一高楼民盈国贸中心2号楼（以下简称“国贸中心”）正式封顶，随着最后一方混凝土浇筑到位，标志着东莞最高楼纪录诞生，由东莞本地航母级企业民盈集团刷新了东莞天际线，比之前的东莞第一高楼台商大厦高出134米.”在同学们的惊叹中，老师提出了问题：国贸中心真有这么高吗？我们能否运用所学知识测量验证一下？一周后，两个兴趣小组分享了他们各自的测量方案.
第一小组采用的是“两次测角法”：他们在国贸中心隔壁的会展中心广场上的A 点测得国贸中心顶部的仰角为α，正对国贸中心前进了s 米后，到达B 点，在B 点测得国贸中心顶部的仰角为β，然后计算出国贸中心的高度（如图）.
第二小组采用的是“镜面反射法”：在国贸中心后面的新世纪豪园一幢11层楼（与国贸中心处于同一水平面，每层约3米）楼顶天台上，进行两个操作步骤：①将平面镜置于天台地面上，人后退至从镜中能看到国贸大厦的顶部位置，测量出人与镜子的距离为1a 米；②正对国贸中心，将镜子前移a 米，重复①中的操作，测量出人与镜子的距离为2a 米.然后计算出国贸中心的高度（如图）.
实际操作中，第一小组测得90s =米，42α=︒，48β=︒，最终算得国贸中心高度为
1H ；第二小组测得1 1.45a =米，12a =米，
2 1.4a =米，最终算得国贸中心高度为2H ；假设他们测量者的“眼高h ”都为1.6米.
……线…………○…………线…………○……
（1）请你用所学知识帮两个小组完成计算（参考数据：tan 420.9︒≈，
1
tan 48tan 42︒=
︒
,答案保留整数结果）；
（2）你认为哪个小组的方案更好，说出你的理由.
22．设圆222150x y x +--=的圆心为M ，直线l 过点(1,0)N -且与x 轴不重合，l 交圆M 于,A B 两点，过点N 作AM 的平行线交BM 于点C . （1）证明CM CN +为定值,并写出点C 的轨迹方程；
（2）设点C 的轨迹为曲线E ，直线1:l y kx =与曲线E 交于,P Q 两点，点R 为椭圆C 上一点，若PQR ∆是以PQ 为底边的等腰三角形，求PQR ∆面积的最小值.
参考答案
1．D 【解析】 【分析】
由已知利用正弦定理可求c ． 【详解】
解：2,45,120b B C ==︒=︒Q 由正弦定理可得
sin sin b c
B C
=
2
sin 45sin120c ∴=︒︒
解得c =故选：D 【点睛】
本题考查利用正弦定理解三角形，属于基础题. 2．A 【解析】 【分析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案． 【详解】
解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示
由z x y =-可得y x z =-，则z -表示直线z x y =-在y 轴上的截距，截距越小，z 越大 由0
2
y x y =⎧⎨
+=⎩可得(2,0)C ，此时z 最大为2
故选：A ．
【点睛】
本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，属于中档题．3．B
【解析】
【分析】
依题意得到不等关系，即可得解.
【详解】
解：依题意，向糖水（不饱和）中再加入m克糖，此时糖水的浓度为b m
a m
+
+
，根据糖水更
甜，可得b b m a a m
+ <
+
故选：B
【点睛】
本题考查利用不等式表示不等关系，属于基础题. 4．A
【解析】
【分析】
由焦点在x轴，故渐近线为
b
y x
a
=±，实轴长是虚轴长的两倍，得到a、b的关系，即可
得到渐近线方程. 【详解】
解：()22
22 1 0,0x y a b a b
-=>>Q
实轴长为2a ，虚轴长为2b ，渐近线为b
y x a
=± 因为实轴长是虚轴长的两倍，即24a b =可得
12
b a = 1
2
y x ∴=±
故选：A 【点睛】
本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题. 5．C 【解析】 【分析】
设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，根据条件列出方程组，解得. 【详解】
解：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ； 313650,19a a a +==Q
11
21450
519a d a d +=⎧∴⎨+=⎩解得134d a =⎧∴⎨=⎩
21347a a d ∴=+=+=
故选：C 【点睛】
本题考查等差数列的通项公式的基本量的计算，属于基础题. 6．D 【解析】 【分析】
根据不等式的关系，利用充分条件和必要条件的定义进行判断． 【详解】
解：若1a =-，12b =-
，满足01ab <<，但2
a b
<不成立，即充分性不成立．
若0a =且0b >，满足2
a b
<，但02ab <<不成立，即必要性不成立． 故“02ab <<”是“2
a b
<”的既不充分也不必要条件， 故选：D ． 【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键，属于基础题． 7．C 【解析】 【分析】
由题意可得：此人每天所走的路形成等比数列{}n a ，其中1
2
q =，6378S =．利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出． 【详解】
解：由题意可得：此人每天所走的路形成等比数列{}n a ，其中1
2
q =
，6378S =． 则
161(1)
2378
112
a -=-，解得1192a =．
3
3
141192242a a q ⎛⎫
∴==⨯= ⎪⎝⎭
故选：C ． 【点睛】
本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 8．C 【解析】 【分析】
根据所给的图形，在图形中看出要求的向量可以怎么得到，用减法把向量先变化成已知向量的差的形式，再利用向量的加法法则，得到结果． 【详解】
Q 1()2ON OB OC =+u u u r u u u r u u u r ，12
OM OA =u u u u r u u u r ．∴1()2MN ON OM OC OB OA =-=+-u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r
∴2121111111()3
2
32
3
3
6
6
3
3
OG OM MN OA OC OB OA OC OB OA a b c =+=+⨯+-=++=++u u u r
u u u u r
u u u u
r u u u r u u u
r u u u r
u u u r
u u u
r u u u r u u u r r r r ，
故选：C ． 【点睛】
本题考查空间向量的加减法，本题解题的关键是在已知图形中尽量的应用几何体的已知棱表示要求的结果，属于基础题． 9．B 【解析】 【分析】 根据122b a
+=得到122b a =-即可将b
a 转化为关于
b 的二次式，即可求出其最大值.
【详解】 解：1
22b a
+=Q
1
22b a ∴=- 0,0,a b >>Q
01b ∴<<
()2
2112222222b b b b b a b ⎛
⎫∴==-+= ⎪⎝
⎭---+ 12b ∴=
时max 12
b a ⎛⎫
= ⎪
⎝⎭ 故选：B 【点睛】
本题考查不等式的性质，以及二次函数的最值，属于基础题. 10．B 【解析】 【分析】
设1PF ，2PF 的中点分别为M ，N ，则NM c =，121
()2
AM NB PF PF a -=-=，可得
3AB b =
【详解】
解：如图，设1PF ，2PF 的中点分别为M ，N ， 则NM c =，121
()2
AM NB PF PF a -=-=，
3AB b ∴===
故选：B ． 【点睛】
本题考查了圆的性质，充分应用双曲线的定义是解题的关键，属于中档题． 11．ACD 【解析】 【分析】
利用余弦定理，结合面积公式，分析四个选项，即可得出结论. 【详解】
解：5,3,60AB CD AD BCD ===∠=o
Q
120BAD ∴∠=o
可证BAD CDA ∆≅∆
120BAD CDA ∴∠=∠=︒ 180BCD CDA ∴∠+∠=︒ //BC DA ∴
显然AB 不平行CD
即四边形ABCD 为梯形，故A 正确；
在BAD ∆中由余弦定理可得2222cos BD AB AD AB AD BAD =+-⋅∠
22253253cos12049BD ∴=+-⨯⨯︒=
7BD ∴=
∴圆的直径不可能是7，故B 错误；
在BCD ∆中由余弦定理可得2222cos BD CB CD CB CD BCD =+-⋅∠
2227525cos60CB CB ∴=+-⨯⨯︒解得8CB =或3CB =-（舍去）
11sin1205322BAD S AB AD ∆∴=
⋅︒=⨯⨯=
11sin 605822BCD S CB CD ∆∴=
⋅︒=⨯⨯=
ABCD BCD BAD S S S ∆∆∴=+=
+=
故C 正确；
在ABD ∆中，3AD =，5AB =，7BD =，满足2AD BD AB +=
ABD ∴∆的三边长度可以构成一个等差数列，故D 正确；
故选：ACD
【点睛】
本题考查余弦定理、三角形面积公式的应用，等差数列的概念的理解，属于中档题. 12．BD 【解析】 【分析】
利用椭圆的简单性质分别求出离心率，再利用黄金椭圆的定义求解． 【详解】
解：22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>Q
()()()()1212,0,,0,0,,0,A a A a B b B b ∴--，()()12,0,,0F c F c -
对于A ：111222||,||,||A F F F F A 为等比数列
则2
112212||||||A F F A F F ⋅=
()()22
2a c c ∴-=
2a c c ∴-=
1
3
e ∴=
不满足条件，故A 错误； 对于B ：11290F B A ∠=︒
222
211112A F B F B A ∴=+ ()2
222a c a a b ∴+=++
220c ac a ∴+-=即210e e ∴+-=
解得12e =
或1
2
e =（舍去）满足条件 故B 正确；
对于C ：1PF x ⊥ 轴，且21//PO A B
2,b P c a ⎛⎫
∴- ⎪⎝
⎭
21PO
A B k k =Q 即2b c a
b a =--解得b
c =
222a b c =+Q
c e a ∴=
==
C 错误； 对于
D ：四边形1221A B A B 的内切圆过焦点12,F F 即四边形1221A B A B 的内切圆的半径为c ，
ab ∴=422430c a c a ∴-+=
42310e e ∴-+=解得232e +=
（舍去）或232
e =
e ∴=
故D 正确 故选：BD 【点睛】
本题考查椭圆的离心率的计算问题，属于中档题. 13．
15
8
【解析】 【分析】
先求抛物线的准线方程，再根据抛物线的定义，将点M 到焦点的距离为2转化为点M 到准线的距离为2，故可求点M 的纵坐标． 【详解】 解：抛物线2
12
x y =
的准线方程为1
8y =-
设点M 的纵坐标是y ，则
Q 抛物线21
4
x y =
上一点M 到焦点的距离为2 ∴根据抛物线的定义可知，点M 到准线的距离为2 ∴128
y += ∴158
y =
∴点M 的纵坐标是
158
故答案为：158
． 【点睛】
本题以抛物线的标准方程为载体，考查抛物线的定义，解题的关键是将点M 到焦点的距离为2转化为点M 到准线的距离为2. 14．(2,3,4)- 【解析】 【分析】
由1DB u u u u r
的坐标为(2,3,4)，分别求出A 和1C 的坐标，由此能求出结果． 【详解】
解：如图，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点， 过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，
Q 1DB u u u u r
的坐标为(2,3,4)，()2,0,0A ∴，()10,3,4C ，
∴1(2,3,4)AC -=u u u u r
．
故答案为：(2,3,4)-．
【点睛】
本题考查空间向量的坐标的求法，考查空间直角坐标系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于基础题． 15．(,4]-∞ 【解析】 【分析】
令()2
4f x x ax =-+，则对称轴为2
a
x =
，分对称轴在区间之间，区间左边和区间右边三种情况讨论可得. 【详解】
解：令()2
4f x x ax =-+，则对称轴为2
a x =
， 要使[1,3],x ∀∈不等式240x ax -+≥恒成立，即[1,3]x ∀∈，()2
40f x x ax =-+≥ 当12
a x =
≤时()2
1140f a =-+≥解得2a ≤； 当132
a
x <=<时
2
40222a a a f a ⎛⎫⎛⎫
=-⨯+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
解得24a <≤；
当32
a
x =
≥时()233340f a =-+≥解得a ∈∅； 综上可得：(,4]a ∈-∞ 故答案为：(,4]-∞ 【点睛】
本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，属于基础题. 16．t 1- 【解析】 【分析】
依题意由递推公式及n S 计算可得， 【详解】
解：20172016201520142016201720162015S S S S a a a a ==+--+++Q
*12(3,)n n n a a a n n N --=+≥∈Q *12(3,)n n n a a a n n N --=+≥∈
2016201720162015a a a a ∴+++
()()2016201720162015a a a a +++=
20182017a a += 2019a =
2019t a =Q
故2017201620152014S t S S S +--=
()201720192017201720162015201420162015201420142016S a S S S S S S S S S a ∴--+---++===-
201120132008201013S a S a S a =-=-==-L
11a =Q ，21a =，32a =， 13121S a ∴-=-=-
故201720191S a -=- 故答案为：t ；1- 【点睛】
本题考查数列递推公式的应用，属于中档题. 17．（1）{3}（2）(,3][3,)-∞-+∞U 【解析】 【分析】
（1）分别求解一元二次不等式化简p ，q ，然后利用p q ∧为真，取交集求得实数x 的取值范围；
（2）求解一元二次不等式化简q ，结合q 是p 充分不必要条件，可得[,1]
m m +
(][),23,-∞-+∞U ，转化为关于m 的不等式组得答案．
【详解】
解：（1）p ：(3)(2)0x x -+≥解得2x -≤或3x ≥ 当2,m =:q 2560x x -+≤解得 23x ≤≤
p q ∧Q 为真，即,p q 都为真
即23
23x x x ≤-≥⎧⎨
≤≤⎩
或
所以x 的取值范围为{3}
（2）()2
2
:210q x m x m m -+++≤，即()():10q x m x m ---≤
所以:1q m x m ≤≤+， 即:[,1]q m m + 因为q 是p 的充分不必要条件， 所以[,1]m m + (][),23,-∞-+∞U
所以12m +≤-或3m ≥
综上：q 是p 的充分不必要条件时，m 的取值范围为(][),33,-∞-+∞U 【点睛】
本题考查复合命题的真假判断，考查了充分必要条件的判断方法，属于中档题．
18．（1）2n
n a =，2n n n
b =
（2）222
n n
n S +=- 【解析】 【分析】
（1）等比数列{}n a ，设首项为1a ，公比q ，得到关于1a 、q 的方程组，解得1a 、 q ，即可得到数列{}n a 的通项公式，再由数列{}n n a b 是首项为1公差为1的等差数列.得到n n a b n =即可求出{}n b 的通项公式；
（2）由（1）所求{}n b 的通项公式，利用错位相减法求其前n 项和n S . 【详解】
解：（1）因为数列{}n a 是等比数列，故设首项为1a ，公比q
因为24a =，34128a a = 所以2
22128a q a q =g ， 所以3
8q =，解得2q =，所以12a = 所以数列{}n a 的通项公式为2n
n a =
因为{}n n a b 是首项为1公差为1的等差数列 所以1(1)n n b n a n =+-=
因为2n
n a =，所以2n n
n b =
（2）由（1）知2
3
1
11112()3()()22
2
2
n
n S n =++++g g
g L L g 同乘
1
2得： 234+1111111()2()3()()22222
n n S n =++++g
g g L L g
作差得：
23+1111111()()()()222222
n n n S n =++++-L L g 即
+1+111111()()1(1)()22222
n n n n n S n =--=-+g 所以2
22n n
n S +=- 【点睛】
本题考查等差数列和等比数列的通项公式的运用，考查数列的求和方法：错位相减法，同时考查等比数列的求和公式的运用，属于中档题．
19．（1）23
A π
=（2）8+【解析】 【分析】
（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理可求角A 的大小.
（2）由面积公式可得8bc =，再在ABD ∆和ADC ∆中，由余弦定理可得22b c +，最后用完全平方公式可求b c +的值，即可求得三角形的周长. 【详解】
解：（1）由已知sin sin ()sin b B a A b c C =-+ 由正弦定理得：222b a bc c =--
由余弦定理得：2221
cos 22
b c a A bc +-=
=- 在ABC ∆中，因为(0,)A π∈,所以23
A π
=
（2）由1sin 2ABC S bc A ∆=
==8bc =①
由（1）知222b a bc c =--，即2228b c a +=- ②
在ABD ∆中，由余弦定理得：2
22
()2cos 2
2
a
a
c ADB =+-⋅⋅∠
在ADC ∆中，由余弦定理得：222()2cos 2
2a
a b ADC =+-⋅⋅∠ 因为cos cos ADB ADC ∠=-∠，所以2
22
242a b c +=+③ 由①②③，得228,56,8a b c bc =+==
所以b c +====
所以ABC ∆的周长8a b c ++=+【点睛】
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，属于基础题．
20．（1）见解析（23）不存在点M 满足要求.见解析 【解析】
【分析】
（1）作DE AC ⊥交AB 于点E ，分别以1,,DE DC DA 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明11A B AC ⊥；
（2）利用（1）中所建坐标系，求出直线的方向向量和平面111A B C 的一个法向量，则两向量的夹角的余弦值的绝对值即为线与面的夹角的正弦值；
（3）假设存在设1(0,)CM CC λλ==u u u u r u u u u r （01λ≤≤），求出平面11MA B 的一个法向量，
根据0m n ⋅=u r r ，即可求出λ的值，即可得证.
【详解】
证明：（1）作DE AC ⊥交AB 于点E ，分别以1,,DE DC DA 所在直线为,,x y z 轴建系
11(0,1,0),(0,1,0),(2,1,0),A C B A C - 所以，
11(2,1,A B AC ==u u u r u u u u r
110330A B AC ⋅=+-=u u u r u u u u r ，所以11A B AC ⊥
（2）因为111
//A B C ABC 面面，所以面111A B C 的一个法向量为(0,0,1)m =u r
因为1(2,1
,A B =u u u r ，所以1A B m ⋅=u u u r u r 1||A B =u u u r
1cos ,A B m <>==u u u r u r 设线1A B 与平面111A B C 所成角为α
，1sin cos ,4
A B m α=<>=u u u r u r
（3
）不存在，设1(0,)CM CC λλ==u u u u r u u u u r ，（01λ≤≤）
11=(2,2,0)A B AB =u u u u r u u u r
,11(0,1
AM AC CM λ=+=+u u u u r u u u r u u u u r 设面11MA B 的一个法向量为(,,)n x y z =r
有111
·0·0A B n A M n ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u u v v u u u u v v
220(1)0
x y y z λ+=⎧⎪∴⎨++=⎪⎩
x y z =-⎧⎪∴⎨=⎪⎩
1,n ⎛∴=- ⎝r
0m n ∴⋅==u r r ，得1λ=- 所以不存在点M 满足要求.
【点睛】
本题考查了空间位置关系与距离空间角、数量积运算性质、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21．（1）见解析（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）对于第一小组，利用锐角三角函数解答；第二小组利用三角形相似可求；
（2）从测量难易程度以及数据的误差，对比分析.
【详解】
解：（1）第一小组：在Rt BCD ∆中得，tan CD BC β=；在Rt ACD ∆中得，tan CD AC α= 因为AC BC s -=即tan tan CD CD s αβ
-= 得tan tan tan tan s CD αββα⋅=-90426.310.90.9
≈≈-米 1426.3 1.6428H =+≈米
第二小组：MKE PQE ∆∆:,得1a PQ PQ KE EQ MK h
⋅⋅=
= 同理NTF PQF ∆∆:得，2a PQ PQ TF FQ TF h
⋅⋅== 因为EQ FQ a -=得1
2()a a PQ a h -⋅= 所以12ah PQ a a =-=12 1.61.45 1.4
⨯-384=米 所以2311417H PQ =+⨯=米
（2）优点：①测量方法较好理解，普适性强；②计算思路简洁；
不足：①AB 的距离较长，测量要求高，难度大；②角度测量较难精准，容易造成误差；③场地要求较高；
第二组方案
优点：①测量方法有创意（用到镜面成像和相似三角形）；②相对距离短，比较好测量；③只需测量距离，需要的工具少；
不足：①两次放镜子相对距离太短，容易造成误差；②镜面放置较难保持水平，容易造成误差；③如果镜面较大，人眼看镜内物像时，两次不一定都看准镜面上的同一个点，易造成误差；④人与镜子的距离差值较小，测量容易造成误差
【点睛】
本题考查利用所学数学知识建立数学模型解决实际问题，属于基础题.
22．（1）见解析，22
143
x y +=（0y ≠）（2）247 【解析】
【分析】
（1）根据椭圆的定义可判断动点的轨迹为M 、N 为焦点的椭圆，即可求得其轨迹方程.
（2）联立直线与椭圆方程，即可求得OP =，||OR =PQR ∆的面积，再用基本不等式求得面积最小值.
【详解】
解：（1）Q 圆222150x y x +--=可化为22(1)16x y -+=
所以圆心(1,0)M ，半径4MB =
又因为过点N 作AM 的平行线交BM 于点C 所以//AM NC
又因为||||MA MB = 所以BNC BAM NBC ∠=∠=∠ 所以||||CN CB = 所以||42CM CN CM CB MB MN +=+==>=
所以点C 的轨迹为椭圆,由椭圆定义可得点C 的轨迹方程为22
143
x y +=（0y ≠） （2）由（1）可知点C 的轨迹方程为：22
143
x y +=（0y ≠），
直线1:l y kx =与曲线C 交于,P Q 两点, 可知0k ≠，设11(,)P x y 联立22143y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消y 得22(34)12k x += 解得 212221212341234x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩
OP === PQR ∆Q 是以PQ 为底的等腰三角形 RO PQ ∴⊥ 1RO PQ k k ∴=-g 则1RO k k
=-
同理：||OR == 1||||2RPQ S PQ OR ∆∴=g
g 122=g
2=
2RPQ S ∆∴===
247==≥= 当且仅当221k k =
，即1k =±时取等号 min
24()7
RPQ S ∆∴= 【点睛】 本题考查椭圆的定义，直线与椭圆的综合应用，基本不等式的应用，属于难题.。