简单的三角恒等变换暑期补课教案原稿

简单的三角恒等变换（十八）
基础梳理导学
1．半角公式
sin α
2
＝±
1－cosα
2
，cos
α
2
＝±
1＋cosα
2
，
tan α
2
＝±
1－cosα
1＋cosα
，tan
α
2
＝
sinα
1＋cosα
＝
1－cosα
sinα
.
2．求值题常见类型
(1)“给角求值”：所给出的角常常是非特殊角，从表面来看较难，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合和、差、倍、半角公式、和差化积、积化和差公式消去非特殊角转化为特殊角的三角函数而得解．
(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．
(3)“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．
3．三角函数的最值问题
(1)用三角方法求三角函数的最值常见的函数形式
①y＝a sin x＋b cos x＝a2＋b2sin(x＋φ)，其中cosφ＝
a
a2＋b2
，sinφ＝
b
a2＋b2
.
②y＝a sin2x＋b sin x cos x＋c cos2x可先降次，整理转化为上一种形式．
③y＝a sin x＋b
c sin x＋d⎝
⎛⎭⎪⎫
或y＝
a cos x＋b
c cos x＋d可转化为只有分母含sin
x(或cos x)的函数式或sin x
＝f(y)(cos x＝f(y))的形式，由正、余弦函数的有界性求解．
(2)用代数方法求三角函数的最值常见的函数形式
①y＝a sin2x＋b cos x＋c可转化为cos x的二次函数式．
②y＝a sin x＋
c
b sin x
(a，b，c>0)，令sin x＝t，则转化为求y＝at＋
c
bt
(－1≤t≤1)的
最值，一般可用基本不等式或单调性求解．
高考主要考查可化一角一函形式的和复合二次型．
疑难误区点拨警示
计算角的三角函数值时，一般要先考虑角的取值范围，使所计算的函数在该范围内单调，以避免讨论，注意发掘隐含的限制角的范围的条件，避免因对隐含条件的疏忽致误．思想方法技巧
一、函数与方程的思想
[例1] 已知sin x＋sin y＝1
3
，求sin x－cos2y的最大、最小值．
二、角的构造技巧与公式的灵活运用
[例2] 求sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°的值．
考点典例讲练
★倍角公式
[例1] 3－sin70°
2－cos210°
＝( )
C．2
(文)函数f (x )＝cos2x －2sin x 的最小值和最大值分别为( ) A ．－3,1 B ．－2,2 C ．－3，3
2
D ．－2，3
2
(理)(2012·河南五市联考)计算tan(π
4
＋α)·cos2α
2cos 2(π
4
－α)
的值为( )
A ．－2
B ．2
C ．－1
D ．1
[例2] (文)已知α是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－4
3
，则tan α＝________.
(理)若tan(α＋3π4)＝2014，则1
cos2α
＋tan2α＝________.
(2011·山东日照模拟)已知0<α<π2<β<π，tan α2＝12，cos(β－α)＝2
10
.
(1)求sin α的值；(2)求β的值．
★半角公式
[例3] 设5π2<θ<3π，cos θ＝a ，则sin θ
2
等于( ) C ．－
1＋a
2
D ．－
1－a
2
已知π<α<2π，则cos α
2等于( )
A ．－
1－cos α
2
C ．－1＋cos α
2
★三角函数的给值求值(角)问题
[例4] 已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－1
7
，求2α－β的值．
(2012·四川文，18)已知函数f (x )＝cos 2x 2－sin x 2cos x 2－12
.
(1)求函数f (x )的最小正周期和值域；
(2)若f (α)＝32
10
，求sin2α的值．
★化简、求值与证明
[例5] (文)
1
2sin170°
－2sin70°的值等于( )
A ．1
B ．－1 D
．－1
2
(理)求值tan20°＋4sin20°＝________.
求值：2sin20°＋cos10°＋tan20°sin10°.
★三角函数的综合问题
[例6] (文)已知函数f (x )＝a sin x ·cos x －3a cos 2
x ＋
3
2
a ＋
b ，(a >0)． (1)x ∈R ，写出函数的单调递减区间；
(2)设x ∈[0，π
2
]，f (x )的最小值是－2，最大值是3，求实数a ，b 的值．
(理)(2011·天津文)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知B ＝C,2b ＝3a .
(1)求cos A 的值；
(2)求cos(2A ＋π
4
)的值．
课堂巩固训练
一、选择题
1．已知cos α＋sin α＝－17
25
，α为第四象限角，则tan α等于( )
C ．－247
D ．－7
24
2．(文)(2011·石家庄模拟)若α，β∈(0，π2)，cos(α－β2)＝32，sin(α
2－β)＝－
1
2
，则cos(α＋β)的值等于( )
A ．－
32 B ．－1
2
(理)若cos α＝－4
5，α是第三象限的角，则1＋tan
α
21－tan
α
2＝( )
A ．－1
2 C ．2 D ．－
2
3．(文)已知sin x －sin y ＝－23，cos x －cos y ＝2
3
，且x ，y 为锐角，则sin(x ＋y )的值是( )
A ．1
B ．－1
(理)已知sin x －sin y ＝－23，cos x －cos y ＝2
3，且x 、y 为锐角，则tan(x －y )的值是( )
B ．－2145
C ．±2145
D ．±514
28
简单的三角恒等变换
基础巩固强化
1.(文)已知等腰三角形顶角的余弦值等于4
5，则这个三角形底角的正弦值为( )
B ．－
10
10
D ．－310
10
(理)(2011·天津)函数f (x )＝cos 2
x ＋3sin x cos x 在区间[－π4，π
3
]上的最大值为( )
C ．1
2．(文)已知tan α＝－2，则14sin 2α＋25
cos 2
α的值是( )
(理)(2012·东北三省)若点P (cos α，sin α)在直线y ＝－2x 上，则sin2α＋2cos2α＝( )
A ．－145
B ．－7
5
C ．－2
3．(2012·大纲全国文)若函数f (x )＝sin x ＋φ
3
(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )
4．(2012·北京海淀期中练习)已知关于x 的方程x 2
－x cos A ·cos B ＋2sin 2
C
2
＝0的两根之
和等于两根之积的一半，则△ABC 一定是( )
A ．直角三角形
B ．等边三角形
C ．等腰三角形
D ．钝角三角形
5．(文)(2011·陕西)设α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α的值为( )
A ．2 C ．1
(理)已知cos(α－β)＝35，sin β＝－513，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，0，则sin α
＝( )
C ．－3365
D ．－63
65
6．(文)设5π2<θ<3π，且|cos θ|＝15，那么sin θ
2
的值为( )
B ．－
105 C ．－15
5
(理)已知tan α
2
＝3，则cos α＝( )
B ．－45 D ．－3
5
7．(文)在△ABC 中，a cos 2C 2＋c cos 2A 2＝32
b ，则( )
A ．a ，b ，c 依次成等差数列
B ．b ，a ，c 依次成等差数列
C ．a ，c ，b 依次成等差数列
D ．a ，b ，c 既成等差数列，也成等比数列
8．已知sin α＝35，cos β＝35，其中α，β∈(0，π
2
)，则α＋β＝________.
9．已知：sin α＋cos α＝15，π<α<2π，则cos α
2
＝________.
能力拓展提升
10．(文)(2011·天津)函数f (x )＝cos 2
x ＋3sin x cos x 在区间[－π4，π3
]上的最大值为
( )
C ．1 (理)在△ABC 中，若sin A sin B ＝cos 2
C
2
，则△ABC 是( )
A ．等边三角形
B ．等腰三角形
C ．直角三角形
D ．既非等腰又非直角的三角形
11．已知sin θ＋cos θ＝713，且π
2
<θ<π，则cos2θ的值是________．
12．(2012·河北保定模拟)设α为△ABC 的内角，且tan α＝－3
4
，则sin2α的值为
________．
13．(文)已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2
x －1(x ∈R)．
(1)求函数f (x )的最小正周期及在区间[0，π
2
]上的最大值和最小值．
(2)若f (x 0)＝65，x 0∈[π4，π
2
]，求cos2x 0的值．
(理)已知向量m ＝⎝
⎛⎭⎪⎫3cos x 4，cos x 4，n ＝sin x 4，cos x
4.
(1)若m ·n ＝
3＋12，求cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3的值；
(2)记f (x )＝m ·n －1
2
，在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且满足(2a
－c )cos B ＝b cos C ，求函数f (A )的取值范围．
14．(文)(2012·湖南文，18)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0,0<φ<π
2
)的
部分图象如图所示．
(1)求函数f (x )的解析式；
(2)求函数g (x )＝f (x －π12)－f (x ＋π
12
)的单调递增区间．
(理)(2012·乌鲁木齐地区二诊)已知函数f (x )＝sin x (1＋sin x )＋cos 2
x . (1)求f (x )的最小正周期；
(2)求f (x )在[－
π6，2π
3
]上的最大值和最小值．
1．已知cos 2
α－cos 2
β＝a ，那么sin(α＋β)· sin(α－β)等于( )
A ．－a
2
C ．－a
D ．a
2．若0<α<β<
π
2
，则下列不等式中不正确的是( ) A ．sin α＋sin β<α＋β B ．α＋sin β<sin α＋β C ．α·sin α<β·sin β D. β·sin α<α·sin β
3．若5π2≤α≤7π
2，则1＋sin α＋1－sin α等于( )
A ．－2cos
α
2
B ．2cos
α
2
C ．－
2sin
α
2
D ．2sin
α
2
＋21－sin8的化简结果是( )
A ．4cos4－2sin4
B ．2sin4
C ．2sin4－4cos4
D ．－2sin4。