高中数学第一章常用逻辑用语1.3充分条件必要条件与命题的四种形式1.3.1推出与充分条件必要条件课堂

1.3.1推出与充分条件、必要条件
课堂探究
探究一充分条件、必要条件的判断
要判断p是q的充分条件、必要条件首先应分清条件p和结论q，然后按下面的一般步骤进行判断．
(1)判定“若p，则q”的真假．
(2)尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件．
(3)尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件．
【典型例题1】在下列各题中，判断p是q的什么条件．
(1)p：x－2＝0，q：(x－2)(x－3)＝0；
(2)p：m＜－2，q：方程x2－x－m＝0无实根；
(3)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等．
思路分析：解决此类问题就是要判定命题“如果p，则q”和命题“如果q，则p”的真假．
解：(1)因为x－2＝0(x－2)(x－3)＝0，
而(x－2)(x－3)＝0 x－2＝0，
所以p是q的充分不必要条件．
(2)因为m＜－2方程x2－x－m＝0无实根，
而方程x2－x－m＝0无实根m＜－2，
所以p是q的充分不必要条件．
(3)因为p q，
而q p，
所以p是q的充分不必要条件．
探究二利用充分条件、必要条件求参数的范围
解答有关利用充分条件、必要条件求参数范围问题的关键是将充分条件、必要条件等价转
化为集合之间的关系，利用集合之间的包含关系来解决．
【典型例题2】已知p：x2－8x－20＜0，q：x2－2x＋1－m2＜0(m＞0)，若q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
思路分析：根据q是p的充分不必要条件，找出p和q对应的集合间的关系，列出不等式组，求出m的范围．
解：令命题p对应的集合为A，
命题q对应的集合为B，
由x2－8x－20＜0，
得(x－10)(x＋2)＜0，
解得－2＜x＜10，
所以A＝{x|－2＜x＜10}．
又由x2－2x＋1－m2＜0，
得[x－(1＋m)][x－(1－m)]＜0，
因为m＞0，
所以1－m＜x＜1＋m，
所以B＝{x|1－m＜x＜1＋m，m＞0}．
因为q是p的充分不必要条件，
所以B A.
所以Error!且两等号不能同时成立．
解得0＜m≤3.
经检验知m＝3时符合题意．
所以m的取值范围是(0,3]．
规律小结用集合的观点理解充分条件、必要条件和充要条件：
首先建立与p，q相对应的集合，即p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}.
若A B，则p是q的充分条件，若A B，则p是q的充分不必要
条件
若B A，则p是q的必要条件，若B A，则p是q的必要不充分
条件
若A＝B，则p，q互为充要条件
若A B，B A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
探究三充要条件的证明与探求
要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真．在证明的过程中也可以利用集合的思想来证明，
证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论．而要探求一个命题成立的充要条件一般有两种处理方法：
(1)先由结论成立推出命题成立的必要条件，然后再证明其充分性；
(2)等价性：将一个命题等价转化为另一个命题，列出使该命题成立的充要条件．
【典型例题3】已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
思路分析：(1)证明题的步骤一定要规范严谨；(2)分清题目的条件与结论．
证明：先证必要性：
因为a＋b＝1，即b＝1－a，
所以a3＋b3＋ab－a2－b2＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a －a2－a2－1＋2a－a2＝0.
再证充分性：
因为a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，
即(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0，
所以(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.
由ab≠0，即a≠0，且b≠0，
所以a2－ab＋b2≠0，只有a＋b＝1.
综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
【典型例题4】求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．
思路分析：结合一元二次方程的判别式，利用韦达定理列出不等式组求解．
解：①a＝0时，方程有一个负实根．
②a≠0时，显然方程没有零根．
若方程有两个异号的实根，则a＜0；
若方程有两个负实根，则
Error!解得0＜a≤1.
综上可知：若方程至少有一个负实根，则a≤1；反之，
若a≤1，则方程至少有一个负实根．
因此，关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤1.
点评若令f(x)＝ax2＋2x＋1，由f(0)＝1≠0，可排除方程一个根为负根，另一根为0
的情形，并要注意，不能忽视对a＝0的特殊情况进行讨论．
探究四易错辨析
易错点充分条件、必要条件与集合关系的转化不等价
【典型例题5】已知p：A＝{x|x2－5x－6＜0}，q：B＝{x|－1＜x＜2a}，且p是q的充分条件，求a的取值范围．
错解：由x2－5x－6＜0，得－1＜x＜6.
因为p是q的充分条件，故2a＞6，即a＞3.
所以a的取值范围为a＞3.
错因分析：“p是q的充分条件A B”，而错解用了“p是q的充分条件A B”，导
致丢掉等号的错误．
正解：由x2－5x－6＜0，得－1＜x＜6，
因为p是q的充分条件，即A B，
故2a≥6，即a≥3，
所以a的取值范围为a≥3.。