湘教版高中数学选修4-1几何证明选讲：圆柱面的截面的焦球

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圆柱面的截面的焦球
一、焦球
设圆柱面的准线为圆O，半径为r，以 轴线上任一点S为圆心，以r为半径作球， 此球与柱面的公共点是以S为圆心、r为半 径的圆S；它也就是过S并垂直于母线的平 面截割圆柱面所得的截线，是一条准线.
因为圆S上的每个点都在圆柱面上并且 到球心S的距离等于球半径r.所以都是球面 和圆柱面的公共点.另一方面，圆柱面上的 其它点T到S连接线断总是某条母线的斜线， 而斜线比垂线长，故T到球心S的距离大于r， T在球外.这样的球，叫圆柱面的内切球.圆 柱面的每条母线，都是其内切球的切线.
设平面m截割圆柱面，与平面m相切的 圆柱面的内切球叫做截割平面m的焦球.
两个焦球的平面m的切点恰好是截线椭 圆的两个焦点.
二、焦球相关推论
如图，平面m和它的 两个焦球G，F分别相切于 M，N，设P是截线上的任 一点，过P点的母线和两 个角球分别相切于A，B. 则有：
PM+PN=PA+PB=AB=GF.
三、典例精讲
例：已知圆柱面的半径r=3，截割平面m 与母所成的角β=30°，求此截割平面的 两个焦球球心的距离.
解法一：两个焦球球心的距离等于截 线椭圆的长轴b；而2r与长轴b的比等于平 面m与准线平面n夹角α的余弦；因为母线 垂直于准线平面，故截割平面m与母线所成 的角β与α互为余角.
综上可得：
解法二：自两焦球球心F，G向平面m分别 引垂足A，B，则F，A，G，B在同一平面上,为 什么？
如右图，两焦球与平面 FAGB的交线为两个半径为r的 圆，公切线AB和连心线GF交 于M，可知MG=MF.且由已知条 件∠AMF=30°，于是， MF=2AF=2r=6，两球心距离 FG=2MF=12.