七年级数学有理数综合复习知识精讲 试题

卜人入州八九几市潮王学校初一数学有理
数综合复习冀
【本讲教育信息】
一、教学内容：
有理数综合复习
1.理解有理数及其分类，并能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小．
2.借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值．
3.掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算，理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算．
4.能运用有理数及其运算解决简单的实际问题．
二、知识要点：
1.根本概念
〔1〕有理数
从数的正负性来分，有理数可以分为：正数、负数和零；从一个数是否为整数来分，可以分为：整数和分数．假设将上述两个HY结合起来分类，有理数那么可以分为：正整数、正分数、负整数、负分数和零．〔2〕数轴
数轴是我们认识数、研究数的一个重要手段，它建立了数和直线上的点的对应关系，为研究数与形的问题拓展了新的思路，即可以借助图形的帮助来研究数的有关问题．①数轴有三大要素：原点、单位长度和正方向．②任何一个有理数在数轴上都有唯一的一个点和它对应．
〔3〕相反数
相反数的特征：假设a与b互为相反数，那么a＋b＝0，反之，假设a＋b＝0，那么a和b互为相反数．从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点分别在原点的两旁，并且到原点的间隔相等．a的相反数是－a，0的相反数是0．反之，－a的相反数是a，即有－〔－a〕＝A.
〔4〕倒数
倒数的特征：假设a、b互为倒数，那么ab＝1，反之亦然．0没有倒数．
〔5〕绝对值
一个数的绝对值，从数轴上看，就是这个数所对应的点到原点的间隔．即假设数a在数轴上的对应点是A，那么，点A到原点O的间隔就是a的绝对值，记作︱a︱．因此，︱a︱＝绝对值具有这样的性质：对于任意的数a，它的绝对值不小于0，即︱a︱≥0．
2.根本运算
〔1〕运算的法那么
任何运算都是按照一定规那么进展的．在将非负数扩大到有理数后，有理数计算规那么的制定应当使原来的运算律仍然适用，应当使新的规那么用到原来的非负数上时，与原来计算规那么运算的结果一样．
运算法那么必须对所有可能的运算情况进展说明，同时，因为一个有理数由符号和绝对值两局部组成，因此，运算法那么还应从符号和绝对值确实定两个方面来说明．
有理数加法法那么：同号两数相加，取一样的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时和为0，绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并且用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同0相加，仍得这个数．
有理数乘法法那么：两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘；任何数与0相乘，积为0． 减法法那么可用加法法那么来规定：a －b ＝a ＋〔－b 〕．
除法可转化为乘法来计算：a ÷b ＝a ×〔其中除数不能为0〕．
这里，“同号〞、“异号〞用符号表达是简洁的：假设ab ＞0，那么a 、b 同号，反之亦然；假设ab ＜0，那么a 、b 异号，反之亦然；ab ＞0，有两种情况：a ＞0，b ＞0；和a ＜0，b ＜0；ab ＜0也有两种情况：a ＞0，b ＜0和a ＜0，b ＞0．
正如连加可以用乘法来简化计算一样，连乘可以用乘方来表示．
乘方的意义：a n ＝ a
n a a a 个⋅⋅⋅〔n 为正整数〕．其中当a ＝0时，a n ＝0；当a ＞0时，a n
＞0；当a ＜0时，假设n 为奇数，a n ＜0，假设n 为偶数，a n
＞0． 〔2〕运算律
运算是整个代数的根底与核心，灵敏运用运算律是正确、顺利、快速解决问题的法宝．
有理数的主要运算律有：
加法交换律：a ＋b ＝b ＋a ；
乘法交换律：ab ＝ba ；
加法结合律：a ＋〔b ＋c 〕＝〔a ＋b 〕＋c ；
乘法结合律：a 〔bc 〕＝〔ab 〕c ；
加法对乘法的分配律：a 〔b ＋c 〕＝ab ＋aC.
3.运算的顺序
进展有理数的运算时，要遵循先乘方，再乘除，最后加减；对于同级运算，一般按从左到右的顺序进展；假设有括号的，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进展．
三、重点难点：
重点：有理数的混合运算，要正确理解和应用法那么，适当运用运算律简化运算．加法和乘法法那么〔着重是符号法那么〕先确定符号，然后进展绝对值的运算；减法与除法那么主要是向加法与乘法转化．难点：要从两个方面理解绝对值的意义：①借助数轴理解它的意义；②由定义求详细数的绝对值的方法．
四、考点分析：
本局部所学习的内容是初中数学代数局部的根底内容，也是历年中考的必考内容．单独考察本章知识的题型大多数为选择题、填空题．分值不高，主要包括根本概念、有理数的运算、有理数大小比较等，其中有理数运算、大小比较等内容有时也出如今解答题中．
【典型例题】
例1.〔1〕有理数a、b在数轴上对应点如下列图，那么以下式子正确的选项是〔〕
A.ab＞0
B.︱a︱＞︱b︱
C.a－b＞0
D.a＋b＞0
〔2〕比较－，－，的大小，以下选项里面正确的结果是〔〕
A.－＜－＜
B.－＜＜－
C.＜－＜－
D.－＜－＜
分析：〔1〕由数轴上a、b对应点的位置可知0＜a＜1，b＜－1，故a、b异号，即ab＜0，否认A选项；又︱a︱＜1，︱b︱＞1，即︱a︱＜︱b︱，选项B错误；因为a＞0＞b，所以a－b＞0，选项C正确；由︱a︱＜︱b︱且a＞0，b＜0，得a＋b＜0，选项D错误．〔2〕因为正数大于一切负数，所以三个数中最大．又因为︱－︱＝＝，︱－︱＝＝，︱－︱＞︱－︱，所以－＜－，即－＜－＜．
解：〔1〕C〔2〕A
评析：借助数轴可以加深对绝对值等知识的理解，使用数轴比较有理数的大小更直观．
例2.计算：〔1〕－9÷3＋〔－〕×12＋32；
〔2〕×〔－9〕＋×〔－18〕＋；
〔3〕－69×8．
分析：〔1〕中涉及有理数的加、减、乘、除与乘方，用运算法那么进展运算，其中可以运用分配律简化运算，〔－〕×12＝×12－×12＝6－8＝－2；〔2〕中各局部含有一样因数，所以可想到逆用分配律计算；〔3〕题先确定符号，然后把绝对值69化成〔70－〕再与8相乘比较简便．
解：〔1〕－9÷3＋〔－〕×12＋32
＝－3＋×12－×12＋9
＝－3＋6－8＋9
＝4
〔2〕×〔－9〕＋×〔－18〕＋
＝×〔－9－18＋1〕
＝×〔－26〕
＝－14
〔3〕－69×8
＝－〔70－〕×8
＝－〔70×8－×8〕
＝－559
评析：在进展有理数的计算时，切记要灵敏．在拿到题目之前先要看看题目的特点，选择恰当的运算性质，尤其是分配律的正向和反向应用．正确应用运算律会起到事半功倍的效果．
例3.假设ab≠0，那么＋的取值不可能是〔〕
A.0
B.1
C.2
D.－2
分析：此题可利用分析的方法考虑．因为ab≠0，所以ab＞0或者ab＜0．
假设ab＞0，那么可能有两种情况：a＞0，b＞0或者a＜0，b＜0．
当a＞0，b＞0时，＋＝1＋1＝2；
当a＜0，b＜0时，＋＝－1－1＝－2；
假设ab＜0，那么可能有两种情况：a＞0，b＜0或者a＜0，b＞0．
当a＞0，b＜0时，＋＝1－1＝0；
当a＜0，b＞0时，＋＝－1＋1＝0．
可能出现的结果有0，2，－2，所以应选B.
解：B
评析：将有理数的根本概念及运算结合，综合考虑．注意分类思想在解题中的应用．
例4.一条小虫沿一根东西方向放着的长杆向东以/分的速度爬行4分钟后，又向西爬行6分钟．问此时它距出发点的间隔是多少？
分析：我们一般规定向东为正，即向东速度为/分；向西为负，即向西速度为－/分．
解：设向东速度为/分，向西为－/分．
×4＋〔－〕×6
＝10－15
＝－5〔米〕
答：它在距出发点西边5米的地方．
评析：此题是一道有理数乘法与数轴知识综合运用的应用题，可以利用数轴的直观性使问题变得简单．例5.有以下两个结论：①任何一个有理数和它的相反数之间至少有一个有理数；②假设一个有理数有倒数，那么这个有理数与它的倒数之间至少有一个有理数．那么〔〕
A.①，②都不对
B.①对，②不对
C.①，②都对
D.①不对，②对
分析：①中的说法我们可以想象在一条数轴上原点的两边如±1，±2，…这样的两个非零有理数之间存在“间隙〞，也就是说它们之间一定有另外的有理数．但是0的相反数是0，0和它的相反数0之间就没有“间隙〞了，所以①错；②中按照①的分析方法，假设一个数的倒数等于它本身，那么说法②就是错的，我们知道1的倒数是1，－1的倒数是－1，显然②这种说法也不对．
解：A
评析：此题非常巧妙地考察了有关相反数和倒数的知识，解决这类问题时要先考虑普通数，再考虑特殊数，如0，±1，等．这一章有不少是用特殊值解答的题，要求同学们把几项特殊值结实地装在心里，如：绝对值最小的数是0；最小的自然数是0，最小的正整数是1，最大的负整数是－1，倒数等于本身的数是1和－1，相反数等于本身的数是0；互为相反数的两个数的和是0，互为倒数的两个数的积是1等．
例3，33和43分别可以按如下列图方式“分裂〞成2个、3个和4个连续奇数的和，63也能按此规律进展“分裂〞，那么63“分裂〞出的奇数中最大的是〔〕
A.41
B.39
C.31
D.29
分析：观察数字排列规律发现：一个数能“分裂〞成的奇数中最大的那个奇数在最下面，且这个奇数与这个数的关系是：5＝2×3－1；11＝3×4－1；19＝4×5－1；…；那么63能“分裂〞出的最大的奇数应是：6×7－1＝41．
解：A
评析：解此类题要认真观察、分析、探究数字的排列规律，找出所求数字的位置的有关数据．
【方法总结】
1.在运用分类思想讨论有理数时要注意有特殊地位的数“0”．绝对值是一个重要概念，在求一个详细数的绝对值时，要运用分类思想．
2.运用数形结合思想，借助数轴可以帮助对关于绝对值、有理数大小的比较等问题的理解及解答．
【模拟试题】〔答题时间是：60分钟〕
一.选择题
1.小怡家的冰箱冷藏室温度是5℃，冷冻室的温度是－2℃，那么她家冰箱冷藏室温度比冷冻室温度高〔〕
A.3℃
B.－3℃
C.7℃
D.－7℃
2.假设＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为〔〕
A.－5吨
B.5吨
C.－3吨
D.＋3吨
3.｜－4︱等于〔〕
A.－2
B.2
C.－4
D.4
4.假设a与2的倒数互为相反数，那么a是〔〕
A.－2
B.2
C.－
D.
5.计算〔－2〕3所得结果是〔〕
A.－6
B.6
C.－8
D.8
6.假设︱a︱＝－a，以下成立的是〔〕
A.a＞0
B.a＜0
C.a≥0
D.a≤0
*7.以下说法正确的选项是〔〕
A.23等于2×3的积
B.有理数分为正有理数和负有理数
C.一个数的平方是它本身，那么这个数是1
D.－32和〔－3〕2是互为相反数
8.计算〔－2〕11＋〔－2〕10的值是〔〕
A.－2
B.〔－2〕21
C.0
D.－210
*9.有理数a、b在数轴上的对应的位置如下列图：那么〔〕
A.a＋b＜0
B.a＋b＞0
C.a－b＝0
D.a－b＞0
10.如图，两温度计读数分别为我国某地今年2月份某天的最低气温与最高气温，那么这天的最高气温比最低气温高〔〕
A.5℃
B.7℃
C.12℃
D.－12℃
二.填空题
1.2008年7月1日是星期二，那么2008年7月16日是星期__________．
2.在数＋、－4、－0.8、－、0、90、－、－︱－24︱中，____________________是正数，____________________不是整数．
3.－的倒数的绝对值是__________．
4.用“＞〞、“＜〞、“＝〞号填空：
〔1〕－0.02__________1；〔2〕__________；
〔3〕－〔－〕__________－［＋〔－0.75〕］；
〔4〕－__________－4．
5.计算：－〔－1〕2021＝__________；〔－1〕2021－22＋33＝__________．
6.奥运会体操比赛中，十名裁判为某体操运发动打分如下：
10、、5、3、、、、5、7、，
去掉一个最高分，去掉一个最低分，其余8个分数的平均分即为该运发动那么此运发动
个数的平方恰好等于这个数的相反数，那么这个数为__________．
**8.如图，按英语字母表A，B，C，D，E，F，G，H，…的顺序有规律排列而成的鱼状图案中，字母“G〞出现的个数为__________．
三.解答题
1.列式计算：
〔1〕－4、－5、＋7三个数的和比这三个数绝对值的和小多少？
〔2〕从－1中减去－，－，－的和，所得的差是多少？
2.计算以下各题
〔1〕〔－－＋〕÷
〔2〕︱－︱÷〔－〕×〔－4〕2
〔3〕－12－[1＋〔－12〕÷6]2×〔－〕3
〔4〕1＋3＋5＋…＋99－〔2＋4＋6＋…＋98〕．
3.某一出租车一天下午以鼓楼为出发地在东西方向营运，向东为正，向西为负，行车里程〔单位：km〕依先后次序记录如下：＋9、－3、－5、＋4、－8、＋6、－3、－6、－4、＋10．
〔1〕将最后一名乘客送到目的地，出租车离鼓楼出发地多远？在鼓楼的什么方向？
〔2〕假设每千米的价格为元，司机一个下午的营业额是多少？
**4.︱x＋1︱＝4，〔y＋2〕2＝4，求x＋y的值．
**5.假设规定符号“﹡〞的意义是a﹡b＝，求2﹡〔－3〕﹡4的值．
试题答案
一.选择题
1.C
2.A
3.D
4.C
5.C
6.D
7.D
8.D
9.A 10.C
二.填空题
1.三
2.＋、90；＋、－0.8、－、－
3.
4.〔1〕＜〔2〕＞〔3〕＝〔4〕＜
5.－1；2257.0，－13
三.解答题
1.〔1〕182167)5()4(|)7||5||4(|=+=+-+--+-+-
〔2〕－1－〔－－－〕＝－1－〔－〕＝
2.〔1〕－26〔2〕〔3〕4
3〔4〕原式＝1－2＋3－4＋5－6＋……＋97－98＋99＝〔－1〕×49＋99＝50 3.〔1〕0km ，就在鼓楼
4.由︱x ＋1︱＝4，〔y ＋2〕2
＝4可得：x ＋1＝±4，y ＋2＝±2． 即x ＝3或者x ＝－5；y ＝0或者y ＝－4，
当x ＝3，假设y ＝0，那么x ＋y ＝3；假设y ＝－4，那么x ＋y ＝－1；
当x ＝－5时，假设y ＝0，那么x ＋y ＝－5；假设y ＝－4，那么x ＋y ＝－9．
所以x ＋y 的值有四个：3或者－1或者－5或者－9．
*〔－3〕＝＝66*4＝。