2019高三数学文北师大版一轮课时分层训练：12 实际问题的函数建模

课时分层训练(十二)实际问题的函数建模
(对应学生用书第188页)
A组基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．(2018·福州模拟)在某个物理试验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：
则对x，y
A．y＝2x B．y＝x2－1
C．y＝2x－2 D．y＝log2x
D[根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B、C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．] 2．(2018·东城模拟)某商场在2017年元旦开展“购物折上折”活动，商场内所有商品先按标价打八折，折后价格每满500元再减100元，如某商品标价1 500元，则购买该商品的实际付款额为1 500×0.8－200＝1 000元．设购买某商
品的实际折扣率＝实际付款额
商品的标价
×100%，某人欲购买标价为2 700元的商品，
那么他可以享受的实际折扣率约为() 【导学号：00090056】A．55% B．65%
C．75% D．80%
B[当购买标价为2 700元的商品时，
产品的八折后价格为：2 700×0.8＝2 160，
故实际付款：2 160－400＝1 760，
故购买某商品的实际折扣率为：1 760
2 700×100%≈65%，故选B.]
3．一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图2-9-2甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．
图2-9-2
给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；
③4点到6点不进水不出水，则一定正确的是( )
A ．①
B ．①②
C ．①③
D ．①②③
A [由甲、乙两图知，进水速度是出水速度的12，所以0点到3点不出水，3
点到4点也可能一个进水口进水，一个出水口出水，但总蓄水量降低，4点到6点也可能两个进水口进水，一个出水口出水，一定正确的是①.]
4．(2018·衡阳模拟)将出货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400
个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了赚得最大利润，每个售价应定为( )
A ．85元
B ．90元
C ．95元
D ．100元
C [设每个售价定为x 元，则利润y ＝(x －80)·[400－(x －90)·20]＝－20[(x －95)2－225]，
∴当x ＝95时，y 最大．]
5．将甲桶中的a L 水缓慢注入空桶乙中，t min 后甲桶中剩余的水量符合指数衰
减曲线y ＝a e nt .假设过5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min 甲桶中
的水只有a 4 L ，则m 的值为( )
A ．5
B ．8
C ．9
D ．10
A [∵5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，
∴函数y ＝f (t )＝a e nt 满足f (5)＝a e 5n ＝12a ，
可得n ＝15ln 12，∴f (t )＝a ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫12 ，
因此，当k min 后甲桶中的水只有a 4 L 时，
f (k )＝a ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＝14a ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝14，
∴k ＝10，
由题可知m ＝k －5＝5，故选A ．]
二、填空题
6．在如图2-9-3所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴
影部分)，则其边长x 为________m.
图2-9-3
20 [设内接矩形另一边长为y ，则由相似三角形性质可得x 40＝40－y 40，解得y
＝40－x ，所以面积S ＝x (40－x )＝－x 2＋40x ＝－(x －20)2＋400(0＜x ＜40)，当x ＝20时，S max ＝400.]
7．某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，
每过滤一次可使杂质含量减少13，至少应过滤________次才能达到市场要
求．(已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
8 [设过滤n 次才能达到市场要求，
则2%⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ≤0.1%，即⎝ ⎛⎭
⎪⎫23n ≤120， 所以n lg 23≤－1－lg 2，所以n ≥7.39，所以n ＝8.]
8．(2018·成都模拟)某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满
足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．
【导学号：00090057】
24 [由已知条件，得192＝e b ，∴b ＝ln 192.又∵48＝e 22k ＋b ＝e 22k ＋ln 192＝192e 22k
＝192(e 11k )2，∴e 11k
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4819212＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1412＝12.设该食品在33 ℃的保鲜时间是t 小时，则t ＝e 33k ＋ln 192＝192e 33k ＝192(e 11k )3＝192×⎝ ⎛⎭
⎪⎫123＝24.] 三、解答题
9．(2018·抚顺模拟)食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对
人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P 、种黄瓜的年收入Q 与投入a (单位：万元)满足P ＝
80＋42a ，Q ＝14a ＋120，设甲大棚的投入为x (单位：万元)，每年两个大棚
的总收益为f (x )(单位：万元)．
(1)求f (50)的值；
(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f (x )最大？
[解] (1)∵甲大棚投入50万元，则乙大棚投入150万元，
1分 ∴f (50)＝80＋42×50＋14×150＋120＝277.5万元.
3分 (2)f (x )＝80＋42x ＋14(200－x )＋120＝－14x ＋42x ＋250，
4分 依题意得⎩⎨⎧
x ≥20200－x ≥20
⇒20≤x ≤180， 6分 故f (x )＝－14x ＋42x ＋250(20≤x ≤180). 7分 令t ＝x ∈[25，65]，则f (x )＝－14t 2＋42t ＋250＝－14(t －82)2＋282，
9分
当t ＝82，即x ＝128时，f (x )max ＝282万元.
11分 所以投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收益最大，且最大收益为282万元. 12分
10．国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30人或30人以下，
飞机票每张收费900元；若每团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75人为止．每团乘飞机，旅行社需付
给航空公司包机费15 000元．
(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；
(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
[解] (1)设旅行团人数为x ，由题得0<x ≤75(x ∈N *)，
2分 飞机票价格为y 元，
则y ＝⎩⎨⎧ 900，0＜x ≤30，900－10(x －30)，30＜x ≤75，
即y ＝⎩⎨⎧ 900，0＜x ≤30，1 200－10x ，30＜x ≤75.
5分 (2)设旅行社获利S 元，
则S ＝⎩
⎨⎧ 900x －15 000，0＜x ≤30，x (1 200－10x )－15 000，30＜x ≤75， 即S ＝⎩⎨⎧ 900x －15 000，0＜x ≤30，－10(x －60)2＋21 000，30＜x ≤75.
8分
因为S ＝900x －15 000在区间(0,30]上为单调增函数，
故当x ＝30时，S 取最大值12 000元，
又S ＝－10(x －60)2＋21 000在区间(30,75]上，
当x ＝60时，取得最大值21 000.
故当x ＝60时，旅行社可获得最大利润.
12分 B 组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．(2018·南昌模拟)某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，
而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10 km 处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )
【导学号：00090058】
A ．5 km 处
B ．4 km 处
C ．3 km 处
D ．2 km 处 A [设仓库与车站距离为x ，土地费用为y 1，运输费用为y 2，于是y 1＝k 1x ，y 2
＝k 2x ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
2＝k 1108＝10k 2
，解得k 1＝20，k 2＝45. 设总费用为y ，则y ＝20x ＋45x ≥220x ·4x
5＝8. 当且仅当20x ＝4x 5，即x ＝5时取等号，故选A ．]
2．(2016·北京房山期末)某种病毒每经过30分钟由1个病毒可分裂成2个病毒，
经过x 小时后，病毒个数y 与时间x (小时)的函数关系式为________，经过5小时，1个病毒能分裂成________个．
y ＝4x 1 024 [设原有1个病毒，
经过1个30分钟有2＝21个病毒；
经过2个30分钟有2×2＝4＝22个病毒；
经过3个30分钟有4×2＝8＝23个病毒；
……
经过60x 30个30分钟有22x ＝4x 个病毒，
∴病毒个数y 与时间x (小时)的函数关系式为y ＝4x ，
∴经过5小时，1个病毒能分裂成45＝1 024个．]
3．已知某物体的温度θ(单位：℃)随时间t (单位：min)的变化规律是θ＝m ·2t ＋
21－t (t ≥0且m >0)．
(1)如果m ＝2，求经过多少时间，物体的温度为5 ℃；
(2)若物体的温度总不低于2 ℃，求m 的取值范围．
[解] (1)若m ＝2，则θ＝2·2t ＋2
1－t ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2t ＋12t ， 当θ＝5时，2t ＋12t ＝52，
2分
令2t ＝x (x ≥1)，则x ＋1x ＝52，
即2x 2－5x ＋2＝0，
解得x ＝2或x ＝12(舍去)，
∴2t ＝2，即t ＝1，
∴经过1 min ，物体的温度为5 ℃.
5分 (2)物体的温度总不低于2 ℃，即θ≥2恒成立， 即m ·2t ＋2
2t ≥2恒成立，
亦即m ≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫
12t －122t 恒成立.
7分 令1
2t ＝x ，则0<x ≤1，
∴m ≥2(x －x 2).
10分 ∵x －x 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14≤14，∴m ≥12.
因此，当物体的温度总不低于2 ℃时，m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫
12，＋∞. 12分。