微积分的创立——卡瓦列利、笛卡尔

*笛卡尔主要数学思想：
*在他的著作《几何》中，笛卡尔将逻辑，几何，
代数方法结合起来，通过讨论作图问题，勾勒出 解析几何的新方法，从此，数和形就走到了一起， 数轴是数和形的第一次接触。幵向世人证明，几 何问题可以归结成代数问题，也可以通过代数转 换来发现、证明几何性质。 新地将几何图形‘转译’代数方程式，从而将几 何问题以代数方法求解，这就是今日的“解析几 何”或称“座标几何”。
x
a M
B
z
a a 令x z , y z 2 2
a a a xy z z z 2 2 2 4
2
x
o
z
G
Y F
Y
a
0
a 0
a
2
4 x 4 z
2 0 0
a
a
2
C
N
D
2 Z 怎么求？
*
OCN和 OBM z 是
v x 2 x3 v x 2 x3 切线斜率= 2 2x f (x) x
图1
图2
*
*卡瓦列利不可分量原理：
夹在两个平行平面之间的两个立体图形，被 平行于这两个平面的任意平面所截，如果所得的 两个截面的面积相等，那么这两个立体图形的体 积相等。
平面 1

平面 2 图1 图2
*卡瓦列利不可分量原理：
如果两个立体高度相等，任何两个分别与两 底平行与两底距离相等的平面与两个立体相交所 得截面面积之比恒等于给定的比，则两个立体体 积之比也等于给定的比。
C(X) P(X) x h
*
r
1
1
*
*
S C (X) S P (X)

x 2 (r ) h x 2 ( ) h


r2 ,
V 圆锥 = r 2 V 四棱锥
C(X)
P(X)
x h
r
1
1
*
卡瓦列利应用不可分量原理的应用
——推理出幂函数的积分公式：
a x dx (n 1、、、、、、、、 2 3 4 5 6 7 8 9) n 1 0

3 2
(x y)

y
3
（1）
另外：
2 a a a a (x y) a (2 x 2 xy) 3 2 2
2 2 3 a 2 (x y) xy a 3 4 x 2 y 3 3 1 2 3 x y a 12
（2）
1 4 将（1）代入（2）式中 x a 4
3
*
*生平简介：
1596年3月31日生于法国安德尔-卢 瓦尔省的图赖讷拉海（现改名为笛 卡尔以纪念这位伟人），1650年2月 11日逝世于瑞典斯德哥尔摩。笛卡 尔是法国著名的哲学家、物理学家、 数学家、神学家，他对现代数学的 发展做出了重要的贡献，因将几何 坐标体系公式化而被认为是解析几 何之父。
*
y Y=f(x)
2 2 2
1
该圆c(v,0)与y=f(x)相切时， P(x,f(x)) 点p是 f (x) (v x) r 的重根。 有重根x=e(任意值)的方程 2 r 2 i （ x-e ） C X 可以写成 i f(x) C(V,0)
1=2 ， 另外，根据相似， 所以，切线斜率= v x
D
另外：
a x y x y
Hale Waihona Puke Baidu
由于x、y对称
a
0
a
0
2 x
0
0
a
1 2 x a 2 0
a
*
几何反思：
a
1 2 X a 2 0
a
A
x
x
a
B
G Y
Y
x 的几何图形就是边长为a E 0 的等腰直角三角形的面积。
F
a
0
a
的几何图形就是边长为a 的正方形的面积。
n a n 1
*
当n=1时，有 X
0 a
？
EF//AB且EF交CB于G点 令AB=AC=a , EG= x ,GF= y a=x + y
按照卡瓦列利的不可分量法： 面积是由无穷多个线段组成。
A
E
x
a
B
GY
Y
x
F

a a a
A 0
a a 0 0
C
a
2
（正方形ABCD面积） C
a a
C
D
*
N=2时，
2 X ？ 0
a
A
2
a M
B
z
a
0
a
2

x y
0 a 0
a
E
a
x
o
x
G
Y F
(
2 2 x 2 xy y 0 0
a
z
Y
x、y有对称性)
a a 0 0
2 x 2 2 xy
C
N
D
*
2 2 a 2 x 2 xy
A
E
2
A 平行于底线段的平方和。 在这两个三角形中，任 2 Z 何一个上的 之和表 示一个棱锥的体积
E
a M
B
z
x
o
x
G
Y F
z
Y
而这个棱锥的底面各边和高 a C 2 都是 x 表示的棱锥的边和 0 1 1 1 1 高的一半（2 2 2 = 8）
a a 1 1 2 2 2 Z 2 x x 8 0 4 0 0 a
N
D
*
a 4 x 4 z
2 2 0 0 0 a a a 2
1 3 x a 3 0
2
a
*
几何反思:

0
a
A
E
x
a M
B
z
x 的几何图形是底 边为a的正方形， 高为a的四棱锥。
2
x
o
z
G
Y F
Y
H=a a
C
N
D
N=3时，
x
3
3
?
3 2 2
3 a
x 3 x y 3 xy 2 x 6 x y
f (x)
x
V-X
V
x
*
*例1：求y= x2
f (x) 解：
2
上任意一点P(x ,f (x))的切线斜率？
(v x) 2 r 2 (x e) 2 Ci X i
x 4 v 2 2vx x 2 r 2 (x e) 2 (x 2 ax b)
左右同次幂相等：
*笛卡尔引入了坐标系以及线段的运算概念。他创
*笛卡尔设想的“万能方法”：
任何问题
数学问题
代数问题 方程问题
*如何求曲线y=f(x)的过任意一点p(x,f(x))的切线
斜率？
*
笛卡尔：（1）通过构造一个半径是r圆心为c的圆； （2）圆与y=f(x)相切时，CP 就是法线； （3）做CP的垂线就是切线。
*
*卡瓦列利基本思想：
点、线、面、体的兲系 线是由无穷多个点构成的，面 是由无穷多条线构成的，体则是由 无穷多个面构成的。
点、线、面分别就是线、面、体 的不可分量。
*
*卡瓦列利不可分量原理：
夹在两条平行直线之间的两个平面图形，被 平行于这两条直线的任意直线所截，如果所得的 两条截线长度相等，那么这两个平面图形的面积 相等；
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卡瓦列利的不可分量法 笛卡尔的“圆法”
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*生平简介： 是意大利著名的数学家，1598年生
于米兰。1629年，大科学家枷俐略向波伦亚大学 推荐卡瓦列利为数学教授。与此同时，卡瓦列利又 将自己的《几何学》手稿和一本论圆锥曲线及其在 光学上的应用的小册子呈送给主选官，以证明自己 能够胜任此职。果然不出所料，在众多申请求职者 中，卡瓦列利获波伦亚大学首任教授之职。从此， 他在波伦亚大学从事教学和研究工作，直到1647 年去世，他共出版11部著作，其中包括著名的《几 何学》，《一百个不同的问题》等等。