微积分的创立——卡瓦列利、笛卡尔
微积分的创立、发展及意义【最新】
微积分的创立、发展及意义摘要该文主要论述了微积分的创立过程、微积分的发展历程，以及微积分的重要意义。
在微积分的创立过程中，主要说明了创立背景、微积分的两位创始人独立创立微积分的过程以及微积分的基本内容及基本方法；其次，以欧拉为主要代表介绍了微积分的发展历程；最后论述了微积分对科学、社会、工业、航空等方面的影响及其深远意义。
关键词：微积分数学史创立发展意义论文1、微积分的创立1.1 微积分的创立背景[1]克莱因（M.Klein）认为：微积分的创立，首先是处于17世纪主要两科学问题，即有四种主要类型的问题有待用微积分去解决。
第一类：已知物体移动的距离表示为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度；反过来，已知物体的加速度表示为时间的函数的公式，求速度和距离。
第二类：问题是求曲线的切线，这是一个几何问题，但对科学的应用有巨大的影响。
第三类：问题是求函数的极大极小值。
第四类：问题包括求曲线的长度,曲线围成的面积等等。
首先对微积分的创造作出贡献的是开普勒和伽利略。
用无数个无穷小之和计算面积和体积是开普勒的基本思想，而这一思想的精华是从阿基米德的著作中吸收的，伽利略则奠定了实验和理论协调的近代科学精神，这对于微积分的形成是至关重要的。
对于微积分的孕育有重要影响的是1635 年卡瓦列利(B.Cavalieri意大利)的《不可分连续量的几何学》的发表，他对前人的微积分结果作了初步系统的综合，并创立了一种简易形式的积分法——不可分量法，使卡瓦列利的不可分量更接近于定积分计算的，是法国的帕斯卡(Ｂ.Pascal)和英国的瓦里士（J.Wallis）。
瓦里士是牛顿、莱布尼茨之前把分析方法引入微积分的工作做得最多的人。
对微积分的孕育具有重要影响的人物是法国的费马(Fermat)，最迟在1636年他已达到求积分方法上的算术化程度，微积分的另一个重要课题——求极值的方法也是费马创造的。
在17世纪，至少有10多位大数学家探索过微积分，而牛顿(Newton)、莱布尼茨(Laeibniz)，则处于当时的顶峰。
微积分学来源
微积分学来源微积分学是微分学和积分学的总称。
客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。
因此在数学中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。
由于函数概念的产生和运用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。
微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的，可以说它是继欧氏几何后，全部数学中的最大的一个创造。
微积分学的建立从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪，但是，微分和积分的思想在古代就已经产生了。
公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。
作为微分学基础的极限理论来说，早在古代以有比较清楚的论述。
比如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。
三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。
”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。
到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。
归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。
第二类问题是求曲线的切线的问题。
第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。
第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。
十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。
为微积分的创立做出了贡献。
十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。
微积分概念发展史
微积分概念发展史微积分真正成为一门数学学科，是在十七世纪，然而在此这前微积分已经一步一步地跟随人类历史的脚步缓慢发展着。
着眼于微积分的整个发展历史，在此分为四个时期：1.早期萌芽时期。
2.建立成型时期。
3.成熟完善时期。
4.现代发展时期。
早期萌芽时期：1、古西方萌芽时期：公元前七世纪，泰勒斯对图形的面积、体积与的长度的研究就含有早期微积分的思想，尽管不是很明显。
公元前三世纪，伟大的全能科学家阿基米德利用穷竭法推算出了抛物线弓形、螺线、圆的面积以及椭球体、抛物面体等各种复杂几何体的表面积和体积的公式，其穷竭法就类似于现在的微积分中的求极限。
此外，他还计算出Π的近似值，阿基米德对于微积分的发展起到了一定的引导作用。
2、古中国萌芽时期：三国后期的刘徽发明了著名的“割圆术”，即把圆周用内接或外切正多边形穷竭的一种求圆周长及面积的方法。
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。
”不断地增加正多边形的边数，进而使多边形更加接近圆的面积，在我国数学史上算是伟大创举。
另外在南朝时期杰出的祖氏父子更将圆周率计算到小数点后七位数，他们的精神值得我们学习。
此外祖暅之提出了祖暅原理：“幂势即同，则积不容异”，即界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等，比欧洲的卡瓦列利原理早十个世纪。
祖暅之利用牟合方盖（牟合方盖与其内切球的体积比为4：Π）计算出了球的体积，纠正了刘徽的《九章算术注》中的错误的球体积公式。
建立成型时期：1.十七世纪上半叶：这一时期，几乎所有的科学大师都致力于解决速率、极值、切线、面积问题，特别是描述运动与变化的无限小算法，并且在相当短的时间内取得了极大的发展。
天文学家开普勒发现行星运动三大定律，并利用无穷小求和的思想，求得曲边形的面积及旋转体的体积。
意大利数学家卡瓦列利与同时期发现卡瓦列利原理（祖暅原理），利用不可分量方法幂函数定积分公式，此外，卡瓦列利还证明了吉尔丁定理（一个平面图形绕某一轴旋转所得立体图形体积等于该平面图形的重心所形成的圆的周长与平面图形面积的乘积。
微积分发展简史
微积分发展简史一．微积分思想萌芽微积分的思想萌芽，部分可以追溯到古代。
在古代希腊、中国和印度数学家的著作中，已不乏用朴素的极限思想，即无穷小过程计算特别形状的面积、体积和曲线长的例子。
在中国，公元前5世纪，战国时期名家的代表作《庄子?天下篇》中记载了惠施的一段话："一尺之棰，日取其半，万世不竭"，是我国较早出现的极限思想。
但把极限思想运用于实践，即利用极限思想解决实际问题的典范却是魏晋时期的数学家刘徽。
他的"割圆术"开创了圆周率研究的新纪元。
刘徽首先考虑圆内接正六边形面积，接着是正十二边形面积，然后依次加倍边数，则正多边形面积愈来愈接近圆面积。
用他的话说，就是："割之弥细，所失弥少。
割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣。
"按照这种思想，他从圆的内接正六边形面积一直算到内接正192边形面积，得到圆周率的近似值3.14。
大约两个世纪之后，南北朝时期的著名科学家祖冲之（公元429-500年）祖恒父子推进和发展了刘徽的数学思想，首先算出了圆周率介于3.1415926与3.1415927之间，这是我国古代最伟大的成就之一。
其次明确提出了下面的原理："幂势既同，则积不容异。
"我们称之为"祖氏原理"，即西方所谓的"卡瓦列利原理"。
并应用该原理成功地解决了刘徽未能解决的球体积问题。
欧洲古希腊时期也有极限思想，并用极限方法解决了许多实际问题。
较为重要的当数安提芬(Antiphon,B.C420年左右)的"穷竭法"。
他在研究化圆为方问题时，提出用圆内接正多边形的面积穷竭圆面积，从而求出圆面积。
但他的方法并没有被数学家们所接受。
后来，安提芬的穷竭法在欧多克斯(Eudoxus,B.C409-B.C356)那里得到补充和完善。
之后，阿基米德(Archimedes,B.C287-B.C212)借助于穷竭法解决了一系列几何图形的面积、体积计算问题。
人教版高中数学选修3-1数学史选讲《微积分产生的历史背景》
作业
谢谢
另一个涉及到曲线的切线的科学问题出现于运 动的研究中，求运动物体在它的轨迹上任一点上的 运动方向，即轨迹的切线方向。
函数的最值问题
早在16世纪，西欧各军事强国的火炮制造技术就已
经非常先进。那么，一个现实的问题就是，发射角多大 时炮弹获得最大射程。
十七世纪初期，伽利略断定（在真空中）最大射程 在发射角是45 时达到；他还得出炮弹从各个不同角度 发射后所达到的不同的最大高度。 研究行星的运动也涉及到最大值和最小值的问题， 例如求行星离开太阳的最远和最近距离。
微积分产生的历史背景
导入新课
17世纪中叶，微积分诞生了，它是继欧几里得 几何学后数学中最伟大的创造，它的诞生掀开了数 学乃至整个科学发展史崭新的一页。 那么微积分是在怎样的背景下产生的呢？
内容解析
微积分是描述运动过程的数学，它的产生为力学、
天文学以及后来的电磁学等提供了必不可少的工具。 微积分并不是凭空产生的，它经历了长时间的酝 酿过程。
体积的方法，此法在17世纪时称“穷竭法”。
十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理
学家都为解决上述几类问题作了大量研究工作,如法
国的费马、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、 沃利斯；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提 出许多很有建树的理论.为微积分的创立做出了贡献。
虽然众多的数学家的研究工作为微积分的诞生做了
面积、体积、曲线长、重心和引力的计算
面积与体积计算问题古已有之，如曲线围成的面积；
曲面围成的体积。17世纪上半叶，随着天文学的长足进 步，这方面的问题变得更为突出。
如德国天文学家开普勒给出的行星运动三大定律 和其他许多天文问题都涉及到行星运动的轨道、行星 扫过的面积以及物体重心与引力等计算。
数学史第七章巨人的杰作——微积分的创立讲义
巨人的杰作——微积分的创立
7.3 科学巨人—— 7.4 多才多艺的数学大师莱布尼茨
7.3 科学巨人——牛顿
牛顿
Isaac Newton
数学家 物理学家 天文学家 自然哲学家 英国皇家学会会员
艾萨克·牛顿简介
艾萨克·牛顿（1642--1727）出生于英格兰林肯郡的一 个小镇乌尔斯索普。他出生之前，他的父亲就已去世 。在牛we顿lco3m岁e时to ，us他e th的es母e P亲ow改e嫁rPo给in一t te个mp牧lat师es，, N把ew牛顿托 付给了Co他nt的ent祖de母sig抚n,养10。ye8a年rs后ex，per牧ien师ce病故，牛顿的母亲 又回到了乌尔斯索普。牛顿自幼沉默寡言，性格倔强， 这种习性可能来自他的家庭环境。
主要贡献
微积分的创立 二项式定理
运动的三个基本定 律（牛顿三定律）：
光学、哲学、 天文学
数学其他方面
微积分的创立
牛顿关于微积分问题的研究起始于1664年，当时 笛卡儿的《几何学》和沃利斯的《无穷算术》对他的 影响最大。他对笛卡尔求曲线切线的方法产生了浓厚 的兴趣并试图寻找更好、跟一般的方法。
1666年10月他写的第一篇关于微积分的论文《 论数短论》，其中首次提出了流数的概念，所谓流数 就是速度，在变速运动中速度是路程对事件的微商， 至于速度的变化状况就要用速度的微商来反映，即加 速度是速度的微商。
艾萨克·牛顿简介 牛顿墓碑铭文：此地安葬的是艾撒克·牛顿勋爵，他 用近乎神圣的心智和独具特色的数学原则，探索出行 星的运动和形状、彗星的轨迹、海洋的潮汐、光线的 不同谱调和由此而产生的其他学者以前所未能想像到 的颜色的特性。以他在研究自然、古物和圣经中的勤 奋、聪明和虔诚，他依据自己的哲学证明了至尊上帝 的万能，并以其个人的方式表述了福音书的简明至理。 人们为此欣喜：人类历史上曾出现如此辉煌的荣耀。 他生于1642年12月25日，卒于1727年3月20日。
微积分的发展史
微积分的发展历史摘要：我国和西方古代微积分的萌芽到近现代微积分的巨大发展，以及从牛顿到柯西等人为微积分的发明。
关键词：微积分；中国；西方；牛顿；“流数术”；微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。
它是数学的一个基础学科。
内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。
微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。
它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。
积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。
（一）我国的微积分思想萌芽：公元前5世纪，战国时期名家的代表作《庄子•天下篇》中记载了惠施的一段话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，是我国较早出现的极限思想。
魏晋时期的数学家刘徽的“割圆术”开创了圆周率研究的新纪元，用他的话说，就是：“割之弥细，所失弥少。
割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣。
”（二）西方的微积分思想萌芽：安提芬的“穷竭法”。
他在研究化圆为方问题时，提出用圆内接正多边形的面积穷竭圆面积，从而求出圆面积。
之后，阿基米德借助穷竭法解决了一系列几何图形的面积、体积计算问题。
刺激微分学发展的主要科学问题是求曲线的切线、求瞬时变化率以及求函数的极大值极小值等问题。
（三）近现代微积分的发展：1635年意大利数学家卡瓦列里在其著作《用新方法促进的连续不可分量的几何学》中发展了系统的不可分量方法。
1665年，牛顿对微积分问题的研究始于，当时他反复阅读笛卡儿《几何学》，牛顿首创了小○记号表示x 的无限小且最终趋于零的增量。
并发明“正流数术”（微分法），次年5月又建立了“反流数术”（积分法），这就是牛顿的“流数术”。
在牛顿发明“流数术”的同时，莱布尼茨几乎和牛顿取得了同样的成就，并得到了著名的牛顿—莱布尼茨公式：从17世纪到18世纪的过渡时期，法国数学家罗尔在其论文《任意次方程一个解法的证明》中给出了微分学的一个重要定理，也就是我们现在所说的罗尔微分中值定理。
微积分发展史
说牛顿发明了微积分。
莱布尼茨的微积分
莱布尼茨当时还没有微积分 的符号，他用语言陈述他的 特征三角形导出的第一个重
微积分的现代发展
在Riemann将Cauchy的积分含义扩展之后， Lebesgue又引进了测度的概念，进一步将 Riemann积分的含义扩展。例如著名的 Dirichilet函数在Riemann积分下不可积，而在 Lebesgue积分下便可积。
我国的数学泰斗陈省身先生所研究的微分几何领域， 便是利用微积分的理论来研究几何，这门学科对 人类认识时间和空间的性质发挥的巨大的作用。 并且这门学科至今仍然很活跃。前不久由我国数 学家朱熹平、曹怀东完成最后封顶的庞加莱猜想 便属于这一领域。
1715年数学家泰勒在著作《正的和反的增量 方法》中陈述了他获得的著名定理，即现 在以他的名字命名的泰勒定理。后来麦克 劳林重新得到泰勒公式的特殊情况，现代 微积分教材中一直将这一特殊情形的泰勒 级数称为“麦克劳林”级数。
18世纪的数学家还将微积分算法推广到多元 函数而建立了偏导数理论和多重积分理论。 这方面的贡献主要应归功于尼古拉·伯努利、 欧拉和拉格朗日等数学家。
第第二一类类是是，，望已远知镜物的体光的程移设动计的使距得离求表曲为线时 间的函数的公式的，切求线物问体题在任意时刻的速 度第第和三四加类类速是问度，题使确是瞬定求时炮行变弹星化的沿率最轨问大道题射运程动以的及路求 行程星、离行开星太矢阳径的扫最过远的和面最积近以距及离物等体涉重及 心与引的力函等数，极使大面值积、、极体小积值、问曲题线长、
微积分的发展历程
微积分的发展历程微积分的创立，被誉为“人类精神的最高胜利”，在18世纪，微积分进一步深入发展，这种发展与广泛的应用紧密交织在一起，刺激和推动了许多数学新分支的产生，从而形成了“分析”这样一个在观念和方法上都具有鲜明特点的数学领域。
在数学史上，18世纪可以说是分析研究的时代，也是向现代数学过渡的重要时期。
1）微积分的发展无限小算法的推广，在英国和欧洲大陆国家是循着不同的路线进行的。
不列颠的数学家们在剑桥、牛津、伦敦和爱丁堡等著名的大学里教授和研究牛顿的流数术，他们中的优秀代表有泰勒（B.Taylor）、麦克劳林（C.Maclaurin）、棣莫弗（A.de Moivre）、斯特林（J.Stirling）等。
泰勒（1685_1731）做过英国皇家学会秘书。
他在1715年出版的《正的和反的增量方法》一书中，陈述了他早在1712年就已获得的著名定理其中v为独立变量z的增量，和为流数。
泰勒假定z随时间均匀变化，故为常数，从而上述公式相当于现代形式的“泰勒公式”：。
泰勒公式使任意单变量函数展为幂级数成为可能，是微积分进一步发展的有力武器。
但泰勒对该定理的证明很不严谨，也没有考虑级数的收敛性。
泰勒公式在x=0时的特殊情形后来被爱丁堡大学教授麦克劳林重新得到，现代微积分教科书中一直把x=0时的泰勒级数称为“麦克劳林级数”。
麦克劳林（1698_1746）是牛顿微积分学说的竭力维护者，他在这方面的代表性著作《流数论》，以纯熟却难读的几何语言论证流数方法，试图从“若干无例外的原则”出发严密推演牛顿的流数论，这是使微各分形式化的努力，但因囿于几何传统而并不成功。
《流数论》中还包括有麦克劳林关于旋转可耻椭球体的引力定理，证明了两个共焦点的椭球体对其轴或赤道上一个质点的引力与它们的体积成正比。
麦克劳林之后，英国数学陷入了长期停滞的状态。
微积分发明权的争论滋长了不列颠数学家的民族保守情绪，使他们不能摆脱牛顿微积分学说中弱点的束缚。
微积分发展简史
微积分发展简史一、微积分的创立微积分中的极限、穷竭思想可以追溯到两千五百年前的古希腊文明，著名的毕达哥拉斯学派，经过了漫长时期的酝酿，到了17世纪，在工业革命的刺激下，终于通过牛顿（Newton）和莱布尼兹（Leibniz）的首创脱颖而出了。
大约从15世纪初开始的文艺复兴时期起，工业、农业、航海事业与上古贸易的大规模发展，刺激着自然科学蓬勃发展，到了17世纪开始进入综合突破的阶段，而所有这些所面临的数学困难，最后汇总成四个核心问题，并最终导致微积分的产生。
这四个问题是：1.运动中速度、加速度与距离之间的虎丘问题，尤其是非匀速运动，使瞬时变化率的研究成为必要；2.曲线求切线的问题，例如要确定透镜曲面上的任一点的法线等；3.有确定炮弹最大射程，到求行星轨道的近日点与远日点等问题提出的求函数的极大值、极小值问题；4.当然还有千百年来人们一直在研究如何计算长度、面积、体积与重心等问题。
第一、二、三问题导致微分的概念，第四个问题导致积分的概念。
微分与积分在17世纪之前还是比较朦胧的概念，而且是独立发展的。
开普勒（Kepler）、伽利略（Galileo）、费马（Fermat）、笛卡尔（Descartes）、卡瓦列里（Cavalieri）等学者都做出了杰出贡献。
1669，巴罗（Barrow，牛顿的老师）发表《几何讲义》，首次以几何的面貌，用语言表达了“求切线”和“求面积”是两个互逆的命题。
这个比较接近于微积分基本定理。
牛顿和莱布尼兹生长在微积分诞生前的水到渠成的年代，这时巨人已经形成，牛顿和莱布尼兹之所以能完成微积分的创立大业，正事由于它们占到了前辈巨人们的肩膀上，才能居高临下，才能高瞻远瞩，终于或得了真理。
可以这样说：微积分的产生是量变（先驱们的大量工作的积累）到质变（牛顿和莱布尼兹指出微分与积分是对矛盾）的过程，是当时历史条件（资本主义萌芽时期）下的必然产物。
微积分基本定理的建立标志着微积分的诞生。
牛顿自1664年起开始研究微积分，钻研了伽利略、开普勒、瓦利斯（Wallis），尤其是笛卡尔的著作。
微积分的创立数学史
科学的巨人——牛顿
牛顿关于微积分问题的研究起始于1664年秋，当 时他认真研究了笛卡儿的《几何学》，对笛卡儿 求曲线的切线方法产生了浓厚的兴趣并试图寻找 更好、更一般的方法。 1666年10月，牛顿写出了第一篇关于微积分的论 文《流数短论》，在该文中首次提出流数的概念， 所谓流数就是速度，在变速运动中速度的路程对 时间的微商。至于速度的变化状况就要用速度的 微商来反映，即加速度是速度的微商。
先驱们的探索
17世纪以前，人类关于数学的知识基本上还停留 在初等数学的水平上，即常量数学的阶段。从17 世纪中叶到18世纪末，欧洲工业革命的兴起，广 泛地采用了机器，为了设计和制造机器，就需要 掌握机械运动的规律；水运的改进要求了解物体 在液体中的运动规律；船只稳定性的研究促进了 质点力学的发展；为了适应对外扩张和争霸的需 要，战争中广泛使用枪炮，这就要研究抛射体的 运动，所有这些生产和技术中出现的问题迫切要 求力学、天文学等基础学科的发展，但这些学科 都是离不开数学的，因而也就推动了数学的发展。
1667年牛顿重返剑桥大学， 10月1日被选为三一学院的仲 院侣，次年3月16日选为正院 侣。巴罗对牛顿的才华非常赏 识，1669年10月27日巴罗便 让年仅26岁的牛顿接替他担任 卢卡斯讲座的教授。1672年起 他被接纳为皇家学会会员， 1703年被选为皇家学会主席直 到逝世。
剑桥大学三一学院教堂内的牛顿塑像
科学的巨人——牛顿
当时英国社会渗入基督教新教思想，牛顿家里有 两位都以神父为职业的亲戚，这可能影响牛顿晚 年的宗教生活。 从这些平凡的环境和活动中，看不出幼年的牛顿 是一个才能出众异于常人的儿童。然而格兰瑟姆 中学的校长J.斯托克斯，还有牛顿的一位当神父 的叔父W.艾斯库别具慧眼，鼓励牛顿上大学读书。 在他们的鼓励下，牛顿于1661年以减费生的身份 进入剑桥大学三一学院，1664年成为奖学金获得 者，1665年获学士学位。
二组历史上的微积分的创立和发展
其中最著名的要数最速降线问题：即最快下降的曲线的问题。这个 曾经的难题用变分法的理论可以轻而易举的解决。
中国古代数学家也产生过积分学的萌芽思想，例如三国时期的刘徽，他对积分 学的思想主要有两点：割圆术及求体积问题的设想。
微积分的产生
到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也 就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大约有四种主要 类型的问题：
第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速 度的问题；第二类问题是求曲线的切线的问题；第三类问题 是求函数的最大值和最小值问题；第四类问题是求曲线长、 曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积 相当大的物体作用于另一物体上的引力。
让我们一起来了解微积分
› 微积分创立的历史过程 › 微积分创立的历史意义 › 微积分的发展及其价值
微积分的早期历史
从微积分成为一门学科来说，是在17世纪，但是积分的思想早在古代就已经产 生了。
公元前7世纪，古希腊科学家、哲学家泰勒斯就对球的面积、体积、与长度等 问题的研究就含有微积分思想。
公元前3世纪，古希腊的数学家、力学家阿基米德（公元前287~前212）的著 作《圆的测量》和《论球与圆柱》中就已含有积分学的萌芽，他在研究解决抛物线下 的弓形面积、球和球冠面积、螺线下的面积和旋转双曲线所得的体积的问题中就隐含 着近代积分的思想。
微积分创立历史中的“争斗”
› 前面已经提到，一门学科的创立并不是某一个人的业绩，而是经过多少人的 努力后，在积累了大量成果的基础上，最后由某个人或几个人总结完成的， 微积分也是这样。
微积分发展简史
微积分发展简史微积分是近代数学中最伟大的成就，对它的重要性无论作怎样的估计都不会过分.- 冯·诺依曼287 年: 阿基米德的"逼近法""给我一个支点，我可以撬动地球."对数学和物理学的影响极为深远，被视为古希腊最杰出的科学家. 他与牛顿和高斯被西方世界评价为有史以来最伟大的三位数学家.他利用“逼近法”算出球表面积、球体积、抛物线、椭圆面积，后世的数学家依据这种方法加以发展成近代的“微积分”.1620年费地的布面油画《沉思的阿基米德》263 年: 刘徽注释《九章算术》东方古代数学泰斗用割圆术计算圆周率, "割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣".求得圆周率的近似值为3.14, 这种极限思想和无穷可分甚至是古希腊数学不能比拟的.1088 年: 沈括著《梦溪笔谈》中国科学史上的重要文献北宋的沈括所著百科全书式的著作, 因为写于润州（今镇江）梦溪园而得名，收录了沈括一生的所见所闻和见解. 内容涉及天文、数学、物理、化学、生物、地质、地理、气象、医学、工程技术、文学、史事、美术及音乐等学科. 书中开创了“垛积术”(高阶等差级数求和), “会圆术”(求出弧长的方法). "棋局都数"的研究则暗用了组合方法和指数定律.1629 年: 费马“我发现了一个美妙的证明，但由于空白太小而没有写下来.”皮埃尔·德·费马法国律师和业余数学家(不过在数学上的成就不比职业数学家差). 费马引理给出了一个求出. 可微函数的最大值和最小值的方法。
因此，利用费马引理，求函数的极值的问题便化为解方程的问题.费马及费马最后定理1637 年: 笛卡尔"我思故我在. "勒内·笛卡尔, 法国著名哲学家、数学家、物理学家. 对数学最重要的贡献是创立了解析几何. 笛卡尔成功地将当时完全分开的代数和几何学联系到了一起, 他向世人证明，几何问题可以归结成代数问题，也可以通过代数转换来发现、证明几何性质, 为后人在微积分上的工作提供了坚实的基础.约 1150 : 婆什迦罗印度数学的最高成就婆什迦罗, 印度古代和中世纪最伟大的数学家, 天文学家. 对数学主要贡献: 比牛顿和莱布尼茨早五个世纪就构想了微积分; 采用缩写文字和符号来表示未知数和运算; 他广泛使用了无理数, 并在运算时和有理数不加区别.婆什迦罗及他设计的永动机1665 年: 牛顿与《广义二项式定义》"如果我比别人看得更远，那是因为我站在巨人的肩上. "艾萨克·牛顿, 英格兰物理学家, 数学家, 天文学家, 在老师巴罗的指导下, 1665年发表广义二项式定理，并开始发展一套新的数学理论，也就是后来为世人所熟知的微积分学, 牛顿称之为"流数术".1670 年: 伊萨克·巴罗《几何学讲义》"一个爱书的人，他必定不致缺少一个忠实的朋友，一个良好的老师，一个可爱的伴侣，一个优婉的安慰者."英国著名数学家, 1670 年发布的《几何学讲义》包含了他对无穷小分析的卓越贡献，特别是其中“通过计算求切线的方法”，十分接近微积分基本定理，微积分的最终制定后来由其学生艾萨克·牛顿完成.伊萨克·巴罗（1630年－1677年）1684 年: 莱布尼茨关于微分学的第一篇论文"世界上没有两片完全相同的树叶."戈特弗里德·威廉·莱布尼茨, 德意志哲学家、数学家, 获誉为十七世纪的亚里士多德.在数学上，他从几何角度和牛顿先后独立发明了微积分，1684年发表了第一篇微分学论文《一种求极大值、极小值和切线的新方法, 它也适用于有理量与无理量以及这种新方法的奇妙类型的计算》 , 他所发明了微积分的数学符号 dx, dy 和∫ 被更广泛的使用.莱布尼茨 1646~17161691 年: 约翰.伯努利著世界上第一本关于微积分的教科书瑞士的伯努利家族是世界颇负盛名的数学世家雅各布和弟弟约翰·伯努利是莱布尼茨的朋友，他们不但迅速掌握了莱布尼茨的微积分并加以发扬光大, 而且是最先应用微积分于各种问题的数学家.洛必达法则纠纷有一段时间，伯努利被洛必达聘请为私人数学老师。
微积分学发展简史
附录I 微积分学简史概念：微积分学分为微分学和积分学，是专指运用无穷小或无穷大等极限过程分析处理计算问题的学问.发展简史：1、荫芽阶段：(1)古希腊，欧多克斯(前408~前355)提出了穷竭法：一个量如减去大于其一半的量，再从余下的量中减去大于余量一半的量，这样一直下去，总可使某一余下的量小于已知的任何量.(2)阿里士多德(前384~332)严格区分实无限和潜无限，且只承认潜无限.(3)庄子(前355~前275)《天下篇》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。
(4)阿基米德(前287~212)在《抛物求积法》中用穷竭法求出抛物线弓形的面积。
即，逐次作出与该弓形同底等高的三角形(如图)，然后将这些三角形面积加起来. 第n 步时，这些三角形面积之和为： A(1+41+241+…+1-n 41)，A 为第一个三角形的面积. 又指出：A(1+41+241+…+1-n 41+1-n 4131 )=34A. 最后用穷竭法和反证法证明，抛物线弓形面积不能大于或小于34A. 标志着积分学的萌芽.(5)263年，刘徽为《九章算术》作注时提出“割圆术”用正多边形逼近圆周。
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合作而无所失矣”。
(6)1328年英国大主教布兰德瓦丁在牛津发表的著作中提到类似于均匀变化率和非均匀变化率的概念.2、酝酿阶段：(1)1615年开普勒在出版《新空间几何》中发展了阿基米德求面积和体积的方法，给出了92个阿基米德未讨论过的体积问题，并研究了酒桶的最佳比例。
在天文学研究中得到公式：⎰θinθs dθ=1-cosθ.(2)1635年卡伐列利出版了《不可分量几何学》，将面积的不可分量比作织成一块布的线，体积的不可分量比作一册书的各页，而不可分量的个数为无穷多，且没有厚薄和宽窄，已到达了积分学的边缘，且发现公式：⎰anx dx=1na1n++，n为正整数.(3)法国数学家帕斯卡(1623~1662)借助了略去高次项(即略去高阶无穷小)的方未能证明体积公式，并且注意到很小的弧和切线是可以相互代替的.(4)法国数学家费马(1601~1665)在求极大极小值上取得了非凡的成功，为微积分开辟了道路。
微积分创立和发展的人物
微积分创立和发展的人物微积分是数学中的重要分支，它的创立和发展历程离不开众多杰出的数学家的贡献。
以下是一些重要人物的简介。
1. 狄利克雷（Peter Gustav Lejeune Dirichlet，1805-1859）狄利克雷是19世纪初微积分分析的开拓者之一。
他创立了函数论，并深入研究了傅里叶级数的收敛性、调和函数的性质、无穷级数、特殊函数等问题。
他的工作对微积分的发展产生了重要影响。
2. 欧拉（Leonhard Euler，1707-1783）欧拉是18世纪欧洲著名的数学家，创立了微积分中的许多重要概念和方法。
他发展了微积分中的符号表示，如微分符号“dy/dx”、“∫”等，还研究了无穷级数、复变函数、数论、力学等领域的问题。
3. 勒贝格（Henri Lebesgue，1875-1941）勒贝格是20世纪著名的数学家，他对实变函数理论的发展作出了杰出贡献。
他提出勒贝格积分的概念，将微积分中的Riemann积分推广为更一般的形式。
勒贝格积分也为测度论和概率论的发展奠定了基础。
4. 约翰·贝努利（Johann Bernoulli，1667-1748）贝努利兄弟是17世纪微积分学的创始人之一。
约翰·贝努利的主要成就在于开拓了微积分的新领域，提出了微分方程的概念，还发现了一些微积分中的重要定理，如极值定理、积分中值定理等。
5. 纳皮尔（Richard Courant, 1888-1972）纳皮尔是20世纪微积分的发展推动者之一。
他是数学教育改革的倡导者，主张将微积分的学习与应用紧密结合。
他还创立了数学物理学研究所，并对微分方程、变分法、偏微分方程等方向做出了杰出贡献。
6. 韦尔斯（J. Willard Gibbs，1839-1903）韦尔斯是美国19世纪末微积分的开创者之一，他在热力学和物理化学的研究中发展了微积分的几何形式。
他将矢量分析与微积分相结合，创立了统计力学，并成为了世界著名的物理学家。
微积分的创立——卡瓦列利、笛卡尔
*笛卡尔主要数学思想：
*在他的著作《几何》中，笛卡尔将逻辑，几何，
代数方法结合起来，通过讨论作图问题，勾勒出 解析几何的新方法，从此，数和形就走到了一起， 数轴是数和形的第一次接触。并向世人证明，几 何问题可以归结成代数问题，也可以通过代数转 换来发现、证明几何性质。
*笛卡尔引入了坐标系以及线段的运算概念。他创
*
y
Y=f(x)该圆c(v,0)与y=f(x)相切时，
P(x,f(x))
点p是 f (x)2 (v x)2 r2的重根。
•
有重根x=e(任意值)的方程
2
f(x)
r C(V,0)
可以写成（x-e）2 Ci X i
1
V-X
x
V
x
另外，根据相似，1=2 ，
所以，切线斜率= v x
f (x)
*
C
N
D
*
z平2是行于OC底N线和段的OB平M方和。A
在这两个三角形中，任 E
何一个上的Z 2 之和表
示一个棱锥的体积
x
而这个棱锥的底面各边和高
都是
a
x2表示的棱锥的边和
C
高的一0 半（1 1 1 = 1） 2228
a Z 2 2 • 1 a x2 1 a x2
0
80
40
aM
B
x
z
G
2 x3 6 x2 y
（1）
另外：
a3 a a2 a (x y)2 a(2 x2 2 xy)
2 3
a3
2
(x
y)xy
2 3
a3
4
x2
y
x2
y
1 12
a3
微积分的产生17
经过中世纪的停滞时期后， 数学同自然科学一 经过中世纪的停滞时期后 ， 起 ， 在新出现的微积分的基础上开始了突飞猛进的 发展，这时公理化的方法才被人们遗弃了。 发展，这时公理化的方法才被人们遗弃了。
曾经极其广泛地开拓了数学领域的有创造才能 的先驱们， 的先驱们 ， 并不因为要使这些新发现受制于协调的 逻辑分析而束缚住自己， 因此， 在十七世纪， 逻辑分析而束缚住自己 ， 因此 ， 在十七世纪 ， 逐渐 广泛地采用直观证据来代替演绎的证明。 广泛地采用直观证据来代替演绎的证明 。 一些第一 流的数学家在确实感到结论无误地情况下， 流的数学家在确实感到结论无误地情况下 ， 运用了 一些新的概念， 有时甚至运用一些神秘的联想 。 由 一些新的概念 ， 有时甚至运用一些神秘的联想。 于对微积分新方法的全面威力的信念， 促使研究者 于对微积分新方法的全面威力的信念 ， 们走得很远（ 如果束缚于严格的限制的框架上 ， 这 们走得很远 （ 如果束缚于严格的限制的框架上， 将是不可能的） 。 不过只有具备卓越才能的数学大 将是不可能的 ） 师们才有可能能避免发生大错。 师们才有可能能避免发生大错。
微积分不仅使用了函数概念， 微积分不仅使用了函数概念，还引入 了两个全新的且更为复杂的概念： 了两个全新的且更为复杂的概念：微分和 积分。这样， 积分。这样，除了用来处理数值所需要的 基础外，还需要逻辑方面的基础。 基础外，还需要逻辑方面的基础。
微分与积分是分析中的两种基本的极限过程。 微分与积分是分析中的两种基本的极限过程 。 这两种过程的一些特殊的情况， 这两种过程的一些特殊的情况 ， 甚至在古代就已经 有人考虑过（ 在阿基米德工作中达到高峰） 有人考虑过 （ 在阿基米德工作中达到高峰 ） ， 而在 十六世纪和十七世纪 ， 更是越来越受到人们的重 视 。 然而 ， 微积分的系统发展是在十七世纪才开始 然而， 的 ， 通常认为是牛顿和莱布尼茨两位伟大的科学先 驱的创造。 这一系统发展的关键在于认识到： 驱的创造 。 这一系统发展的关键在于认识到 ： 过去 一直分别研究的微分和积分这两个过程， 一直分别研究的微分和积分这两个过程 ， 实际上是 彼此互逆的联系着。 彼此互逆的联系着。
微积分的发明历程
微积分的发明历程如果将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树的根,名目繁多的数学分支是树枝，而树干的主要部分就是微积分。
微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。
从17世纪开始，随着社会的进步和生产力的发展，以及如航海、天文、矿山建设等许多课题要解决，数学也开始研究变化着的量，数学进入了“变量数学”时代，即微积分不断完善成为一门学科。
整个17世纪有数十位科学家为微积分的创立做了开创性的研究，但使微积分成为数学的一个重要分枝还是牛顿和莱布尼茨.微积分的思想从微积分成为一门学科来说，是在17世纪，但是，微分和积分的思想早在古代就已经产生了.公元前3世纪，古希腊的数学家、力学家阿基米德(公元前287~前212）的著作《圆的测量》和《论球与圆柱》中就已含有微积分的萌芽，他在研究解决抛物线下的弓形面积、球和球冠面积、螺线下的面积和旋转双曲线的体积的问题中就隐含着近代积分的思想.作为微积分的基础极限理论来说，早在我国的古代就有非常详尽的论述，比如庄周所著的《庄子》一书中的“天下篇”中，著有“一尺之棰，日取其半,万世不竭”。
三国时期的高徽在他的割圆术中提出“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”.他在1615年《测量酒桶体积的新科学》一书中，就把曲线看成边数无限增大的直线形。
圆的面积就是无穷多的三角形面积之和，这些都可视为黄型极限思想的佳作。
意大利数学家卡瓦列利在1635年出版的《连续不可分几何》，就把曲线看成无限多条线段（不可分量）拼成的。
这些都为后来的微积分的诞生作了思想准备。
解析几何为微积分的创立奠定了基础由于16世纪以后欧洲封建社会日趋没落，取而代之的是资本主义的兴起,为科学技术的发展开创了美好前景。
到了17世纪，有许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述问题做了大量的研究工作.笛卡尔1637年发表了《科学中的正确运用理性和追求真理的方法论》（简称《方法论》），从而确立了解析几何，表明了几何问题不仅可以归结成为代数形式，而且可以通过代数变换来发现几何性质，证明几何性质。
微积分的起源
微积分的起源
微积分是数学中最基本的一门分支，它是在17世纪末由英国数学家斯诺克(Sir Isaac Newton)和德国数学家巴登(Gottfried Wilhelm Leibniz) 共同发明的，他们的几何方法发展的，称为微积分。
斯诺克是法国学者里昂-拉瓦尔（René Descartes）的粉丝，他受到里昂-拉瓦尔的启发，将几何形式引入微积分学的范畴。
斯诺克的著作“原始的力学”中，他将几何形式与物理相结合，提出了将几何形式应用于物理的想法，并把微积分应用于物理形式中。
巴登也是里昂-拉瓦尔的粉丝，他加入了斯诺克的想法，将里昂-拉瓦尔的几何学概念用于分析学，发展出了微积分学，并发表了一系列论文，这是微积分学发展过程中最重要的研究成果之一。
他把积分运算与微分运算结合起来，发展出了微积分学这一学科。
斯诺克和巴登的成就，使微积分学的发展成为可能。
如今，微积分学不仅在数学领域中有着广泛的应用，而且在物理、化学、生物、经济等诸多学科领域也有着重要的地位。
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3 2
(x y)
y
3
（1）
另外：
2 a a a a (x y) a (2 x 2 xy) 3 2 2
2 2 3 a 2 (x y) xy a 3 4 x 2 y 3 3 1 2 3 x y a 12
（2）
N
D
*
a 4 x 4 z
2 2 0 0 0 a a a 2
1 3 x a 3 0
2
a
*
几何反思:
0
a
A
E
x
a M
B
z
x 的几何图形是底 边为a的正方形， 高为a的四棱锥。
2
x
o
z
G
Y F
Y
H=a a
C
N
D
N=3时，
x
3
3
?
3 2 2
3 a
x 3 x y 3 xy 2 x 6 x y
v x 2 x3 v x 2 x3 切线斜率= 2 2x f (x) x
1 4 将（1）代入（2）式中 x a 4
3
*
*生平简介：
1596年3月31日生于法国安德尔-卢 瓦尔省的图赖讷拉海（现改名为笛 卡尔以纪念这位伟人），1650年2月 11日逝世于瑞典斯德哥尔摩。笛卡 尔是法国著名的哲学家、物理学家、 数学家、神学家，他对现代数学的 发展做出了重要的贡献，因将几何 坐标体系公式化而被认为是解析几 何之父。
f (x)
x
V-X
V
x
*
*例1：求y= x2
f (x) 解：
2
上任意一点P(x ,f (x))的切线斜率？
(v x) 2 r 2 (x e) 2 Ci X i
x 4 v 2 2vx x 2 r 2 (x e) 2 (x 2 ax b)
左右同次幂相等：
*
y Y=f(x)
2 2 2
1
该圆c(v,0)与y=f(x)相切时， P(x,f(x)) 点p是 f (x) (v x) r 的重根。 有重根x=e(任意值)的方程 2 r 2 i （ x-e ） C X 可以写成 i f(x) C(V,0)
1=2 ， 另外，根据相似， 所以，切线斜率= v x
2
A 平行于底线段的平方和。 在这两个三角形中，任 2 Z 何一个上的 之和表 示一个棱锥的体积
E
a M
B
z
x
o
x
G
Y F
z
Y
而这个棱锥的底面各边和高 a C 2 都是 x 表示的棱锥的边和 0 1 1 1 1 高的一半（2 2 2 = 8）
a a 1 1 2 2 2 Z 2 x x 8 0 4 0 0 a
x
a M
B
z
a a 令x z , y z 2 2
a a a xy z z z 2 2 2 4
2
x
o
z
G
Y F
Y
a
0
a 0
a
2
4 x 4 z
2 0 0
a
a
2
C
N
D
2 Z 怎么求？
*
OCN和 OBM z 是
D
另外：
a x y x y
由于x、y对称
a
0
a
0
2 x
0
0
a
1 2 x a 2 0
a
*
几何反思：
a
1 2 X a 2 0
a
A
x
x
a
B
G Y
Y
x 的几何图形就是边长为a E 0 的等腰直角三角形的面积。
F
a
0
a
的几何图形就是边长为a 的正方形的面积。
图1
图2
*
*卡瓦列利不可分量原理：
夹在两个平行平面之间的两个立体图形，被 平行于这两个平面的任意平面所截，如果所得的 两个截面的面积相等，那么这两个立体图形的体 积相等。
平面 1
平面 2 图1 图2
*卡瓦列利不可分量原理：
如果两个立体高度相等，任何两个分别与两 底平行与两底距离相等的平面与两个立体相交所 得截面面积之比恒等于给定的比，则两个立体体 积之比也等于给定的比。
*笛卡尔主要数学思想：
*在他的著作《几何》中，笛卡尔将逻辑，几何，
代数方法结合起来，通过讨论作图问题，勾勒出 解析几何的新方法，从此，数和形就走到了一起， 数轴是数和形的第一次接触。幵向世人证明，几 何问题可以归结成代数问题，也可以通过代数转 换来发现、证明几何性质。 新地将几何图形‘转译’代数方程式，从而将几 何问题以代数方法求解，这就是今日的“解析几 何”或称“座标几何”。
C(X) P(X) x h
*
r
1
1
*
*
S C (X) S P (X)
x 2 (r ) h x 2 ( ) h
r2 ,
V 圆锥 = r 2 V 四棱锥
C(X)
P(X)
x h
r
1
1
*
卡瓦列利应用不可分量原理的应用
——推理出幂函数的积分公式：
a x dx (n 1、、、、、、、、 2 3 4 5 6 7 8 9) n 1 0
*笛卡尔引入了坐标系以及线段的运算概念。他创
*笛卡尔设想的“万能方法”：
任何问题
数学问题
代数问题 方程问题
*如何求曲线y=f(x)的过任意一点p(x,f(x))的切线
斜率？
*
笛卡尔：（1）通过构造一个半径是r圆心为c的圆； （2）圆与y=f(x)相切时，CP 就是法线； （3）做CP的垂线就是切线。
C
D
*
N=2时，
2 X ？ 0
a
A
2
a M
B
z
a
0
a
2
x y
0 a 0
a
E
a
x
o
x
G
Y F
(
2 2 x 2 xy y 0 0
a
z
Y
x、y有对称性)
a a 0 0
2 x 2 2 xy
C
N
D
*
2 2 a 2 x 2 xy
A
E
n a n 1
*
当n=1时，有 X
0 a
？
EF//AB且EF交CB于G点 令AB=AC=a , EG= x ,GF= y a=x + y
按照卡瓦列利的不可分量法： 面积是由无穷多个线段组成。
A
E
x
a
B
GY
Y
x
F
a a a
A 0
a a 0 0
Ca2源自（正方形ABCD面积） C
a a
*
*卡瓦列利基本思想：
点、线、面、体的兲系 线是由无穷多个点构成的，面 是由无穷多条线构成的，体则是由 无穷多个面构成的。
点、线、面分别就是线、面、体 的不可分量。
*
*卡瓦列利不可分量原理：
夹在两条平行直线之间的两个平面图形，被 平行于这两条直线的任意直线所截，如果所得的 两条截线长度相等，那么这两个平面图形的面积 相等；
*
卡瓦列利的不可分量法 笛卡尔的“圆法”
*
*生平简介： 是意大利著名的数学家，1598年生
于米兰。1629年，大科学家枷俐略向波伦亚大学 推荐卡瓦列利为数学教授。与此同时，卡瓦列利又 将自己的《几何学》手稿和一本论圆锥曲线及其在 光学上的应用的小册子呈送给主选官，以证明自己 能够胜任此职。果然不出所料，在众多申请求职者 中，卡瓦列利获波伦亚大学首任教授之职。从此， 他在波伦亚大学从事教学和研究工作，直到1647 年去世，他共出版11部著作，其中包括著名的《几 何学》，《一百个不同的问题》等等。