ch1c-2018

x1 , x2 (,0], f ( x1 ) f ( x2 ), f ( x )在(,0]上严减； x1 , x2 [0,), f ( x1 ) f ( x2 ), f ( x )在[0,)上严增 .
f ( x )在(,)上不是单调的 .
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例4：设函数f(x)和g(x)在区间(a,b)内均为单增函 数，证明：u(x)=max{f(x), g(x)}, v(x)=min{f(x), g(x)}在区间(a,b)内也均为单增函数。 证明：任取x1和x2∈(a,b)，且设x1<x2。那么有 f(x1)≤ f(x2)， g(x1)≤ g(x2)。而 u(x2)=max{ f(x2), g(x2)}≥ f(x2)≥ f(x1)， u(x2)=max{ f(x2), g(x2)}≥ g(x2)≥g(x1)， 因此 u(x2)≥ max{ f(x1), g(x1)}=u(x1)，u(x)为(a,b) 上的单增函数。 由v(x1)≤ f(x1)≤ f(x2)，v(x1)≤ g(x1)≤ g(x2)，故 v(x1)≤min{ f(x2), g(x2)}≤ v(x2) v(x)也为(a,b)上的单增函数。
y f ( x)
自变量(Independent Variable)
因变量(Dependent Variable)
当x 0 D时, 称y 0 f ( x 0 )为 函 数 在 点 x0 处 的 函 数 值 , 也可记为 y x x .
0
函 数 值 全 体 组 成 的 数R 集 ( f ) { y y f ( x ), x D( f )} 称为函数的值域 ( Range).
绝对值不等式:
x a ( a 0) x a ( a 0)
a x a;
x a 或 x a;
6
4.邻域(Neighborhood)
设a与是两个实数, 且 0.
数集{ x x a }称为点a的邻域 ,
点a称为该邻域的中心 , 称为该邻域的半径 .
y
1
• o 无理数点 有理数点
x
17
(4) 取最值函数
y max{ f ( x ), g( x )
y min{ f ( x ), g( x )}
y
f ( x) g( x )
o
x
o
x
18
在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的
式子来表示的函数,称为分段函数.
12
如果自变量在定 义域内任取一个数值 时，对应的函数值总 是只有一个，这种函 数称为单值函数，否 则称为多值函数．
例如， y 2 2 px( p 0)
y
R
y
( x, y)
x
o
D
x
定义: 点集C {( x , y) y f ( x ), x D} 称为
函数y f ( x )的图形.
R----实数集(Set of Real Numbers) 数集间的关系: N Z , Z Q , Q R.
若A B, 且B A, 就 称 集 合 A与B相 等. ( A B )
例如 A {1,2}, C { x x 3 x 2 0}, 则 A C .
a的左邻域 a的右邻域
的M (M 0)邻域OM () :
OM () { x x M } (, M ) ( M ,)
M

O M ( )
O
M
8
§1.2 函数概念
例 圆内接正多边形的周长
S n 2nr sin n
S3
S4
S5
圆内接正n 边形
S6
O
n 3 ,4 ,5 ,
11
函数的两要素: 定义域与对应法则. D x0 ) x (
对应法则f
自变量
(
R
y
f ( x0 )
)
因变量
约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义的一 切实数值，在实际背景的函数中的按实际意义确定.
1 例如， y 1 x2
D : ( 1,1)
两个函数相同 定义域和对应法则均相 同
x2 2x 1 y 与 y x 1不 同 x 1
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定义1.2 设有两个变量 x与y，D是一个给定的实数集合 . 如果存在一个确定的法 则(对应法则) f , 使得对每一个 x D，都有唯一的一个实数 y与之对应，则称这个对 应 法则f为定义在实数集合 D上的一个一元函数，简 称 为函数.D称为f的定义域( Dom ain ), 记为D( f ).
第1章 函数(Functions)
§1.1 §1.2 §1.3 §1.4 §1.5 §1.6 §1.7 预备知识 函数概念 函数的几何特征 反函数 复合函数 初等函数 简单函数关系的建立
1
§1.1 预备知识
1.集合 具有某种特定性质的事物的总体. (Set): 组成这个集合的事物称为该集合的元素.
两端点间的距离(线段的长度)称为有限区间的长度.
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3.绝对值(Absolute Value)
性质:
a a0 ( a 0) a a a 0 a 0; a a ; a a a ;
运算性质:
ab a b ;
a a ( b 0); b b
a b a b; a b a b .
故 D f : [3,1]
21
分段函数的定义域是各 段定义域的并集
§1.3 函数的几何特征
1．函数的有界性 若X D, M 0, x X , 有 f ( x ) M 成立, 则称函数 f ( x )在X上有界 .否则称无界 ,
若M 0, x0 X , 有 f ( x0 ) M .
2
不含任何元素的集合称为空集. (记作 )
例如, { x x R, x 1 0}
2
规定 空集为任何集合的子集.
3
2.区间(Interval)
a, b R, 且a b.
{ x a x b} 记作 (a, b)
称为开区间(Open Interval),
o a x b { x a x b} 称为闭区间(Closed Interval),
x sgn x x
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(2) 取整函数 y=[x](高斯函数,Greatest Integer Function)
[x]表示不超过 x 的最大整数
4 3 2 1 o y
-4 -3 -2 -1
x 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4
阶梯曲线
16
(3)* 狄利克雷函数
1 当x是有理数时 y D( x ) 0 当x是无理数时
函数的表示法有三种： 表格法、图示法和解析 法.
13
映射与函数的定义比较 ：
定义：设 X ,Y是 两 个 非 空 集 合 ， 若 在 存一 个 法 则f， 使 得 对 X中 每 个 元 素 x， 按 法 则 f , 在Y中 有 唯一确定的元素 y与 之 对 应 ， 则 称 f为 从X到Y 的映射，记作 f : X Y.
1 例 ：f ( x ) 在(0, 1)内 没 有 上 界 x ( M 0, x0 1 / 2 M , f ( x0 ) 2 M M ), 但有下界 , 如1.
函数在 D上有界 函数在 D上有上、下界
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2．函数的单调性(Monotonicity) 设函数 f ( x)的定义域为 D, 区间I D,
O (a) { x a x a } (a , a ).
a
a
a
x x
7


a
a
a
点a的去心邻域 , 记作 O (a) /{a}.
O (a ) /{a } { x 0 x a } (a , a ) (a , a )
记作 [a, b]
o
a
b
x
4
{ x a x b} { x a x b}
称为半开区间, 记作 [a , b) 称为半开区间, 记作 (a , b] 有限区间
[a ,) { x a x }
( , b) { x x b}
无限区间
o
a o
b
x x
有限区间长度的定义:
n
r
9
1.常量与变量 在某过程中数值保持不变的量称为常量,如上 例中的 r , . 而数值变化的量称为变量.如上 例中的 n. 通常用字母a, b, c等表示常量, 用字母x, y, t等表示变量. 变量的取值范围称为变域。若为区间，则变量 是连续变量，否则为离散变量.如上 例中的 n.
1 2 如 ： 物 理 中 自 由 落 体距 的 离s与 时 间 t的 关 系 为 s gt ， 2 其中变量 t的 取 值 为 (0, T0 ),T0 为 某 个 实 数 .t为 连 续 变 量 .
I
x
24
设函数 f ( x)的定义域为 D, 区间I D,
如果对于区间I 上任意两点x1及 x2 , 当 x1 x2时,
恒有 (2) f ( x1 ) f ( x 2 )( f ( x1 ) f ( x 2 )),
则称函数f ( x )在区间I上是单调减少 (严格减少 )的;
单调增加和单调减少函 数统称为单调函数 .
例如,
2 x 1, f ( x) 2 x 1,
y x2 1
x0 x0
y 2x 1
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. 例1 求函数 y 16 x lgsin x 的定义域
2
解
16 x 2 0 4 x 4 由 , 可得 2k x (2k 1) sin x 0 k 0, 1, 2,.
y M y=f(x) o 有界 x X o -M y
M
x0
X 无界
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x
-M
定义：设函数 f ( x )在 集 合 D内 有 定 义 ， 若 存 在 数 A( B ), 使 得 对 每 一 个 x D， 都 有 f ( x) A (或f ( x ) B )成 立 ， 则 称 函 数 f ( x ) 在 D内 有 上 界 (或 有 下 界 )， 也 称 f ( x ) 是 D内 有 上 界 (或 有 下 界 ) 的 函 数.
如果对于区间 I 上任意两点 x1及 x 2 , 当 x1 x 2 时, 恒有 (1) f ( x1 ) f ( x 2 )( f ( x1 ) f ( x 2 )),
则称函数f ( x )在区间I上是单调增加 (严格增加 )的 ;
y
y f ( x)
f ( x2 )
f ( x1 )
o
y
y f ( x)
f ( x1 )
f ( x2 )
o
I
x
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注 ： 讨 论 函 数 单 调 性， 时必 须 在 某 个 区 间 上论 讨， 若 题 目 未 给 出 区 间 ，在 指定 义 域 内 的 单 调 性 .
2 讨论 y 2 x 1的单调性 . 例3
解
2 2 x1 x2 , f ( x1 ) f ( x2 ) 2( x1 x2 )
定义：设数集 D R， 则 称 映 射 f : D R为 定义在 D上 的 函 数 , 简 记 为 y f ( x ), x D.
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几个特殊的函数举例
(1) 符号函数
1 y
1 当x 0 y sgn x 0 当x 0 1 当x 0
o
x
-1
2
4

0
4
定义域为： [4, ) (0, ).
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1 0 x1 设f ( x ) , 求函数 f ( x 3)的定义域. 2 1 x 2
解
例2
1 0 x1 f ( x) 2 1 x 2 1 0 x31 f ( x 3) 2 1 x 3 2 1 3 x 2 2 2 x 1
a M,
a M,
有限集
A {a1 , a2 ,, an }
M { x x所具有的特征} 无限集
若x A, 则必x B, 就说A是B的子集 ( Subset).
记作 A B.
2
数集分类: N----自然数(Natural Numbers)集(非负整数) Z----整数集(Set of Integers) Q----有理数集(Set of Rational Numbers)