双曲线教案完整篇

2.3.1双曲线及其标准方程

教学目标：

1.知识与技能

掌握双曲线的定义,标准方程,并会根据已知条件求双曲线的标准方程. 2.过程与方法

教材通过具体实例类比椭圆的定义,引出双曲线的定义,通过类比推导出双曲线的标准方程.

3.情感、态度与价值观

通过本节课的学习,可以培养我们类比推理的能力,激发我们的学习兴趣,培养学生思考问题、分析问题、解决问题的能力.

教学重点:双曲线的定义、标准方程及其简单应用

教学难点:双曲线标准方程的推导

授课类型：新授课

教具：多媒体、实物投影仪

教学过程:

一.情境设置

1.复习提问：

(由一位学生口答，教师利用多媒体投影)

问题 1：椭圆的定义是什么？

问题 2：椭圆的标准方程是怎样的？

问题3：如果把上述椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会发生什么变化？它的方程又是怎样的呢？

2.探究新知:

(1)演示：引导学生用《几何画板》作出双曲线的图象，并利用课件进行双曲线的模拟实验，思考以下问题。

(2)设问：①|MF

1|与|MF

2

|哪个大？

②点M到F

1与F

2

两点的距离的差怎样表示？

③||MF

1|-|MF

2

||与|F

1

F

2

|有何关系？

（请学生回答：应小于|F

1F

2

| 且大于零，当常数等于|F

1

F

2

| 时，轨迹是以

F 1、F

2

为端点的两条射线；当常数大于|F

1

F

2

| 时，无轨迹）

二.理论建构

1.双曲线的定义

引导学生概括出双曲线的定义：

定义:平面内与两个定点F

1、F

2

的距离的差的绝对值等于常数（小于<|F

1

F

2

|）

的点轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。（投影）

概念中几个关键词：“平面内”、“距离的差的绝对值”、“常数小于21F F ” 2.双曲线的标准方程

现在我们可以用类似求椭圆标准方程的方法来求双曲线的标准方程，请学生思考、回忆椭圆标准方程的推导方法，随即引导学生给出双曲线标准方程的推导（教师使用多媒体演示）

（1）建系

取过焦点F 1、F 2的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系。

(2) 设点

设M （x ,y ）为双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2c （c>0），则F 1（－c ，0）、F 2（c ，0），又设点M 与F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数2a （2a <2c ）.

（3）列式

由定义可知,双曲线上点的集合是P={M|||MF 1|－|MF 2||=2a }. 即:

（4）化简方程

由学生板演，教师巡视。化简，整理得：

移项，两边平方得

两边再平方后整理得

由双曲线定义知

这个方程叫做双曲线的标准方程，它所表示的双曲线的焦点在x 轴上，焦

()(),

22

22

2a y c x y c x =+--

++()()a

y c x y c x 22

22

2±=+--

++()2

22y c x a

a cx +-±=-()()

2

2222222

a c a y a x a c

-=--)

0,0(1)0(,0,2222

2222222>>=->=->-∴>>b a b

y a x b b a c a c a c a c 代入上式整理得设即

点是F 1（-c ，0）、F 2（c ，0），

思考: 双曲线的焦点F 1（0,－c ）、F 2（0,c ）在y 轴上的标准方程是什么?

学生得到: 双曲线的标准方程:)0(,122

22>>=-b a b

x a y .

注:

(1).双曲线的标准方程的特点：

①双曲线的标准方程有焦点在x 轴上和焦点y 轴上两种：

焦点在x 轴上时双曲线的标准方程为：122

22=-b y a x (0>a ,0>b )；

焦点在y 轴上时双曲线的标准方程为：122

22=-b

x a y (0>a ,0>b )

②c b a ,,有关系式222b a c +=成立，且,0,0>>>c b a

其中a 与b 的大小关系:可以为a b a b a ><=,,(2).焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母

2x 、2y 项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在

的轴 而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即2x 项的系数是正的，

那么焦点在x 轴上；2y 项的系数是正的，那么焦点在y 轴上

三.数学应用

例1已知双曲线两个焦点的坐标为)0,5()0,5(21F F ，-，双曲线上一点P 到

21F F ，的距离之差的绝对值等于8，求双曲线标准方程

解：因为双曲线的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为

122

22=-b

y a x (0>a ,0>b )∵102,82==c a ∴5,4==c a ∴45222=-=b

所求双曲线标准方程为

116

92

2=-y x 变式1:若|PF 1|-|PF 2|=6呢？ 变式2:若||PF 1|-|PF 2||=8呢？ 变式3:若||PF 1|-|PF 2||=10呢？