2019年高中数学必修四世纪金榜课件2.2.2向量减法运算及其几何意义2.探究导学课型2.2.2

(2)向量减法的几何意义 如图,设 OA =a, OB =b,
则 BA =a-b,即a-b表示从向量_b_的终点_B_指向被减向量 _a_的终点_A_的向量.
【微思考】 1.移项法则对向量等式适用吗?即若a-c=b-d,则 a+d=c+b成立吗? 提示:成立,移项法则对向量等式适用.
2.若|a|=|b|,则a=b或a=-b吗? 提示:若|a|=|b|,但两向量不一定共线,故不一定有 a=b或a=-b成立.
2.2.2 向量减法运算及其几何意义
主题 向量减法及其几何意义 1.实数a的相反数是-a,-a的相反数是a,0的相反数是0, 若把实数a换成向量a,结论还成立吗? 提示:成立.向量a的相反向量是-a,-a的相反向量是a,0 的相反向量是0.
பைடு நூலகம்
2.我们知道,在数的运算中,减去一个数等于加上这个 数的相反数,向量的减法是否也有类似的法则?如何理 解向量的减法呢? 提示:向量的减法有类似的法则,即a-b可理解为向量a 加上向量b的相反向量.
(3)当a,b共线且反向时,a-b与a同向,与b反向,且|ab|=|a|+|b|. 综上所述,对于任意两个非零向量,总有下列向量不等 式成立:||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|.
【预习自测】
1.给出下列运算:
①AB AC BC 0;②AB CB CA 0;
③AB AC BD CE ED;④ AB CD AC BC
(2)如图,已知向量a,b,c不共线,求作向量a+b-c.
【解题指南】(1)可以通过相反向量,把向量减法运算 转化为加法运算也可直接利用向量减法的三角形法则. (2)在平面内任取一点O,先利用向量加法的三角形法则 作出a+b,然后再用向量减法的三角形法则作a+b-c.
【解析】1①原式 AB （CD CB） AB BD AD ；
②原式 AD BC （BM MC） AD BC BC AD； ③原式 AC CD AD; ④原式 MB AD MB AD, 所以只有④不能化为AD. 答案：④
（2）方法一：如图1所示，在平面内任取一点O，作OA a, AB b,则OB a b,再作OC c,则CB a b c. 方法二：如图2所示，在平面内任取一点O，作OA a, AB b,则OB a b,再作CB c,连接OC,则OC a b c.
【解析】①原式 NP MN MP NP PN NP NP 0. ②原式 AB CD AC BD （AB AC）（DC DB） CB BC CB CB 0.
【解析】选A.AC AD DC AB.
3.在平行四边形ABCD中,-的结论正确的是
.
①AB；②BA; ③CD; ④DC.
【解析】因为AC AD DC， 又因为四边形ABCD为平行四边形,
所以DC AB. 所以①④正确. 答案：①④
4.已知两向量a和b,如果a的方向与b的方向垂直,那么
3.作两个向量的差的前提是什么? 提示:将两个向量移到共同的起点.
【拓展延伸】非零向量的差的三角不等式 (1)当a,b不共线时,根据三角形边长的不等关系知 ||a|-|b||<|a-b|<|a|+|b|. (2)当a,b共线且同向时, 若|a|>|b|,则a-b与a,b同向,且|a-b|=|a|-|b|; 若|a|<|b|,则a-b与a,b反向,且|a-b|=|b|-|a|.
CD.
其中,所有正确的个数为 ( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选C.①AB AC BC CB BC 0; ②AB CB CA AB BC CA AC CA 0;
③AB AC BD CE AB AC BD CE
3.由于a-b=a+(-b).因此要作出a与b的 差向量a-b,可以转化为作a与-b的和 向量.已知向量a,b如图所示,你能利 用平行四边形法则作出差向量a-b吗?
提示：利用平行四边形法则.在平面内任取 一点O,作OA a,OB b作OC b,以 OA, OC为邻边作平行四边形OAEC，则OE a-b
【方法总结】向量减法运算的常用方法 (1)可以通过相反向量,把向量减法的运算转化为加法 运算. (2)运用向量减法的三角形法则,此时要注意两个向量 要有共同的起点. (3)引入点D,逆用向量减法的三角形法则;将各向量起 点统一.
【巩固训练】(1)化简下列式子:
①NQ PQ NM MP； ②（AB CD）（AC BD）.
CB BD CE CD CE ED;
④ AB CD AC BC AB CD AC BC AB BC AC CD AC AD DC.
2.在平行四边形ABCD中, AC AD等于 ( )
A.AB B.BA C.CD D.DB
|a+b|
|a-b|.(填写“=”“≤”或“≥”)
【解析】以a,b为邻边的平行四边形是矩形,矩形的对 角线相等.由加减法的几何意义知|a+b|=|a-b|. 答案:=
类型一 向量的减法及其几何意义
【典例1】(1)(2017·南京高一检测)下列四个式子,不
能化简为 AD 的序号是
.
①（AB CD） CB；②（AD BM）（BC MC）；③OC OA CD；④MB AD BM.
结论: 1.相反向量及性质 (1)定义 与a长度_相__等__,方向_相__反__的向量,叫做a的相反向量,记 作: _-_a_.
(2)性质 ①-(-a)=_a_. ②如果a,b是互为相反的向量,那么a+b=_0_. ③a-b=a+(_-_b_). ④零向量的相反向量仍是零向量.
2.向量的减法及几何意义 (1)向量的减法 向量a加上向量b的相反向量,叫做a与b的差,即a-_b_= a+(-b),即为两个向量差的运算.