4 拉普拉斯变换

F (ω)e j t d ω F 1 f (t )
引
言
•为了解决对不符合狄氏条件信号的分析，可利用本章要讨论的拉 氏变换法扩大信号变换的范围。 •优点：
•求解比较简单，特别是对系统的微分方程进行变换时，初始 条件被自动计入，因此应用更为普遍。
•缺点：
•物理概念不如傅氏变换那样清楚。
只有信号
f 4 (t )
可以用延时性质
1 s t0 1 1 F1 ( s) L t t0 2 t0 2 s s s 1 s t0 F2 ( s) L (t t0 )u (t ) F1 ( s) 2 s 1 st0 F4 ( s) L (t t0 )u (t t0 ) 2 e s F3 ( s ) L tu (t t0 ) L (t t0 )u (t t0 ) t0u (t t0 )


令 则


f (t ) e ( j )t d t F ( j )
，具有频率的量纲，称为复频率 j s
F (s) f (t ) e s t dt


一．拉普拉斯变换的定义
2．拉氏逆变换

F ( j ) f (t ) e
§ 4 拉普拉斯变换
引
言
•以傅立叶变换为基础的频域分析方法的优点在于：它给出的结果有 着清楚的物理意义 ，但也有不足之处，傅立叶变换只能处理符合狄利 克雷条件的信号，而有些信号是不满足绝对可积条件的，因而其信号 的分析受到限制；

1 f (t ) 2


f (t ) d t
•另外在求时域响应时运用傅立叶反变换对频率进行的无穷积分求解 困难。
二．拉氏变换的收敛域
•收敛域：使F(s)存在的s 的区域称为收敛域。
•记为：ROC(region of convergence)
•实际上就是拉氏变换存在的条件；
lim f (t ) eσ t 0
t
(σ σ0 )
收敛区
jω
收敛轴
收敛坐标
σ0
O
σ
二．拉氏变换的收敛域
说明：
1. 满足 lim f (t ) e t 0(σ σ 0 ) 的信号称为指数阶信号；
1 1 f1 (t ) F1 (s) f2 (t ) F2 (s) (s 1)(s 2) s 1
例：已知
求
f1 (t ) f2 (t )
的拉普拉斯变换
F( s)
解：F(s) F1 (s) F2 (s)
1 1 s 1 1 s 1 (s 1)(s 2) (s 1)(s 2) s 2
三．一些常用函数的拉氏变换
6．衰减的正余弦信号
L[e t sin(0t )u (t )] 1 ( j0 )t ( j0 ) t L (e e )u (t ) 2 j 1 1 1 ( ) 2 j s j0 s j0
二．延时（时域平移）
例 已知
f (t) t u (t 1), 求 F( s)
解： F ( s ) L[tu (t 1)] L[(t 1)u (t 1) u (t 1)]
1 1 s ( 2 )e s s
π 例 已知 f (t )＝ 2 cos(t )u (t ), 求F ( s)。 4 π π 解：f (t ) 2 cos t cos 2 sin t sin cos t sin t 4 4 s 1 s 1 F (s) 2 2 1 s 1 s 1 s2
三．一些常用函数的拉氏变换
1.阶跃函数
L u(t )
2.指数函数

0
1 st e 1 e d t s
st
(αs )t
0
1 s
L e
α t
0 e


α t st
1 e e dt sα (α s ) 0
全 s 域平面收敛
一．拉普拉斯变换的定义
1. 从傅立叶变换到拉普拉斯变换 信号 f (t) 乘以衰减因子
e t ( 为任意实数)后容易满足绝
t
对可积条件，依傅氏变换定义：
F1 ( ) F f (t ) e

t j t f ( t ) e e dt
说明：前面求正余弦信号的拉普拉斯变换时已经用到了线性性。
二．延时（时域平移）
若 则 证明：
L f (t ) F ( s ) L f (t t0 )u (t t0 ) F ( s ) e st0

L f (t t0 )u (t t0 ) f (t t0 )u (t t0 ) e st d t
t0 st0 s t0 1 st0 F4 ( s ) e e 2 s s
二．延时（时域平移）
时移性质的一个重要应用是求单边周期信号的拉普拉斯变换。
f (t ) fT (t )u (t ) f1 (t )u (t ) f1 (t T )u (t T ) f1 (t 2T )u (t 2T )
F ( ) f (t ) e jω t d t
0
0
系统，相应的单边拉氏变换为
F ( s ) L f (t ) f (t ) e s t d t 0 1 σ j 1 st f (t ) L f (t ) F ( s ) e ds 2 π j σ j

其中
s j ；若 取常数，则 d s jd
积分限：对 所以
:

对s:Biblioteka j j1 j st f (t ) F ( s ) e ds 2 π j j
一．拉普拉斯变换的定义
3．拉氏变换对
F ( s) L f (t )
•收敛域
0 ( s ) 2 0 2
•收敛域
Re[ s ] > -
Re[ s ] > -
§ 4.2 拉普拉斯变换的基本 性质
一．线性性
若 则
L f1 (t ) F1 ( s ), L f 2 (t ) F2 ( s ), K1 , K 2为常数 L K1 f1 (t ) K 2 f 2 (t ) K1F1 ( s ) K 2 F2 ( s )
t
2. 有界的非周期信号的拉氏变换一定存在；
3. lim t e
t n t
0
( 0)
4. lime t e t 0
t
( α)
5.
e
t2
等信号 比指数函数增长快，找不到收敛坐标，为非指数阶信号，
无法进行拉氏变换；
6. 一般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范围。

( j ) t
对于
f (t ) e t 是 F ( j )
t
dt F ( s) f (t ) e s t dt

的傅立叶逆变换
f (t ) e
t
两边同乘以 e
1 j t F ( j ) e d 2π
1 ( j ) t f (t ) F ( j ) e d 2π
二．延时（时域平移）
1 例： 已知单位斜变信号 t u (t ) 的拉普拉斯变换为 2 s 求 f1 (t ) t t0，f 2 (t ) (t t0 )u (t )，f 3 (t ) t u (t t0 )， f 4 (t ) (t t0 ) u (t t0 )
(2)信号一定是右移 (3)表达式
所表示的信号不能用时移性质
二．延时（时域平移）
例：已知
1 f (t ) 0
0<t <t0
其余
求
F( s)
解： 因为
所以
f (t ) u (t ) u (t t 0 )
F ( s) L[ f (t )] L[u (t )] L[u (t t0 )] 1 1 st0 1 e (1 e st0 ) s s s
解：4种信号的波形如图
f1 (t ) t t0
f 2 (t ) (t t 0 )u (t )
的拉普拉斯变换
0
t0
t
0
t0
t
f 3 ( t ) t u (t t 0 )
f 4 (t ) ( t t 0 ) u ( t t 0 )
0
0
t0
t
t0
t
二．延时（时域平移）
L t 0 t e d t
t n st e s

1 st t e s
0

0
e dt
st
三．一些常用函数的拉氏变换
5．正余弦信号
L[sin(0t )u (t )] 1 j0t -j0t L (e e )u (t ) 2 j 1 1 1 ( ) 2 j s j0 s j0
L[e t cos(0t )u (t )] 1 ( j0 ) t ( j0 ) t L (e e )u (t ) 2 1 1 1 ( ) 2 s j0 s j0 s ( s ) 2 0 2
F ( s ) F1 ( s ) F1 ( s )e Ts F1 ( s )e 2Ts 1 F ( s) Ts 1 1 e
结论：单边周期信号的拉普拉斯变换
等于第一周期波形的拉普拉斯变换乘以
例：周期冲击序列 T (t )u (t )的拉氏变换为
1 1 e Ts
1 T (t )u (t ) 1 eTs
1


f (t ) e s t d t
正变换 反变换
1 σ j st f (t ) L f (t ) F ( s ) e ds 2 π j σ j
记作 考虑到实际信号都是有起因信号 所以 采用
f (t ) F ( s)， f (t ) 称为原函数，F ( s) 称为象函数
0
令τ
t t0
f (t t0 ) e st d t
t0

f ( τ ) e st0 e sτ d τ
0

F ( s) e st0
二．延时（时域平移）
注意：
(1)一定是
f (t t0 )u (t t0 )的形式的信号才能用时移性质 t0 0。 f (t t0 )，f (t )u (t t0 )，f (t t0 )u (t )等
L[cos(0t )u (t )] 1 j0t L (e e-j0t )u (t ) 2 1 1 1 ( ) 2 s j0 s j0 s 2 s 0 2
•收敛域
0 2 s 0 2
•收敛域
Re[s] > 0
Re[s] > 0

(σ α )
3.单位冲激信号
L (t ) (t ) e st d t 1
0
0
L (t t0 ) (t t0 ) e st d t e st0
三．一些常用函数的拉氏变换
4．幂函数 t
n n
nu( t )
st
1 1 1 st n n 1 st e 2 t e d t 0 0 s s s 0 s n n 1 st n2 t e dt 2 2 1 2 s 0 2 L t L t 2 3 n n n 1 s s s s 所以 L t L t s n3 n 1 3 3 2 6 3 2 L t L t 3 4 st L t t e d t s s s s 0 n! n 所以 L t n 1 1 st t de s 0 s