概率论与数理统计考试试卷

2011 ~2012 学年第一学期《概率论与数理统计》考试试题A卷班级（学生填写）： 姓名： 学号： 命题： 审题： 审批：

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（答题不能超出密封线）

使用班级（老师填写）：数学09-1,3班可以普通计算器

题号一二三四五六七八九总分得分

阅卷

人

一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填

在括号中）

（本大题共 11 小题，每小题2分，总计 22 分）

1、设A,B为随机事件,则下列各式中不能恒成立的是(C ).

A.P)

B.,其中P(B)>0

C. D.

2、为一列随机事件,且,则下列叙述中错误的是(D ).

A.若诸两两互斥,则

B.若诸相互独立,则

C.若诸相互独立,则

D.

3、设有个人,,并设每个人的生日在一年365天中的每一天的可能性为均

等的,则此个人中至少有某两个人生日相同的概率为( A ).

A. B. C. D.

4、设随机变量X服从参数为的泊松分布，且则的值为( B ）.

A. B. C. D..

解：由于X服从参数为的泊松分布，故.又故，因此

5、设随机变量X的概率密度函数为的密度函数为(B ).

A. B.

C. D.

解：这里，处处可导且恒有，其反函数为，直接套用教材64页的公式（5.2），得出Y的密度函数为

6、若,且X,Y相互独立,则( C ).

A. B.

C. D.

7、设为总体的一个样本，为样本均值，则下列结论中正确的是（

A ）.

A． B.；

C.；

D..

8、设（X，Y）的联合分布为

Y X123

1

则，为何值时X与Y相互独立 （ C ） 。

9、已知则C的值为( ).

A. B. C. D.

答案：（D）

解：由联合概率密度函数的规范性知

10、下式中恒成立的是(C ).

A. B.

C. D.

11、设且未知，若样本容量为，则的95%的置信区间为（ D ）

A. B.

C. D.

二、填空题（将正确答案填在横线上本大题共5小题，每空 3分，总计15分）

1、设随机事件A、B及和事件AUB的概率分别是0.4，0.3和0.6，

则P（）= .

解：因为P（AUB）=P（A）+P（B）-P（AB），又，所以

2、甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5.现已知目标被命中，则它是甲射中的概率是 .

设A={甲射击}，B={乙射击}，C={目标被击中}，

则P（A）=P（B）=1/2，P（C|A）=0.6，P（C|B）=0.5，

故

3、设，若，则 .3

由.

4、若随机变量的分布列为，则的分布列为 .

5、设总体服从，样本来自总体,当常数＝ ，使统计量服从分布．＝

三、解答下列各题（本大题共5小题，每题8分，总计40分）

1、下面是一个串并联电路示意图. A、B、C、D、E、都是电路中的元件. 它们下方的数是它们各自正常工作的概率. 求电路正常工作的概率.

解：将电路正常工作记为W，由于各元件独立工作，有、……………….2分

其中 …….4分

代入得P(W) ＝ 0.88 (7)

2、设X和Y是两个随机变量，且P{X0，Y0}=3/7，P{X0}=P{Y0}=4/7,则

P{max（X，Y）0}= . .解：P{max（X，Y）0}=P{X0或Y0}= P{X0}+P{Y0}- P{X0，Y0}=8/7-3/7=5/7.

3、是来自总体的一个样本，求

解：

………………………….4分

4、设二维随机变量的联合密度函数为

求：(1) ；(2) 问：与是否独立？

、解：(1)

． 3分

4分

5 分

故与独立

5、已知随机变量的密度函数为，

其中均为未知参数，求的矩估计量及极大似然估计量 .，；

[解] （1），

所以，的矩估计量为.

（2）似然函数, 故

四、综合题（本大题共2小题，每小题9分总计18分）

1、设电站供电网有10000盏电灯,夜晚每一盏电灯开灯的概率都是0.7,而假定开关时间彼此独立,估计夜晚同时开着的灯数在6800与7200之间的概率.

解：设X表示10000盏电灯中夜晚同时开着的灯数

2.假设某厂生产的缆绳，其抗拉强度服从正态分布，现在从改进工艺后生产的一批缆绳中随机抽取10根，测量其抗拉强度，算得样本均值，方差，当显著水平时，能否据此样本认为：（1）新工艺生产的缆绳抗拉强度比过去生产的缆绳抗拉强度有显著提高；（2）新工艺生产的缆绳抗拉强度，其方差有显著变化．

解：(1) 假设（无显著提高），.

由已知条件 ，，，，

在显著水平下拒绝, 即新工艺生产的缆绳抗拉强度比过去生产的缆绳抗拉强度有显著提高．

(2) 假设（无显著变化）

由已知条件。已知，， ，查分布表，有

，

，于是

在显著水平下接受, 即新工艺生产的缆绳抗拉强度的方差无显著变化．

五、证明题（5分）

6、设是来自正态总体的简单随机样本，证明

服从分布，并指出自由度.

证明：由题意可知

，，

，且相互独立，因此

，

附表：标准正态分布数值表分布数值表 t分布数值表