致远中学2012届高三第一次教学质量检测(数学)

致远中学2012届高三第一次教学质量检测(数学)
致远中学20XX年届高三第一次教学质量检测(数学)
致远中学20XX年届高三第一次教学质量检测
数学试卷
命题人：王志勇
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将班级、姓名、考生号等填写在答题卡相应位置上．
2．本试卷共有20道试题，满分160分，考试时间120
的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．3一、填空题：本题共14小题，每小题5分，计701、设集合
A xx 1
B xx 5
,
3
2
，则A B ★ 。

2、命题“ x R,x x 1 0”的否定是★ 。

1 2i
)的3、将复数3 i表示为a bi(a,b R,i为虚数单位形式为★ 。

4．取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，则剪得两段
的长都不小于1m的概率为★ 。

a (1,2)
b ( 1,3)5、已知平面向量，，则a与b夹
角的余弦值为★ 。

6、根据如图所示的算法流程，可知输出的结果i为★ 。

sin
7、已知
8、现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在
1 0, cos( ) 6 ★
2 ，则3，其中。

a2
另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为4.类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中
一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为★ 。

a9 a10
1
a1,a3,2a2
a a8 an29、已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则7= ★ 。

10、设l，m是两条不同的直线，是一个平面，给出下列四个命题，正确命题的
题号是★ ．①若l m，m ，则l ②若l ，l//m，则m ③若l// ，m ，则l//m ④若l// ，m// ，则l//m
x2y2
2 1(a b 0)2ab11、椭圆的左、右焦点分别是F1、F2，过F1作倾斜角为
MF2垂直于x轴，
45°的直线与椭圆的一个交点为M，若则椭圆的离心率为★ 。

12、设
第8题
f x 2 x2
，若0 a b，且f(a) f(b)，则ab的取值范围是★ 。

13、已知等差数列的前n项和为则下列四个命题中真命题的序号为★ 。

{an}Sn
a 1 ，若2
3
20XX年a2 1 1
a 1 ，20XX年
3
20XX年a20XX年1 1
，
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①
S20XX年20XX年；②S20XX年20XX年；③a20XX年a2；
④S20XX年S2
3
2
20
, )
f(x) x ax.(a 0)14、若函数在区间3上是单调递增函数，则使方程f(x) 1000有整数解
(
的实数a的个数是★ 。

二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．(本小题满分14分)
在△ABC中，a,b,c分别是角A，B，C
的对边，（Ⅰ）求角C的值;
（Ⅱ）若a 4，求△ABC面积．[
16．(本小题满分14分)
如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，点D在边BC上，
AD⊥C1D．（Ⅰ）求证：AD⊥平面BC C1 B1；
B1E
（Ⅱ）设E是B1C1上的一点，当EC1的值为多少时，A1E∥平面ADC1？请给出证明．
17、(本小题满分14分) (Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)是否存在实数m,n，使f(x)的定义域和值域分别为[m,n]和[3m,3n]?
如果存在,求出m,n的值;如果不存在,说明理由．
cosA
，tanB 3．
A1
C1
A
C
已知二次函数f(x)满足条件f(0) 0，f( x 5) f(x 3),且方程f(x) x有等根.
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18、(本小题满分16分)
如图所示，某市政府决定在以政府大楼O为中心，正北方向和正东
方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆.为了充分利用这块土
地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在
边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼.设扇形的半径OM R ，MOP 45，OB与OM之间的夹角
为 .
（Ⅰ）将图书馆底面矩形ABCD的面积S表示成的函数.
（Ⅱ）若R 45m，求当为何值时，矩形ABCD的面积S有最大值？其最大值是多少？(精确到0.01m2)
19．(本小题满分16分)
Q
M
D
F
O
在平面直角坐标系xoy
中，已知圆心在第二象限、半径为C与直线y x相切于坐标原点O．椭
x2y2
12a9圆与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10．(1)求圆C的方程；
(2)试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
20、(本小题满分16分)
2x
f(x) (x 3x 3) e已知函数定义域为2,t (t 2),设f( 2) m,f(t) n.
（1）试确定t的取值范围,使得函数f(x)在2,t 上为单调函数；
（2）求证:n m；
f'(x0)22
(t 1)xx ( 2,t),满足e0
3（3）求证:对于任意的t 2,总存在0,并确定这样的
x0 的个数
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致远中学20XX年届高三月考试卷数学答案
一、填空题：1、
x| 1 x 5
17 i
；2、任意x R,x x 1 0 ；3、1010；
3
2
1；4、3；5
、2；6、7 ；7
、
a3
8、8；9
、3 ；10、② ；11
1；
12、；13、②③；14、4 二、解答题：
0,2
sinA 5得5，tanA 2，…………………………3分15、解：（Ⅰ）由
tanA tanB
tanC tan(A B) 1
1 tanAtanB，……………………………………… 5分C
4。

……………………………………… 7分又0 C ，∴
acsinC
c a sinAsinCsinA（Ⅱ）由可得，…………………………………9分
sinB
………………………………………12分由tanB
3得，
cosA
1
acsinB 6
所以，△ABC面积是2 ………………………………………14分
（其它解法请参照给分）16、解: （Ⅰ）在正三棱柱中，∴又
CC1⊥平面ABC，AD 平面ABC，
AD CC1。

………………………………………2分AD CC1，CC1交C1D于C1，且CC1和C1D都在面BCC1B1内，
AD 平面BCC1B1．………………………………………5分（Ⅱ）由（1），得
∴B1E
1EC1
AD BC．在正三角形ABC中，D是BC的中点．…………7分
当
，即E为
B1C1的中点时，A1E∥ADC1．………………8分
平面
事实上，正三棱柱且又∴
ABC A1B1C1中，BCC1B1是矩形，BC,B1C1的中点，BB//DE四边形且D、E分别是所以1
B1B DE．…………………10分B1B//AA1，且B1B AA1，
A1A//DE，且A1A DE．………………………………………12分
A1ADE为平行四边形，所以A1E//AD．
EA1在平面ADC1外，故A1E∥ADC1．………………………14分
平面
所以四边形而
17、解：（Ⅰ）
f x
是二次函数，即设
f x ax2 bx c(a 0)
限………2分
f 0 0, c 0
，即：
f x ax2 bx
，…………………………3分
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b 1 f( x 5) f(x 3), 函数f x 的对称轴方程为x 1
，即：2a，
又方程f(x) x有等根.
所以在方程ax
2
bx x中，b 1
2
，即：b 1；………………………6分
11
f(x) x2 x
2，即：2所以：…………………………7分
（Ⅱ）假设存在实数m,n，使f(x)的定义域和值域分别为[m,n]和[3m,3n]，
a
111 f(x) (x 1)2
222, …………………………9分11
3n n
26,故f(x)在[m,n]为增函数，…………………………11分
f(m) 3m m 4 ,又mn f(n) 3n n 0 …………………………13分所以存在实数m 4,n 0 …………………………13分
18、解（Ⅰ）由题意可知，点M为PQ的中点，所以OM AD.…………………1分设OM于BC的交点为F，则BC 2Rsin ，OF Rcos .
1
AD Rcos Rsin 2. …………………………5分
即S AB BC 2Rsin (Rcos Rsin ) AB OF
R(2sin cos 2sin )，4. ……………………7分
22
S R(2sin cos 2sin ) （Ⅱ）由（Ⅰ）知
22
(0, )
R2(sin2 1
cos2 )
2sin(2 ) R2
4 ……………………11分3
(0, )2 (, )
4，则444. 因为
2
8 时，S有最大值.
42，即所以当
Smax
1)R2 1) 452 0.414 20XX年838.35. ……………15分
故当
8时，矩形ABCD的面积S有最大值838.35m2. …………………16分19、解：（Ⅰ）设圆心坐标为
m,n (m 0,n 0)。

2
x m 则该圆的方程为
m n
2
…………………2分
已知该圆与直线y x相切，那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则
y n 8
2=22，即m n=4 ① …………………5分
又圆与直线切于原点，将点(0，0)代入得m2+n2=8 ②
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m 2
n 2故圆的方程为(x+2)2+(y-2)2=8 …………………8分
联立方程①和②组成方程组解得
（Ⅱ）假设存在点Q，使得该点Q到右焦点F的距离等于
OF
的长。

其焦距c=
y2
1a259=5，∴a2=25，则椭圆的方程为…………………11分
OF25 9
=4，右焦点为(4，0)，那么
=4。

2
2
x 4 即：以右焦点F为顶点，半径为4的圆方程为
y2 16
4 x x 0 252 或x 4 y 16
y 0 y 1222
5 …………………14分x 2 y 2 8 ，即：
412
OF
即存在异于原点的点Q(5，5)，使得该点到右焦点F的距离等于的长……16分
2xxx
f(x) (x 3x 3) e (2x 3) e x(x 1) e20、解: (Ⅰ)因为………………2分
由f(x) 0 x 1或x 0；由f(x) 0 0 x 1,所以f(x)在( ,0),(1, )上递增,在(0,1)上递
减,欲f(x)在2,t 上为单调函数,则2 t 0 …………4分
(Ⅱ)证明:因为f(x)在( ,0),(1, )上递增,在(0,1)上递减,所以f(x)在x 1处取得极小值e ……………………………6分
13 e2 2, 上的最小值为f( 2) e 又,所以f(x)在
从而当t 2时,f( 2) f(t),即m n ……………………………………………9分
f( 2)
f'(x0)f'(x0)*****
x x (t 1)2 x x (t 1)0000x0x0
33（Ⅲ）证:因为e, e 即为,
22
g(x) x2 x (t 1)2g(x) x2 x (t 1)2
33 令,从而问题转化为证明方程=0
在( 2,t)上有解,并讨论解的个数…………………………………………11分
2221
g( 2) 6 (t 1)2 (t 2)(t 4)g(t) t(t 1) (t 1)2 (t 2)(t 1)
3333 因,,
所以①当t 4或2 t 1时,g( 2) g(t) 0,所以g(x) 0在( 2,t)上有解,且只有一解………13分
②当1 t 4时,g( 2) 0且g(t) 0,但由于解…14分
g(0)
22
(t 1) 03,所以g(x) 0在( 2,t)上有解,且有两
2
g(x) x x 0 x 0或x 1,所以g(x) 0在( 2,t)上有仅有一解；t 1③当时,
2g(x) x x 6 0 x 2或x 3, 所以g(x) 0在( 2,4)上也有且只有一解……15分t 4当时,
f'(x0)22
(t 1)xx ( 2,t),满足e0
3综上所述, 对于任意的t 2,总存在0,
xx且当t 4或2 t 1时,有唯一的0适合题意；当1 t 4时,有两个0适合题意…………………16分。