2020年湖南省衡阳市数学高二下期末达标检测试题含解析

2020年湖南省衡阳市数学高二(下)期末达标检测试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）
1．计算：20182019C =（ ）
A ．2018
B ．2019
C ．4037
D ．1
2．设变量x ，y 满足约束条件02220x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则目标函数3z x y =+的最大值为（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．10
3．从装有形状大小相同的3个黑球和2个白球的盒子中依次不放回地任意抽取3次，若第二次抽得黑球，则第三次抽得白球的概率等于（ ） A ．15 B ．14 C ．13 D ．12
4．若函数y ＝a |x|(a>0，且a≠1)的值域为{y|0<y≤1}，则函数y ＝log a |x|的图象大致是( ) A ． B ． C ． D ．
5．给出下列四个命题：
①回归直线y bx a =+$$$过样本点中心（x ，y ）
②将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，平均值不变
③将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变
④在回归方程$y ＝4x+4中，变量x 每增加一个单位时，y 平均增加4个单位 其中错误命题的序号是（ ）
A ．①
B ．②
C ．③
D ．④ 6．若函数()2log 3,02,0x x x x f x x -+->⎧=⎨<⎩
，则()()3f f =（） A ．13 B ．32 C ．52 D ．3
7．将曲线πsin 34y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭按照伸缩变换3,12x x y y =⎧⎪⎨=''⎪⎩
后得到的曲线方程为（ ） A ．π2sin 4y x ⎛⎫''=- ⎪⎝
⎭ B ．1πsin 24y x ⎛⎫''=- ⎪⎝⎭ C ．1πsin 924y x ⎛⎫''=- ⎪⎝⎭ D ．π2sin 94y x ⎛
⎫''=- ⎪⎝⎭
8．已知随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ，且(0)(2)P P a ξξ<=>-，则a =（ ）
A ．-2
B ．2
C ．4
D ．6
9．已知向量()2,1a =-v ，()1,0b =v ，则向量a v 在向量b v 上的投影是（ ）
A ．2
B ．1
C ．−1
D ．−2
10．设随机变量X 的分布列为P(X ＝i)＝a(
13)i ，i ＝1，2，3，则a 的值为( ) A ．1 B ．913 C ．1113 D ．2713
11．一牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02.设发病的牛的头数为ξ，则Dξ等于
A ．0.2
B ．0.8
C ．0.196
D ．0.804
12． “m ≥是“函数221y x mx =-+在(),-∞+∞内存在零点”的
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．如果曲线C 上的动点P 到定点0Q 的距离存在最小值，则称此最小值为点0Q 到曲线C 的距离.若点(),Q x y 到圆()2
221x y -+=的距离等于它到直线10x +=的距离，则点(),Q x y 的轨迹方程是______. 14．表面积为π的球的体积为__________．
15．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的高为______．
16．已知x 、y 满足组合数方程21717x y C C =，则xy 的最大值是_____________.
三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．己知函数()ln 21()f x a x x a =-+∈R .
（1）当1a =时，求函数()y f x =的图象在1x =处的切线方程；
（2）求函数()y f x =的单调区间；
（3）是否存在整数a 使得函数()y f x =的极大值大于零，若存在，求a 的最小整数值，若不存在，说明理由.
18．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1D D 的中点，点F 在棱1B B 上，且满足12B F FB =.
（Ⅰ）求证：111A C D D ⊥；
（Ⅱ）求平面AEF 与平面11AA D D 所成锐二面角的余弦值.
19．（6分）平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:2(0)y px p Γ=>的焦点为F ，过F 的动直线l 交Γ于M 、
N 两点.
（1）若l 垂直于x 轴，且线段MN 的长为1，求Γ的方程；
（2）若2p =，求线段MN 的中点P 的轨迹方程；
（3）求tan MON ∠的取值范围.
20．（6分）已知抛物线2:4C y x =，过定点(,0)(0)M a a >作不垂直于x 轴的直线l ，交抛物线于A ，B
两点.
（1）设O 为坐标原点，求证：OA OB ⋅u u u v u u u v
为定值；
（2）设线段AB 的垂直分线与x 轴交于点(,0)N n ，求n 的取值范围；
（3）设点A 关于x 轴的对称点为D ，求证：直线BD 过定点，并求出定点的坐标.
21．（6分）设m 为正整数，2()m x y +展开式的二项式系数的最大值为a ，展开式21()m x y ++的二项式系数的最大值为b ，a 与b 满足137a b =
（1）求m 的值；
（2）求2()()m x y x y +-+的展开式中27
x y 的系数。

22．（8分）已知二项式7270127(1+)+...ax a a x a x a x =+++，其展开式中各项系数和为72.若抛物线方程
为22y ax =，过点,02a
（）且倾斜角为4
π的 直线l 与抛物线交于A B 、两点.
（1）求展开式中最大的二项式系数（用数字作答）.
（2）求线段AB 的长度.
参考答案
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）
1．B
【解析】
【分析】
直接利用组合数公式求解即可．
【详解】 由组合数公式可得201820192019!20192018!1!
C =
=⨯. 故选：B.
【点睛】
本题考查组合数公式的应用，是基本知识的考查．
2．C
【解析】
【分析】
先作出约束条件表示的平面区域，令13z x y =+，由图求出1z 的范围，进而求出z 的最大值.
【详解】
作出可行域如图：
令13z x y =+，
由222y x y =-⎧⎨+=⎩得，点()2,2A -；由2y y x =-⎧⎨=⎩
得，点()2,2B --， 由图知当目标函数13z x y =+经过点()2,2A -时，1z 最大值为4，当经过点()2,2B --时，1z 最小值为8-，所以1z z =的最大值为8.
故选：C
本题主要考查了简单线性规划问题，考查了学生的作图能力与数形结合的思想.
3．D
【解析】
分析：这是一个条件概率，可用古典概型概率公式计算，即从5个球中取三个排列，总体事件是第二次是黑球，可在第二次是黑球的条件下抽排第一次和第三次球. 详解：111223122412
C C C P C A ==. 点睛：此题是一个条件概率，条件是第二次抽取的是黑球，不能误以为是求第二次抽到黑球，第三次抽到白球的概率，如果那样求得错误结论为1132353310
C C A ⨯=. 4．A
【解析】
由函数y ＝a |x|(a>0，且a≠1)的值域为{y|0<y≤1}，得0<a<1.
y ＝log a |x|在()0,∞+上为单调递减，排除B,C,D
又因为y ＝log a |x|为偶函数，函数图象关于y 轴对称，故A 正确.
故选A.
5．B
【解析】
【分析】
由回归直线都过样本中心，可判断①；由均值和方差的性质可判断②③；由回归直线方程的特点可判断④，得到答案．
【详解】
对于①中，回归直线y bx a =+$$$过样本点中心(,)x y ，故①正确；
对于②中，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，平均值为加上或减去这个常数，故②错误；
对于③中，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变，故③正确；
对于④中，在回归直线方程ˆ44y
x =+，变量x 每增加一个单位时，y 平均增加4个单位，故④正确， 故选B ．
【点睛】
本题主要考查了回归直线方程的特点和均值、方差的性质的应用，着重考查了．判断能力，属于基础题． 6．A
【分析】
首先计算()3f ，然后再计算()()3f
f 的值.
【详解】 ()223log 333log 30f =-+-=-<,
()()()2log 3213log 323
f f f -=-==. 故选A.
【点睛】
本题考查了分段函数求值，属于计算题型.
7．B
【解析】
【分析】
根据伸缩变换的关系表示已知函数的坐标，代入已知函数的表示式得解.
【详解】 由伸缩变换，得132x x y y ''⎧=⎪⎨⎪=⎩
， 代入πsin 34y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 得π2sin 4y x ⎛⎫''=- ⎪⎝⎭， 即 1πsin 24y x ⎛⎫''=- ⎪⎝
⎭．选B 【点睛】
本题考查函数图像的伸缩变换，属于基础题.
8．D
【解析】
分析：由题意知随机变量符合正态分布，又知正态曲线关于2x =对称，得到两个概率相等的区间关于2x =对称，得到关于a 的方程，解方程求得a
详解：由题随机变量ξ服从正态分布()22,N σ，且(0)(2)P P a ξξ<=>-，则0与2a -关于 2x =对称，则024, 6.a a =-=∴=
故选D.
点睛：本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、函数图象对称性的应用等基础知识，属于基础题．
9．D
【解析】
本题考察的是对投影的理解，一个向量在另一个向量上的投影即一个投影在另一个投影方向上的长度．
【详解】
a v 在
b v 上的投影方向相反，长度为2，所以答案是2-.
【点睛】
本题可以通过作图来得出答案．
10．D
【解析】
【分析】
根据分布列中所有概率和为1求a 的值.
【详解】
因为P(X ＝i)＝a(13)i ，i ＝1，2，3，所以11127()1392713a a ++=∴=，选D. 【点睛】
本题考查分布列的性质，考查基本求解能力.
11．C
【解析】
试题分析：由题意可知发病的牛的头数为
，所以；
故选C ．
考点：二项分布的期望与方差．
12．A
【解析】
分析：先求函数221y x mx =-+在(),-∞+∞内存在零点m 的解集，0n ≥，再用集合的关系判断充分条件、还是必要条件。

详解：函数2
21y x mx =-+在(),-∞+∞内存在零点，则0n ≥，所以2222m m ≥≤-，的解集那么22m ≥2222m m ≥≤-， A
点睛：在判断命题的关系中，转化为判断集合的关系是容易理解的一种方法。

二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．28y x =
【解析】
【分析】
易得点(),Q x y 到圆()2
221x y -+=的距离等于点(),Q x y 到圆心(2,0)的距离减去半径.
再求出点(),Q x y 到直线10x +=的距离列出方程进行化简即可.
【详解】
由题点(),Q x y 到圆()2
221x y -+=的距离等于点(),Q x y 到圆心(2,0)的距离减去半径. 当1x ≤-时,显然不能满足点(),Q x y 到圆()2
221x y -+=的距离等于它到直线10x +=的距离.故1x >-,此时2222(2)1(1)(2)2x y x x y x -+-=--⇒-+=+,
两边平方有2222(2)(2)8x y x y x -+=+⇒=.
故答案为：28y x =
【点睛】
本题主要考查了轨迹方程的求解方法,重点是列出距离相等的方程,再化简方程即可.属于基础题型. 14．16
π
【解析】
分析：先根据球的表面积公式，列方程得到球半径，再利用球的体积公式求解该球的体积即可. 详解：2
142
S R R ππ==⇒=Q ， 34136V R ππ∴==，故答案为16π. 点睛：本题主要考查球的体积公式和表面积公式，意在考查学生对基础知识的掌握情况，属于基础题. 15．
【解析】
试题分析：设圆锥母线为，底面圆的半径，圆锥侧面积
，所以，又半圆面积，
所以，，故，所以答案应填：． 考点：1、圆锥侧面展开图面积；2、圆锥轴截面性质．
16．128
【解析】
【分析】
由组合数的性质得出()208y x x =≤≤或217x y +=，然后利用二次函数的性质或基本不等式求出xy 的最大值，并比较大小可得出结论.
【详解】
x Q 、y 满足组合数方程21717x y C C =，()208y x x ∴=≤≤或217x y +=，
当2y x =时，则[]2
20,128xy x =∈；当217x y +=时，222172892224x y xy +⎛⎫⎛⎫≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.
因此，当216x y ==时，xy 取得最大值128.
故答案为：128.
【点睛】
本题考查组合数基本性质的应用，同时也考查了两数乘积最大值的计算，考查了二次函数的基本性质的应用以及基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于中等题.
三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．（1）y x =-；（2）在(0,)2a 上单调递增，在(,)2a +∞上单调递减；（3）1，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）求导函数()f x 的导数，利用导数求出在1x =处切线的斜率，即可得答案．
（2）求导，然后对a 分情况讨论，求出单调区间；
（3）利用（2）的结论必须满足0a >时才有极大值，然后由极大值()02
a f >列出不等式，判断(4),(5)g g 的正负，即可得答案．
【详解】 （1）2()2(0)a a x f x x x x
-'=
-=>； 当1a =时，令12()x f x x -'=； (1)211f ∴=-+=-；'(1)121f =-=-；
∴函数()f x 的图象在1x =处的切线方程为y x =-；
（2）根据题意得当0a „时，()0f x '„在0x >时恒成立，()f x ∴在(0,)+∞上单调递减；
当0a >时，令()02a f x x '=⇒=；令()02a f x x '>⇒>；令()002
a f x x '<⇒<<； ()f x ∴在(0,)2a 上单调递增，在(,)2a +∞上单调递减． （3）由（2）可得当0a „时，函数()f x 不存在极值，不符合题意（舍掉）a ∴必须0>；
函数()f x 的极大值为()102
2
a a f aln
a =-+>， 设()12a g a aln a =-+，∴()022a g a ln a '==⇒=； 且当02a <<时，'()0g a <；当2a >时，'()0g a >； ∴最小值为(2)10g =-<，
3
(4)4241ln16ln 0g ln e =-+=-<，5
4555(5)551ln ln 022g ln e =-+=->， a ∴的最小整数值为1．
【点睛】
本题考查函数的单调性、函数的极值、以及函数在某点的切线方程，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．
18．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）27
. 【解析】
【分析】
（Ⅰ）由正方体的性质得出1DD ⊥平面1111D C B A ，再由直线与平面垂直的性质可证明出
111AC DD ⊥；
（Ⅱ）以D 为原点，DA ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，计算出平面AEF 和平面11AA D D 的法向量，利用向量法求出这两个平面所成锐二面角的余弦值．
【详解】
（Ⅰ）在正方体1111ABCD A B C D -中，1D D ⊥平面1111D C B A ，11A C ⊂平面1111D C B A ，
∴111A C D D ⊥；
（Ⅱ）如图，以D 为原点，DA ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，
则()2,0,0A ，()0,0,1E ，22,2,3F ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，()2,2,0B ， ∴()2,0,1AE =-u u u r ，20,2,3AF ⎛⎫= ⎪⎝
⎭u u u r ，()0,2,0AB =u u u r ， 设(),,n x y z =r 为平面AEF 的一个法向量，
则00n AE n AF ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，即202203x z y z -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩
，令6z =，可得()3,2,6n =-r ， ∵AB ⊥平面11AA D D ，∴()0,2,0AB =u u u r 为平面11AA D D 的一个法向量，
∴2cos ,7AB n AB n AB n ⋅===-uu u r r uu u r r uu u r r ， ∴平面AEF 与平面11AA D D 所成锐二面角的余弦值为27.
【点睛】
本题考查直线与直线垂直的证明，考查利用空间向量法计算二面角，解题的关键就是计算出两个平面的法向量，利用空间向量法来进行计算，考查计算能力与逻辑推理能力，属于中等题．
19．（1）2y x =
（2）2
2(1)y x =- （3）4,3⎛⎤-∞- ⎥⎝
⎦ 【解析】
【分析】
（1）由题意，（2p ，±12）在抛物线上，代入可求出p 12
=，问题得一解决， （2）利用点差法和中点坐标公式和点斜式方程即可求出， （3）抛物线Γ：y 2＝2px （p ＞0），设l ：x 2p -
=my ，M （x 1，y 1），y 1＞0，N （x 2，y 2），y 2＜0根据根系数的关系和两角和的正切公式，化简整理即可求出．
【详解】
解：（1）由题意，（2p ，±12）在抛物线上，代入可求出p 12
=， ∴Γ的方程为y 2＝x ，
（2）抛物线Γ：y 2＝4x ，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），P （x 0，y 0）
∴21122
244y x y x ⎧=⎨=⎩， ∴（y 1+y 2）（y 1﹣y 2）＝4（x 1+x 2），
∴k 1212120
42y y x x y y y -===-+， 于是l 为y ﹣y 002y =
（x ﹣x 0）， 又l 过点F （1，0），
∴﹣y 00
2y =（1﹣x 0）， 即y 02＝2（x 0﹣1），
故线段MN 的中点P 的轨迹方程为y 2＝2（x ﹣1）
（3）抛物线Γ：y 2＝2px （p ＞0），设l ：x 2p -
=my ，M （x 1，y 1），y 1＞0，N （x 2，y 2），y 2＜0， 则y 2﹣2my ﹣p 2＝0，
∴y 1+y 2＝2mp ，y 1y 2＝﹣p 2，
则tan ∠MON ＝tan （∠MOF+∠NOF ）1tan MOF tan NOF tan MOFtan NOF
∠+∠=-∠∠， 1212211212121212
1y y x x x y x y y y x x y y x x -+-==-+-⋅， 211212122222p p my y my y p p my my y y ⎛⎫⎛⎫+
-+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
， ()()()122212122124
p y y mp p m y y y y -=++++， ()
22221224
mp p m p mp =-++⋅+，
43
=≤-， 故tan ∠MON 的取值范围是（﹣∞，43-] 【点睛】
本题考查抛物线与直线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．
20．（1）见解析；（2）(2),a -+∞；（3）定点为(,0)a -。

【解析】
【分析】
（1）设直线l 的方程为:x my a =+，直线方程与抛物线方程联立消元得y 的二次方程，判别式>0∆，
设1122(,),(,)A x y B x y ，由韦达定理得1212,y y y y +，计算OA OB ⋅u u u r u u u r 并代入12y y 即得；
（2）写出线段AB 的垂直平分线方程，令0y =求出n ，利用>0∆可得n 的范围．
（3）求出D 点坐标，求出直线BD 方程，把12,x x 分别用12,y y 代入并化简，然后再代入(1)中的
1212,y y y y +，整理后可知直线BD 过定点．
【详解】
（1）设过点(,0)M a 的直线l 的方程为:x my a =+，由24x my a y x
=+⎧⎨=⎩得2440y my a --=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12124,4y y m y y a +==-， ∴22212121212444
y y OA OB x x y y y y a a ⋅=+=⋅+=-u u u r u u u r 为定值； （2）由（1）知AB 的中点坐标为2
(2,2)m a m +，则AB 的中垂线方程为： 2(2)2y m x m a m =---+，令0y =得222n m a =++，
又216160m a ∆=+>，即2m a >-，∴2n a >-。

（3）点A 关于x 轴的对称点为11(,)D x y -，则直线BD 方程为：211121
()y y y x x y x x +=---， 整理得1212212121
y y y x y x y x x x x x +--=+--， 而122112211212()()2()844y x y x y my a y my a my y a y y am am am +=+++=++=-+=-，
∴直线BD 方程为21
4()m y x a x x =+-， ∴直线BD 过定点，定点为(,0)a -。

【点睛】
本题考查直线与抛物线相交问题，方法是“设而不求”的思想方法，即设交点坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，用直线方程与抛物线方程联立消元后用韦达定理得1212,y y y y +，题中其他关系都向12,y y 靠拢，最后代入1212,y y y y +可得结论．
21．（1）6m =；（2）-20.
【解析】
分析：（1）根据二项式系数的性质求得a 和b ，再利用组合数的计算公式，解方程137a b =求得m 的值；
（2）利用二项展开式的通项公式即可.
详解：（1）由题意知：1221,m m m m C a C b ++==，又137a b =
1221137m m m m C C ++∴⋅=⋅
()()
21!2!137!!1!!m m m m m m +∴=⋅+⋅ 211371m m +∴=⨯
+ 6m ∴=
（2）()()()()28m x y x y x y x y +-+=-+ ()()722x y x y =-+
含27x y 的项：277252577,x C y y C x y ⋅-⨯
所以展开式中27x y 的系数为57120C -=-
点睛：求二项展开式中的特定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k ＋1，代回通项公式即可． 22． (1)35(2)4
【解析】
分析：（1）当n 为奇数时，二项式系数在r 34=，时取最大，即在第4、5项取最大
（2）各项系数和为72，求()7
1,2f =，解a ，利用弦长公式求解。

详解：（1）二项式系数分别为70127
777,,...C C C C 其中3477C C =最大.最大为35 （2）令1x =，有
771+)2,1a a =∴=（ 抛物线方程为2
2y x = 过抛物线的焦点1
02（，）且倾斜角为4
π，则直线方程为12y x =-， 令()1122,,,)A x y B
x y （ 联立：222130142y x x x y x ⎧=⎪⇒-+=⎨=-⎪⎩
，123x x +=，1214x x =
?4AB ==
点睛：二项式系数最大项满足以下结论：
当n 为偶数时，二项式系数在r 2
n =
时取最大，即在第12n +项取最大。

当n 为奇数时，二项式系数在11r 22n n +-=或时取最大，即在第112n ++或112n -+项取最大。

联立直线与椭圆方程根据韦达定理列出12x x +，12x x
的关系式，利用弦长公式
12AB x =-==。