2020年安徽省滁州市南谯区中考数学二模试卷 (含答案解析)

2020年安徽省滁州市南谯区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）
1.2的相反数是()
A. 2
B. −2
C. −1
2D. 1
2
2.国家统计局的相关数据显示，2015年我国国民生产总值(GDP)约为67.67万亿元，将这个数据用
科学记数法表示为()
A. 6.767×1010元
B. 6.767×1011元
C. 6.767×1012元
D. 6.767×1013元
3.下列运算正确的是()
A. (a3)2=a5
B. a4⋅a2=a8
C. a9÷a3=a3
D. (−ab)2=a2b2
4.如图，几何体是由3个大小完全一样的正方体组成的，它的左视图是()
A.
B.
C.
D.
5.下列从左边到右边的变形，其中是因式分解的是()
A. (3−x)(3+x)=9−x2
B. x2−2x+1=x(x−2)+1
C. 2x−8=2(4−x)
D. −8x2+8x−2=−2(2x−1)2
6.某景点的参观人数逐年增加，据统计，2017年为10.8万人次，2019年为16.8万人次．设参观人
次的平均年增长率为x，则根据题意列出的方程为()
A. 10.8(1+x)=16.8
B. 16.8(1−x)=10.8
C. 10.8(1+x)2=16.8
D. 10.8[(1+x)+(1+x)2]=16.8
7.若关于x的一元二次方程x2+2(k−1)x+k2−1=0有实数根，则k的取值范围是()
A. k≥1
B. k>1
C. k<1
D. k≤1
8.某射击运动员练习射击，5次成绩分别是：8、9、7、8、x(单位：环).下列说法中正确的是()
A. 若这5次成绩的中位数为8，则x=8
B. 若这5次成绩的众数是8，则x=8
C. 若这5次成绩的方差为8，则x=8
D. 若这5次成绩的平均成绩是8，则x=8
9.如图，正方形ABCD的两个顶点B，D在反比例函数y=k
的图象上，对角线AC，BD的交点恰
x
好是坐标原点O，已知B(−1,1)，则k的值是()
A. −5
B. −4
C. −3
D. −1
10.如图，△ABC中，∠BAC=90°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转一定角
度得到△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，若AC=2√3，∠B=60°，
则CD的长为()
A. 1
B. 2
C. 3
D. 2√2
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
x+1>3的解集是______．
11.不等式−1
2
12.命题：“如果a=0，那么ab=0”的逆命题是______．
13.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B=135°，则∠AOC的
度数为____．
14.已知点A(1,y1)，B(m,y2)在二次函数y=x2−4x+1的图象上，且y1>y2，则实数m的取值范
围是______．
三、解答题（本大题共9小题，共90.0分）
15.计算：(−1
2
)−1+|√3−2|+tan60°．
16.《算法统宗》是中国古代数学名著之一，其中记载了这样的数学问题：“用绳子测水井深度，
绳长的三分之一比井深多4尺；绳长的四分之一比井深多1尺，问绳长、井深各是多少尺？”.若设这个问题中的绳长为x尺，求x的值．
17.已知一组有规律的等式，它的前三项依次为：2
1×2=2
1
+2，3
2
×3=3
2
+3，4
3
×4=4
3
+4，…，
(1)写出第4个等式、第5个等式；
(2)写出第n个等式，并证明该等式成立．
18.如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点(网格线的交点)为端
点的线段AB，线段MN在网格线上．
(1)画出线段AB关于线段MN所在直线对称的线段A1B1(点A1，B1分别为A，B的对应点)；
(2)将线段B1A1绕点B1顺时针旋转90°得到线段B1A2，画出线段B1A2．
19.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠A=90°，∠CBD=30°，
∠C=45°，如果AB=√2，求CD的长．
20.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的半圆交AC于点D，交BC于点E，连接AE并延
长至点F，使EF=AE，连接FB、FC．
(1)求证：四边形ABFC是菱形;
(2)若AD=7，BE=2，求半圆和菱形ABFC的面积．
21.为了响应市政府号召，某校开展了“六城同创与我同行”活动周，活动周设置了“A：文明礼仪，
B：生态环境，C：交通安全，D：卫生保洁”四个主题，每个学生选一个主题参与．为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下条形统计图和扇形统计图．
(1)本次随机调查的学生人数是______人；
(2)请你补全条形统计图；
(3)在扇形统计图中，“B”所在扇形的圆心角等于______度；
(4)小明和小华各自随机参加其中的一个主题活动，请用画树状图或列表的方式求他们恰好选中
同一个主题活动的概率．
22.水库90天内的日捕捞量y(kg)与时间第x(天)满足一次函数的关系，部分数据如表：
(1)求出y与x之间的函数解析式；
(2)水库前50天采用每天降低水位的办法减少捕捞成本，到达最低水位标准后，后40天水库维
持最低水位进行捕捞．捕捞成本和时间的关系如下表：
已知鲜鱼销售单价为每千克70元，假定该养殖场每天捕捞和销售的鲜鱼没有损失，且能在当天全部售出．设销售该鲜鱼的当天收入w元(当天收入=日销售额−日捕捞成本)，
①请写出w与x之间的函数解析式，并求出90天内哪天收入最大？当天收入是多少？
②若当天收入不低于4800元，请直接写出x的取值范围？
23.已知正方形ABCD，对角线AC、BD交于点O，线段OE⊥OF，且与边AD、AB交于点E、F．
(1)求证：OE=OF；
(2)连接EF，交AC于点H，若HF：AF=√3：2，求OH：EF；
(3)若E、F分别在DA、AB延长线上，OE与AB交于点M，若△MOF∽△EAF，AF=1，求正
方形ABCD的边长．
-------- 答案与解析 --------
1.答案：B
解析：
本题考查了相反数的定义：只有符号不同的两个数，叫做互为相反数．
根据相反数的定义即可得解．
解：2的相反数是−2．
故选B．
2.答案：D
解析：
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是非负数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
解：将67.67万亿元=6.767×1013元．
故选D．
3.答案：D
解析：解：A、(a3)2=a6，故此选项错误；
B、a4⋅a2=a6，故此选项错误；
C、a9÷a3=a6，故此选项错误；
D、(−ab)2=a2b2，故此选项正确．
故选：D．
直接利用同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则分别化简得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘法运算以及积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．4.答案：D
解析：[分析]
观察几何体，找出左视图即可．
[详解]
解：观察几何体，可知该几何体是由3个大小完全一样的正方体组成的，它的左视图是，
故答案选D．
[点睛]
此题考查了简单几何体的三视图，左视图是从物体左边看的视图．
5.答案：D
解析：
本题考查了因式分解，属于基础题．
根据题意，逐项判断即可．
解：A．(3−x)(3+x)=9−x2，是多项式乘法，不是因式分解，错误；
B.x2−2x+1=x(x−2)+1，仍然是和的形式，不是因式分解，错误；
C.，分解不正确，错误；
D.−8x2+8x−2=−2(2x−1)2，是因式分解，正确；
故选D．
6.答案：C
解析：
本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b．
设参观人次的平均年增长率为x，根据题意可得等量关系：10.8万人次×(1+增长率)2=16.8万人次，
根据等量关系列出方程即可．
解：设参观人次的平均年增长率为x，由题意得：
10.8(1+x)2=16.8，
故选C．
7.答案：D
解析：
此题主要考查了根的判别式，正确得出关于k的不等式是解题关键．
直接利用根的判别式进而分析得出k的取值范围．
解：∵关于x的一元二次方程x2+2(k−1)x+k2−1=0有实数根，
∴△=b2−4ac=4(k−1)2−4(k2−1)=−8k+8≥0，
解得：k≤1．
故选D．
8.答案：D
解析：解：A、若这5次成绩的中位数为8，则x为任意实数，故本选项错误；
B、若这5次成绩的众数是8，则x为不是7与9的任意实数，故本选项错误；
C、如果x=8，则平均数为1
5(8+9+7+8+8)=8，方差为1
5
[3×(8−8)2+(9−8)2+(7−8)2]=
0.4，故本选项错误；
D、若这5次成绩的平均成绩是8，则1
5
(8+9+7+8+x)=8，解得x=8，故本选项正确；
故选：D．
根据中位数的定义判断A；根据众数的定义判断B；根据方差的定义判断C；根据平均数的定义判断D．
本题考查方差的定义与意义：一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为x−，则方差S2=1
n
[(x1−x−)2+ (x2−x−)2+⋯+(x n−x−)2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．同时考查了中位数、众数与平均数的定义．
9.答案：D
解析：
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
即可得到结论．
把B(−1,1)代入y=k
x
解：∵点B在反比例函数y=k
的图象上，B(−1,1)，
x
∴1=k
，
−1
∴k=−1，
故选：D．
10.答案：B
解析：解：在Rt△ABC中，AC=2√3，∠B=60°，
∴AB=2，BC=4，
由旋转得，AD=AB，
∵∠B=60°，
∴BD=AB=2，
∴CD=BC−BD=4−2=2，
故选B．
先在直角三角形ABC中，求出AB，BC，然后判断出BD=AB=2，简单计算即可．
此题是旋转的性质题，主要考查了旋转的性质，直角三角形的性质，解本题的关键是判断出BD=AB．11.答案：x<−4
x>3−1，
解析：解：移项，得：−1
2
x>2，
合并同类项，得：−1
2
系数化为1，得：x<−4，
故答案为：x<−4
根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
12.答案：如果ab=0，那么a=0
解析：
本题考查的是命题和定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．根据逆命题的概念解答即可．
解：如果a=0，那么ab=0的逆命题是如果ab=0，那么a=0，
故答案为：如果ab=0，那么a=0．
13.答案：90°
解析：
本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键.根据圆内接四边形的性质求出∠D的度数，根据圆周角定理计算即可．
解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠D=180°−∠B=45°，
由圆周角定理得，∠AOC=2∠D=90°．
故答案为90°．
14.答案：1<m<3
解析：
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．二次函数的对称性和二次函数的性质是关键．根据二次函数的对称性求得对称轴，然后根据函数的单调性解答．
解：二次函数y=x2−4x+1的对称轴为x=2，
∴A(1,y1)的对称点为(3,y1)，
∵A(1,y1)，B(m,y2)为其图象上的两点，且y1>y2，
∴1<m<3．
故答案为：1<m<3．
15.答案：解：原式=−2+2−√3+√3=0．
解析：直接利用负指数幂的性质以及绝对值的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案． 此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
16.答案：解：由题设知绳长为x 尺，
设井深为y 尺，则依题意得：
{x =3(y +4)x =4(y +1)
, 解得{x =36y =8
, 故x 的值为36．
解析：本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．
设井深为y 尺，根据绳长的三分之一比井深多4尺；绳长的四分之一比井深多1尺，列方程组求解即可．
17.答案：解：(1)∵第1个等式为：21×2=21+2，
第2个等式为：32×3=32+3，
第3个等式为：43×4=43+4，
∴第4个等式为：54×5=54+5，
第5个等式为：65×6=65+6；
(2)第n 个等式为：
n+1n ·(n +1)=n+1n +(n +1)． 证明如下：
∵
n+1n ·(n +1)=n 2+n+n+1n =n 2+n n +n+1n =n+1n +(n +1)， ∴n+1n ·(n +1)=n+1n +(n +1)．
解析：本题考查了规律型：数字的变化类，通过观察得出第n 个等式为：n+1n ·(n +1)=
n+1n +(n +1)
是解题的关键．
(1)根据已知的第1、2、3个等式，类比即可写出第4个等式、第5个等式；
(2)根据已知的等式，找出规律，写出第n 个等式，进而证明即可．
18.答案：解：(1)如图线段A1B1即为所求．
(2)如图，线段B1A2即为所求．
解析：(1)分别作出A，B的对应点A1，B2即可．
(2)作出点A1的对应点A2即可．
本题考查作图−旋转变换，轴对称变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
19.答案：解：如图，过点D作DE⊥BC于E，
∵AB=AD，∠BAD=90°，
∴AD=AB=√2，
∴由勾股定理可得BD=√AB2+AD2=2，
∵∠CBD=30°，
∴DE=1
2BD=1
2
×2=1，
又∵Rt△CDE中，∠DEC=90°，∠C=45°，则CE=DE，
∴由勾股定理可得CD=√DE2+CE2=√2．
解析：【试题解析】
本题考查了勾股定理，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，以及等腰直角三角形的性质，通过作辅助线，把△BCD分成两个直角三角形是解题的关键，也是本题的难点．
过点D作DE⊥BC于E，根据等腰直角三角形的性质求出AD、BD，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出DE，利用△CDE是等腰直角三角形，即可求出CD的长．
20.答案：解：(1)∵AB是半圆的直径，
∴∠AEB=90∘，
∴AE⊥BC，
∵AB=AC，
∴BE=CE，
又∵AE=EF，
∴四边形ABFC是平行四边形，
∵AC=AB，
∴四边形ABFC是菱形；
(2)设CD=x，由(1)得AB=AC=7+x，CB=2BE=4，
如图，连接BD，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ADB=∠BDC=90∘，
在Rt△ADB中，BD2=AB2−AD2，
在Rt△BDC中，BD2=CB2−CD2，
∴AB2−AD2=CB2−CD2，
即(7+x)2−72=42−x2，
整理得x2+7x−8=0，
解得，
∴AC=AB=7+1=8，BD=√82−72=√15，
∴S
半圆=1
2
⋅π⋅(1
2
AB)2=8π，
S
菱形ABFC
=AC⋅BD=8√15．
解析：本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定、线段的垂直平分线的性质勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
(1)根据对角线相互平分的四边形是平行四边形，证明是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；
(2)设CD=x，连接BD.利用勾股定理构建方程即可解决问题．
21.答案：解：(1)60
(2)60−15−18−9=18(人)，
补全条形统计图如图1所示：
(3)108
(4)画树状图如图2所示：
共有16个等可能的结果，
小明和小华恰好选中同一个主题活动的结果有4个，
∴小明和小华恰好选中同一个主题活动的概率=4
16=1
4
．
解析：
本题考查了列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图；读懂题意，画出树状图是解题的关键．
(1)用“A”的频数除以所占比例即可得出答案；
(2)求出“C”的频数，补全条形统计图即可；
(3)用360°乘以“B”所占的比例即可；
(4)画出树状图，由概率公式即可得出结果．
解：(1)本次随机调查的学生人数=15÷25%=60人；
故答案为：60；
(2)见答案；
(3)在扇形统计图中，“B ”所在扇形的圆心角=360°×1860=108°，
故答案为：108；
(4)见答案． 22.答案：解：(1)设y 与x 之间的函数解析式为y =kx +b(k ≠0)，
将(1,198)、(3,194)代入y =kx +b 中，
{198=k +b 194=3k +b ，解得：{k =−2b =200
， ∴y 与x 之间的函数解析式为y =−2x +200．
(2)①当1≤x <50时，w =70(−2x +200)−(−2x +200)(60−x)=−2x 2+180x +2000； 当50≤x ≤90时，w =70(−2x +200)−10(−2x +200)=−120x +12000．
∴w 与x 之间的函数解析式为w ={−2x 2+180x +2000(1≤x <50)−120x +12000(50≤x ≤90)
． ∵w =−2x 2+180x +2000=−2(x −45)2+6050，
∴当x =45时，w =−2x 2+180x +2000(1≤x <50)取最大值，最大值为6050；
∵w =−120x +12000中−120<0，
∴当x =50时，w =−120x +12000(50≤x ≤90)取最大值，最大值为6000．
∵6050>6000，
∴第45天当天收入最大，最大收入为6050元．
②令−2x 2+180x +2000≥4800，
解得：20≤x ≤70，
∵20≤x <50，
∴20≤x <50；
令−120x +12000≥4800，
解得：x ≤60，
∵50≤x ≤70，
∴50≤x ≤60．
综上所述：当20≤x ≤60时，当天收入不低于4800元．
解析：(1)根据表格内数据，利用待定系数法即可求出y与x之间的函数解析式；
(2)①根据当天收入=日销售额−日捕捞成本即可找出w与x之间的函数解析式，再利用配方法及一次函数的性质，即可解决最值问题；
②分别求出w=−2x2+180x+2000(1≤x<50)中≥4800的x的取值范围及w=−120x+ 12000(50≤x≤70)中≥4800的x的取值范围，合在一起即可得出结论．
本题考查了二次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式、二次函数的最值、一次函数的性质以及解一元二次(一元一次)不等式，解题的关键是：(1)熟练掌握待定系数法求一次函数解析式的应用；
(2)①根据数量关系，找出w关于x的函数解析式；②解不等式找出x的取值范围．
23.答案：(1)证明：如图1中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB，AC⊥BD，∠EAO=∠OBF=45°，
∵OE⊥OF，
∴∠EFO=∠AOB=90°，
∴∠AOE=∠BOF，
∴△EOA≌△FOB(ASA)，
∴OE=OF．
(2)解：如图1中，∵OE=OF，∠EOF=90°，
∴∠OEF=∠OFE=45°，
∵∠CAB=45°，
∴∠OEH=∠FAH，
∵∠EHO=∠AHF，
∴△OEH∽△FAH，
∴OE
AF =OH
HF
，
∴OH
OE =HF
AF
=√3
2
，
∵EF=√2OE，
∴
√2OE =√3
2√2
=√6
4
，
∴OH
EF =√6
4
．
(3)解：如图2中，
∵△MOF∽△EAF，
∴∠OFM=∠EAF，
由(1)可知△AOE≌△BOF，
∴OE=OF，
∵∠EOF=90°，
∴∠EFO=45°，
∴∠BFO=∠BFE=22.5°，
∵∠ABO=∠BFO+∠BOF=45°，
∴∠BOF=∠BOF=22.5°，
∴OB=BF，
∵OA=OB，
∴OA=OB=BF，设OA=OB=BF=x，则AB=√2x，∵AF=AB+BF=√2x+x=1，
∴x=√2−1，
∴AB=AF−BF=1−(√2−1)=2−√2，
∴正方形的边长为2−√2．
解析：(1)证明△EOA≌△FOB(ASA)即可解决问题．
(2)证明△OEH∽△FAH，推出OE
AF =OH
HF
，可得OH
OE
=HF
AF
=√3
2
，由EF=√2OE，可得
√2OE
=√3
2√2
=√6
4
，
由此即可解决问题．
(3)首先证明OA=OB=BF，设OA=OB=BF=x，则AB=√2x，根据AF=1，构建方程即可解决问题．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．。