带有两个零特征根的1次+3次+5次系统的定性分析
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一
９ ４ 一
第 ６期
程 雪梅 ： 有 两个 零 特 征 根 的 １次 ＋３次 ＋５次 系统 的 定 性 分 析 带
结论 ４ 如果 ， 一Ｏ有五个 实 根 ， 应地 ｇ（ ） （） 相 一０
其 中 ｇ 一 ＋ｚ ＋ （）
。 ＋ 。 （ ） ＋ 愚一１
也 有五个 实根 ， （ ） 厂 一Ｏ有 实根 口时 ， ） ｇ（ 一０有 实 结 论 ６ 如果方 程 ， 一Ｏ有一 个实 单根 ａ 则 相应 （） ，
＾ 方 程 ， ） ０至 少 有 一 个 实 根 。 对 （ ） 变 换 ， （ 一 １作
稳定 结点 。
—ｚ ， ， 以 ｚ， 代替 ， 其 中 ａ是 如 下 结 论 ３ 如果 － ） 一口 ＝ 仍 ， 厂 一Ｏ有 三 个 实根 ， 么 ｇ（ 一Ｏ （ 那 ）
Ｏ ， ≤ ， （ ） 确定 的参 数 ： １ 当 厂 ） （） （ 一０有 一 个 实 单 根 时 ， ａ为 也有 三个 实根 ， ，。 并且 ≤０ ２， 口 ＝０的
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Ｉ
Ｉ 。 ｑ。＋眦 ＋ ＋ ｚ 三一 ＋ ｚ＋ 。 ｓ。 ｚ＋ｚ
＋ ｍｚ。 ｙ ＋
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一
为 三重 根 ； ， ） 当 （ ＝０有 一 个 三 重 根 ， 个 二 重 根 一
（） １
３ ＋ 志 ，＋ ＾ ， ， 。 ｚｊ ｊ
一
１一 ． ； ｓ ， 一
（ ） 换 为 ３变
，
＋ ｒ
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再作 Ｐ ｆｒ 变换 ： ） ， ｏ竹口Ｐ 一÷ 一÷ ， ＝ 出 ， ￡
，
１
此 时对 （ ） Ｐ ｆ ｒ １ 作 ０ ｎ ｅ变 换 ： ， 一 一 ，
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ｇ
１ 前 言
文 献标识 码 ： Ａ
文 章编 号 ：６ １ ２ ８ ２ Ｏ ） ６ ０ ４ ２ １ ７ —４ ８ （０ ８ ０ —０ ９ 一Ｏ
实单 根 ； ， ＝Ｏ有一 个二 重根 ， 当 （） 三个 实单根 时 ， ａ
带有 一个 零 特 征根 的 １次 ＋３次 ＋５次 系统 的 为二 重根 或邻 近二 重根 的实单 根 ； 厂 ） 当 （ 有两 个 二
时 ， 三重根 ； ．（ ） ａ为 当 厂 一０有 一 个 四重 根 ， 实 一个 一 一
ｚ
如一 如一 出 出
＋ Ｚ
，
单根 时 ， 四重根 ； ， 一Ｏ有 一 个 五重 根 时 ， ａ为 当 （） ａ 为 五重根 ， （ ） 换为 则 １变
户 ０ ｑ ｒ ｓ Ｚ ， 壶 ∈Ｒ， ± １的 定 性 分 ＞ ， ，， ，， ， ， 一
该实 单根 （ ） ， 一Ｏ有 三个 实 单根 时 ， 中间 实根 ａ对应 着 ｇ ） ２ 当 （） ａ为 （ 一０的实根 Ｏ 系 统 （ ） ， ４ 的奇 点 有
一
个 实单 根 ； ， ） 当 （ 一Ｏ有一 个二重 根 ， 一个实 单根 三种 情形 （ ） 稳 定 结 点 ， 点 （ ） 结 点 ， 稳 定 结 点 １不 鞍 ２鞍 不
一 ｄ ， 到 ｒ得 ＋ （ ＋ ｑ ＋ ｒ ｐ。 ＋ｓ ＋ 厂（ ） ）
（） ２
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其 中 ｇ ＝ ＋ｚ ＋ 。 （） ＋ 。 （ ） ＋ 忌 ＋１ 结论 ２ 如果方 程 ． 一０有 一个 实单 根 ａ 则 相应 厂 ） （ ，
其 中 厂 一 ＋ｚ ＋ｍ 。 （） ＋ ＋ （ ＋ １ ＋ 地 ｇ 一０有 一个 实单 根 ０ 此 时系统 （ ） 尼 ） （） ， ４ 有一 个 不
程 雪 梅
（ 潍坊 学 院 ， 山东
潍坊
２１ ６） ６ Ｏ １
摘 要 ： 通过 讨论 １次 ＋３次 ＋５次 系统 的有 限远 奇 点 、 穷远 奇点 的性质 ， 无 得到 系统 的全局 结 构。
关键 词 ： 特征 根 ； 零 系统 ； 定性 分析 中图分类 号 ： ７ ． ２ Ｏ１ ５ １
时， ａ为二 重根 ； 厂 一Ｏ有 一个 三重根 时 ， 当实单 根 时 ， ３ 当 （） ａ为 中间一 个 （ ） 稳定 结点 。 ３不
＊ 收 稿 日期 ： ｏ ８ ６ ２ ２ ｏ 一Ｏ —１
作 者 简 介 ： 雪梅 （９ ２ ） 女 。 东 济 宁人 ， 坊 学 院数 学 与信 息科 学 学 院讲 师 。研 究 方 向 ： 分 方 程 定 性 理 论 。 程 １７～ ， 山 潍 微
ｐ
析 ， 们将 给 出完 整 的结论 。 我
２ 主 要 结 论
ｆ 。 三一 ＋ ＋ｑ ＋ｒ ＋ ＋ ｚ ｓ。
＋ｚ ＋ ｚ。 ＋ ，ｚ 。 点 。 ｚ ＋
‘ （） ＋ ３ ｑ
结论 １ 当 一一１时 ， 系统 （ ） １ 只有一个 有 限远奇 点 ｏ（ ， ） 是 １ Ｏ０ 且 ５阶 鞍 点 ， 在 轴 方 向上 有 一 个 无 穷 远奇 点 ， 稳定结 点 ， 是 系统无 周期 轨 。
第 ８ 第 ６期 卷
２Ｏ Ｏ ８年 ｌ １月
潍 坊 学院 学报
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＷ ｅｆｎ ｉｅｓｔ ０ ｒ ａ ｏ ｉ ｇＵｎｖ ｒ ｉ ａ ｙ
Ｖｏ ＿ ． ｌ８Ｎｏ ６
ＮＯ ２ ８ Ｏ０
，●●●●● ● 、●●●●ｌ
咖 出 如出 一 一
一 一
带有两个零特征根的 １ ＋３次 ＋５ 次 次 系统 的定 性 分析
全 局结构 及极 限环 存 在 的条 件 ， 已经 有 了详 尽 的论 重根 ， 个 实单 根 时 ， 实单 根或 邻 近实 单根 的二 一 ａ为
述 ， 于带有 两个 零特征 根 的 １ ＋３次 ＋５次系统 重 根 ； 厂（ 一０有 一 个 三 重 根 ， 个 实 单 根 时 ， 对 次 当 ） 两 口
９ ４ 一
第 ６期
程 雪梅 ： 有 两个 零 特 征 根 的 １次 ＋３次 ＋５次 系统 的 定 性 分 析 带
结论 ４ 如果 ， 一Ｏ有五个 实 根 ， 应地 ｇ（ ） （） 相 一０
其 中 ｇ 一 ＋ｚ ＋ （）
。 ＋ 。 （ ） ＋ 愚一１
也 有五个 实根 ， （ ） 厂 一Ｏ有 实根 口时 ， ） ｇ（ 一０有 实 结 论 ６ 如果方 程 ， 一Ｏ有一 个实 单根 ａ 则 相应 （） ，
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稳定 结点 。
—ｚ ， ， 以 ｚ， 代替 ， 其 中 ａ是 如 下 结 论 ３ 如果 － ） 一口 ＝ 仍 ， 厂 一Ｏ有 三 个 实根 ， 么 ｇ（ 一Ｏ （ 那 ）
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为 三重 根 ； ， ） 当 （ ＝０有 一 个 三 重 根 ， 个 二 重 根 一
（） １
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１ 前 言
文 献标识 码 ： Ａ
文 章编 号 ：６ １ ２ ８ ２ Ｏ ） ６ ０ ４ ２ １ ７ —４ ８ （０ ８ ０ —０ ９ 一Ｏ
实单 根 ； ， ＝Ｏ有一 个二 重根 ， 当 （） 三个 实单根 时 ， ａ
带有 一个 零 特 征根 的 １次 ＋３次 ＋５次 系统 的 为二 重根 或邻 近二 重根 的实单 根 ； 厂 ） 当 （ 有两 个 二
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如一 如一 出 出
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单根 时 ， 四重根 ； ， 一Ｏ有 一 个 五重 根 时 ， ａ为 当 （） ａ 为 五重根 ， （ ） 换为 则 １变
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该实 单根 （ ） ， 一Ｏ有 三个 实 单根 时 ， 中间 实根 ａ对应 着 ｇ ） ２ 当 （） ａ为 （ 一０的实根 Ｏ 系 统 （ ） ， ４ 的奇 点 有
一
个 实单 根 ； ， ） 当 （ 一Ｏ有一 个二重 根 ， 一个实 单根 三种 情形 （ ） 稳 定 结 点 ， 点 （ ） 结 点 ， 稳 定 结 点 １不 鞍 ２鞍 不
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其 中 厂 一 ＋ｚ ＋ｍ 。 （） ＋ ＋ （ ＋ １ ＋ 地 ｇ 一０有 一个 实单 根 ０ 此 时系统 （ ） 尼 ） （） ， ４ 有一 个 不
程 雪 梅
（ 潍坊 学 院 ， 山东
潍坊
２１ ６） ６ Ｏ １
摘 要 ： 通过 讨论 １次 ＋３次 ＋５次 系统 的有 限远 奇 点 、 穷远 奇点 的性质 ， 无 得到 系统 的全局 结 构。
关键 词 ： 特征 根 ； 零 系统 ； 定性 分析 中图分类 号 ： ７ ． ２ Ｏ１ ５ １
时， ａ为二 重根 ； 厂 一Ｏ有 一个 三重根 时 ， 当实单 根 时 ， ３ 当 （） ａ为 中间一 个 （ ） 稳定 结点 。 ３不
＊ 收 稿 日期 ： ｏ ８ ６ ２ ２ ｏ 一Ｏ —１
作 者 简 介 ： 雪梅 （９ ２ ） 女 。 东 济 宁人 ， 坊 学 院数 学 与信 息科 学 学 院讲 师 。研 究 方 向 ： 分 方 程 定 性 理 论 。 程 １７～ ， 山 潍 微
ｐ
析 ， 们将 给 出完 整 的结论 。 我
２ 主 要 结 论
ｆ 。 三一 ＋ ＋ｑ ＋ｒ ＋ ＋ ｚ ｓ。
＋ｚ ＋ ｚ。 ＋ ，ｚ 。 点 。 ｚ ＋
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结论 １ 当 一一１时 ， 系统 （ ） １ 只有一个 有 限远奇 点 ｏ（ ， ） 是 １ Ｏ０ 且 ５阶 鞍 点 ， 在 轴 方 向上 有 一 个 无 穷 远奇 点 ， 稳定结 点 ， 是 系统无 周期 轨 。
第 ８ 第 ６期 卷
２Ｏ Ｏ ８年 ｌ １月
潍 坊 学院 学报
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＷ ｅｆｎ ｉｅｓｔ ０ ｒ ａ ｏ ｉ ｇＵｎｖ ｒ ｉ ａ ｙ
Ｖｏ ＿ ． ｌ８Ｎｏ ６
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一 一
带有两个零特征根的 １ ＋３次 ＋５ 次 次 系统 的定 性 分析
全 局结构 及极 限环 存 在 的条 件 ， 已经 有 了详 尽 的论 重根 ， 个 实单 根 时 ， 实单 根或 邻 近实 单根 的二 一 ａ为
述 ， 于带有 两个 零特征 根 的 １ ＋３次 ＋５次系统 重 根 ； 厂（ 一０有 一 个 三 重 根 ， 个 实 单 根 时 ， 对 次 当 ） 两 口