2013年初三数学(证明二、三)总复习总结)疑难解答版

2013年初三数学总复习（证明二、三）
名师笔记 疑难解答版
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考点一：三角形全等的证明与应用
掌握用三角形全等的判定定理来解决有关的证明和计算问题，灵活运用三角形全等的三个判定定理来证明三角形全等 例1、众所周知，只有两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等，你能想办法安排和外理这三个条件，使这两个三角形全等吗？ 请同学们参照下面的方案（1）写出其它方案（至少两条） 方案（1）：若这个角的对边恰好是这两边中的大边，则这两个三角形全等
例2、如图，已知AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，E 在BC 上，AE ＝AD ，AB ＝BC 。

求证：CE ＝CD 。

例3、如图，已知在△ABC 中，∠C ＝2∠B ，∠1＝∠2，求证：AB ＝AC ＋CD
例4、过△ABC 的BC 边的中点M 作∠BAC 的平分线AD 的平行线交AB 于E ，交CA 的延长线于F 求证：BE=CF
例5、如图,已知AB=AC ，AB ⊥AC ，AD=AE ，AD ⊥AE ，F 为BE 的中点，AF 的延长线交DC 于G ，求证：AG ⊥CD
A
B
C
D
G
F
E
此处引一例题的求解：
解：AF=(1/2)CD,且AF ⊥CD.，理由如下：
证明:连接BD,DE.取DE 的中点M,连接AM,FM,CE. ∵AD=AE;,AD ⊥AE.
∴⊿ADE 为等腰直角三角形,得:AM ⊥DE;AM=(1/2)DE;∠ADE=∠
AED=45°.
同理:⊿ABC 也为等腰直角三角形,AB=AC,∠BAC=90°=∠DAE. ∴∠BAD=∠CAE;又AB=AC,AD=AE.
∴⊿BAD ≌⊿CAE(SAS),BD=CE;∠ADB=∠AEC.
F ,M 分别为BE,DE 的中点,则FM=(1/2)BD=(1/2)CE;FM ∥BD,∠FME=∠BDE.
∴∠AMF=∠AME-∠FME=90°-∠BDE=90°-(∠ADB+45°)=45°-∠ADB=45°-∠AEC;
∠DEC=∠AED-∠AEC=45°-∠AEC.
则:∠AMF=∠DEC;又AM:DE=1:2, FM:CE=1:2.
∴⊿AMF ∽⊿DEC,AF:CD=AM:DE=1:2,AF=(1/2)CD;
且∠MAF=∠EDC,∠MAF+∠MAD+∠ADC=∠EDC+∠MAD+∠ADC=180°-∠AMD=90°. ∴AF ⊥CD.
考点二：等腰三角形问题
灵活运用等腰（等边）三角形的判定定理与性质定理，以及底边上的高、中线、顶角的平分线三线合一的性质进行有关的证明和计算。

例1、等腰三角形一腰上的高与腰长之比为1∶2，则等腰三角形的顶角为（ ）
A 、300
B 、600
C 、1500
D 、300或1500
例2、如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝900，D 是AC 上一点，AE ⊥BD 的延长线于E ，又AE ＝
2
1
BD ，求证：BD 是∠ABC 的角平分线
例3、如图，在等腰直角△ABC 中，AD 为斜边上的高，以D 为端点任作两条互相垂直的射线与两腰分别相交于E 、F 点，连结EF 与AD 相交于G ，试问：你能确定∠AED 和∠AGF 的大小关系吗？
问题二图
O
D
C
B
A
例4、在平面上有且只有4个点，这4个点有一个独特的性质每两个点之间的距离有且只有两种长度。

例如正方形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝DA ，AC ＝BD 。

请你画出具有这种独特性质的四种不同的图形，并标注相等的线段。

考点三：直角三角形、勾股定理、面积
了解直角三角形的判定与性质，理解直角三角形的边角关系，掌握用勾股定理解某些简单的实际问题。

它的有关性质广泛应用于线段计算、证明线段倍分关系、证明线段平方关系及与面积有关的问题等方面。

例1、如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝600，∠B ＝∠D ＝900，BC ＝2，CD ＝3，则AB ＝？
例2、如图，P 为△ABC 边BC 上一点，PC ＝2PB ，已知∠ABC ＝450，∠APC ＝600，求∠ACB 的度数。

例3、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．如图12，据气象观测，距沿海某城市A 的正南方向220千米的B 处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米／时的速度沿北偏东300方向往C 移动，且台风中心风力不变。

若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响。

（1）该城市是否会受到这次台风的影响? 请说明理由。

（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长?
问题一图
G
F E
D
C
B A 例 1 图 E D
C B A
例 2 图
2
1 D C
B
A
12 C
B
A
问题二图
考点四：线段的垂直平分线、角平分线
了解角平分线、垂直平分线的有关性质和定理，并能解决一些实际问题。

考点五：平行四边形问题
理解并掌握平行四边形的判定和性质
例1、已知如图：在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，AD ＝BC ，点E 、F 分别在BC 和AD 边上，AF ＝CE ，EF 和对角线BD 相交于点O ，求证：点O 是BD 的中点。

例2、已知如图：在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 边上的中点，求证：四边形EFGH 是平行四边形。

（增加变式）
例3、已知如图，在△ABC 中，∠C ＝900，点M 在BC 上，且BM ＝AC ，点N 在AC 上，且AN ＝MC ，AM 和BN 相交于P ，求∠BPM 的度数。

解答：证明：如图，过M 作ME ∥AN ，使ME=AN ，连NE ，BE ， 则四边形AMEN 为平行四边形， ∴NE=AM ，ME ⊥BC ，
∵ME=AN=CM ，∠EMB=∠MCA=90°，BM=AC ，
∴△BEM ≌△AMC ，得BE=AM=NE ，∠1=∠2，∠3=∠4， ∵∠1+∠3=90°，
∴∠2+∠4=90°且BE=NE ，
∴△BEN 为等腰直角三角形，∠BNE=45°， ∵AM ∥NE ，
∴∠BPM=∠BNE=45°．
∴∠DHG=180°-90°=90°． ∵AG=AD ， ∴A 是GD 的中点， ∴HA=
GD=DA ，
∴AH=BC ．
例2、如图，已知正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，E 是AC 上一点，过A 作AG ⊥EB 于G ，AG 交BD 于点F ，则OE ＝OF ，对上述命题，若点E 在AC 的延长线上，AG ⊥EB ，交EB 的延长线于点G ，AG 的延长线交DB 的延长线于点F ，其它条件不变，则结论“OE ＝OF ”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，说明理由。

考点八：等腰梯形问题
例1、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，中位线EF ＝7，对角线AC ⊥BD ，∠BDC ＝300，求梯形的高AH 。

例2、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，∠B ＋∠C ＝900，AD ＝7，BC ＝15，求EF 的长。

例3、已知，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 在AB 上，点F 在DC 上，且AD ＝a ，BC ＝b 。

（1）如果点E 、F 分别为AB 、DC 的中点，求证：EF ∥BC 且EF ＝
2
b
a +； （2）如图2，如果
n
m
FC DF EB AE ==，判断EF 和BC 是否平行？例 1 图
H
G
F
E
D
C
B
A
P C
B A
D
C
B A
问题一图1
O F
G
E
D
C
B
A 例 1 图 H D C
B A F E
例 2 图
D C B A F E
请证明你的结论，并用a 、b 、m 、n 的代数式表示EF 。

考点九：三角形、梯形的中位线
例1、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，M 是腰AB 的中点，且AD ＋BC ＝DC 。

求证：MD ⊥MC 。

例2、如图，△ABC 的三边长分别为AB ＝14，BC ＝16，AC ＝26，P 为∠A 的平分线AD 上一点，且BP ⊥AD ，M 为BC 的中点，求PM 的长。

例3、E 、F 为凸四边形ABCD 的一组对边AD 、BC 的中
点，若EF ＝)(2
1
CD AB ，问：ABCD 为什么四边形？请
说明理由。

解：连结AC ，取AC 的中点G ，连EG 、FG ，则EG ∥ CD ，FG ∥ AB ，∴EG ＋FG ＝ ，即EG ＋FG ＝EF ，则G 点在EF 上，EF ∥CD ，EF ∥AB ，故AB ∥CD.
（1）若AD ∥BC ，则凸四边形ABCD 为平行四边形； （2）若AD 不平行于BC ，则凸四边形ABCD 为梯形. 点拨：（1）由EG ＋FG ＝EF 可知点G 在EF 上，这是证明三点共线的方法之一；（2）要进行分类讨论，由已知条件得AB ∥CD ，即四边形有一组对边平行，故要分类讨论另一组对边的两种情况，从而确定四边形的形状.
例1图
N
M D
C
B
A
考点一：三角形全等的证明与应用
考点二：等腰三角形问题 一、填空题：
1、等腰三角形的两外角之比为5∶2，则该等腰三角形的底角为 。

2、在△ABC 中，AB ＝AC ，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，DE 垂直平分AB ，E 为垂足，则∠C ＝ 。

3、等腰三角形的两边长为4和8，则它腰上的高为 。

4、在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在AB 边上，且BD ＝BC ＝AD ，则∠A 的度数为 。

5、如图，AB ＝BC ＝CD ，AD ＝AE ，DE ＝BE ，则∠C 的度数为 。

6、如图，D 为等边△ABC 内一点，DB ＝DA ，BP ＝AB ，∠DBP ＝∠DBC ，则∠BPD ＝ 。

7、如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，EG ⊥AD 分别交AB 、AD 、AC 及BC 的延长线于点E 、H 、F 、G ，已知下列四个式子： ①∠1＝2
1
（∠2＋∠3） ②∠1＝2（∠3－∠2） ③∠4＝
21（∠3－∠2） ④∠4＝2
1∠1 其中有两个式子是正确的，它们是 和 。

b
a
问题图1
D
C
B
A
F
E 问题图 1 F
E D C B
A 例 2 图
P M
D
C
B
A
第2题图 E
D
C
B
A
第3题图
S
Q
P F E
D
B A
第5题图
E D C
B A 第6题图
P
D
C
B
A
第7题图
4
3
2
1
H
G
F E D
C
B
A
二、选择题：
1、等腰三角形中一内角的度数为500，那么它的底角的度数为（ ）A 、500 B 、650 C 、1300 D 、500或650
2、如图，D 为等边△ABC 的AC 边上一点，且∠ACE ＝∠ABD ，CE ＝BD ，则△ADE 是（ ）
A 、等腰三角形
B 、直角三角形
C 、不等边三角形
D 、等边三角形
3、如图，在△ABC 中，∠ABC ＝600，∠ACB ＝450，AD 、CF 都是高，相交于P ，角平分线BE 分别交AD 、CF 于Q 、S ，那么图中的等腰三角形的个数是（ ）A 、2 B 、3 C 、4 D 、5
4、如图，已知BO 平分∠CBA ，CO 平分∠ACB ，且MN ∥BC ，设AB ＝12，BC ＝24，AC ＝18，则△AMN 的周长是（ ） A 、30 B 、33 C 、36 D 、39
5、如图，在五边形ABCDE 中，∠A ＝∠B ＝1200，EA ＝AB ＝BC ＝
21DC ＝2
1
DE ，则∠D ＝（ ） A 、300
B 、450
C 、600
D 、67.50
三、解答题：
1、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 、E 、F 分别为AB 、BC 、CA 上的点，且BD ＝CE ，∠DEF ＝∠B 。

求证：△DEF 是等腰三角形。

2、为美化环境，计划在某小区内用30平方米的草皮铺设一块边长为10米的等腰三角形绿地。

请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长。

3、如图，在锐角△ABC 中，∠ABC ＝2∠C ，∠ABC 的平分线与AD 垂直，垂足为D ，求证：AC ＝2BD 。

4、在等边△ABC 的边BC 上任取一点D ，作∠DAE ＝600，AE 交∠C 的外角平分线于E ，那么△ADE 是什么三角形？证明你的结论。

考点三：直角三角形、勾股定理、面积 一、填空题：
1、如果直角三角形的边长分别是6、8、x ，则x 的取值范围是 。

2、如图，D 为△ABC 的边BC 上的一点，已知AB ＝13，AD ＝12，，BD ＝5，AC ＝BC ，则BC ＝ 。

3、如图，四边形ABCD 中，已知AB ∶BC ∶CD ∶DA ＝2∶2∶3∶1，且∠B ＝900，则∠DAB ＝ 。

4、等腰△ABC 中，一腰上的高为3cm ，这条高与底边的夹角为300，则ABC S ∆＝ 。

5、如图，△ABC 中，∠BAC ＝900
，∠B ＝2∠C ，D 点在BC 上，AD 平分∠BAC ，若AB ＝1，则BD 的长为 。

6、已知Rt △ABC 中，∠C ＝900，AB 边上的中线长为2，且AC ＋BC ＝6，则ABC S ∆＝ 。

7、如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，腰长为8cm ，AC 、BD 相交于O 点，且∠AOD ＝600，设E 、F 分别为CO 、AB 的中点，则EF ＝ 。

8、如图，点D 、E 是等边△ABC 的BC 、AC 上的点，且CD ＝AE ，AD 、BE 相交于P 点，BQ ⊥AD 。

已知PE ＝1，PQ ＝3，则AD ＝ 。

9、如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A 、B 、C 、D 的面积的和是 。

二、选择题：
1、如图，已知△ABC 中，AQ ＝PQ ，PR ＝PS ，PR ⊥AB 于R ，PS ⊥AC 于S ，则三个结论：①AS ＝AR ；②QP ∥AR ；③△BRP ≌△QSP 中（ ）A 、全部正确 B 、仅①和②正确 C 、仅①正确 D 、仅①和③正确
2、如果一个三角形的一条边的长是另一条边的长的2倍，并且有一个角是300，那么这个三角形的形状是（ ）
A 、直角三角形
B 、钝角三角形
C 、锐角三角形
D 、不能确定 3、在四边形ABCD 中，AD ⊥CD ，AB ＝13，BC ＝12，CD ＝4，AD ＝3，则∠ACB 的度数是（ ）
A 、大于900
B 、小于900
C 、等于900
D 、不能确定
4、如图，已知△ABC 中，∠B ＝900，AB ＝3，BC ＝3，OA ＝OC ＝6，则∠OAB 的度数为（ ） A 、100 B 、150 C 、200 D 、250
三、解答题：
1、已知△ABC 中，∠BAC ＝750，∠C ＝600，BC ＝33+，求AB 、AC 的长。

2、如图，△ABC 中，AD 是高，CE 是中线，DC ＝BE ，DG ⊥CE 于G 。

（1）求证：G 是CE 的中点；
第 2 题图
G E
D
C
B
A
第5题图
E D
C A 第4题图 O N M C
B A E D
A
第3题图
D
C B A 第5题图
D C B A
第2题图 1312
5
D C
B A
E
Q P
D
C
B
A 第9题图
D
C
B A 第7题图
F
E
O D
C B
A 第4题图 O C
B A 第1题图 S
R Q P C B A
2、如图，△ABC 中，∠1＝∠2，∠3＝∠4，若∠D ＝360，则∠C 的度数为（ ） A 、820 B 、720 C 、620 D 、520
3、某三角形有一个外角平分线平行于三角形的一边，而这三角形另一边上的中线分周长为2∶3两部分，若这个三角形的周长为30cm ，则此三角形三边长分别是（ ）
A 、8 cm 、8 cm 、14cm
B 、12 cm 、12 cm 、6cm
C 、8 cm 、8 cm 、14cm 或12 cm 、12 cm 、6cm
D 、以上答案都不对 4、如图，Rt △ABC 中，∠C ＝900，CD 是AB 边上的高，C
E 是中线，C
F 是∠ACB 的平分线，图中相等的锐角为一组，则共有（ ）A 、0组B 、2组C 、3组 D 、4组 5、如果三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（ ） A 、锐角三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、不能确定 三、解答题：
1、如图，Rt △ABC 的∠A 的平分线与过斜边中点M 的垂线交于点D ，求证：MA ＝MD 。

解：设∠C=α，AD 与BC 交点为E ，因为M 是斜边中点故AM=MC=BM,则∠MAC=α ∠DAM=45°-α，∠B=90°-α，∠AEB=180-(45+90-α）=45°+α，即∠DEC=45°+α，∠D=180-（45+α+90）=45-α，即∠DAM=∠D ，所以MA=MD
2、在△ABC 中，AB ≠AC ，D 、E 在BC 上，且DE ＝EC ，过D 作DF ∥BA 交AE 于点F ，DF ＝AC ，求证：AE 平分∠BAC 。

证明：如图，延长FE 到G ，使EG=EF ，连接CG ． 在△DEF 和△CEG 中， ∵ED=EC ∠DEF=∠CEG
FE=EG ，
∴△DEF ≌△CEG ． ∴DF=GC ，∠DFE=∠G ． ∵DF ∥AB ， ∴∠DFE=∠BAE ． ∵DF=AC ， ∴GC=AC ． ∴∠G=∠CAE ． ∴∠BAE=∠CAE ． 即AE 平分∠BAC ．
3、如图，在△ABC 中，∠B ＝22.50，∠C ＝600，AB 的垂直平分
线交BC 于点D ，BD ＝26，AE ⊥BC 于点E ，求EC 的长。

4、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝900，AC ＝BC ，D 为BC 的中点，CE ⊥AD ，垂足为E ，BF ∥AC 交CE 的延长线于点F ，求证AB 垂直平分DF 。

考点五：平行四边形问题 一、填空题：
1、一个平行四边形的两条对角线的长度分别为5和7，则它的一条边长a 的取值范围是 。

2、□ABCD 的周长是30，AC 、BD 相交于点O ，△OAB 的周长比△OBC 的周长大3，则AB ＝ 。

3、已知□ABCD 中，AB ＝2AD ，对角线BD ⊥AD ，则∠BCD 的度数是 。

4、如图：在□ABCD 中，AE ⊥BD 于E ，∠EAD ＝600
，AE ＝2，AC ＋BD ＝16，则△BOC 的周长为 。

5、如图：□ABCD 的对角线AC 、BD 相交于O ，EF 过点O ，且EF ⊥BC 于F ，∠1＝300，∠2＝450，
OD ＝22，则AC 的长
为 。

选择第4题图 E F D C
第6、7题图
F
E
D
C
B
A
第2题图 E F
D C B A 第1题图
M D
C B
A 第3题图 E F D C
B A
第4题图 E F
D
C B A 第5题图 21O F E D
C
B A 第4题图 E O
D C B
A
6、如图：过□ABCD 的顶点B 作高BE 、BF ，已知BF ＝
4
5
BE ，BC ＝16，∠EBF ＝300，则AB ＝ 。

7、如图所示，□ABCD 的周长为30，AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 于点F ，且AE ∶AF ＝2∶3，∠C ＝1200，则平行四边形ABCD 的面积为 。

二、选择题：
1、若□ABCD 的周长为28，△ABC 的周长为17cm ，则AC 的长为（ ）A 、11cm B 、5.5cm C 、4cm D 、3cm
2、如图，□ABCD 和□EAFC 的顶点D 、E 、F 、B 在同一条直线上，则下列关系中正确的是（ ）
A 、DE ＞BF
B 、DE ＝BF
C 、DE ＜BF
D 、D
E ＝FE ＝BF
第2题图 E
F D C
B
A
第3题图
3、如图，已知M 是□ABCD 的AB 边的中点，CM 交BD 于E ，则图中阴影部分的面积与□ABCD 的面积之比是（ ） A 、
61 B 、41 C 、31 D 、12
5 5、在给定的条件中，能作出平行四边形的是（ ） A 、以60cm 为对角线，20cm 、34cm 为两条邻边 B 、以20cm 、36cm 为对角线，22cm 为一条边 C 、以6cm 为一条对角线，3cm 、10cm 为两条邻边 D 、以6cm 、10cm 为对角线，8cm 为一条边
6、如图，□ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 边上的中点，直线CE 交BA 的延长线于G 点，直线DF 交AB 的延长线于H 点，CG 、DH 交于点O ，若□ABCD 的面积为4，则OGH S ＝（ ） A 、3.5 B 、4 C 、4.5 D 、5
第6题图
H
G
F
E
D C B A
7、在□ABCD 中，AB ＝6，
AD ＝8，∠B 是锐角，将△ACD 沿对角线AC 折叠，点D 落在△
ABC 所在平面内的点E 处，如果AE 过BC 的中点O ，则□ABCD 的面积等于（ ）A 、48 B 、610 C 、712 D 、224 三、解答题：
1、如图，在□ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥DC 于F ，∠ADC ＝600，BE ＝2，CF ＝1，连结DE 交AF 于点P ，求EP 的长。

解：由题意得∠B=∠ADC=60° 在Rt △ABE 中：∵BE=2 ∴AB=4
∴AE= ∴CD=4， ∵CF=1
∴DF=CD-CF=3
在Rt △AFD 中：∵FD=3 ∴AD=6
在Rt △AED 中：∵AE= ，AD=6 ∴ED= ， ∴∠AED=60° ∵∠BAD=120°，∠BAE=30°，∠F AD=30° ∴∠EAP=60°
∴△AEP 是等边三角形 ∴PE=AE= ． 故答案为 ．
第1题图
P
F
E
D
C
B
A
第2题图
H
G
F
E
D
C
B
A
2、在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 上的点，且
BE AE ＝BF FC ＝DG GC ＝HD
AH
＝k （k ＞0），阅读下列材料，然后回答下面的问题： 如上图，连结BD ∵
BE AE ＝HD AH ，BF FC ＝DG
GC
∴EH ∥BD ，FG ∥BD ① 连结AC ，则EF 与GH 是否一定平行，答： 不一定 ； ②当k 值为 1 时，四边形EFGH 是平行四边形；
③在②的情形下，对角线AC 和BD 只需满足 AC ⊥BD
条件时，EFGH 为矩形；
④在②的情形下，对角线AC 和BD 只需满足 AC=BD 条件时，EFGH 为菱形；
3、已知，在四边形ABCD 中，从①AB ∥DC ；②AB ＝DC ；③AD ∥BC ；④AD ＝BC ；⑤∠A ＝∠C ；⑥∠B ＝∠D 中取出两个条件加以组合，能推出四边形ABCD 是平行四边形的有哪几种情形？请你具体写出这些组合。

4种 考点六：矩形、菱形问题 一、填空题：
1、若矩形的对称中心到两边的距离差为4，周长为56，则这个矩形的面积为 。

2、已知菱形的锐角是600，边长是20cm ，则较短的对角线长是 cm 。

3、如图，矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若AE ⊥BD 于E ，且OE ∶OD ＝1∶2，AE ＝3cm ，则DE ＝ cm 。

5、如图，在菱形ABCD 中，∠B ＝∠EAF ＝600，∠BAE ＝200，
则∠CEF ＝ 。

二、选择题：
6、在矩形ABCD 的各边AB 、BC 、CD 、DA 上分别取点E 、F 、G 、H ，使EFGH 为矩形，则这样的矩形（ ） A 、仅能作一个 B 、可以作四个
C 、一般情况下不可作
D 、可以作无穷多个
7、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4cm ，AD ＝12cm ，P 点在AD 边上以每秒1 cm 的速度从A 向D 运动，点Q 在BC 边上，以每秒4 cm 的速度从C 点出发，在CB 间往返运动，二点同时出发，待P 点到达D 点为止，在这段时间内，线段PQ 有（ ）次平行于AB 。

A 、1 B 、2 C 、3 D 、4
第7题图
O
E D
C
B
A
第8题图
G
F
E
D
C
B
A
第3题图
E O D
C
B
A
第5题图
F
E
D
C
B
A
∙
∙
第7题图
Q
P
D
C
B
8、如图，已知矩形纸片ABCD 中，AD ＝9cm ，AB ＝3cm ，将其折叠，使点D 与点B 重合，那么折叠后DE 的长和折痕EF 的长
分别是（ ） A 、4cm 、10cm B 、5cm 、10cm C 、4cm 、32cm D 、5cm 、32cm 9、给出下面四个命题：①对角线相等的四边形是矩形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③有一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形；④菱形的对角线的平方和等于边长平方的4倍。

其中正确的命题有（ ） A 、①② B 、③④ C 、③ D 、①②③④ 10、平行四边形四个内角的平分线，如果能围成一个四边形，那么这个四边形一定是（ A ）
A 、矩形
B 、菱
形 C 、正方形 D 、等腰梯形
三、解答题：
11、如图，在矩形ABCD 中，F 是BC 边上一点，AF 的延长线交DC 的延长线于点G ，DE ⊥AG 于E ，且DE ＝DC ，根据上述条件，请在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论。

解：△ABF ≌△DEA ．
证明：∵四边形ABCD 为矩形， ∴∠B=90°，AB=DC ． ∵DE ⊥AG 于E ，DE=DC ， ∴∠DEG=90°，AB=DE ． ∵四边形ABCD 为矩形， ∴AD ∥CB ．
∴∠DAE=∠AFB ．∠AED=∠ABF=90°， ∴△ABF ≌△DEA （AAS ）．
第11题图 G
F
E
D
C
B
A
13、如图，以△ABC 的三边为边在BC 的同一侧分别作三个等边三角形，即△ABD 、△BCE 、△ACF 。

请回答下列问题（不要求证明）： （1）四边形ADEF 是什么四边形？
（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形ADEF 是矩形？ （3）当△ABC 满足什么条件时，以A 、D 、E 、F 为顶点的四边形不存在？ 例题：：：
如图，分别以△ABC 的三边为边在BC 的同侧作三个等边三角形，即△ABD ，△BCE ，△ACF ．请回答下列问题： （1）说明四边形ADEF 是什么四边形？
（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形ADEF 是矩形？ （3）当△ABC 满足什么条件时，四边形ADEF 是菱形？ （4）当△ABC 满足什么条件时，四边形ADEF 是正方形？
（5）当△ABC 满足什么条件时，以A ，D ，E ，F 为顶点的四边形不存在？ （第（2）（3）（4）（5）题不必说明理由）
解：（1）四边形ADEF 是平行四边形．（1分） ∵等边三角形BCE 和等边三角形ABD ， ∴BE=BC ，BD=BA ．
又∵∠DBE=60°-∠ABE ，∠ABC=60°-
∠ABE ， ∴∠DBE=∠ABC ． 在△BDE 和△BCA 中
BE=BC
∠DBE=∠ABC
BD=BA ，
∴△BDE ≌△BCA ．（2分） ∴DE=AC ．
∵在等边三角形ACF 中，AC=AF ， ∴DE=AF ． 同理DA=EF ．
∴四边形ADEF 是平行四边形．（4分）
（2）当∠BAC=150°时，四边形ADEF 是矩形．（5分）
（3）当AB=AC ，或∠ABC=∠ACB=15°时，四边形ADEF 是菱形．（6分）
（4）当∠BAC=150°且AB=AC ，或∠ABC=∠ACB=15°时，四边形ADEF 是正方形．（7分）
（5）当∠BAC=60°时，以A ，D ，E ，F 为顶点的四边形不存在．（8分）
考点七：正方形问题
一、填空题：
1、给出下面三个命题：①对角线相等的四边形是矩形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③对角线互相垂直的矩形是正方形。

其中真命题是 （填序号）。

2、如图，将正方形ABCD 的BC 边延长到E ，使CE ＝AC ，AE 与CD 边相交于F 点，那么CE ∶FC ＝ 。

第2题图
F
D
C
B
A
3、如图，把正方形ABCD 沿着对角线AC 的方向移动到正方形D C B A ''''的位置，它们的重叠部分的面积是正方形ABCD 面积的一半，若AC ＝2，则正方形移动的距离A A '是 解：△ABF ≌△DEA ．
证明：∵四边形ABCD 为矩形， ∴∠B=90°，AB=DC ．
∵DE ⊥AG 于E ，DE=DC ， ∴∠DEG=90°，AB=DE ．
第 13 题图 F
E
D
C B A
第3题图
第1题图
D
C
B
A E F
∵四边形ABCD 为矩形， ∴AD ∥CB ．
∴∠DAE=∠AFB ．∠AED=∠ABF=90°， ∴△ABF ≌△DEA （AAS ）． 。

4、四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，给出以下题设条件：①AB ＝BC ＝CD ＝DA ；②AO ＝BO ＝CO ＝DO ；③AO ＝CO ，BO ＝DO ，AC ⊥BD ；④AB ＝BC ，CD ＝DA 。

其中能判
断它是正方形（应该为“矩形”吧）的题设条件是 ② （把正确的序号填在横线上）。

二、选择题：
2、如图，在正方形ABCD 中，DE ＝EC ，∠CDE ＝600，则下列关系式：①∠1∶∠4＝4∶1；②∠1∶∠3＝1∶1；③（∠1＋∠2）∶（∠3＋∠4）＝5∶3中，正确的是（ ）
A 、①②③
B 、仅①
C 、仅②和③
D 、仅①和③
第2题图
4321E
D C
B
A
3、如图，正方形ABCD 的面积为256，点F 在AD 上，点E 在AB 的延长线上，Rt △CEF 的面积为200，则BE 的值为（ ） A 、10 B 、11 C 、12 D 、15 三、解答题：
1、如图，在正方形ABCD 中，E 是AD 的中点，BD 与CE 交于F 点，求证：AF ⊥BE 。

（原题无图，此处补充一图）
2、已知正方形ABCD 中，M 是AB 的中点，E 是AB 延长线上一点，MN ⊥DM 且交∠CBE 的平分线于N 。

（1）求证：MD ＝MN ；
（2）若将上述条件中的“M 是AB 的中点”改为“M 是AB 上任意一点”，其余条件不变，则结论“MD ＝MN ”还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由。

解：
（证明△DAM ≌△MEN ）不写没关系 理由如下： 解：（1）取AD 中点F ，连结MF ， 由MN ⊥DM 得∠DAM ＝90°， ∴∠FDM ＝∠NMB ，
又∵∠MNB ＝∠NBE －∠NMB ＝45°－∠NMB ， ∠DMF ＝∠AFM －∠FDM ＝45°－∠FDM ， ∴∠DMF ＝∠MNB ， 又∵DF ＝BM ，
∴△DMF ≌△MNB ，
∴MD ＝MN 。

（2）成立，
在AD 上取DF ＝MB ， ∠FDM ＝90°－∠DMA ， 又∠NMB ＋∠DMA ＝90° ∴∠FDM ＝∠NMB ， 又∵∠DMF ＝45°－∠FDM ， ∠MNB ＝45°－∠NMB ， ∴∠DMF ＝∠MNB ， 又DF ＝MB ，
∴△DMF ≌△MNB ， ∴MD ＝MN
第2题图2
N
M D
C
B
A E
3、如图，ABCD 是正方形，P 是对角线
上的一点，引PE ⊥BC 于E ，PF ⊥DC 于F 。

求证：（1）AP ＝EF ；（2）AP ⊥EF 。

方法一;略证：延长AP 与EF 相交于点H ，连结PC ，因为BD 是对角线，易证P A ＝PC ，∠1＝∠2，根据PE ⊥BC 于E ，PF ⊥DC 于F ，知PECF 为矩形，PC ＝EF ，且∠DAH ＝∠FPH ，又因为∠1＝∠2＝∠3，所以在△PHF 中，∠FPH ＋∠3＝∠4＋∠1＝900，所以△PHF 为直角三角形，故AP ⊥EF
方法二: 解：延长FP 交AB 于点N ，作PM ⊥EF 于点M ． ∵四边形ABCD 是正方形． ∴∠ABP=∠CBD
又∵NP ⊥AB ，PE ⊥BC ，
∴四边形BNPE 是正方形，∠ANP=∠EPF ， ∴NP=EP ， ∴AN=PF ，
∴△ANP ≌△FPE(SAS)
∴AP=EF ，∠PFE=∠BAP ；
△APN 与△FPM 中，∠APN=∠FPM ，∠NAP=∠PFM ∴∠PMF=∠ANP=90°
第2题图1
N
M D
C
B A E
第3题图
F E
D
C
B
A
∴AP ⊥EF ，；
第3题图
P F
E
A
B
C
D
4、如图，过正方形ABCD 的顶点B 作BE ∥CA ，作AE ＝AC ，又CF ∥AE ，求证：∠BCF ＝
2
1
∠AEB 。

提示：证AEFC 是菱形，过A 点作BE 的垂线构造300角的直角三角形。

考点八：等腰梯形问题 一、填空题： 1、如图，梯形的上底长为3，下底长为7，梯形的中位线所分成的上下
两部分的面积之比为 。

2、等腰梯形中，上底∶腰∶下底＝
1∶2∶3，则下底角的度
数
是 。

3、如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，CD ＝10，∠C ＝600，则AB 的长为 。

第6题图
E
D
C B
A
第3题图
D
C
B
A
4、如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠D ＝2∠B ，AD ＝a ，CD ＝b ，那么AB 的长是
中，AD ∥BC ，AD ＝2，BC ＝3，BD ＝4，AC ＝3，则梯形ABCD 的面积是 。

例题：
如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=1，BC=4，AC=3，BD=4，求梯形
ABCD 的面积．
分析：过点D 作DE ∥AC 行四边形，则DE=AC=3，即为直角三角形BDE 解：过点D 作DE ∥AC 则四边形ACED ∴DE=AC=3，CE=AD=1
在三角形BDE 中，∵BD=4∵四边形ACED ∴AD=CE ， ∴AD+BC=BE ，
∵梯形ABCD 与三角形∴梯形的面积即是三角形6、如图，在等腰梯形E 是BA 、CD 二、选择题：
1（ ） A 、2300
1200
45第3题图 D C
B
A 第4题图 12
8
13
D
C
B A
第5题图
D
C
B
A
3、已知如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝450，∠C ＝1200，
AB ＝8，则CD 的长为（ ） A 、
638 B 、64 C 、23
8 D 、24 4、如图，在直角梯形ABCD 中，底AB ＝13，CD ＝8，AD ⊥AB ，并且AD ＝12，则A 到BC 的距离为（ ）
A 、12
B 、13
C 、10
D 、12×21＋13
5、如图，等腰梯形ABCD 中，对角线AC ＝BC ＋AD 则∠DBC 的度数为（ ）A 、300 B 、450 C 、600 D 、900 三、解答题：
1、如图(原题无图,此处补充一图)，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ，在AB 、DC 上各取一点F 、G ，使BF ＝CG ，E 是AD 的中点。

求证：∠EFG ＝∠EGF 。

2、已知，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AH ⊥BC 于H ，D 是底边
上任意一点，过D 作BC 的垂线交AC 于M ，交BA 的延长线于N 。

求证：DM ＋DN ＝2AH 。

解(方法很好,简单,别具一格): DM//AH 得到DM/AH=CD/CH=CD/0.5BC
DN//AH 得到DN/AH=BD/BH=BD/0.5BC
相加的（DM+DN)/AH=(CD+BD)/0.5BC=2 得到DM+DN=2AH 3、如图，等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝6，CD ＝2，延
长BD 到E ，使DE ＝DB ，作EF ⊥BA 的延长线于点F ，求AF 的长。

第4题图
F
E
A
B
C
D
第4题图
D C
B
A 第1题图 G E F D C
B A 第5题图
G F
E D
C B A 第 2 题图
N
M
H D C
B A
第3题图 F E
D
C
B
A
4、如图，等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，对角线AC 、BD 相交于点O ，∠ACD ＝600，点S 、P 、Q 分别是OD 、OA 、BC 的中点。

（1）求证：△PQS 是等边三角形；
（2）若AB ＝8，CD ＝6，求PQS S ∆的值。

（3）若PQS S ∆∶AOD S ∆＝4∶5，求CD ∶AB 的值。

解:见图，ABCD 是等腰梯形，∠ACD=60°，所以有△DCO 和△ABO 都是等边三角形； △AOD 中，S 、P 分别是OD 和OA 的中点，可知SP=AD/2，SP//AD 。

过点O 、C 、Q 、B 作AD 的平行线(也与SP 平行)，如图，构成了6条平行线组成的平行线束： 记AD 与SP 的距离为H1，
记SP 与过点O 的平行线的距离为H2， 记过点O 、C 的平行线的距离为H3， 记过点C 、Q 的平行线的距离为H4， 记过点Q 、B 的平行线的距离为H5；
由于S 、P 分别是OD 和OA 的中点，所以H1=H2； 由于Q 是BC 的中点，所以H4=H5。

而：
△AOD 的面积S1=AD×(H1+H2)/2=AD×H1 △PQS 的面积S2=SP×(H2+H3+H4)/2=AD×(H1+H3+H4)/4
根据条件：S2:S1=4:5，即：(H1+H3+H4):H1=16:5，即：
H3+H4=H1×11/5 而：
CD:AB=(H1+H2+H3):(H1+H2+H3+H4+H5)=(2×H1+H3):(2×H1+H3+2×H4) 同时：
CD:AB=OD:OB=(H1+H2):(H3+H4+H5)=(2×H1):(H3+2×H4) 即有：
设
m=CD:AB=(2×H1+H3):(2×H1+H3+2×H4)=(2×H1):(H3+2×H4) =[(2×H1+H3)-(2×H1)]:[(2×H1+H3+2×H4)-(H3+2×H4)] =(H3):(2×H1)
有H3=2×m×H1，H4=H1×(1-m^2)/m 所以：2×m×H1+H1×(1-m^2)/m=H1×11/5 即：m+1/m=11/5
解得CD:AB=m=(11±√21)/10
两个答案均可，一个是CD<AB 的情形(图中的情形)，一个是CD>AB 的情形。

或者;例题:
如图，等腰梯形ABCD 中，CD ∥AB ，对角线ACBD 相交于O ，∠ACD=6O°，点S ，P ，Q 分别是OD ，OA ，BC 的中点， （1）求证：△PQS 是等边三角形；
（2）若AB=5，CD=3，求△PQS 的面积；
（3）若△PQS 的面积与△AOD 的面积的比是7：8，求梯形上、下两底的比CD ：AB ．
提示:上述二元二次方程.可当做关于a 的一元二次方程求解.
5、（2003•黑龙江）如图，直角坐标系内的梯形AOBC ，AC ∥OB ，AC 、OB 的长分别是关于x 的方程0462
2
=++-m mx x 的两根，并且AOC S ∆∶BOC S ∆＝1∶5。

（1）求AC 、OB 的长；
（2）当BC ⊥OC 时，求OC 的长及OC 所在的直线解析式； （3）在第（2）问的条件下，线段OC 上是否存在一点M ，过M 点作x 轴的平行线，交y 轴于F ，交BC 于D ，过D 点作y 轴的平
行
线
交
x
轴于E
，使
出M 点的坐标；若不存在，请说明理由。

AC 、OB 又是方程x 2-6mx+m 2+4=0的两根，可根据韦达定理得出AC 、OB 的和与积的值，然后联立AC 、OB 的比例关系式可求出AC 、OB 的长；
（2）本题要通过相似三角形求解．如果BC ⊥OC ，那么∠AOC 和∠OBC 就同为∠COB 的余角，因此两角相等，可得出△OBC ∽△COA ，根据相似三角形得出的OC 2=AC •OB ，可求出OC 的长．进而可在直角三角形OAC 中，求出OA 的长，已知了AC 的长，也就得出了C 点的坐标．可用待定系数法求出OC 所在直线的解析式；
（3）先求出矩形FDEO 的面积S
与OE 的长a 的函数关系式，易知直线BC 的
考点九：三角形、梯形的中位线 一、填空题：
1、三角形各边长为5、9、12，则连结各边中点所构成的三角形的
周长是 。

2、一个等腰梯形的周长为100cm ，如果它的中位线与腰长相等，
4、直角梯形的中位线长为a ，一腰长为b ，且此腰与底所成的角为600，则这个梯形的面积为 。

5、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF 是梯形的中位线，G 是
BC 上任意一点，如果22=∆GEF S cm 2，那么梯形ABCD 的面积是 。

6、如图，在梯形ABCD
中，AD ∥
BC ，∠B ＝300，∠C ＝600，E 、F 、M 、N 分别为AB 、CD 、BC 、DA 的中点，已知BC ＝7，MN ＝3，则EF ＝ 。

边形DCHN ，根据平行四边形的性质可得到△GNH 为直角三角形，且MN 为其斜边上的中线，由已知可求得GH 的长，从而不难求中位线的长了．
7、如图，D 、E 、F 分别为△ABC 三边上的中点，G 为AE 的中点，
第 4 题图
S Q
P O
D C
B
A
BE 与DF 、DG 分别交于P 、Q 两点，则PQ ∶BE ＝ 。

8、如图，直角梯形ABCD 的中位线EF ＝a ，垂直于底的腰AB ＝b ，则图中阴影部分的面积是 。

9、在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD 是对角线，EF 为中位线，若
ABD S ∆∶BDC S ∆＝1∶2，则AEFD S 梯形∶EBCF S ∆＝ 。

二、选择题：
1、等腰梯形的两条对角线互相垂直，中位线长为8cm ，则它的高
为（ ） A 、4 cm B 、24cm C 、8李芒cm D 、
28cm 2、已知等腰梯形ABCD 中，BC ∥AD ，它的中位线长为28cm ，
周长为104cm ，AD 比AB 少6cm ，则AD ∶AB ∶BC ＝（ ） A 、8∶12∶5 B 、2∶3∶5 C 、8∶12∶20 D 、9∶12∶19 3、如图，已知△ABC 的周长为1，连结△ABC 三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，依此类推，第2004个三角形的周长为（ ）
A 、20031
B 、20041
C 、200321
D 、20042
1
选择第3题图
C
B A
选择第4题图
T
H
G
D E
F B A
4、如图，E 、F 、G 、H 分别是BD 、BC 、AC 、AD 的中点，又
AB ＝DC ，下列结论：①EFGH 为矩形；②FH 平分EG 于T ；③EG ⊥FH ；④HF 平分∠EHG 。

其中正确的是（ ）
A 、①和②
B 、②和③
C 、①②④
D 、②③④ 三、解答题：
1、如图，在矩形ABCD 中，BC ＝8cm ，AC 与BD 交于O ，M 、N 分别为OA 、OD 的中点。

（1）求证：四边形BCNM 是等腰梯形； （2）求这个等腰梯形的中位线长。

（1）证MN ∥BC 且MN≠BC ；（2）6cm
2、如图，在四边形ABCD 中，AB ＞CD ，E 、F 分别是对角线BD 、AC 的中点，求证：EF ＞
)(2
1
CD AB -取BC 的中点构造三角形的中位线。

以上内容由小编整理，皆是名师笔记！
填空第8题图
解答第1题图
解答第2题图
F
E
D
C
B
A
附录：原版内容
初三数学总复习（证明二、三）
考点一：三角形全等的证明与应用
掌握用三角形全等的判定定理来解决有关的证明和计算问题，灵活运用三角形全等的三个判定定理来证明三角形全等 例1、众所周知，只有两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等，你能想办法安排和外理这三个条件，使这两个三角形全等吗？ 请同学们参照下面的方案（1）写出其它方案（至少两条） 方案（1）：若这个角的对边恰好是这两边中的大边，则这两个三角形全等
例2、如图，已知AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，E 在BC 上，AE ＝AD ，AB ＝BC 。

求证：CE ＝CD 。

例3、如图，已知在△ABC 中，∠C ＝2∠B ，∠1＝∠2，求证：AB ＝AC ＋CD
例4、过△ABC 的BC 边的中点M 作∠BAC 的平分线AD 的平行线交AB 于E ，交CA 的延长线于F 求证：BE=CF
例5、已知AB=AC ，AB ⊥AC ，AD=AE ，AD ⊥AE ，F 为BE 的中点，AF 的延长线交DC 于G ，求证：AG ⊥CD
A
B
C
D M
E F A
B
C
D
G
F E
考点二：等腰三角形问题
灵活运用等腰（等边）三角形的判定定理与性质定理，以及底边上的高、中线、顶角的平分线三线合一的性质进行有关的证明和计算。

例1、等腰三角形一腰上的高与腰长之比为1∶2，则等腰三角形的顶角为（ ）
A 、300
B 、600
C 、1500
D 、300或1500
例2、如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝900，D 是AC 上
一点，AE ⊥BD 的延长线于E ，又AE ＝
2
1
BD ，求证：BD 是∠ABC 的角平分线
例3、如图，在等腰直角△ABC 中，AD 为斜边上的高，以D 为端点任作两条互相垂直的射线与两腰分别相交于E 、F 点，连结EF 与AD 相交于G ，试问：你能确定∠AED 和∠AGF 的大小关系吗？
问题二图
O
D
C
B
A
例4、在平面上有且只有4个点，这4个点有一个独特的性质每两个点之间的距离有且只有两种长度。

例如正方形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝DA ，AC ＝BD 。

请你画出具有这种独特性质的四种不同的图形，并标注相等的线段。

考点三：直角三角形、勾股定理、面积
了解直角三角形的判定与性质，理解直角三角形的边角关系，掌握用勾股定理解某些简单的实际问题。

它的有关性质广泛应用于线段计算、证明线段倍分关系、证明线段平方关系及与面积有关的问题等方面。

例1、如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝600，∠B ＝∠D ＝900，BC ＝2，CD ＝3，则AB ＝？
例2、如图，P 为△ABC 边BC 上一点，PC ＝2PB ，已知∠ABC ＝450，∠APC ＝600，求∠ACB 的度数。

例3、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．如图12，据气象观测，距沿海某城市A 的正南方向220千米的B 处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米／时的速度沿北偏东300方向往C 移动，且台风中心风力不变。

若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响。

（1）该城市是否会受到这次台风的影响? 请说明理由。

（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长?
12 C
B
A
问题二图
考点四：线段的垂直平分线、角平分线
了解角平分线、垂直平分线的有关性质和定理，并能解决一些实际问题。

考点五：平行四边形问题
理解并掌握平行四边形的判定和性质
例1、已知如图：在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，AD ＝BC ，点E 、F 分别在BC 和AD 边上，AF ＝CE ，EF 和对角线BD 相交于点O ，求证：点O 是BD 的中点。

例2、已知如图：在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 边上的中点，求证：四边形EFGH 是平行四边形。

（增加变式）
例3、已知如图，在△ABC 中，∠C ＝900，点M 在BC 上，且BM ＝AC ，点N 在AC 上，且AN ＝MC ，AM 和BN 相交于P ，求∠BPM 的度数。

考点六：矩形、菱形问题
理解并掌握矩形的判定与性质，并能利用所学知识解决有关问题。

例1、如图，已知矩形ABCD 中，对角线
AC 、BD 相交于点O ，AE ⊥BD ，垂足为E ，∠DAE ∶∠BAE ＝3∶1，求∠EAC 的度数。

例2、如图，已知菱形ABCD 的边长为3，延长AB 到点E ，使BE ＝2AB ，连结EC 并延长交AD 的延长线于点F ，求AF 的长。

问题一图
G
F E
D
C
B A
D
C
B A
P
C
B
A
例 1 图 O
F E D C B A 例 2 图 H
G F E
D C B A P
N M C B A
例 1 图 E D C B A
例 2 图
2
1 D C
B
A。