2013年初三数学(证明二、三)总复习总结)疑难解答版
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2013年初三数学总复习(证明二、三)
名师笔记 疑难解答版
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考点一:三角形全等的证明与应用
掌握用三角形全等的判定定理来解决有关的证明和计算问题,灵活运用三角形全等的三个判定定理来证明三角形全等 例1、众所周知,只有两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等,你能想办法安排和外理这三个条件,使这两个三角形全等吗? 请同学们参照下面的方案(1)写出其它方案(至少两条) 方案(1):若这个角的对边恰好是这两边中的大边,则这两个三角形全等
例2、如图,已知AB ⊥BC ,DC ⊥BC ,E 在BC 上,AE =AD ,AB =BC 。
求证:CE =CD 。
例3、如图,已知在△ABC 中,∠C =2∠B ,∠1=∠2,求证:AB =AC +CD
例4、过△ABC 的BC 边的中点M 作∠BAC 的平分线AD 的平行线交AB 于E ,交CA 的延长线于F 求证:BE=CF
例5、如图,已知AB=AC ,AB ⊥AC ,AD=AE ,AD ⊥AE ,F 为BE 的中点,AF 的延长线交DC 于G ,求证:AG ⊥CD
A
B
C
D
G
F
E
此处引一例题的求解:
解:AF=(1/2)CD,且AF ⊥CD.,理由如下:
证明:连接BD,DE.取DE 的中点M,连接AM,FM,CE. ∵AD=AE;,AD ⊥AE.
∴⊿ADE 为等腰直角三角形,得:AM ⊥DE;AM=(1/2)DE;∠ADE=∠
AED=45°.
同理:⊿ABC 也为等腰直角三角形,AB=AC,∠BAC=90°=∠DAE. ∴∠BAD=∠CAE;又AB=AC,AD=AE.
∴⊿BAD ≌⊿CAE(SAS),BD=CE;∠ADB=∠AEC.
F ,M 分别为BE,DE 的中点,则FM=(1/2)BD=(1/2)CE;FM ∥BD,∠FME=∠BDE.
∴∠AMF=∠AME-∠FME=90°-∠BDE=90°-(∠ADB+45°)=45°-∠ADB=45°-∠AEC;
∠DEC=∠AED-∠AEC=45°-∠AEC.
则:∠AMF=∠DEC;又AM:DE=1:2, FM:CE=1:2.
∴⊿AMF ∽⊿DEC,AF:CD=AM:DE=1:2,AF=(1/2)CD;
且∠MAF=∠EDC,∠MAF+∠MAD+∠ADC=∠EDC+∠MAD+∠ADC=180°-∠AMD=90°. ∴AF ⊥CD.
考点二:等腰三角形问题
灵活运用等腰(等边)三角形的判定定理与性质定理,以及底边上的高、中线、顶角的平分线三线合一的性质进行有关的证明和计算。
例1、等腰三角形一腰上的高与腰长之比为1∶2,则等腰三角形的顶角为( )
A 、300
B 、600
C 、1500
D 、300或1500
例2、如图,在△ABC 中,AC =BC ,∠ACB =900,D 是AC 上一点,AE ⊥BD 的延长线于E ,又AE =
2
1
BD ,求证:BD 是∠ABC 的角平分线
例3、如图,在等腰直角△ABC 中,AD 为斜边上的高,以D 为端点任作两条互相垂直的射线与两腰分别相交于E 、F 点,连结EF 与AD 相交于G ,试问:你能确定∠AED 和∠AGF 的大小关系吗?
问题二图
O
D
C
B
A
例4、在平面上有且只有4个点,这4个点有一个独特的性质每两个点之间的距离有且只有两种长度。
例如正方形ABCD 中,AB =BC =CD =DA ,AC =BD 。
请你画出具有这种独特性质的四种不同的图形,并标注相等的线段。
考点三:直角三角形、勾股定理、面积
了解直角三角形的判定与性质,理解直角三角形的边角关系,掌握用勾股定理解某些简单的实际问题。
它的有关性质广泛应用于线段计算、证明线段倍分关系、证明线段平方关系及与面积有关的问题等方面。
例1、如图,在四边形ABCD 中,∠A =600,∠B =∠D =900,BC =2,CD =3,则AB =?
例2、如图,P 为△ABC 边BC 上一点,PC =2PB ,已知∠ABC =450,∠APC =600,求∠ACB 的度数。
例3、台风是一种自然灾害,它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴,有极强的破坏力.如图12,据气象观测,距沿海某城市A 的正南方向220千米的B 处有一台风中心,其中心最大风力为12级,每远离台风中心20千米,风力就会减弱一级,该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东300方向往C 移动,且台风中心风力不变。
若城市所受风力达到或超过四级,则称为受台风影响。
(1)该城市是否会受到这次台风的影响? 请说明理由。
(2)若会受到台风影响,那么台风影响该城市的持续时间有多长?
问题一图
G
F E
D
C
B A 例 1 图 E D
C B A
例 2 图
2
1 D C
B
A
12 C
B
A
问题二图
考点四:线段的垂直平分线、角平分线
了解角平分线、垂直平分线的有关性质和定理,并能解决一些实际问题。
考点五:平行四边形问题
理解并掌握平行四边形的判定和性质
例1、已知如图:在四边形ABCD 中,AB =CD ,AD =BC ,点E 、F 分别在BC 和AD 边上,AF =CE ,EF 和对角线BD 相交于点O ,求证:点O 是BD 的中点。
例2、已知如图:在四边形ABCD 中,E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 边上的中点,求证:四边形EFGH 是平行四边形。
(增加变式)
例3、已知如图,在△ABC 中,∠C =900,点M 在BC 上,且BM =AC ,点N 在AC 上,且AN =MC ,AM 和BN 相交于P ,求∠BPM 的度数。
解答:证明:如图,过M 作ME ∥AN ,使ME=AN ,连NE ,BE , 则四边形AMEN 为平行四边形, ∴NE=AM ,ME ⊥BC ,
∵ME=AN=CM ,∠EMB=∠MCA=90°,BM=AC ,
∴△BEM ≌△AMC ,得BE=AM=NE ,∠1=∠2,∠3=∠4, ∵∠1+∠3=90°,
∴∠2+∠4=90°且BE=NE ,
∴△BEN 为等腰直角三角形,∠BNE=45°, ∵AM ∥NE ,
∴∠BPM=∠BNE=45°.
∴∠DHG=180°-90°=90°. ∵AG=AD , ∴A 是GD 的中点, ∴HA=
GD=DA ,
∴AH=BC .
例2、如图,已知正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ,E 是AC 上一点,过A 作AG ⊥EB 于G ,AG 交BD 于点F ,则OE =OF ,对上述命题,若点E 在AC 的延长线上,AG ⊥EB ,交EB 的延长线于点G ,AG 的延长线交DB 的延长线于点F ,其它条件不变,则结论“OE =OF ”还成立吗?如果成立,请给出证明;如果不成立,说明理由。
考点八:等腰梯形问题
例1、如图,在梯形ABCD 中,AB ∥DC ,中位线EF =7,对角线AC ⊥BD ,∠BDC =300,求梯形的高AH 。
例2、如图,梯形ABCD 中,AD ∥BC ,E 、F 分别是AD 、BC 的中点,∠B +∠C =900,AD =7,BC =15,求EF 的长。
例3、已知,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,点E 在AB 上,点F 在DC 上,且AD =a ,BC =b 。
(1)如果点E 、F 分别为AB 、DC 的中点,求证:EF ∥BC 且EF =
2
b
a +; (2)如图2,如果
n
m
FC DF EB AE ==,判断EF 和BC 是否平行?例 1 图
H
G
F
E
D
C
B
A
P C
B A
D
C
B A
问题一图1
O F
G
E
D
C
B
A 例 1 图 H D C
B A F E
例 2 图
D C B A F E
请证明你的结论,并用a 、b 、m 、n 的代数式表示EF 。
考点九:三角形、梯形的中位线
例1、如图,梯形ABCD 中,AD ∥BC ,M 是腰AB 的中点,且AD +BC =DC 。
求证:MD ⊥MC 。
例2、如图,△ABC 的三边长分别为AB =14,BC =16,AC =26,P 为∠A 的平分线AD 上一点,且BP ⊥AD ,M 为BC 的中点,求PM 的长。
例3、E 、F 为凸四边形ABCD 的一组对边AD 、BC 的中
点,若EF =)(2
1
CD AB ,问:ABCD 为什么四边形?请
说明理由。
解:连结AC ,取AC 的中点G ,连EG 、FG ,则EG ∥ CD ,FG ∥ AB ,∴EG +FG = ,即EG +FG =EF ,则G 点在EF 上,EF ∥CD ,EF ∥AB ,故AB ∥CD.
(1)若AD ∥BC ,则凸四边形ABCD 为平行四边形; (2)若AD 不平行于BC ,则凸四边形ABCD 为梯形. 点拨:(1)由EG +FG =EF 可知点G 在EF 上,这是证明三点共线的方法之一;(2)要进行分类讨论,由已知条件得AB ∥CD ,即四边形有一组对边平行,故要分类讨论另一组对边的两种情况,从而确定四边形的形状.
例1图
N
M D
C
B
A
考点一:三角形全等的证明与应用
考点二:等腰三角形问题 一、填空题:
1、等腰三角形的两外角之比为5∶2,则该等腰三角形的底角为 。
2、在△ABC 中,AB =AC ,BD 平分∠ABC 交AC 于D ,DE 垂直平分AB ,E 为垂足,则∠C = 。
3、等腰三角形的两边长为4和8,则它腰上的高为 。
4、在△ABC 中,AB =AC ,点D 在AB 边上,且BD =BC =AD ,则∠A 的度数为 。
5、如图,AB =BC =CD ,AD =AE ,DE =BE ,则∠C 的度数为 。
6、如图,D 为等边△ABC 内一点,DB =DA ,BP =AB ,∠DBP =∠DBC ,则∠BPD = 。
7、如图,在△ABC 中,AD 平分∠BAC ,EG ⊥AD 分别交AB 、AD 、AC 及BC 的延长线于点E 、H 、F 、G ,已知下列四个式子: ①∠1=2
1
(∠2+∠3) ②∠1=2(∠3-∠2) ③∠4=
21(∠3-∠2) ④∠4=2
1∠1 其中有两个式子是正确的,它们是 和 。
b
a
问题图1
D
C
B
A
F
E 问题图 1 F
E D C B
A 例 2 图
P M
D
C
B
A
第2题图 E
D
C
B
A
第3题图
S
Q
P F E
D
B A
第5题图
E D C
B A 第6题图
P
D
C
B
A
第7题图
4
3
2
1
H
G
F E D
C
B
A
二、选择题:
1、等腰三角形中一内角的度数为500,那么它的底角的度数为( )A 、500 B 、650 C 、1300 D 、500或650
2、如图,D 为等边△ABC 的AC 边上一点,且∠ACE =∠ABD ,CE =BD ,则△ADE 是( )
A 、等腰三角形
B 、直角三角形
C 、不等边三角形
D 、等边三角形
3、如图,在△ABC 中,∠ABC =600,∠ACB =450,AD 、CF 都是高,相交于P ,角平分线BE 分别交AD 、CF 于Q 、S ,那么图中的等腰三角形的个数是( )A 、2 B 、3 C 、4 D 、5
4、如图,已知BO 平分∠CBA ,CO 平分∠ACB ,且MN ∥BC ,设AB =12,BC =24,AC =18,则△AMN 的周长是( ) A 、30 B 、33 C 、36 D 、39
5、如图,在五边形ABCDE 中,∠A =∠B =1200,EA =AB =BC =
21DC =2
1
DE ,则∠D =( ) A 、300
B 、450
C 、600
D 、67.50
三、解答题:
1、如图,在△ABC 中,AB =AC ,D 、E 、F 分别为AB 、BC 、CA 上的点,且BD =CE ,∠DEF =∠B 。
求证:△DEF 是等腰三角形。
2、为美化环境,计划在某小区内用30平方米的草皮铺设一块边长为10米的等腰三角形绿地。
请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长。
3、如图,在锐角△ABC 中,∠ABC =2∠C ,∠ABC 的平分线与AD 垂直,垂足为D ,求证:AC =2BD 。
4、在等边△ABC 的边BC 上任取一点D ,作∠DAE =600,AE 交∠C 的外角平分线于E ,那么△ADE 是什么三角形?证明你的结论。
考点三:直角三角形、勾股定理、面积 一、填空题:
1、如果直角三角形的边长分别是6、8、x ,则x 的取值范围是 。
2、如图,D 为△ABC 的边BC 上的一点,已知AB =13,AD =12,,BD =5,AC =BC ,则BC = 。
3、如图,四边形ABCD 中,已知AB ∶BC ∶CD ∶DA =2∶2∶3∶1,且∠B =900,则∠DAB = 。
4、等腰△ABC 中,一腰上的高为3cm ,这条高与底边的夹角为300,则ABC S ∆= 。
5、如图,△ABC 中,∠BAC =900
,∠B =2∠C ,D 点在BC 上,AD 平分∠BAC ,若AB =1,则BD 的长为 。
6、已知Rt △ABC 中,∠C =900,AB 边上的中线长为2,且AC +BC =6,则ABC S ∆= 。
7、如图,等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC ,腰长为8cm ,AC 、BD 相交于O 点,且∠AOD =600,设E 、F 分别为CO 、AB 的中点,则EF = 。
8、如图,点D 、E 是等边△ABC 的BC 、AC 上的点,且CD =AE ,AD 、BE 相交于P 点,BQ ⊥AD 。
已知PE =1,PQ =3,则AD = 。
9、如图所示,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为7cm ,则正方形A 、B 、C 、D 的面积的和是 。
二、选择题:
1、如图,已知△ABC 中,AQ =PQ ,PR =PS ,PR ⊥AB 于R ,PS ⊥AC 于S ,则三个结论:①AS =AR ;②QP ∥AR ;③△BRP ≌△QSP 中( )A 、全部正确 B 、仅①和②正确 C 、仅①正确 D 、仅①和③正确
2、如果一个三角形的一条边的长是另一条边的长的2倍,并且有一个角是300,那么这个三角形的形状是( )
A 、直角三角形
B 、钝角三角形
C 、锐角三角形
D 、不能确定 3、在四边形ABCD 中,AD ⊥CD ,AB =13,BC =12,CD =4,AD =3,则∠ACB 的度数是( )
A 、大于900
B 、小于900
C 、等于900
D 、不能确定
4、如图,已知△ABC 中,∠B =900,AB =3,BC =3,OA =OC =6,则∠OAB 的度数为( ) A 、100 B 、150 C 、200 D 、250
三、解答题:
1、已知△ABC 中,∠BAC =750,∠C =600,BC =33+,求AB 、AC 的长。
2、如图,△ABC 中,AD 是高,CE 是中线,DC =BE ,DG ⊥CE 于G 。
(1)求证:G 是CE 的中点;
第 2 题图
G E
D
C
B
A
第5题图
E D
C A 第4题图 O N M C
B A E D
A
第3题图
D
C B A 第5题图
D C B A
第2题图 1312
5
D C
B A
E
Q P
D
C
B
A 第9题图
D
C
B A 第7题图
F
E
O D
C B
A 第4题图 O C
B A 第1题图 S
R Q P C B A
2、如图,△ABC 中,∠1=∠2,∠3=∠4,若∠D =360,则∠C 的度数为( ) A 、820 B 、720 C 、620 D 、520
3、某三角形有一个外角平分线平行于三角形的一边,而这三角形另一边上的中线分周长为2∶3两部分,若这个三角形的周长为30cm ,则此三角形三边长分别是( )
A 、8 cm 、8 cm 、14cm
B 、12 cm 、12 cm 、6cm
C 、8 cm 、8 cm 、14cm 或12 cm 、12 cm 、6cm
D 、以上答案都不对 4、如图,Rt △ABC 中,∠C =900,CD 是AB 边上的高,C
E 是中线,C
F 是∠ACB 的平分线,图中相等的锐角为一组,则共有( )A 、0组B 、2组C 、3组 D 、4组 5、如果三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上,那么这个三角形是( ) A 、锐角三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、不能确定 三、解答题:
1、如图,Rt △ABC 的∠A 的平分线与过斜边中点M 的垂线交于点D ,求证:MA =MD 。
解:设∠C=α,AD 与BC 交点为E ,因为M 是斜边中点故AM=MC=BM,则∠MAC=α ∠DAM=45°-α,∠B=90°-α,∠AEB=180-(45+90-α)=45°+α,即∠DEC=45°+α,∠D=180-(45+α+90)=45-α,即∠DAM=∠D ,所以MA=MD
2、在△ABC 中,AB ≠AC ,D 、E 在BC 上,且DE =EC ,过D 作DF ∥BA 交AE 于点F ,DF =AC ,求证:AE 平分∠BAC 。
证明:如图,延长FE 到G ,使EG=EF ,连接CG . 在△DEF 和△CEG 中, ∵ED=EC ∠DEF=∠CEG
FE=EG ,
∴△DEF ≌△CEG . ∴DF=GC ,∠DFE=∠G . ∵DF ∥AB , ∴∠DFE=∠BAE . ∵DF=AC , ∴GC=AC . ∴∠G=∠CAE . ∴∠BAE=∠CAE . 即AE 平分∠BAC .
3、如图,在△ABC 中,∠B =22.50,∠C =600,AB 的垂直平分
线交BC 于点D ,BD =26,AE ⊥BC 于点E ,求EC 的长。
4、如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =900,AC =BC ,D 为BC 的中点,CE ⊥AD ,垂足为E ,BF ∥AC 交CE 的延长线于点F ,求证AB 垂直平分DF 。
考点五:平行四边形问题 一、填空题:
1、一个平行四边形的两条对角线的长度分别为5和7,则它的一条边长a 的取值范围是 。
2、□ABCD 的周长是30,AC 、BD 相交于点O ,△OAB 的周长比△OBC 的周长大3,则AB = 。
3、已知□ABCD 中,AB =2AD ,对角线BD ⊥AD ,则∠BCD 的度数是 。
4、如图:在□ABCD 中,AE ⊥BD 于E ,∠EAD =600
,AE =2,AC +BD =16,则△BOC 的周长为 。
5、如图:□ABCD 的对角线AC 、BD 相交于O ,EF 过点O ,且EF ⊥BC 于F ,∠1=300,∠2=450,
OD =22,则AC 的长
为 。
选择第4题图 E F D C
第6、7题图
F
E
D
C
B
A
第2题图 E F
D C B A 第1题图
M D
C B
A 第3题图 E F D C
B A
第4题图 E F
D
C B A 第5题图 21O F E D
C
B A 第4题图 E O
D C B
A
6、如图:过□ABCD 的顶点B 作高BE 、BF ,已知BF =
4
5
BE ,BC =16,∠EBF =300,则AB = 。
7、如图所示,□ABCD 的周长为30,AE ⊥BC 于点E ,AF ⊥CD 于点F ,且AE ∶AF =2∶3,∠C =1200,则平行四边形ABCD 的面积为 。
二、选择题:
1、若□ABCD 的周长为28,△ABC 的周长为17cm ,则AC 的长为( )A 、11cm B 、5.5cm C 、4cm D 、3cm
2、如图,□ABCD 和□EAFC 的顶点D 、E 、F 、B 在同一条直线上,则下列关系中正确的是( )
A 、DE >BF
B 、DE =BF
C 、DE <BF
D 、D
E =FE =BF
第2题图 E
F D C
B
A
第3题图
3、如图,已知M 是□ABCD 的AB 边的中点,CM 交BD 于E ,则图中阴影部分的面积与□ABCD 的面积之比是( ) A 、
61 B 、41 C 、31 D 、12
5 5、在给定的条件中,能作出平行四边形的是( ) A 、以60cm 为对角线,20cm 、34cm 为两条邻边 B 、以20cm 、36cm 为对角线,22cm 为一条边 C 、以6cm 为一条对角线,3cm 、10cm 为两条邻边 D 、以6cm 、10cm 为对角线,8cm 为一条边
6、如图,□ABCD 中,E 、F 分别是AD 、BC 边上的中点,直线CE 交BA 的延长线于G 点,直线DF 交AB 的延长线于H 点,CG 、DH 交于点O ,若□ABCD 的面积为4,则OGH S =( ) A 、3.5 B 、4 C 、4.5 D 、5
第6题图
H
G
F
E
D C B A
7、在□ABCD 中,AB =6,
AD =8,∠B 是锐角,将△ACD 沿对角线AC 折叠,点D 落在△
ABC 所在平面内的点E 处,如果AE 过BC 的中点O ,则□ABCD 的面积等于( )A 、48 B 、610 C 、712 D 、224 三、解答题:
1、如图,在□ABCD 中,AE ⊥BC 于E ,AF ⊥DC 于F ,∠ADC =600,BE =2,CF =1,连结DE 交AF 于点P ,求EP 的长。
解:由题意得∠B=∠ADC=60° 在Rt △ABE 中:∵BE=2 ∴AB=4
∴AE= ∴CD=4, ∵CF=1
∴DF=CD-CF=3
在Rt △AFD 中:∵FD=3 ∴AD=6
在Rt △AED 中:∵AE= ,AD=6 ∴ED= , ∴∠AED=60° ∵∠BAD=120°,∠BAE=30°,∠F AD=30° ∴∠EAP=60°
∴△AEP 是等边三角形 ∴PE=AE= . 故答案为 .
第1题图
P
F
E
D
C
B
A
第2题图
H
G
F
E
D
C
B
A
2、在四边形ABCD 中,E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 上的点,且
BE AE =BF FC =DG GC =HD
AH
=k (k >0),阅读下列材料,然后回答下面的问题: 如上图,连结BD ∵
BE AE =HD AH ,BF FC =DG
GC
∴EH ∥BD ,FG ∥BD ① 连结AC ,则EF 与GH 是否一定平行,答: 不一定 ; ②当k 值为 1 时,四边形EFGH 是平行四边形;
③在②的情形下,对角线AC 和BD 只需满足 AC ⊥BD
条件时,EFGH 为矩形;
④在②的情形下,对角线AC 和BD 只需满足 AC=BD 条件时,EFGH 为菱形;
3、已知,在四边形ABCD 中,从①AB ∥DC ;②AB =DC ;③AD ∥BC ;④AD =BC ;⑤∠A =∠C ;⑥∠B =∠D 中取出两个条件加以组合,能推出四边形ABCD 是平行四边形的有哪几种情形?请你具体写出这些组合。
4种 考点六:矩形、菱形问题 一、填空题:
1、若矩形的对称中心到两边的距离差为4,周长为56,则这个矩形的面积为 。
2、已知菱形的锐角是600,边长是20cm ,则较短的对角线长是 cm 。
3、如图,矩形ABCD 中,O 是对角线的交点,若AE ⊥BD 于E ,且OE ∶OD =1∶2,AE =3cm ,则DE = cm 。
5、如图,在菱形ABCD 中,∠B =∠EAF =600,∠BAE =200,
则∠CEF = 。
二、选择题:
6、在矩形ABCD 的各边AB 、BC 、CD 、DA 上分别取点E 、F 、G 、H ,使EFGH 为矩形,则这样的矩形( ) A 、仅能作一个 B 、可以作四个
C 、一般情况下不可作
D 、可以作无穷多个
7、如图,在矩形ABCD 中,AB =4cm ,AD =12cm ,P 点在AD 边上以每秒1 cm 的速度从A 向D 运动,点Q 在BC 边上,以每秒4 cm 的速度从C 点出发,在CB 间往返运动,二点同时出发,待P 点到达D 点为止,在这段时间内,线段PQ 有( )次平行于AB 。
A 、1 B 、2 C 、3 D 、4
第7题图
O
E D
C
B
A
第8题图
G
F
E
D
C
B
A
第3题图
E O D
C
B
A
第5题图
F
E
D
C
B
A
∙
∙
第7题图
Q
P
D
C
B
8、如图,已知矩形纸片ABCD 中,AD =9cm ,AB =3cm ,将其折叠,使点D 与点B 重合,那么折叠后DE 的长和折痕EF 的长
分别是( ) A 、4cm 、10cm B 、5cm 、10cm C 、4cm 、32cm D 、5cm 、32cm 9、给出下面四个命题:①对角线相等的四边形是矩形;②对角线互相垂直的四边形是菱形;③有一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形;④菱形的对角线的平方和等于边长平方的4倍。
其中正确的命题有( ) A 、①② B 、③④ C 、③ D 、①②③④ 10、平行四边形四个内角的平分线,如果能围成一个四边形,那么这个四边形一定是( A )
A 、矩形
B 、菱
形 C 、正方形 D 、等腰梯形
三、解答题:
11、如图,在矩形ABCD 中,F 是BC 边上一点,AF 的延长线交DC 的延长线于点G ,DE ⊥AG 于E ,且DE =DC ,根据上述条件,请在图中找出一对全等三角形,并证明你的结论。
解:△ABF ≌△DEA .
证明:∵四边形ABCD 为矩形, ∴∠B=90°,AB=DC . ∵DE ⊥AG 于E ,DE=DC , ∴∠DEG=90°,AB=DE . ∵四边形ABCD 为矩形, ∴AD ∥CB .
∴∠DAE=∠AFB .∠AED=∠ABF=90°, ∴△ABF ≌△DEA (AAS ).
第11题图 G
F
E
D
C
B
A
13、如图,以△ABC 的三边为边在BC 的同一侧分别作三个等边三角形,即△ABD 、△BCE 、△ACF 。
请回答下列问题(不要求证明): (1)四边形ADEF 是什么四边形?
(2)当△ABC 满足什么条件时,四边形ADEF 是矩形? (3)当△ABC 满足什么条件时,以A 、D 、E 、F 为顶点的四边形不存在? 例题:::
如图,分别以△ABC 的三边为边在BC 的同侧作三个等边三角形,即△ABD ,△BCE ,△ACF .请回答下列问题: (1)说明四边形ADEF 是什么四边形?
(2)当△ABC 满足什么条件时,四边形ADEF 是矩形? (3)当△ABC 满足什么条件时,四边形ADEF 是菱形? (4)当△ABC 满足什么条件时,四边形ADEF 是正方形?
(5)当△ABC 满足什么条件时,以A ,D ,E ,F 为顶点的四边形不存在? (第(2)(3)(4)(5)题不必说明理由)
解:(1)四边形ADEF 是平行四边形.(1分) ∵等边三角形BCE 和等边三角形ABD , ∴BE=BC ,BD=BA .
又∵∠DBE=60°-∠ABE ,∠ABC=60°-
∠ABE , ∴∠DBE=∠ABC . 在△BDE 和△BCA 中
BE=BC
∠DBE=∠ABC
BD=BA ,
∴△BDE ≌△BCA .(2分) ∴DE=AC .
∵在等边三角形ACF 中,AC=AF , ∴DE=AF . 同理DA=EF .
∴四边形ADEF 是平行四边形.(4分)
(2)当∠BAC=150°时,四边形ADEF 是矩形.(5分)
(3)当AB=AC ,或∠ABC=∠ACB=15°时,四边形ADEF 是菱形.(6分)
(4)当∠BAC=150°且AB=AC ,或∠ABC=∠ACB=15°时,四边形ADEF 是正方形.(7分)
(5)当∠BAC=60°时,以A ,D ,E ,F 为顶点的四边形不存在.(8分)
考点七:正方形问题
一、填空题:
1、给出下面三个命题:①对角线相等的四边形是矩形;②对角线互相垂直的四边形是菱形;③对角线互相垂直的矩形是正方形。
其中真命题是 (填序号)。
2、如图,将正方形ABCD 的BC 边延长到E ,使CE =AC ,AE 与CD 边相交于F 点,那么CE ∶FC = 。
第2题图
F
D
C
B
A
3、如图,把正方形ABCD 沿着对角线AC 的方向移动到正方形D C B A ''''的位置,它们的重叠部分的面积是正方形ABCD 面积的一半,若AC =2,则正方形移动的距离A A '是 解:△ABF ≌△DEA .
证明:∵四边形ABCD 为矩形, ∴∠B=90°,AB=DC .
∵DE ⊥AG 于E ,DE=DC , ∴∠DEG=90°,AB=DE .
第 13 题图 F
E
D
C B A
第3题图
第1题图
D
C
B
A E F
∵四边形ABCD 为矩形, ∴AD ∥CB .
∴∠DAE=∠AFB .∠AED=∠ABF=90°, ∴△ABF ≌△DEA (AAS ). 。
4、四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ,给出以下题设条件:①AB =BC =CD =DA ;②AO =BO =CO =DO ;③AO =CO ,BO =DO ,AC ⊥BD ;④AB =BC ,CD =DA 。
其中能判
断它是正方形(应该为“矩形”吧)的题设条件是 ② (把正确的序号填在横线上)。
二、选择题:
2、如图,在正方形ABCD 中,DE =EC ,∠CDE =600,则下列关系式:①∠1∶∠4=4∶1;②∠1∶∠3=1∶1;③(∠1+∠2)∶(∠3+∠4)=5∶3中,正确的是( )
A 、①②③
B 、仅①
C 、仅②和③
D 、仅①和③
第2题图
4321E
D C
B
A
3、如图,正方形ABCD 的面积为256,点F 在AD 上,点E 在AB 的延长线上,Rt △CEF 的面积为200,则BE 的值为( ) A 、10 B 、11 C 、12 D 、15 三、解答题:
1、如图,在正方形ABCD 中,E 是AD 的中点,BD 与CE 交于F 点,求证:AF ⊥BE 。
(原题无图,此处补充一图)
2、已知正方形ABCD 中,M 是AB 的中点,E 是AB 延长线上一点,MN ⊥DM 且交∠CBE 的平分线于N 。
(1)求证:MD =MN ;
(2)若将上述条件中的“M 是AB 的中点”改为“M 是AB 上任意一点”,其余条件不变,则结论“MD =MN ”还成立吗?如果成立,请证明;如果不成立,请说明理由。
解:
(证明△DAM ≌△MEN )不写没关系 理由如下: 解:(1)取AD 中点F ,连结MF , 由MN ⊥DM 得∠DAM =90°, ∴∠FDM =∠NMB ,
又∵∠MNB =∠NBE -∠NMB =45°-∠NMB , ∠DMF =∠AFM -∠FDM =45°-∠FDM , ∴∠DMF =∠MNB , 又∵DF =BM ,
∴△DMF ≌△MNB ,
∴MD =MN 。
(2)成立,
在AD 上取DF =MB , ∠FDM =90°-∠DMA , 又∠NMB +∠DMA =90° ∴∠FDM =∠NMB , 又∵∠DMF =45°-∠FDM , ∠MNB =45°-∠NMB , ∴∠DMF =∠MNB , 又DF =MB ,
∴△DMF ≌△MNB , ∴MD =MN
第2题图2
N
M D
C
B
A E
3、如图,ABCD 是正方形,P 是对角线
上的一点,引PE ⊥BC 于E ,PF ⊥DC 于F 。
求证:(1)AP =EF ;(2)AP ⊥EF 。
方法一;略证:延长AP 与EF 相交于点H ,连结PC ,因为BD 是对角线,易证P A =PC ,∠1=∠2,根据PE ⊥BC 于E ,PF ⊥DC 于F ,知PECF 为矩形,PC =EF ,且∠DAH =∠FPH ,又因为∠1=∠2=∠3,所以在△PHF 中,∠FPH +∠3=∠4+∠1=900,所以△PHF 为直角三角形,故AP ⊥EF
方法二: 解:延长FP 交AB 于点N ,作PM ⊥EF 于点M . ∵四边形ABCD 是正方形. ∴∠ABP=∠CBD
又∵NP ⊥AB ,PE ⊥BC ,
∴四边形BNPE 是正方形,∠ANP=∠EPF , ∴NP=EP , ∴AN=PF ,
∴△ANP ≌△FPE(SAS)
∴AP=EF ,∠PFE=∠BAP ;
△APN 与△FPM 中,∠APN=∠FPM ,∠NAP=∠PFM ∴∠PMF=∠ANP=90°
第2题图1
N
M D
C
B A E
第3题图
F E
D
C
B
A
∴AP ⊥EF ,;
第3题图
P F
E
A
B
C
D
4、如图,过正方形ABCD 的顶点B 作BE ∥CA ,作AE =AC ,又CF ∥AE ,求证:∠BCF =
2
1
∠AEB 。
提示:证AEFC 是菱形,过A 点作BE 的垂线构造300角的直角三角形。
考点八:等腰梯形问题 一、填空题: 1、如图,梯形的上底长为3,下底长为7,梯形的中位线所分成的上下
两部分的面积之比为 。
2、等腰梯形中,上底∶腰∶下底=
1∶2∶3,则下底角的度
数
是 。
3、如图,直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,CD =10,∠C =600,则AB 的长为 。
第6题图
E
D
C B
A
第3题图
D
C
B
A
4、如图,梯形ABCD 中,AB ∥CD ,∠D =2∠B ,AD =a ,CD =b ,那么AB 的长是
中,AD ∥BC ,AD =2,BC =3,BD =4,AC =3,则梯形ABCD 的面积是 。
例题:
如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AD=1,BC=4,AC=3,BD=4,求梯形
ABCD 的面积.
分析:过点D 作DE ∥AC 行四边形,则DE=AC=3,即为直角三角形BDE 解:过点D 作DE ∥AC 则四边形ACED ∴DE=AC=3,CE=AD=1
在三角形BDE 中,∵BD=4∵四边形ACED ∴AD=CE , ∴AD+BC=BE ,
∵梯形ABCD 与三角形∴梯形的面积即是三角形6、如图,在等腰梯形E 是BA 、CD 二、选择题:
1( ) A 、2300
1200
45第3题图 D C
B
A 第4题图 12
8
13
D
C
B A
第5题图
D
C
B
A
3、已知如图,梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠B =450,∠C =1200,
AB =8,则CD 的长为( ) A 、
638 B 、64 C 、23
8 D 、24 4、如图,在直角梯形ABCD 中,底AB =13,CD =8,AD ⊥AB ,并且AD =12,则A 到BC 的距离为( )
A 、12
B 、13
C 、10
D 、12×21+13
5、如图,等腰梯形ABCD 中,对角线AC =BC +AD 则∠DBC 的度数为( )A 、300 B 、450 C 、600 D 、900 三、解答题:
1、如图(原题无图,此处补充一图),梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AB =DC ,在AB 、DC 上各取一点F 、G ,使BF =CG ,E 是AD 的中点。
求证:∠EFG =∠EGF 。
2、已知,在等腰△ABC 中,AB =AC ,AH ⊥BC 于H ,D 是底边
上任意一点,过D 作BC 的垂线交AC 于M ,交BA 的延长线于N 。
求证:DM +DN =2AH 。
解(方法很好,简单,别具一格): DM//AH 得到DM/AH=CD/CH=CD/0.5BC
DN//AH 得到DN/AH=BD/BH=BD/0.5BC
相加的(DM+DN)/AH=(CD+BD)/0.5BC=2 得到DM+DN=2AH 3、如图,等腰梯形ABCD 中,AB ∥CD ,AB =6,CD =2,延
长BD 到E ,使DE =DB ,作EF ⊥BA 的延长线于点F ,求AF 的长。
第4题图
F
E
A
B
C
D
第4题图
D C
B
A 第1题图 G E F D C
B A 第5题图
G F
E D
C B A 第 2 题图
N
M
H D C
B A
第3题图 F E
D
C
B
A
4、如图,等腰梯形ABCD 中,AB ∥CD ,对角线AC 、BD 相交于点O ,∠ACD =600,点S 、P 、Q 分别是OD 、OA 、BC 的中点。
(1)求证:△PQS 是等边三角形;
(2)若AB =8,CD =6,求PQS S ∆的值。
(3)若PQS S ∆∶AOD S ∆=4∶5,求CD ∶AB 的值。
解:见图,ABCD 是等腰梯形,∠ACD=60°,所以有△DCO 和△ABO 都是等边三角形; △AOD 中,S 、P 分别是OD 和OA 的中点,可知SP=AD/2,SP//AD 。
过点O 、C 、Q 、B 作AD 的平行线(也与SP 平行),如图,构成了6条平行线组成的平行线束: 记AD 与SP 的距离为H1,
记SP 与过点O 的平行线的距离为H2, 记过点O 、C 的平行线的距离为H3, 记过点C 、Q 的平行线的距离为H4, 记过点Q 、B 的平行线的距离为H5;
由于S 、P 分别是OD 和OA 的中点,所以H1=H2; 由于Q 是BC 的中点,所以H4=H5。
而:
△AOD 的面积S1=AD×(H1+H2)/2=AD×H1 △PQS 的面积S2=SP×(H2+H3+H4)/2=AD×(H1+H3+H4)/4
根据条件:S2:S1=4:5,即:(H1+H3+H4):H1=16:5,即:
H3+H4=H1×11/5 而:
CD:AB=(H1+H2+H3):(H1+H2+H3+H4+H5)=(2×H1+H3):(2×H1+H3+2×H4) 同时:
CD:AB=OD:OB=(H1+H2):(H3+H4+H5)=(2×H1):(H3+2×H4) 即有:
设
m=CD:AB=(2×H1+H3):(2×H1+H3+2×H4)=(2×H1):(H3+2×H4) =[(2×H1+H3)-(2×H1)]:[(2×H1+H3+2×H4)-(H3+2×H4)] =(H3):(2×H1)
有H3=2×m×H1,H4=H1×(1-m^2)/m 所以:2×m×H1+H1×(1-m^2)/m=H1×11/5 即:m+1/m=11/5
解得CD:AB=m=(11±√21)/10
两个答案均可,一个是CD<AB 的情形(图中的情形),一个是CD>AB 的情形。
或者;例题:
如图,等腰梯形ABCD 中,CD ∥AB ,对角线ACBD 相交于O ,∠ACD=6O°,点S ,P ,Q 分别是OD ,OA ,BC 的中点, (1)求证:△PQS 是等边三角形;
(2)若AB=5,CD=3,求△PQS 的面积;
(3)若△PQS 的面积与△AOD 的面积的比是7:8,求梯形上、下两底的比CD :AB .
提示:上述二元二次方程.可当做关于a 的一元二次方程求解.
5、(2003•黑龙江)如图,直角坐标系内的梯形AOBC ,AC ∥OB ,AC 、OB 的长分别是关于x 的方程0462
2
=++-m mx x 的两根,并且AOC S ∆∶BOC S ∆=1∶5。
(1)求AC 、OB 的长;
(2)当BC ⊥OC 时,求OC 的长及OC 所在的直线解析式; (3)在第(2)问的条件下,线段OC 上是否存在一点M ,过M 点作x 轴的平行线,交y 轴于F ,交BC 于D ,过D 点作y 轴的平
行
线
交
x
轴于E
,使
出M 点的坐标;若不存在,请说明理由。
AC 、OB 又是方程x 2-6mx+m 2+4=0的两根,可根据韦达定理得出AC 、OB 的和与积的值,然后联立AC 、OB 的比例关系式可求出AC 、OB 的长;
(2)本题要通过相似三角形求解.如果BC ⊥OC ,那么∠AOC 和∠OBC 就同为∠COB 的余角,因此两角相等,可得出△OBC ∽△COA ,根据相似三角形得出的OC 2=AC •OB ,可求出OC 的长.进而可在直角三角形OAC 中,求出OA 的长,已知了AC 的长,也就得出了C 点的坐标.可用待定系数法求出OC 所在直线的解析式;
(3)先求出矩形FDEO 的面积S
与OE 的长a 的函数关系式,易知直线BC 的
考点九:三角形、梯形的中位线 一、填空题:
1、三角形各边长为5、9、12,则连结各边中点所构成的三角形的
周长是 。
2、一个等腰梯形的周长为100cm ,如果它的中位线与腰长相等,
4、直角梯形的中位线长为a ,一腰长为b ,且此腰与底所成的角为600,则这个梯形的面积为 。
5、如图,梯形ABCD 中,AD ∥BC ,EF 是梯形的中位线,G 是
BC 上任意一点,如果22=∆GEF S cm 2,那么梯形ABCD 的面积是 。
6、如图,在梯形ABCD
中,AD ∥
BC ,∠B =300,∠C =600,E 、F 、M 、N 分别为AB 、CD 、BC 、DA 的中点,已知BC =7,MN =3,则EF = 。
边形DCHN ,根据平行四边形的性质可得到△GNH 为直角三角形,且MN 为其斜边上的中线,由已知可求得GH 的长,从而不难求中位线的长了.
7、如图,D 、E 、F 分别为△ABC 三边上的中点,G 为AE 的中点,
第 4 题图
S Q
P O
D C
B
A
BE 与DF 、DG 分别交于P 、Q 两点,则PQ ∶BE = 。
8、如图,直角梯形ABCD 的中位线EF =a ,垂直于底的腰AB =b ,则图中阴影部分的面积是 。
9、在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,BD 是对角线,EF 为中位线,若
ABD S ∆∶BDC S ∆=1∶2,则AEFD S 梯形∶EBCF S ∆= 。
二、选择题:
1、等腰梯形的两条对角线互相垂直,中位线长为8cm ,则它的高
为( ) A 、4 cm B 、24cm C 、8李芒cm D 、
28cm 2、已知等腰梯形ABCD 中,BC ∥AD ,它的中位线长为28cm ,
周长为104cm ,AD 比AB 少6cm ,则AD ∶AB ∶BC =( ) A 、8∶12∶5 B 、2∶3∶5 C 、8∶12∶20 D 、9∶12∶19 3、如图,已知△ABC 的周长为1,连结△ABC 三边的中点构成第二个三角形,再连结第二个三角形三边的中点构成第三个三角形,依此类推,第2004个三角形的周长为( )
A 、20031
B 、20041
C 、200321
D 、20042
1
选择第3题图
C
B A
选择第4题图
T
H
G
D E
F B A
4、如图,E 、F 、G 、H 分别是BD 、BC 、AC 、AD 的中点,又
AB =DC ,下列结论:①EFGH 为矩形;②FH 平分EG 于T ;③EG ⊥FH ;④HF 平分∠EHG 。
其中正确的是( )
A 、①和②
B 、②和③
C 、①②④
D 、②③④ 三、解答题:
1、如图,在矩形ABCD 中,BC =8cm ,AC 与BD 交于O ,M 、N 分别为OA 、OD 的中点。
(1)求证:四边形BCNM 是等腰梯形; (2)求这个等腰梯形的中位线长。
(1)证MN ∥BC 且MN≠BC ;(2)6cm
2、如图,在四边形ABCD 中,AB >CD ,E 、F 分别是对角线BD 、AC 的中点,求证:EF >
)(2
1
CD AB -取BC 的中点构造三角形的中位线。
以上内容由小编整理,皆是名师笔记!
填空第8题图
解答第1题图
解答第2题图
F
E
D
C
B
A
附录:原版内容
初三数学总复习(证明二、三)
考点一:三角形全等的证明与应用
掌握用三角形全等的判定定理来解决有关的证明和计算问题,灵活运用三角形全等的三个判定定理来证明三角形全等 例1、众所周知,只有两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等,你能想办法安排和外理这三个条件,使这两个三角形全等吗? 请同学们参照下面的方案(1)写出其它方案(至少两条) 方案(1):若这个角的对边恰好是这两边中的大边,则这两个三角形全等
例2、如图,已知AB ⊥BC ,DC ⊥BC ,E 在BC 上,AE =AD ,AB =BC 。
求证:CE =CD 。
例3、如图,已知在△ABC 中,∠C =2∠B ,∠1=∠2,求证:AB =AC +CD
例4、过△ABC 的BC 边的中点M 作∠BAC 的平分线AD 的平行线交AB 于E ,交CA 的延长线于F 求证:BE=CF
例5、已知AB=AC ,AB ⊥AC ,AD=AE ,AD ⊥AE ,F 为BE 的中点,AF 的延长线交DC 于G ,求证:AG ⊥CD
A
B
C
D M
E F A
B
C
D
G
F E
考点二:等腰三角形问题
灵活运用等腰(等边)三角形的判定定理与性质定理,以及底边上的高、中线、顶角的平分线三线合一的性质进行有关的证明和计算。
例1、等腰三角形一腰上的高与腰长之比为1∶2,则等腰三角形的顶角为( )
A 、300
B 、600
C 、1500
D 、300或1500
例2、如图,在△ABC 中,AC =BC ,∠ACB =900,D 是AC 上
一点,AE ⊥BD 的延长线于E ,又AE =
2
1
BD ,求证:BD 是∠ABC 的角平分线
例3、如图,在等腰直角△ABC 中,AD 为斜边上的高,以D 为端点任作两条互相垂直的射线与两腰分别相交于E 、F 点,连结EF 与AD 相交于G ,试问:你能确定∠AED 和∠AGF 的大小关系吗?
问题二图
O
D
C
B
A
例4、在平面上有且只有4个点,这4个点有一个独特的性质每两个点之间的距离有且只有两种长度。
例如正方形ABCD 中,AB =BC =CD =DA ,AC =BD 。
请你画出具有这种独特性质的四种不同的图形,并标注相等的线段。
考点三:直角三角形、勾股定理、面积
了解直角三角形的判定与性质,理解直角三角形的边角关系,掌握用勾股定理解某些简单的实际问题。
它的有关性质广泛应用于线段计算、证明线段倍分关系、证明线段平方关系及与面积有关的问题等方面。
例1、如图,在四边形ABCD 中,∠A =600,∠B =∠D =900,BC =2,CD =3,则AB =?
例2、如图,P 为△ABC 边BC 上一点,PC =2PB ,已知∠ABC =450,∠APC =600,求∠ACB 的度数。
例3、台风是一种自然灾害,它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴,有极强的破坏力.如图12,据气象观测,距沿海某城市A 的正南方向220千米的B 处有一台风中心,其中心最大风力为12级,每远离台风中心20千米,风力就会减弱一级,该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东300方向往C 移动,且台风中心风力不变。
若城市所受风力达到或超过四级,则称为受台风影响。
(1)该城市是否会受到这次台风的影响? 请说明理由。
(2)若会受到台风影响,那么台风影响该城市的持续时间有多长?
12 C
B
A
问题二图
考点四:线段的垂直平分线、角平分线
了解角平分线、垂直平分线的有关性质和定理,并能解决一些实际问题。
考点五:平行四边形问题
理解并掌握平行四边形的判定和性质
例1、已知如图:在四边形ABCD 中,AB =CD ,AD =BC ,点E 、F 分别在BC 和AD 边上,AF =CE ,EF 和对角线BD 相交于点O ,求证:点O 是BD 的中点。
例2、已知如图:在四边形ABCD 中,E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 边上的中点,求证:四边形EFGH 是平行四边形。
(增加变式)
例3、已知如图,在△ABC 中,∠C =900,点M 在BC 上,且BM =AC ,点N 在AC 上,且AN =MC ,AM 和BN 相交于P ,求∠BPM 的度数。
考点六:矩形、菱形问题
理解并掌握矩形的判定与性质,并能利用所学知识解决有关问题。
例1、如图,已知矩形ABCD 中,对角线
AC 、BD 相交于点O ,AE ⊥BD ,垂足为E ,∠DAE ∶∠BAE =3∶1,求∠EAC 的度数。
例2、如图,已知菱形ABCD 的边长为3,延长AB 到点E ,使BE =2AB ,连结EC 并延长交AD 的延长线于点F ,求AF 的长。
问题一图
G
F E
D
C
B A
D
C
B A
P
C
B
A
例 1 图 O
F E D C B A 例 2 图 H
G F E
D C B A P
N M C B A
例 1 图 E D C B A
例 2 图
2
1 D C
B
A。