(易错题)高中数学选修1-1第四章《导数应用》测试(答案解析)(2)

一、选择题
1．已知函数()2
2ln 3f x x ax x =+-在2x =处取得极小值，则()f x 在1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦
的最大值
为（ ） A ．52
-
B ．92ln 32
-
C ．1-
D ．2ln 24-
2．已知函数()2
ln (0,)f x ax bx x a b R =+->∈，若对任意0x >，有()()1f x f ≥， 则（ ） A ．ln 2a b <-
B ．ln 2a b >-
C ．ln 2a b =-
D ．ln 2a b ≥-
3．若关于x 的方程2lnx ax x -=在0,上有两个不等的实数根，则实数a 的取值范围
为（ ） A ．(],1-∞-
B ．(),1-∞-
C ．[)1,-+∞
D ．()1,-+∞
4．在数学的研究性学习中，常利用函数的图象研究函数的性质，也利用函数的解析式研究函数的性质，下列函数的解析式（其中 2.71828e =⋅⋅⋅为自然对数的底数）与所给图象最契合的是（ ）
A ．22sin 1x
y x =+
B ．221x
y x =+
C ．x x
x x e e y e e ---=+
D ．x x
x x
e e y e e --+=-
5．设函数()f x 为偶函数，且当0x ≥时，()cos x f x e x =-，则不等式
(21)(2)0f x f x --->的解集为（ ）
A ．(1,1)-
B ．(,3)-∞-
C ．(3,)-+∞
D ．(1,)(,1)+∞⋃-∞-
6．若定义在R 上的函数()f x 满足()()1f x f x '+>，(0)4f =，则不等式
()3x x e f x e ⋅>+ (其中e 为自然对数的底数)的解集为（ ） A ．(0)(0)-∞+∞，
， B ．(0)(3)-∞⋃+∞，
， C ．(0)+∞，
D ．(3)+∞，
7．已知函数,0(),0
x e x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩（其中e 为自然对数的底数），若函数2
()y f x ax =-恰
有三个零点，则（ ）
A ．2
4
e a >
B ．2
4e a
C ．2
2
e a >
D ．2
e a >
8．设函数()y f x =在区间(,)a b 上的导函数为()f x '，记()f x '在区间(,)a b 上的导函数为()f x ''.若函数()f x 在区间(,)a b 上为“凸函数”，则在区间(,)a b 上有()0f x ''<恒成
立.已知2
()(2)(1)
e x kx
f x e e e +=
-++在(0,3)上为“凸函数”，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞
B ．(,)e -∞
C ．(1,)+∞
D ．(,)e +∞
9．对于R 上可导的任意函数()f x ，若当2x ≠时满足()
02
f x x '≤-，则必有（ ） A ．()()()1322f f f +< B ．()()()1322f f f +≤ C ．()()()1322f f f +≥
D ．()()()1322f f f +>
10．函数()f x 是定义在区间()0,∞+上的可导函数，其导函数()f x '，且满足
()()20xf x f x '+>，则不等式
()()()
202020202222020
x f x f x ++<
+的解集为（ ）
A ．{}2018x x <-
B ．{}20202018x x -<<-
C ．{}2018x x >-
D ．{}20200x x -<<
11．若函数()x
x f x ax e
e -=+-在R 上单调递减，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．2a ≤
B ．1a ≤
C ．1a ≥
D ．2a ≥
12．设函数()f x 的定义域为R ，其导函数是()f x '，若()()()20,01'+<=f x f x f ，则不等式()2x
f x e ->的解集是（ ） A ．()0,1
B ．()1,+∞
C ．()0,∞+
D ．(),0-∞
二、填空题
13．已知定义在R 上的函数()f x 满足()11f =，且对于任意的x ，1
()2
f x '
<
恒成立，则不等式()22
lg 1
lg 22
x f x <+的解集为________.
14．若函数32()f x x x =-在区间(,3)a a +内存在最大值，则实数a 的取值范围是____________.
15．已知函数)(f x 的定义域为R ，且)(12f -=．若对任意x ∈R ，)(
2f x '>，则
)(24f x x >+的解集为______．
16．已知函数()2cos sin 2f x x x =+，则()f x 的最小值是______.
17．已知函数18ln ,y a x x e e
⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭
的图象上存在点P ，函数22y x =--的图象上存
在点Q ，且P ，Q 关于x 轴对称，则a 的取值范围为________.
18．已知函数()y f x =在R 上的图象是连续不断的一条曲线，并且关于原点对称，其导函数为()f x '，当0x >时，有不等式()()2
2x f x xf x '>-成立，若对x R ∀∈，不等式
()()2220x x e f e a x f ax ->恒成立，则正整数a 的最大值为_______.
19．已知函数()2
1ln 2
f x a x x bx =-
+存在极小值，且对于b 的所有可能取值，()f x 的极小值恒大于0，则a 的最小值为__________．
20．已知函数22(0)
()4(0)
x e x f x x x ⎧>=⎨+≤⎩，若x R ∀∈，()f x mx ≥，则实数m 的取值范围是
________． 三、解答题
21．已知函数()3
f x x x =-．
（1）求曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间． 22．已知函数()ln f x x x e =--． （1）求函数()f x 的单调区间；
（2）若关于x 的不等式()x
e f x mx ⋅在(0,)+∞上恒成立，求实数m 的取值范围．
23．已知函数32()f x x ax =-+． （1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）设1a =-，若()(ln )f x x k x <-，求实数k 的取值范围． 24．已知()ln ,(0,],R f x ax x x e a =-∈∈.
（1）当1a =时，求()
f x 的单调性和极值; （2）若()3f x ≤有解，求a 的取值范围. 25．已知函数()(1)ln ()a
f x x a x a x
=+-+∈R ． （1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）当0a >时，若()2f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围． 26．已知函数2()ln 24()f x a x x x a =+-∈R . （1）若2x =是()f x 的极值点，求()f x 的单调区间； （2）求()()g x f x ax =-在区间[1,]e 上的最小值()h a .
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一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
由()20f '=求出a 的值，然后利用导数可求得函数()f x 在1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦
的最大值.
【详解】
()22ln 3f x x ax x =+-，则()2
23f x ax x
=
+-'， 由题意可得()2420f a '=-=，解得1
2a =
，则()212ln 32
f x x x x =+-， ()2232
3x x f x x x x
-+'=+-=
，令()0f x '=，可得1x =或2x =，列表如下：
所以，函数()f x 的极大值为()12
f =-，极小值为()22ln 24f =-， 又
1112ln 228f ⎛⎫
=-- ⎪⎝⎭
，()932ln 32f =-，
()()()95
312ln 32ln 322ln 31022
f f -=-+=-=->，则()()13f f <，
所以，()()max 932ln 32
f x f ==-. 故选：B. 【点睛】
思路点睛：利用导数求函数()y f x =在[],a b 上的最大值和最小值的步骤如下： （1）求函数()y f x =在(),a b 内的极值；
（2）将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a 、f b 比较，其中最大的一个
是最大值，最小的一个是最小值.
2．A
解析：A 【分析】
根据()()1f x f ≥，可得x =1是()f x 的极小值点，即()01f '=，可得a ，b 的关系，对
ln a 与2b -的作差，可得ln (2)ln 24a b a a --=+-，构造
()ln 42,(0)g x x x x =-+>，即可求得()g x 的极大值1
()1ln 404
g =-<，化简整理，即
可得答案.
【详解】
由题意得1()2f x ax b x
'=+-
， 因为()()1f x f ≥，所以()f x 在x =1处取得最小值，即为x =1是()f x 的极小值点， 所以(1)210f a b '=+-=，即12b a =-， 所以ln (2)ln 2ln 24a b a b a a --=+=+-， 令()ln 42,(0)g x x x x =-+>，则114()4x g x x x
-'=-=， 令()0g x '=，解得1
4
x =
， 当1
(0,)4x ∈时，()0g x '>，所以()g x 为增函数，
当1
(,)4
x ∈+∞时，()0g x '<，所以()g x 为减函数，
所以11
()()ln 121ln 4044
g x g ≤=-+=-<，
所以()ln 42ln (2)0g a a a a b =-+=--<，即ln 2a b <-.
故选：A 【点睛】
解题的关键是熟练掌握利用导函数求解函数极值，判断单调性的方法，并灵活应用，比较两式大小，常用作差法或作商法，难点在于构造()g x 并求极大值，属中档题.
3．B
解析：B 【分析】
通过分离参数变成ln x a x x
=
-，构造函数()ln x f x x
x =-，利用导数求其单调区间和值域，数形结合写出a 的取值范围. 【详解】
2lnx ax x -=故ln x
a x x
=
- 则()ln x f x x
x
=
- ()2
'
22
1ln 1ln 1x x x f x x x
---=-= 设()2
1ln g x x x =--，0x >
故()'
1
20g x x x
=-
-< ()21ln g x x x =--在0,
上为减函数，1
0g .
故()0,1∈x 时()'
0f x >；()1,∈+∞x 时()'0f x <.
故()ln x f x x
x
=
-在0,1上为增函数，在1,上为减函数.
()()max 11f x f ==-，
且0,x →时
()f x →-∞；,x →+∞时()f x →-∞
y a =与()ln x f x x x
=-的图象要有两个交点
则a 的取值范围为(),1-∞-. 故选：B 【点睛】
方程在某区间上有解的问题，可通过分离参数，构造函数，利用导数求该区间上单调区间和值域，得出参数的取值范围.
4．B
解析：B 【分析】
分析合选项中函数值符号、单调性、奇偶性，并与题中的函数图象作比较，由此可得出合适的选项. 【详解】
对于A 选项，当2x ππ<<时，2
2sin 01
x
y x =<+，与题中函数图象不符； 对于B 选项，设()221
x
f x x =
+，该函数的定义域为R ， ()()
()2
2
2211
x
x
f x f x x x --=
=-
=-+-+，函数()221
x f x x =+为奇函数， 当0x >时，()2
201
x
f x x =
>+，()()()
()
()
22
22
2
2
2
2142111x x x f x x
x
+--'==
++，
由()0f x '>，可得11x -<<；由()0f x '<，可得1x <-或1x >.
所以，函数()f x 的单调递减区间为(),1-∞-、()1,+∞，单调递增区间为()1,1-， 与题中函数图象相符；
对于C 选项，(
)()
()
222221212
1111
x x x x
x x x x x x x x x x x e e e e e e e y e e e e e e e e -----+---=+====-++++，
所以，函数x x
x x
e e y e e
---=+为R 上的增函数，与题中函数图象不符； 对于D 选项，对于函数x x x x
e e y e e
--+=-，0x x
e e --≠，可得0x ≠，该函数的定义域为{}0x x ≠，
与题中函数图象不符. 故选：B. 【点睛】
思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手： （1）从函数的定义域，判断图象的左右位置； （2）从函数的值域，判断图象的上下位置． （3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （5）函数的特征点，排除不合要求的图象.
5．D
解析：D 【分析】
利用导数判断函数在[)0,+∞的单调性，然后根据奇偶性判断()f x 在(],0-∞的单调性，再利用单调性与奇偶性结合求解不等式. 【详解】
当0x ≥时，()cos x f x e x =-，所以()sin x
f x e x '=+，因为0x ≥，所以1x e ≥，即
()1sin 0f x x '≥+≥，所以函数()f x 在[)0,+∞上单调递增，又因为函数()f x 为R 上的偶函
数，所以函数()f x 在(],0-∞上单调递减，在[)0,+∞上单调递增，则不等式
(21)(2)0f x f x --->，等价于212x x ->-，所以1x <-或1x >.
故选：D. 【点睛】
对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f ”，转化为解不等式(组)的问题，若()f x 为偶函数，则
()()()f x f x f x -==． 6．C
解析：C 【分析】
构造函数()()3x x g x e f x e =⋅--，解不等式()0g x >即可，对()g x 求导得
()[()()1]0x g x e f x f x ''=+->，可得()g x 在R 上单调递增，且(0)0g =，
根据单调性可得0x >，即得正确答案. 【详解】
令()()3x
x
g x e f x e =⋅--，
则()()()[()()1]0x x x x g x e f x e f x e e f x f x '''=⋅+⋅-=+->， 所以()g x 在R 上单调递增， 又因为0
(0)(0)30g e f e =⋅--=， 所以()0>g x ⇒0x >，
即不等式的解集是(0)+∞，
， 故选：C 【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是构造函数()()3x
x
g x e f x e =⋅--，所要解的不等式等价于
()0g x >，且(0)0g =，所以()()0g x g >，因此需要对()g x 求导判断单调性即可. 7．A
解析：A 【分析】
由(0)1f =，故0不是函数()2y f x ax =-的零点，则由2
()0f x ax -=，得
2()(0)f x a x x =≠，令2()()f x g x x =2
,0
1,0
x
e x x x x
⎧>⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩，则题目转化为y a =与()y g x =有三
个零点，利用导数研究函数()y g x =的性质并作出示意图可求得答案. 【详解】
由(0)1f =，故0不是函数()2
y f x ax =-的零点，
则由2
()0f x ax -=，得2
()
(0)f x a x x =
≠， 令2
()()f x g x x =2
,0
1,0
x
e x x x x
⎧>⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩，则题目转化为y a =与()y g x =有三个零点， 当0x >时，2()x e g x x =，则4
(2)
()x xe x g x x -'=，
则()g x 在(0,2)上递减，在(2,)+∞上递增，当2x =时，()g x 有最小值为2
(2)4
e g =，
当0x →时，()g x →+∞，作出()y g x =的示意图如图所示：
由图知，若函数()2
y f x ax =-恰有三个零点，则2
4
e a >. 故选：A. 【点睛】
方法点睛：求函数()f x 的零点个数的方法如下： 直接解方程()0f x =，求出零点可得零点个数.； 数形结合法：转化为两个函数的交点；
参变分离法：将参数分离出来，再作函数的图像进而转化为y a =与()y g x =（分离后的函数）的交点问题.
8．A
解析：A 【分析】
首先根据题中所给的函数解析式，对其求导，再求二阶导，根据题中所给的条件，得到则
有''()0f x <在(0,3)上恒成立，构造函数()x
e e g x x
=，利用导数求得其最小值，得到结果.
【详解】
因为2()(2)(1)e x kx f x e e e +=
-++，所以11(2)'()(2)(1)1e e x
x k e x kx f x e e e e e +++=-=-+++， (1)''()1
e
x e x k e x f x e kx e e +=-=-+，
要使2
()(2)(1)
e x kx
f x e e e +=
-++在(0,3)上为“凸函数”， 则有''()0f x <在(0,3)上恒成立，即0e x kx e -<，
即x
e e k x
<在(0,3)上恒成立，
令()x e e g x x =，1122()
'()x e x e x e e e
e x e ex e x x e g x x x --⋅-⋅⋅-==
， 所以()g x 在(0,)e 上单调递减，在(,1)e 上单调递增，
所以min ()()1e
e e g x g e e
===，
所以k 的取值范围是(,1)-∞，
故选：A. 【点睛】
思路点睛：该题属于新定义问题，在解题的过程中，注意： （1）细读题文，理解题中所给的信息，明确凸函数的定义；
（2）根据定义，对所给的函数求导，再求二阶导，令二阶导小于零在给定区间上恒成立； （3）构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求得最值，得到所求的结果.
9．B
解析：B 【分析】
根据
()
02f x x '≤-，得到2x >时，()f x 单调非递增函数，2x <时，()f x 单调非递减函数求解. 【详解】
因为
()
02
f x x '≤-， 所以当20x ->，即2x >时，()0f x '
≤，则()f x 单调非递增函数，
所以()()32f f ≤；
当20x -<，即2x <时，()0f x '≥，()f x 单调非递减函数， 所以()()12f f ≤；
由不等式的性质得：()()()1322f f f +≤. 故选：B 【点睛】
本题主要考查导数与函数的单调性以及不等式的基本性质，属于中档题.
10．B
解析：B 【分析】
构造新函数()()2
g x x f x =，求导后可证明()g x 在()0,∞+上单调递增，而不等式
()()()20202020222
2020x f x f x ++<
+可等价于()()20202+<g x g ，故2020020202x x +>⎧⎨+<⎩
，
解之即可. 【详解】
令()()2
g x x f x =，则()()()()()2
22g x xf x x f x x f x xf x ⎡⎤=+='+'⎣'⎦
，
∵定义域为()0,∞+，且()()20xf x f x '+>，
()0g x '∴>，()g x 在()0,∞+上单调递增，
不等式
()()()
202020202222020
x f x f x ++<
+等价于()()20202+<g x g ，
2020020202x x +>⎧∴⎨+<⎩
，
解得20202018-<<-x 故选：B 【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性、解不等式，构造新函数是解题的关键，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.
11．A
解析：A 【分析】 由()x
x f x ax e e -=+-在R 上单调递减，可得：导函数()0x x f x a e e -'=--≤在R 上恒
成立，参变分离后，求最值即可的解.
【详解】 由()x x f x ax e
e -=+-在R 上单调递减，
可得：导函数()0x
x f x a e e -'=--≤在R 上恒成立，
因为0x e >，
参变分离可得：min (+)x x
a e e -≤，
+2x x e e -≥=
2a ≤
故选：A 【点睛】
本题考查了利用函数单调性求参数范围，考查了恒成立思想和基本不等式的应用，属于中档题.
12．D
解析：D 【分析】
构造新函数2()()x
g x e
f x =，求导后可推出()
g x 在R 上单调递减，而2()x f x e ->可等价
于20()1(0)x e f x e f >=，即()(0)g x g >，故而得解． 【详解】 令2()()x
g x e
f x =，则2()[2()()]x
g x e f x f x ''=+，
2()()0f x f x +'<，()0g x '∴<，即()g x 在R 上单调递减，
(0)1f =，
2()x f x e -∴>可等价于20()1(0)x e f x e f >=，即()(0)g x g >，
0x ∴<，
∴不等式的解集为(,0)-∞．
故选：D ． 【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性、解不等式，构造新函数是解题的关键，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
二、填空题
13．【分析】由构造单调递减函数利用其单调性求解【详解】设则是上的减函数且不等式即为所以得解得或原不等式的解集为故答案为:【点睛】利用导数研究函数的单调性构造函数比较大小属于难题联系已知条件和结论构造辅助
解析：10,10,
10
.
【分析】 由()1
2
f x '<，构造单调递减函数()()12h x f x x =-，利用其单调性求解.
【详解】
()()11
,022
f x f x <∴-''<，
设()()1
2
h x f x x =-
， 则()()1
02
h x f x ''=-
<， ()h x ∴是R 上的减函数，且()()111111222
h f =-
=-=， 不等式()22
lg 1
lg 22
x f x <+，
即为()22
lg 1
lg 22
x f x -<，
所以()
()2
lg 1h x h <，
得2
lg 1x >，解得10x >或1
10
x
， ∴原不等式的解集为10,
10,
10
.
故答案为:10,10,
10
.
【点睛】
利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小，属于难题，联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.
14．【分析】首先利用导数判断函数的单调性再根据函数在开区间内存在最大值可判断极大值点就是最大值点列式求解【详解】由题可知：所以函数在单调递减在单调递增故函数的极大值为所以在开区间内的最大值一定是又所以得 解析：(3,2]--
【分析】
首先利用导数判断函数的单调性，再根据函数在开区间(),3a a +内存在最大值，可判断极大值点就是最大值点，列式求解. 【详解】
由题可知： 2
()32(32)f x x x x x '=-=-
所以函数()f x 在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在2(,0),,3⎛⎫
-∞+∞
⎪⎝⎭
单调递增，故函数的极大值为 (0)0f =.所以在开区间(,3)a a +内的最大值一定是(0)0,f =又(1)(0)0f f ==， 所以
03
,31a a a <<+⎧⎨
+≤⎩
得实数a 的取值范围是(3,2].-- 故答案为：(]3,2-- 【点睛】
关键点点睛：由函数在开区间内若存在最大值，即极大值点在区间内，同时还得满足极大值点是最大值，还需列不等式31a +≤，不要忽略这个不等式.
15．【分析】构造函数利用导数研究函数的单调性即可得结论【详解】设则因为对任意所以所以对任意是单调递增函数因为所以由可得则的解集故答案为：【点睛】本题主要考查不等式的求解利用条件构造函数利用导数研究函数的 解析：)(1,-+∞
【分析】
构造函数)(
()24g x f x x =--，利用导数研究函数的单调性即可得结论. 【详解】
设)(
()24g x f x x =--，则)(
()2g x f x ='-'， 因为对任意x ∈R ，)(
2f x '>，所以()0g x '>， 所以对任意x ∈R ， ()g x 是单调递增函数，
因为)(
12f -=，所以)(
(1)124440g f -=-+-=-=， 由()()10g x g >-=，可得1x >-， 则)(
24f x x >+的解集()1,-+∞. 故答案为：()1,-+∞. 【点睛】
本题主要考查不等式的求解，利用条件构造函数、利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键.
16．【分析】由解析式可分析得到的一个周期为则只需考虑在上的值域即可利用导函数求得其最值即可【详解】由题的一个周期为故只需考虑在上的值域令解得或可得此时或或所以的最小值只能在点或或和边界点中取到因为所以的
解析： 【分析】
由解析式可分析得到()f x 的一个周期为2T π=,则只需考虑()f x 在[)0,2π上的值域即可,利用导函数求得其最值即可. 【详解】
由题,()f x 的一个周期为2T π=, 故只需考虑()f x 在[)0,2π上的值域,
()()()()22sin 2cos 22sin 212sin 22sin 1sin 1f x x x x x x x '=-+=-+-=--+,
令()0f x '=,解得1
sin 2
x =或sin 1x =-, 可得此时6
x π
=
或
56
π
或π, 所以()2cos sin 2f x x x =+的最小值只能在点6
x π
=或
56
π
或π和边界点0x =中取到,
因为62f π⎛⎫=
⎪⎝⎭,562f π
⎛⎫
=- ⎪
⎝⎭
()2f π=-,()02f =,
所以()f x 的最小值为
故答案为:【点睛】
本题考查导数的运算,考查利用导函数求最值,考查运算能力.
17．【分析】设代入解析式得到两个方程联立可得让取值域即可【详解】设则所以联立可得即对于有解令由可得：；由可得：所以在单调递减在上单调递增
所以所以值域为即可得的取值范围为故答案为：【点睛】本题主要考查了利
解析：2
168ln 2,10e ⎡
⎤-+⎢⎥⎣
⎦
【分析】
设()00,Q x y 、()00,P x y -代入解析式，得到两个方程联立可得2
008ln 2a x x =-+，
2000()8ln 2h x x x =-+，1,x e e ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，让a 取0()h x 值域即可.
【详解】
设()00,Q x y 、则()00,P x y -
所以2002y x =--，008ln y a x -=+，联立可得2
008ln 2a x x =-+
即2
008ln 2a x x =-+对于1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
有解， 令2
000()8ln 2h x x x =-+，
200000
28
8()2x h x x x x -'=-=，
由0()0h x '>可得：2x e <<；由0()0h x '<可得：
1
2x e
<<， 所以0()h x 在1,2e ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦单调递减，在[]2,e 上单调递增，
20min ()(2)28ln 2268ln 2h x h ==-+=-，
2
211118ln 210h e e e e ⎛⎫⎛⎫
=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
()()2
28ln 26h e e e e =-+=-，
所以0max 2
1()10h x e =+
， 所以0()h x 值域为2168ln 2,10e ⎡
⎤-+⎢
⎥⎣⎦
， 即可得a 的取值范围为2168ln 2,10e ⎡
⎤
-+⎢⎥⎣⎦
， 故答案为：2168ln 2,10e ⎡
⎤
-+⎢⎥⎣⎦
. 【点睛】
本题主要考查了利用导数解决存在性问题，涉及求函数的值域，属于中档题.
18．【分析】令先判断函数g(x)的奇偶性和单调性得到在R 上恒成立再利用导数分析解答即得解【详解】因为当时有不等式成立所以令所以函数g(x)在
（0+∞）上单调递增由题得所以函数g(x)是奇函数所以函数在R 解析：2
【分析】
令2
()(),g x x f x =先判断函数g(x)的奇偶性和单调性，得到e x ax >在R 上恒成立，再利用导数分析解答即得解. 【详解】
因为当0x >时，有不等式()()2
2x f x xf x '>-成立，
所以()()2
2
+20,[()]0x f x xf x x f x ''>∴>，
令2
()(),g x x f x =所以函数g(x)在（0，+∞）上单调递增， 由题得22
()()()g(x),g x x f x x f x -=-=-=- 所以函数g(x)是奇函数，所以函数在R 上单调递增. 因为对x R ∀∈，不等式()()22
2
0x
x
e f e a x f ax ->恒成立，
所以()()222
,()()e x
x
x
x
e f e
a x f ax g e g ax ax >∴>∴>，
，
因为a >0,所以当x≤0时，显然成立.
当x ＞0时，()(0)x
e a h x x x
<=>，
所以2
(1)()x
x e h x x
-'=，所以函数h (x)在（0,1）单调递减，在（1，+∞）单调递增. 所以min ()(1)h x h e ==， 所以a ＜e,
所以正整数a 的最大值为2. 故答案为2 【点睛】
本题主要考查函数的奇偶性及其应用，考查函数单调性的判断及其应用，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.属于中档题.
19．【解析】因故有解即有解令取得极小值点为则则函数的极小值为将代入可得由题设可知令则由即当时函数取最小值即也即所以即应填答案点睛：本题是一道较为困难的试题求解思路是先确定极小值的极值点为则进而求出函数的
解析：3
min a e =-
【解析】 因()a f x x b x -'=
+，故()0a
f x x b x
-+'==有解，即20x bx a --=有解．令取得极小值点为t ，则2bt t a =-，则函数的极小值为2
1()ln 2
f t a t t bt =-
+，将2bt t a =-代入
可得21()ln 2f t a t t a =+-，由题设可知21ln 02a t t a +->，令21
()ln 2
h t a t t a =+-，则()a h t t t =
+'，由2()0a
h t t t a t
=+'=⇒=-，即当2t a =-时，函数
21()ln 2h t a t t a =+-取最小值1
()02h a a a =--≥，即
33
22a a ≥-⇒≤，也即13
ln()ln()322
a a -≤⇒-≤，所以
33a e a e -≤⇒≥-，即3min a e =-，应填答案3
min a e =-．
点睛：本题是一道较为困难的试题．求解思路是先确定极小值的极值点为t ，则
2
bt t a =-，进而求出函数的极小值2
1()ln 2
f t a t t bt =-
+，通过代入消元将未知数b 消
掉，然后求函数21()ln 2h t a t t a =+
-的最小值为1
()02h a a a =--≥，
从而将问题转化为33
22
a a ≥-
⇒≤，然后通过解不等式求出即3min a e =-．
20．【分析】由函数的解析式分类讨论利用分离参数结合导数和基本不等式即可求解【详解】由题意函数（1）当时由可得即设可得当时单调递减；当时单调递增所以即；（2）当时由可得当时显然成立；当时可得因为当且仅当时 解析：[4,2]e -
【分析】
由函数的解析式，分类讨论，利用分离参数，结合导数和基本不等式，即可求解. 【详解】
由题意，函数22,0,
()4,0,x e x f x x x ⎧>=⎨+≤⎩
，
（1）当0x >时，由()f x mx ≥，可得2x
e mx ≥，即2x
e m x
≤，
设2()x e g x x =，可得22
(21)
()x e x g x x -'=，
当102x <<
时，()0g x '<，()g x 单调递减；当1
2
x >时，()0g x '>，()g x 单调递增， 所以min 1()22g x g e ⎛⎫
==
⎪⎝⎭
，即2m e ≤； （2）当0x ≤时，由()f x mx ≥，可得24x mx +≥， 当0x =时显然成立；
当0x <时，可得4m x x ≥+，因为444x x x x ⎛
⎫+=--+≤- ⎪-⎝⎭
，当且仅当1x =-时取等
号， 所以4m ≥-.
综上可得，实数m 的取值范围是[4,2]e -， 故答案为：[4,2]e -. 【点睛】
本题主要考查了函数的恒成立问题的求解，以及分段函数的性质的应用，其中解答中根据分段函数的分段条件，合理分类讨论，利用分离参数，结合导数和基本不等式求解是解答的关键，着重考查了转化思想，分类讨论思想，以及推理与运算能力.
三、解答题
21．（1）220x y --=；（2）函数()f x 的单调增区间为,3⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭，⎫∞⎪⎪⎝
⎭，
单调减区间为33⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
． 【分析】
（1）求出()1f 、()1f '的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；
（2）解方程()0f x '=，列表分析()f x '的符号变化，由此可得出函数()f x 的单调递增区间和递减区间. 【详解】
（1）由()3f x x x =-，得()2
31f x x '=-，所以()12f '=，
又()10f =，所以曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线方程为：()21y x =-，即220x y --=．
（2）令()2
310f x x '=-=，得3
x =±
， x 、()f x '、()f x 在R 上的情况如下：
所以函数()f x 的单调增区间为,⎛-∞ ⎝⎭，⎫∞⎪⎪⎝
⎭，单调减区间为
⎛ ⎝⎭
． 【点睛】
方法点睛：利用导数求解函数单调区间的基本步骤： （1）求函数()f x 的定义域； （2）求导数()f x '；
（3）解不等式()0f x '>，并与定义域取交集得到的区间为函数()f x 的单调增区间；解不等式()0f x '<，并与定义域取交集得到的区间为函数()f x 的单调减区间.
22．（1）函数()f x 的单调递增区间为(1,)+∞，递减区间为(0,1)；（2）(
1,e e -⎤-∞-⎦．
【分析】
（1）解不等式()0f x '>与()0f x '<即可得单调区间； （2）先分离参数再利用导数研究函数最值即可得结果. 【详解】
（1）依题意11
(0,),()1x x f x x x
'
-∈+∞=-
=， 令()0f x '>，解得1x >，令()0f x '<，解得01x <<，
故函数()f x 的单调递增区间为(1,)+∞，递减区间为(0,1)；
（2）因为0x >，故不等式化为(ln )x x x e e m x --⋅，令(ln )()x
x x e e h x x
--⋅=，故
min [()]m h x ，
因为2
(1)(ln 1)()x
x x x e h x e x
---+'=
， 令11()ln 1,()1x x x x e x x x
ϕϕ'
-=--+=
-=，由（1）可知，当(0,1)x ∈时，()0x ϕ'>，当(1,)x ∈+∞时，()0x ϕ'<，
又221130,(1)20,()0e e e e e ϕϕϕ⎛⎫
=--<=->=
⎪⎝⎭
， 所以()ϕx 在(0,1)上存在唯一零点0x ，在(1,)+∞上存在唯一零点x e =，当0
0x x <<时，()0()0x h x ϕ'<<，，当01x x <<时，()0()0x h x ϕ'
>>，，
当1x e <<时，()0()0x h x ϕ'
><，，当x e >时，()0,()0x h x ϕ'
<>，
所以函数()h x 在()00,x 和(1,)e 上为减函数，在()0,1x 和(,)e +∞上为增函数， 所以min [()]h x 是()0h x 与()h e 中的较小者，而1
()e h e e -=-，
因为()000ln 10x x x e ϕ=--+=，故010x e x e +-=，
故()
()0
0100
ln x x e x x e e h x e e x x ---=⋅=-=-，故1e m e --，
综上所述，实数m 的取值范围为(
1
,e e -⎤-∞-⎦．
【点晴】
参变分离利用导数求解函数最值是解参数范围的关键. 23．（1）单调递减区间为2(,0),,3a ⎛⎫-∞+∞
⎪⎝⎭，单调递增区间为20,3a ⎛⎫
⎪⎝⎭
；（2）13ln ,24⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
. 【分析】
（1）求出导函数()(32)f x x x a '=--，讨论0a =、0a <或0a >，利用导数与函数单调性之间的关系即可求解.
（2）将不等式分离参数转化为2ln k x x x >--在(0,)+∞上恒成立，令
2()ln g x x x x =--，利用导数求出()g x 的最大值即可求解.
【详解】
解：（1）2
()32(32)f x x ax x x a '=-+=--
令()0f x '=，得12203
x x a ==
， 当0a =时，()0f x '
≤恒成立，且仅在0x =时取等号， 故()f x 在R 上单调递减 当0a <时，在区间2,
3a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和(0,)+∞上()0f x '<，在区间2a,03⎛⎫
⎪⎝⎭上()0f x '>， 所以()f x 的单调递减区间为2,(0,)3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝
⎭
，， ()f x 的单调递增区间为2a,03⎛⎫
⎪⎝⎭
当0a >时，在区间2(,0),,3a ⎛⎫-∞+∞
⎪⎝⎭上()0f x '<，在区间20,3a ⎛⎫
⎪⎝⎭
上()0f x '>． 所以()f x 的单调递减区间为2(,0),,3a ⎛⎫-∞+∞
⎪⎝⎭，单调递增区间为20,3a ⎛⎫
⎪⎝⎭
（2）当1a =-时，由题意可知，()(ln )f x x k x <-在(0,)+∞上恒成立， 即3
2
2
(ln )ln x x x k x k x x x --<-⇒>--在(0,)+∞上恒成立
设2
()ln g x x x x =--，则2121(1)(21)
()21x x x x g x x x x x
'
--+-+-=--==
令()0g x '>得10,
2x ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭；令()0g x '<得1,2x ⎛⎫
∈+∞ ⎪⎝⎭
，
所以函数()g x 在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递减 113()ln 224g x g ⎛⎫∴≤=- ⎪⎝⎭
∴实数k 的取值范围是13ln
,24⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】
关键点点睛：本题考查了利用导数研究函数的单调性，利用导数研究不等式恒成立，解题的关键是分离参数，将不等式转化为2ln k x x x >--在(0,)+∞上恒成立，考查了分类讨论的思想.
24．（1）当01x <<时，()f x 单调递减；当1x e <≤时，()f x 单调递增；极小值为
1，无极大值；（2）(
2,e ⎤-∞⎦. 【分析】
（1）求导得()11'1x f x x x -=-
=，进而得函数的单调区间与极值； （2）根据题意3ln x a x x
≤+在(]0,x e ∈时有解，设()3ln x g x x x =+，(]0,x e ∈，进而求函数()g x 的最大值即可得取值范围.
【详解】
解:(1)由题意，函数()ln f x x x =-，则()11'1x f x x x
-=-
=， 当01x <<时，()'0f x <，()f x 单调递减;
当1x e <≤时()'0f x >，()f x 单调递增.
∴()f x 的极小值为()11f =，无极大值.
(2)∵()(]ln ,0,f x ax x x e =-∈， ∴ln 3ax x -≤在(]0,x e ∈时有解，即3ln x a x x
≤
+在(]0,x e ∈时有解， 令()3ln x g x x x =+，(]0,x e ∈，则()2231ln 'x g x x x -=-+22ln x x
+=-. 令()'0g x =，得21x e =，当210x e
<<时，()'0g x >，()g x 单调递增; 当21x e e <≤时，()'0g x <，()g x 单调递减. ∴()22221
32max g x g e e e e ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭
，
∴实数a 的取值范围是(
2,e ⎤-∞⎦. 【点睛】
不等式恒成立或能成立，转化为函数的最值与参数的关系，设I 是定义域的子集，通常有：min ,()()x I a g x a g x ∀∈<⇔<，max ,()()x I a g x a g x ∀∈>⇔<，
max ,()()x I a g x a g x ∃∈<⇔<，min ,()()x I a g x a g x ∃∈>⇔<.
25．（1）答案见解析；（2）1a e ≤≤．
【分析】
（1）求出导函数()'f x ，分类讨论确定()0f x '>的解得增区间，同时可由()0f x '<得减
区间；
（2）由（1）得()f x 的最小值为()f a ，解不等式()2f a ≥可得．
【详解】
（1）函数定义域为(0,)+∞， 由题意22
1(1)()()1a a x x a f x x x x -+-'=+
-=， 当0a ≤时，在0x >时，()0f x '>恒成立，()f x 在(0,)+∞上单调递增， 当0a >时，()0f x '>的解为x a >，()0f x '<的解为0x a <<，
()f x 在(,)a +∞上递增，在(0,)a 上递减．
（2）由（1）知0a >时，()f x 在(,)a +∞上递增，在(0,)a 上递减．
所以min ()()(1)ln 1f x f a a a a ==+-+，()2f x ≥恒成立，则(1)ln 12a a a +-+≥， 即(1)(ln 1)0a a --≤，由于01a <≤时，ln 0≤a ，不等式(1)(ln 1)0a a --≤不成立，所以1ln 1
a a ≥⎧⎨≤⎩，解得1a e ≤≤． 【点睛】
关键点点睛：本题考查用导数研究函数的单调性，研究不等式恒成立问题．一般地()f x m ≥恒成立等价于min ()f x m ≥，()f x m ≤恒成立，等价于max ()f x m ≤，然后解不等式可得参数范围．或者用分离参数法转化为()k g x ≤（其中k 不参数），则min ()k g x ≤，若()k g x ≥，则max ()x g x ≥．
26．（1）单调递减区间为()0,2，单调递增区间为(2,)+∞；
（2）222,41()ln ,4448(1)24,4a a a h a a a a a e e a e e a e --≤⎧⎪⎪=--<<⎨⎪-+-≥⎪⎩
. 【分析】
（1）根据(2)0f '=，求出8a =-，再根据导数与函数单调性的关系即可求解.
（2）求出(4)(1)()x a x g x x --'=，令()0g x '=，解得4a x =或1x =，讨论14
a ≤、14a e <
<或4
a e ≥，判断函数在区间[1,]e 上的单调性，根据单调性即可求出函数的最值. 【详解】 解：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，
244()44a x x a f x x x x
-+'=+-=. 因为2x =是()f x 的极值点，所以168(2)02
a f -+'==，解得8a =-， 所以24484(2)(1)()x x x x f x x x
---+'==， 当2x >时，()0f x '>；当02x <<时，()0f x '<，
所以()f x 的单调递减区间为()0,2，单调递增区间为(2,)+∞.
（2）2()ln 24g x a x x ax x =+--，则(4)(1)()44a x a x g x x a x x
--'=+--=， 令()0g x '=，得4a x =
或1x =. ①当14
a ≤，即4a ≤时，()g x 在[]1,e 上为增函数，()()12h a g a ==--； ②当14a e <
<，即44a e <<时，()g x 在1,4a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在,e 4a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增， 所以21()ln 448a a h a g a a a ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭
； ③当4
a e ≥，即4a e ≥时，()g x 在[1,]e 上为减函数， 所以2()()(1)24h a g e e a e e ==-+-. 综上所述，222,41()ln ,4448(1)24,4a a a h a a a a a e e a e e a e
--≤⎧⎪⎪=--<<⎨⎪-+-≥⎪⎩. 【点睛】
关键点点睛：本题考查了利用导数求函数的单调区间、求函数的最值，解题的关键是确定函数在区间[1,]e 上的单调性，考查了分类讨论的思想以及运算求解能力.。