基于混合遗传算法的MPRM最小化

基于混合遗传算法的MPRM最小化
卜登立
【摘要】MPRM(Mixed-Polarity Reed-Muller)最小化是RM(Reed-Muller)电路逻辑综合过程中一个非常重要的阶段,对于输入数较多的布尔函数,传统遗传算法(Genetic Algorithm,GA)在解决MPRM最小化问题时收敛过早.提出了一种基于混合遗传算法(Hybrid Genetic Algorithm,HGA)的MPRM最小化算法,该算法将基于相异度的局部改善策略结合到GA算法的迭代过程中.局部改善策略对种群中最佳个体和与之相异度最大的个体实施交叉操作生成新个体,并将新个体与最佳或最差个体进行竞争.将所提算法应用于一组具有较多输入数的MCNC基准电路,并与其他智能MPRM最小化算法进行比较.结果表明,局部改善策略能够避免算法陷入局部极小,增强了全局收敛能力.与模拟退火遗传算法(Simulated Annealing Genetic Algorithm,SAGA)相比,HGA算法在获得类似结果的前提下提高了时间效率;与Hybrid multi-valued DPSO算法相比,HGA在得到基本相同的算法结果时,时间效率亦基本相同.
【期刊名称】《浙江大学学报（理学版）》
【年(卷),期】2016(043)002
【总页数】6页(P184-189)
【关键词】混合极性Reed-Muller;逻辑最小化;遗传算法;相异度;局部改善
【作者】卜登立
【作者单位】井冈山大学电子与信息工程学院,江西吉安343009;同济大学软件学院,上海201804
【正文语种】中文
【中图分类】TP331.2;TP391.72
布尔函数可由基于AND/OR的布尔逻辑表示，也可由基于AND/XOR的Reed-Muller(RM)逻辑表示. 对于线性电路、通信系统和算术逻辑等电路而言，相对于布尔逻辑，RM逻辑可获得面积、功耗和可测性方面的优势[1-2]. 混合极性
RM(Mixed-Polarity Reed-Muller, MPRM)是一种RM标准形表示，由于其对变
量的出现形式没有任何限制，因而能够获得较为简洁的表示. MPRM最小化[2]即
尽可能减少MPRM多项式表示中的乘积项数，则有助于降低电路实现的面积开销[1]. 因此，MPRM最小化成为RM电路逻辑综合过程中一个非常重要的阶段，并
且得到了广泛的关注.
MPRM最小化问题属于NP难优化问题[2]，对于输入数较多的电路，精确的最小化算法无法在合理时间内获得结果[3]，因此研究者倾向于采用智能优化算法来完
成MPRM最小化[1-2, 4-5]. 对于输入数较多的电路，传统的遗传算法(Genetic Algorithm, GA)存在着过早收敛问题[2]，尽管文献[1]将GA与-ES策略[6]相结合，但是对于某些输入数较多的电路，依然不能很好地解决过早收敛问题. 文献[2]将模拟退火(Simulated Annealing, SA)与GA相结合，提出了一种适用于较多输入数
电路的SAGA算法，但是由于SA过程比较耗时，该算法存在时间效率较低的缺
点[4]. 文献[5]使用三进制编码，给出了DTPSO (Discrete Ternary Particle Swarm Optimization)算法，但是标准离散多值PSO存在由多样性损失导致的过早收敛问题[7].尽管该算法在将位置由连续域映射到三进制离散域时引入了随机因素，但并未对算法的性能(如算法精度、算法结果的稳定性等)进行定量评价，并且仅将算法应用于输入数较少的电路. 文献[4]针对标准DPSO过早收敛的问题，提
出了HDPSO(Hybrid multi-valued DPSO)算法，该算法采用多群并结合GA中
的一些概念避免算法陷入局部极小，增强了全局搜索能力，该算法适用于输入数较多的电路，并能够得到较好的结果.
本文针对MPRM最小化问题，提出一种基于混合遗传算法(Hybrid Genetic Algorithm, HGA)的MPRM最小化算法，将基于相异度的局部改善策略与传统GA相结合，避免算法陷入局部极小，以增强算法的全局收敛能力.并将之应用于一组输入数大于20的电路，再与文献[2, 4]中的算法进行比较.
一个n-输入/m-输出的多输出布尔函数，将n个变量按照一定顺序进行分解，可以得到如式(1)所示的MPRM标准形[1].
其中表示MPRM的第k个输出，h(0≤h≤3n-1)为MPRM的极性值，其三进制编码D=[dn-1,dn-2,…,d0]为极性向量[1]，其中dl∈{0,1,2}为变量xl(0≤l≤n-1)的极性属性编码，分别表示xl的分解类型为正Davio分解、负Davio分解和Shannon分解[4]；ai=[a0,i,a1,i,…,am-1,i]T为MPRM表达式的第i个系数向量[1]，ak,i为MPRM第k个输出的表达式系数，πi为第i个乘积项.如果ak,i不为0，则πi出现在的表达式中，如果ai中有多个系数不为0，则表示乘积项πi在多个输出之间共享.
MPRM最小化通过对极性值进行选择使得式(1)所示的MPRM表达式中的非零系数向量个数最少，即令MPRM表达式所包含的乘积项数最少. MPRM最小化问题可以描述为[2]：
其中C(h)为成本函数，其值为极性值为h的MPRM表达式所包含的乘积项个数. 在MPRM最小化过程中需要进行MPRM的极性转换，当前主要的极性转换方法有基于系数矩阵的极性转换方法[1]、列表转换技术[2]以及基于OKFDD(Ordered Kronecker Functional Decision Diagram)的极性转换方法. 基于OKFDD的极性转换方法采用OKFDD表示电路，位于OKFDD中同一层变量的分解类型相同. 在进行极性转换时，根据变量的极性属性通过布尔操作改变OKFDD中变量的分解
类型. 对于多输出布尔函数，可以采用基于共享OKFDDs的极性转换方法，在多个OKFDD之间共享OKFDDs子图，由共享OKFDDs可以得到如式(1)所示的MPRM多项式[8].
由于OKFDDs是简约表示，与基于系数矩阵和列表技术的极性转换方法相比，基于共享OKFDDs的极性转换方法有可能得到更为紧凑的MPRM表示. 因此，本文在进行MPRM最小化时,采用基于共享OKFDDs的极性转换方法.
GA通过对问题的解进行编码，采用选择、交叉、变异、替换等[9]一系列操作，令种群进化，并以一定概率收敛于全局最优解. 但对于输入数较多的布尔函数的MPRM最小化问题，传统GA存在过早收敛的问题[2].
本文通过将基于相异度的局部改善与GA相结合，在GA迭代过程中对种群进行局部改善，使群算法跳出局部极小，以避免传统GA存在的过早收敛问题，增强全局收敛能力.
2.1 编码和适应度函数
GA在进行编码选择时需要遵守完备性、健全性和非冗余性3个基本原则[10]. 由于MPRM中变量的极性为三进制表示，因此选择三进制编码，并将极性向量作为个体的基因编码向量Dj=[dj,n-1,…,dj,0][4]，dj,l表示种群中索引为j的个体第l维的编码，即MPRM第l个变量的极性.
采用的适应度函数为式(2)中的C(h).
2.2 GA基本操作
选择操作：采用轮盘赌选择，先根据个体适应度值的倒数计算个体的累积概率，然后进行选择. 每一次选择，均生成一个[0,1]的随机数，使用该随机数作为轮盘指针进行选择. 适应度值较小的个体被选择的概率较大，可以使该个体的基因能够在种群中传播.
交叉操作：采用单点交叉，即随机生成一个交叉位置对2个父个体进行交叉. 一定
概率的交叉操作可以产生新个体，使种群得以进化.
变异操作：采用单点变异，在进行个体的变异运算时，随机改变一个基因，改变的值也是随机产生的. 一定概率的变异操作，再结合交叉操作，可以扩大搜索空间. 替换操作：采用锦标赛替换方法[1]，从种群中随机选择一定数量(锦标赛规模)的个体，并从中选取具有最大适应度值的个体加以替换.为保持种群的多样性，采用没有重串的替换策略[9]，在进行替换前，先判断种群中是否存在相同基因编码的个体，如果存在，则不进行替换.
2.3 基于相异度的局部改善策略
局部改善类似于局部搜索，目的是通过局部改善产生新个体，使算法有机会跳出局部极小.
假设已知2个个体的基因编码分别为Di和Dj，那么根据式(3)计算其相异度D: 局部改善策略计算种群中所有个体相对于最佳个体的相异度，然后对最佳个体和具有最大相异度的个体进行概率为1的单点交叉操作，生成一个新个体，计算其适应度值，并与种群中的最佳个体进行竞争，如果新个体的适应度值小于最佳个体，则进行替换；否则，与种群中最差个体进行竞争，如果新个体优于种群中的最差个体，则进行替换.
局部改善策略是希望以当前最佳个体为领袖，通过和相异度最大个体间的交叉运算生成与当前种群中个体位于不同空间的新个体，从而扩大搜索空间. 因此，尽可能保留所产生的新个体，只有在新个体劣于种群中的最差个体时，才放弃此次改善. 由于局部改善策略总是通过对种群中的最佳个体和与之相异度最大的个体进行概率为1的单点交叉操作产生新个体，并与最佳个体或最差个体进行竞争，因此，局部改善策略不会增加任何算法参数.
2.4 HGA算法描述
下面给出结合局部改善策略和GA并用于MPRM最小化的HGA算法. 该算法对
GA每次迭代的结果实施局部改善策略，如果满足结束条件则结束算法，此时种群的全局最优解即为算法的结果.
(1) 初始化GA相关参数：种群规模、锦标赛规模、最大迭代次数、交叉概率和变
异概率；
(2) 读取逻辑网表并转换为OKFDDs；
(3) 生成初始种群，计算种群中个体的适应度值，并应用基于相异度的局部改善策略；
(4) 迭代次数初始化为0；
(5) 使用选择、交叉、变异算子生成临时种群，并计算临时种群中个体的适应度；
(6) 根据锦标赛替换策略使用临时种群中的个体替换掉种群中的个体形成新种群；
(7) 对新种群应用基于相异度的局部改善策略；
(8) 迭代次数+1，统计种群最优累计没有改善的次数，如果不满足结束条件则转步骤(5)；
(9) 输出最优MPRM结果，算法结束.
在达到最大迭代次数之前，如果HGA的寻优结果没有改变，所累计的次数达到
20×ln(n)[4]，算法也将结束.
为进行分析，将本文的HGA算法与传统GA算法(TGA)、文献[2]中的SAGA算法以及文献[4]中的HDPSO算法进行了对比. 4种算法均采用基于共享OKFDDs的MPRM极性转换方法，以及如式(2)所示的成本函数和优化目标，并用C++实现，在Linux下使用g++编译器编译. 使用4种算法分别对一组输入数大于20的MCNC基准电路在配置为Intel Core i3-2350M CPU 6 GB RAM的个人计算机上进行了MPRM最小化.
3.1 实验设置
共设置了2组实验，一是与TGA比较验证本文所提出的局部改善策略，二是与文
献[2]中基于SAGA以及文献[4]中基于HDPSO的MPRM最小化算法进行比较. HGA的种群规模为30，锦标赛规模为5，最大迭代次数为180，交叉概率为0.6，变异概率为0.2. TGA除了不采用局部改善策略外，其他均与HGA相同，参数设
置也相同. HDPSO和SAGA的参数设置则采用文献[4]和[2]中的设置.
由于4种算法均具有一定的随机特性，因此对于每个基准电路、每种算法均独立
运行20次，并统计算法结果的最小值(min)、均值(avg)和标准差(std)，以及算法迭代次数和所花费CPU时间的平均值，单位为s.
3.2 局部改善策略验证
表1给出了TGA以及HGA的运行结果，其中“I/O”表示电路的输入数和输出数. 由表1可以看出，除b03外，TGA能够得到与HGA完全相同的最小值结果，但
对于某些电路而言，TGA结果的均值和标准差偏大，如cordic、frg1、ts10和
vg2，特别是电路cordic，结果的标准差达到了69.33. 可见，传统GA存在过早
收敛的问题，对于输入数较多的电路，无法很好地解决其MPRM最小化问题. 对
于HGA，由于采用了局部改善策略，使得算法精度大大提高，算法结果的均值等
于或者非常接近于最小值，并且标准差也都小于5.
从算法效率角度看，对表1中所有电路，TGA的平均迭代次数为132，平均算法
时间为5.63 s，而HGA的平均迭代次数为117，平均算法时间为4.72 s. 相对于TGA，HGA的平均迭代次数减少了11.36%，平均算法时间缩短了16.16%. 可见，HGA的算法效率要高于TGA.
综上，将局部改善策略加入到GA的迭代过程中，避免了传统GA容易陷入局部极小的问题，并且增强了全局收敛能力，提高了收敛速度.
3.3 与其他算法比较
表2给出了HDPSO和SAGA算法的运行结果. 从表1和2中HGA、HDPSO和SAGA算法独立运行20次的结果可以看出，3种算法都能得到类似的结果，除电
路mux、pcler8和ts10外，3种算法均能得到相同的最小值，均值也相差不大；对于mux和pcler8，HGA和SAGA所得结果要略优于HDPSO，而对于ts10，
尽管SAGA所得结果中“min”要优于HDPSO和HGA，但是3种算法结果的“avg”却基本相同. 从表1和2中HGA、HDPSO和SAGA算法结果中“min”“avg”的平均值来看，3种算法基本相同. 可见，3种算法能够得到类似的结果精度.
为进一步比较3种算法，图1给出了3种算法结果的变异系数[4](图1中不包括3种算法变异系数均为0的结果)，变异系数可用于衡量算法结果的稳定性. 由图1
可以看出，从结果的稳定性角度看，HDPSO相对要好一些，HGA与SAGA具有
类似的结果稳定性.
由表1和2中的“平均”一行结果可知，从算法的时间效率来看，SAGA时间效
率相对较低，HGA与HDPSO时间效率基本相同. 从迭代次数来看，SAGA最少，HDPSO和HGA基本相同. 虽然SAGA算法迭代次数比HGA少，但由于SAGA
在迭代过程中加入了相对较为耗时的模拟退火过程[4]，因此每次迭代过程所花费
的时间要比 HGA长.
综上所述，HGA算法的时间效率高于SAGA，
HGA和HDPSO具有基本相同的算法结果和时间效率.
由于MPRM具有指数级的极性空间，对于输入数较多的电路，为在较短时间内得到最小MPRM，常采用现代启发式方法. 本文提出了一种能够用于具有较多输入
数MPRM最小化的HGA算法，该算法将局部改善策略与GA相结合.局部改善策略则采用基于相异度的方法生成新个体，对种群最佳或最差个体进行竞争，实现对种群的局部改善，扩大搜索空间，避免了传统GA存在的过早收敛问题，增强了全局收敛能力.实验结果验证了所提算法的有效性. 总体来看，相较于SAGA，HGA
能够在获得类似结果的前提下提高时间效率;相较于HDPSO，HGA具有基本相同
的算法结果和时间效率.
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