立体几何中的计算与位置关系

真题感悟·考点整合
热点聚焦·题型突破
归纳总结·思维升华
解析 对于 A，α，β 垂直于同一平面，α，β 关系不确定， A 错；对于 B，m，n 平行于同一平面，m，n 关系不确定， 可平行、相交、异面，故 B 错；对于 C，α，β 不平行，但 α 内能找出平行于 β 的直线，如 α 中平行于 α，β 交线的直 线平行于 β，故 C 错；对于 D，若假设 m，n 垂直于同一平 面，则 m∥n，其逆否命题即为 D 选项，故 D 正确. 答案 D
真题感悟·考点整合
热点聚焦·题型突破
归纳总结·思维升华
【训练 1】 (1)(2015·全国Ⅱ卷)一个正方体被一个平面截 去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体 积与剩余部分体积的比值为( )
1 A.8
1
1
1
B.7
C.6
D.5
真题感悟·考点整合
热点聚焦·题型突破
归纳总结·思维升华
(2)如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球 的表面积为________.
真题感悟·考点整合
热点聚焦·题型突破
归纳总结·思维升华
热点一 空间几何体的表面积和体积的求解 [微题型1] 以三视图为载体求几何体的表面积 【例1－1】 (2015·安徽卷)一个四面体的三视图如图所示，
则该四面体的表面积是( )
A.1＋ 3
B.2＋ 3 C.1＋2 2
D.2 2
真题感悟·考点整合
热点聚焦·题型突破
4.(2015·全国Ⅱ卷)已知A，B是球O的球面上两点，
∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱
锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积
为( )
A.36π B.64π
C.144π
D.256π
真题感悟·考点整合
热点聚焦·题型突破
归纳总结·思维升华
解析 如图，要使三棱锥 O-ABC 即 C-OAB 的体积 最大，当且仅当点 C 到平面 OAB 的距离，即三 棱锥 C-OAB 底面 OAB 上的高最大，其最大值为 球 O 的半径 R，则 VO-ABC 最大为13×12S△OAB×R ＝13×12×R2×R＝16R3＝36，所以 R＝6，得 S 球 O＝4πR2 ＝4π×62＝144π，选 C.
第1讲 立体几何中的计算与位置关系
真题感悟·考点整合
热点聚焦·题型突破
归纳总结·思维升华
高考定位 立体几何中的计算主要考查空间几何体与三视图 相结合的几何体的表面积和体积，是历年高考的必考内容， 多为选择题或填空题；空间线面位置关系(包括平行与垂直)的 判断与证明也是历年高考的必考内容，多出现在立体几何解 答题中的第(1)问.
答案 (1)D (2)8π
真题感悟·考点整合
热点聚焦·题型突破
归纳总结·思维升华
热点二 线面平行与垂直 [微题型 1] 线面位置关系的判断 【例 2－1】(2015·安徽卷)已知 m，n 是两条不同直线，α，
β 是两个不同平面，则下列命题正确的是( ) A.若 α，β 垂直于同一平面，则 α 与 β 平行 B.若 m，n 平行于同一平面，则 m 与 n 平行 C.若 α，β 不平行，则在 α 内不存在与 β 平行的直线 D.若 m，n 不平行，则 m 与 n 不可能垂直于同一平面
D.23＋2π
解析 这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，
V＝12π×12×2＋13×12×1×2×1＝π＋13，选 A. 答案 A
真题感悟·考点整合
热点聚焦·题型突破
归纳总结·思维升华
3.(2015·全国Ⅰ卷)《九章算术》是我国古代内 容极为丰富的数学名著，书中有如下问题： “今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺， 问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内 墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米 堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和 堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺， 圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )
＝
VA-A1B1D1 VA1B1C1D1-ABCD-VA-A1B1D1
＝13－13×13×12×12×12×12×1 1
＝15，选 D.
真题感悟·考点整合
热点聚焦·题型突破
归纳总结·思维升华
(2)设该几何体的外接球的半径为 R.依题意知 该几何体是如右图所示的三棱锥 A-BCD，其 中 AB⊥平面 BCD，AB＝2，BC＝CD＝ 2， BD＝2，BC⊥DC，因此可将该三棱锥补形为一个长方体， 于是有(2R)2＝22＋( 2)2＋( 2)2＝8，即 4R2＝8，则该几 何体的外接球的表面积为 4πR2＝8π.
真题感悟·考点整合
热点聚焦·题型突破
归纳总结·思维升华
[微题型 2] 以三视图为载体求几何体的体积 【例 1－2】 (2015·郑州模拟)已知一个几何体的三视图如图
所示，则该几何体的体积为( )
（4＋π） 3
A.
3
（4＋π） 3
C.
6
（4＋π） 3
B.
2
D.(4＋π) 3
真题感悟·考点整合
热点聚焦·题型突破
答案 C
真题感悟·考点整合
热点聚焦·题型突破
归纳总结·思维升华
考点整合
1.四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平 行六面体、长方体之间的关系.
真题感悟·考点整合
热点聚焦·题型突破
归纳总结·思维升华
2.用斜二测画法画出的水平放置的平面图形直观图的面积是 原图形面积的 42倍.
3.几何体的摆放位置不同，其三视图也不同，需要注意长对正， 高平齐，宽相等.
真题感悟·考点整合
热点聚焦·题型突破
归纳总结·思维升华
证明 (1)因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这 两个平面的交线AD，所以PA⊥底面ABCD. (2) 因 为 AB∥CD ， CD ＝ 2AB ， E 为 CD 的 中 点 ， 所 以 AB∥DE，且AB＝DE.所以四边形ABED为平行四边形. 所以BE∥AD.又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD， 所以BE∥平面PAD.
真题感悟·考点整合
热点聚焦·题型突破
归纳总结·思维升华
[微题型 2] 平行、垂直关系的证明 【例 2－2】 (2015·武汉模拟)如图，在四棱锥
P-ABCD 中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB， 平面 PAD⊥底面 ABCD，PA⊥AD，E 和 F 分 别是 CD 和 PC 的中点，求证： (1)PA⊥底面 ABCD； (2)BE∥平面 PAD； (3)平面 BEF⊥平面 PCD.
归纳总结·思维升华
解析 由空间几何体的三视图可得 该空间几何体的直观图，如图， ∴该四面体的表面积为
S 表＝2×12×2×1＋2× 43×( 2)2＝2＋ 3，故选 B. 答案 B 探究提高 (1)若以三视图的形式给出，解题的关键是对 给出的三视图进行分析，从中发现几何体中各元素间的位 置关系及数量关系，得到几何体的直观图，然后根据条件 求解.(2)多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的 表面积应注意重合部分的处理.
4.空间几何体的两组常用公式 (1)柱体、锥体、台体的侧面积公式： ①S 柱侧＝ch(c 为底面周长，h 为高)； ②S 锥侧＝12ch′(c 为底面周长，h′为斜高)； ③S 台侧＝12(c＋c′)h′(c′，c 分别为上下底面的周长，h′为斜高)； ④S 球表＝4πR2(R 为球的半径).
真题感悟·考点整合
真题感悟·考点整合
热点聚焦·题型突破
归纳总结·思维升华
探究提高 长方体(或正方体)是一类特殊的几何体，其 中蕴含着丰富的空间位置关系.因此，对于某些研究空间 直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的平行、垂 直关系问题，常构造长方体(或正方体)，把点、线、面 的位置关系转移到长方体(或正方体)中，对各条件进行 检验或推理，根据条件在某一特殊情况下不真，则它在 一般情况下也不真的原理，判断条件的真伪，可使此类 问题迅速获解.
归纳总结·思维升华
解析 由该几何体的三视图，可知该几何体是由底面半径为
1、高为 3、母线长为 2 的半圆锥，和底面为等腰三角形(底
边长为 2、高为 2)、高为 3的三棱锥拼成的一个组合体.所以
此
组
合
体
的
体
积
为
1 3
×
1 2
×π×12×
3 ＋ 13 × 12 ×2×2×
3＝
（4＋π） 3 6.
答案 C
棱锥组成的组合体，V＝2×2×2＋13×2×2×2＝332(cm3).
故选 C.
真题感悟·考点整合
热点聚焦·题型突破
归纳总结·思维升华
2.(2015·重庆卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体 的体积为( )
真题感悟·考点整合
热点聚焦·题型突破
归纳总结·思维升华
A.13＋π
B.23＋π
C.13＋2π
真题感悟·考点整合
热点聚焦·题型突破
归纳总结·思维升华
解析 (1)如图，由题意知，该几何体是正方体
ABCD-A1B1C1D1 被过三点 A、B1、D1 的平面所 截剩余部分，截去的部分为三棱锥 A-A1B1D1， 设正方体的棱长为 1，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为VA-B1D1 VB1C1D1-ABCD
所以 SA＝ 4－1＝ 3.同理，SB＝ 3.过 A 点作 SC 的垂线交 SC
于 D 点，连接 DB，因为△SAC≌△SBC，所以 BD⊥SC，AD＝
BD，故 SC⊥平面 ABD，且△ABD 为等腰三角形.因为∠ASC＝30°，
故 AD＝12SA＝ 23，则△ABD 的面积为12×1× AD2－122＝ 42，
真题感悟·考点整合
热点聚焦·题型突破
归纳总结·思维升华
A.14斛
B. 22斛
C.36斛
D. 66斛
解析 由题意知：米堆的底面半径为136(尺)，体积
V＝13×14πR2·h＝3290(立方尺).所以堆放的米大约
为9×3210.62≈22(斛). 答案 B
真题感悟·考点整合
热点聚焦·题型突破
归纳总结·思维升华
热点聚焦·题型突破
归纳总结·思维升华
(2)柱体、锥体和球的体积公式： ①V 柱体＝Sh(S 为底面面积，h 为高)； ②V 锥体＝13Sh(S 为底面面积，h 为高)； ③V 球＝43πR3.
5.直线、平面平行的判定及其性质
(1)线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α. (2)线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b. (3)面面平行的判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α， b∥α⇒α∥β.
(4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.
真题感悟·考点整合
热点聚焦·题型突破
归纳总结·思维升华
6.直线、平面垂直的判定及其性质
(1)线面垂直的判定定理：m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m， l⊥n⇒l⊥α.
(2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.
(3)面面垂直的判定定理：a⊂β，a⊥α⇒α⊥β. (4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a ⊥β.
真题感悟·考点整合
热点聚焦·题型突破
归纳总结·思维升华
探究提高 解决此类问题需先由三视图确定几何体的结 构特征，判断是否为组合体，由哪些简单几何体构成， 并准确判断这些几何体之间的关系，将其切割为一些简 单的几何体，再求出各个简单几何体的体积，最后求出 组合体的体积.
[微题型 3] 与球有关的体积问题
【例 1－3】 已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面
上，△ABC 是边长为 1 的正三角形，SC 为球 O 的直径，
且 SC＝2，则此三棱锥的体积为( )
A.
2 6
B.
3 6
C.
2 3
D.
2 2
真题感悟·考点整合
热点聚焦·题型突破
归纳总结·思维升华
解析 法一 (排除法)V＜13×S△ABC×2＝ 63，排除 B、C、D，选 A. 法二 (直接法)：在 Rt△ASC 中，AC＝1，∠SAC＝90°，SC＝2，
真题感悟·考点整合
热点聚焦·题型突破
归纳总结·思维升华
真题感悟 1.(2015·浙江卷)某几何体的三视图如图所示
(单位：cm)，则该几何体的体积是( C )
A.8 cm3
B.12 cm3
32 C. 3
cm3
40 D. 3
cm3
解析 该几何体是棱长为 2 cm 的正方体与一
底面边长为 2 cm 的正方形，高为 2 cm 的正四
则三棱锥
S-ABC
的体积为13×
42×2＝
2 6.
答案 A
真题感悟·考点整合
热点聚焦·题型突破
归纳总结·思维升华
探究提高 (1)求锥体的体积要充分利用多面体的截面 和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解， 注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等 体积法. (2)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心 及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面， 把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻 找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何 体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径) 与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.