立体几何中的计算与位置关系

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解析 对于 A,α,β 垂直于同一平面,α,β 关系不确定, A 错;对于 B,m,n 平行于同一平面,m,n 关系不确定, 可平行、相交、异面,故 B 错;对于 C,α,β 不平行,但 α 内能找出平行于 β 的直线,如 α 中平行于 α,β 交线的直 线平行于 β,故 C 错;对于 D,若假设 m,n 垂直于同一平 面,则 m∥n,其逆否命题即为 D 选项,故 D 正确. 答案 D
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【训练 1】 (1)(2015·全国Ⅱ卷)一个正方体被一个平面截 去一部分后,剩余部分的三视图如图,则截去部分体 积与剩余部分体积的比值为( )
1 A.8
1
1
1
B.7
C.6
D.5
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(2)如图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的外接球 的表面积为________.
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热点一 空间几何体的表面积和体积的求解 [微题型1] 以三视图为载体求几何体的表面积 【例1-1】 (2015·安徽卷)一个四面体的三视图如图所示,
则该四面体的表面积是( )
A.1+ 3
B.2+ 3 C.1+2 2
D.2 2
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4.(2015·全国Ⅱ卷)已知A,B是球O的球面上两点,
∠AOB=90°,C为该球面上的动点,若三棱
锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积
为( )
A.36π B.64π
C.144π
D.256π
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解析 如图,要使三棱锥 O-ABC 即 C-OAB 的体积 最大,当且仅当点 C 到平面 OAB 的距离,即三 棱锥 C-OAB 底面 OAB 上的高最大,其最大值为 球 O 的半径 R,则 VO-ABC 最大为13×12S△OAB×R =13×12×R2×R=16R3=36,所以 R=6,得 S 球 O=4πR2 =4π×62=144π,选 C.
第1讲 立体几何中的计算与位置关系
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高考定位 立体几何中的计算主要考查空间几何体与三视图 相结合的几何体的表面积和体积,是历年高考的必考内容, 多为选择题或填空题;空间线面位置关系(包括平行与垂直)的 判断与证明也是历年高考的必考内容,多出现在立体几何解 答题中的第(1)问.
答案 (1)D (2)8π
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热点二 线面平行与垂直 [微题型 1] 线面位置关系的判断 【例 2-1】(2015·安徽卷)已知 m,n 是两条不同直线,α,
β 是两个不同平面,则下列命题正确的是( ) A.若 α,β 垂直于同一平面,则 α 与 β 平行 B.若 m,n 平行于同一平面,则 m 与 n 平行 C.若 α,β 不平行,则在 α 内不存在与 β 平行的直线 D.若 m,n 不平行,则 m 与 n 不可能垂直于同一平面
D.23+2π
解析 这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体,
V=12π×12×2+13×12×1×2×1=π+13,选 A. 答案 A
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3.(2015·全国Ⅰ卷)《九章算术》是我国古代内 容极为丰富的数学名著,书中有如下问题: “今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺, 问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内 墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米 堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和 堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺, 圆周率约为3,估算出堆放的米约有( )

VA-A1B1D1 VA1B1C1D1-ABCD-VA-A1B1D1
=13-13×13×12×12×12×12×1 1
=15,选 D.
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(2)设该几何体的外接球的半径为 R.依题意知 该几何体是如右图所示的三棱锥 A-BCD,其 中 AB⊥平面 BCD,AB=2,BC=CD= 2, BD=2,BC⊥DC,因此可将该三棱锥补形为一个长方体, 于是有(2R)2=22+( 2)2+( 2)2=8,即 4R2=8,则该几 何体的外接球的表面积为 4πR2=8π.
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[微题型 2] 以三视图为载体求几何体的体积 【例 1-2】 (2015·郑州模拟)已知一个几何体的三视图如图
所示,则该几何体的体积为( )
(4+π) 3
A.
3
(4+π) 3
C.
6
(4+π) 3
B.
2
D.(4+π) 3
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答案 C
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1.四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平 行六面体、长方体之间的关系.
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2.用斜二测画法画出的水平放置的平面图形直观图的面积是 原图形面积的 42倍.
3.几何体的摆放位置不同,其三视图也不同,需要注意长对正, 高平齐,宽相等.
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证明 (1)因为平面PAD⊥底面ABCD,且PA垂直于这 两个平面的交线AD,所以PA⊥底面ABCD. (2) 因 为 AB∥CD , CD = 2AB , E 为 CD 的 中 点 , 所 以 AB∥DE,且AB=DE.所以四边形ABED为平行四边形. 所以BE∥AD.又因为BE⊄平面PAD,AD⊂平面PAD, 所以BE∥平面PAD.
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[微题型 2] 平行、垂直关系的证明 【例 2-2】 (2015·武汉模拟)如图,在四棱锥
P-ABCD 中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB, 平面 PAD⊥底面 ABCD,PA⊥AD,E 和 F 分 别是 CD 和 PC 的中点,求证: (1)PA⊥底面 ABCD; (2)BE∥平面 PAD; (3)平面 BEF⊥平面 PCD.
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解析 由空间几何体的三视图可得 该空间几何体的直观图,如图, ∴该四面体的表面积为
S 表=2×12×2×1+2× 43×( 2)2=2+ 3,故选 B. 答案 B 探究提高 (1)若以三视图的形式给出,解题的关键是对 给出的三视图进行分析,从中发现几何体中各元素间的位 置关系及数量关系,得到几何体的直观图,然后根据条件 求解.(2)多面体的表面积是各个面的面积之和,组合体的 表面积应注意重合部分的处理.
4.空间几何体的两组常用公式 (1)柱体、锥体、台体的侧面积公式: ①S 柱侧=ch(c 为底面周长,h 为高); ②S 锥侧=12ch′(c 为底面周长,h′为斜高); ③S 台侧=12(c+c′)h′(c′,c 分别为上下底面的周长,h′为斜高); ④S 球表=4πR2(R 为球的半径).
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探究提高 长方体(或正方体)是一类特殊的几何体,其 中蕴含着丰富的空间位置关系.因此,对于某些研究空间 直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的平行、垂 直关系问题,常构造长方体(或正方体),把点、线、面 的位置关系转移到长方体(或正方体)中,对各条件进行 检验或推理,根据条件在某一特殊情况下不真,则它在 一般情况下也不真的原理,判断条件的真伪,可使此类 问题迅速获解.
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解析 由该几何体的三视图,可知该几何体是由底面半径为
1、高为 3、母线长为 2 的半圆锥,和底面为等腰三角形(底
边长为 2、高为 2)、高为 3的三棱锥拼成的一个组合体.所以








1 3
×
1 2
×π×12×
3 + 13 × 12 ×2×2×
3=
(4+π) 3 6.
答案 C
棱锥组成的组合体,V=2×2×2+13×2×2×2=332(cm3).
故选 C.
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2.(2015·重庆卷)某几何体的三视图如图所示,则该几何体 的体积为( )
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A.13+π
B.23+π
C.13+2π
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解析 (1)如图,由题意知,该几何体是正方体
ABCD-A1B1C1D1 被过三点 A、B1、D1 的平面所 截剩余部分,截去的部分为三棱锥 A-A1B1D1, 设正方体的棱长为 1,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为VA-B1D1 VB1C1D1-ABCD
所以 SA= 4-1= 3.同理,SB= 3.过 A 点作 SC 的垂线交 SC
于 D 点,连接 DB,因为△SAC≌△SBC,所以 BD⊥SC,AD=
BD,故 SC⊥平面 ABD,且△ABD 为等腰三角形.因为∠ASC=30°,
故 AD=12SA= 23,则△ABD 的面积为12×1× AD2-122= 42,
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A.14斛
B. 22斛
C.36斛
D. 66斛
解析 由题意知:米堆的底面半径为136(尺),体积
V=13×14πR2·h=3290(立方尺).所以堆放的米大约
为9×3210.62≈22(斛). 答案 B
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(2)柱体、锥体和球的体积公式: ①V 柱体=Sh(S 为底面面积,h 为高); ②V 锥体=13Sh(S 为底面面积,h 为高); ③V 球=43πR3.
5.直线、平面平行的判定及其性质
(1)线面平行的判定定理:a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α. (2)线面平行的性质定理:a∥α,a⊂β,α∩β=b⇒a∥b. (3)面面平行的判定定理:a⊂β,b⊂β,a∩b=P,a∥α, b∥α⇒α∥β.
(4)面面平行的性质定理:α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒a∥b.
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6.直线、平面垂直的判定及其性质
(1)线面垂直的判定定理:m⊂α,n⊂α,m∩n=P,l⊥m, l⊥n⇒l⊥α.
(2)线面垂直的性质定理:a⊥α,b⊥α⇒a∥b.
(3)面面垂直的判定定理:a⊂β,a⊥α⇒α⊥β. (4)面面垂直的性质定理:α⊥β,α∩β=l,a⊂α,a⊥l⇒a ⊥β.
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探究提高 解决此类问题需先由三视图确定几何体的结 构特征,判断是否为组合体,由哪些简单几何体构成, 并准确判断这些几何体之间的关系,将其切割为一些简 单的几何体,再求出各个简单几何体的体积,最后求出 组合体的体积.
[微题型 3] 与球有关的体积问题
【例 1-3】 已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面
上,△ABC 是边长为 1 的正三角形,SC 为球 O 的直径,
且 SC=2,则此三棱锥的体积为( )
A.
2 6
B.
3 6
C.
2 3
D.
2 2
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解析 法一 (排除法)V<13×S△ABC×2= 63,排除 B、C、D,选 A. 法二 (直接法):在 Rt△ASC 中,AC=1,∠SAC=90°,SC=2,
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真题感悟 1.(2015·浙江卷)某几何体的三视图如图所示
(单位:cm),则该几何体的体积是( C )
A.8 cm3
B.12 cm3
32 C. 3
cm3
40 D. 3
cm3
解析 该几何体是棱长为 2 cm 的正方体与一
底面边长为 2 cm 的正方形,高为 2 cm 的正四
则三棱锥
S-ABC
的体积为13×
42×2=
2 6.
答案 A
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探究提高 (1)求锥体的体积要充分利用多面体的截面 和旋转体的轴截面,将空间问题转化为平面问题求解, 注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等 体积法. (2)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时,一般过球心 及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面, 把空间问题转化为平面问题,再利用平面几何知识寻 找几何体中元素间的关系,或只画内切、外接的几何 体的直观图,确定球心的位置,弄清球的半径(直径) 与该几何体已知量的关系,列方程(组)求解.
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