课时规范训练(五十二)

课时规范训练 A 基础巩固练
1．cos 5π
12的值为( ) A ．6＋2
2 B ．22 C ．
6－24
D ．
3＋24
解析：C cos 5π12＝－cos 7π12＝－cos(π3＋π
4) ＝－(cos π3cos π4－sin π3sin π
4) ＝－(12×22－32×2
2)＝6－24.
2．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°等于( ) A ．－3
2 B ．32 C ．－12
D ．12
解析：D sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10° ＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝1
2. 3．函数f (x )＝sin(x ＋π3)＋sin(x －π
3)，则f (x )的奇偶性为( ) A ．奇函数 B ．偶函数
C ．既是奇函数又是偶函数
D ．非奇非偶函数
解析：A f (x )＝sin(x ＋π3)＋sin(x －π3)＝12sin x ＋32cos x ＋12sin x －3
2cos x ＝sin x .
∴f (x )为奇函数．
4．已知cos(α＋π3)＝－3
3(α为锐角)，则sin α等于( )
A ．22＋36
B ．22－36
C ．6＋36
D ．3－66
解析：C ∵cos(α＋π3)＝－3
3(α为锐角)， ∴sin(α＋π3)＝6
3. ∴sin α＝sin[(α＋π3)－π
3] ＝12sin(α＋π3)－32cos(α＋π3) ＝12×63－32×(－33)＝3＋66.
5．(多选题)cos α－3sin α化简的结果可以是( ) A ．12cos(π
6－α) B ．2cos(π
3＋α) C ．12sin(π
3－α)
D ．2sin(π
6－α)
解析：BD cos α－3sin α ＝2(12cos α－3
2sin α) ＝2(cos αcos π3－sin αsin π
3) ＝2cos(α＋π3)＝2sin(π
6－α)．
6．(多选题)下列对等式sin (α＋β)＝sin α＋sin β的描述正确的是( ) A ．对任意的角α，β都成立 B ．α＝β＝0时成立
C ．只对有限个α，β的值成立
D ．有无限个α，β的值使等式成立
解析：BD A 显然错误；B 显然正确．当α＝2k π或β＝2k π时等式成立，D 正确，C 错误．
7．sin 15°－3cos 15°＝________．
解析：sin 15°－3cos 15°＝2sin (15°－60°)＝－2sin 45°＝－ 2.
答案：－ 2
8．已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________．
解析：∵sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，
式子两边平方得
∴sin2α＋cos2β＋2sin αcos β＝1，①
cos2α＋sin2β＋2cos αsin β＝0，②
①②两式相加可得sin2α＋cos2α＋sin2β＋cos2β＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＝1，
∴sin(α＋β)＝－1 2.
答案：－1 2
9．化简求值：sin 47°－sin 17°cos 30°
cos 17°
.
解：sin 47°－sin 17°cos 30°
cos 17°
＝sin （17°＋30°）－sin 17°cos 30°
cos 17°
＝sin 17°cos 30°＋cos 17°sin 30°－sin 17°cos 30°
cos 17°
＝cos 17°sin 30°cos 17°
＝sin 30°＝1
2.
B能力进阶练
10．在△ABC中，A＝π
4，cos B＝
10
10，则sin C等于()
A．25
5B．－
25
5
C．
5
5D．－
5
5
解析：A因为cos B＝
10
10，且0<B<π，
所以sin B＝310
10，又A＝
π
4，C＝π－(A＋B)，
所以sin C＝sin(A＋B)＝sin π
4cos B＋cos
π
4sin B＝
2
2×
10
10＋
2
2×
310
10＝
25 5.
11．(多选题)已知α，β为锐角，sin α＝3
5，cos (α－β)＝
12
13，则sin β＝()
A．16
65B．
33
65
C．56
65D．
63
65
解析：AC∵β＝α－(α－β)，∴sin β＝sin [α－(α－β)]
＝sin αcos (α－β)－cos αsin(α－β)
∵α，β∈(0，π
2)，∴sin α＝
3
5，cos α＝
4
5.
又∵－π
2＜α－β＜
π
2，
由cos (α－β)＝12
13可得，
sin (α－β)＝±5
13，
∴sin β＝3
5×
12
13－
4
5×
5
13＝
16
65.
或sin β＝3
5×
12
13－
4
5×(－
5
13)＝
56
65. 故选AC．
12．(多选题)下列结论正确的是()
A．若cos α＝－4
5，α是第三象限角，则sin (α＋
π
4)＝
72
10
B．函数y＝sin (2x＋π
4)＋sin (2x－
π
4)的最小值为－ 2
C．已知sin α＝3
5，cos β＝－
5
13，且α为第一象限角，β为第二象限角，则sin
(α＋β)的值为－33 65
D ．已知α∈(0，π2)，β∈(－π2，0)，且cos (α－β)＝35，sin β＝－210，则α＝π
4 解析：BD 由α是第三象限角可知，sin (α＋π4)＝－72
10，A 错误；∵y ＝sin (2x ＋π4)＋sin (2x －π4)＝sin 2x cos π4＋cos 2x sin π4＋sin 2x cos π4－cos 2x sin π
4＝2sin 2x ，∴函数f (x )的最小值为－2，B 正确；∵α为第一象限角，β为第二象限角，sin α＝35，cos β＝－513，∴cos α＝45，sin β＝12
13，∴sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝35×(－513)＋45×1213＝3365，C 错误．∵α∈(0，π2)，β∈(－π
2
，0)，∴α－β∈(0，π)． ∵cos (α－β)＝35，∴sin (α－β)＝45. ∵β∈(－π2，0)，sin β＝－2
10， ∴cos β＝72
10.
∴sin α＝sin [(α－β)＋β]
＝sin (α－β)cos β＋cos (α－β)sin β ＝45×7210＋35×(－210)＝22.
又∵α∈(0，π2)，∴α＝π
4，D 正确．故选BD ． 13．形如⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪a
b c d 的式子叫做行列式，其运算法则为⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
a b c d ＝ad －bc ，则行列式⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
sin 15° 2cos 15°
2的值是________． 解析：⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
sin 15°
2cos 15°
2＝2sin 15°－2cos 15° ＝2(22sin 15°－2
2cos 15°) ＝2sin(15°－45°) ＝2sin(－30°) ＝－1.
14．已知cos α＝55，sin(α－β)＝1010，且α，β∈(0，π
2)． 求：(1)cos(2α－β)的值； (2)β的值．
解：(1)因为α，β∈(0，π
2)， 所以α－β∈(－π2，π
2)．
又因为sin(α－β)＝1010>0，所以0<α－β<π
2. 所以cos(α－β)＝1－sin 2（α－β）＝310
10. sin α＝1－cos 2α＝25
5， 所以cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)] ＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β) ＝55×31010－255×1010＝210.
(2)cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝55×31010＋25
5×1010＝22，
因为β∈(0，π2)，所以β＝π
4.
C 探索创新练
15．“在△ABC 中，cos A cos B ＝________＋sin A sin B ”，已知横线处是一个实数．甲同学在横线处填上一个实数a ，这时C 是直角；乙同学在横线处填上一个实数b ，这时C 是锐角；丙同学在横线处填上一个实数c ，这时C 是钝角，则实数a ，b ，c 的大小关系是________．
解析：由题意，得横线处的实数等于cos(A ＋B )，即cos (π－C )，故当C 是直角时，a ＝cos(A ＋B )＝cos π
2＝0；当C 是锐角时，－1<b ＝cos(A ＋B )<0；当C 是钝角时，0<c ＝cos(A ＋B )<1，故b <a <c .。