讲义归纳递推方法

归纳递推方法
本专题讲座将集中讨论数学归纳法、无穷递降法、递推方法的原理以及在解数学竞赛题中的应用。

§1 数学归纳法
Peano 自然数公理 所谓自然数，是指一个集合N 里某些元素之间有一基本关系，称为“直接后继”（用“,”表示，比如5是4的直接后继，记为54='，5称为4的后继数）。

并且集合N 满足下列条件：
Ⅰ “1”是自然数；
Ⅱ 每个自然数n 的后继数n '是自然数；
Ⅲ 如果b 、c 都是自然数a 的后继数，则c b =；
Ⅳ 1不是任何自然数的后继数；
Ⅴ 任意一个自然数的集合，如果包含1，并且假设包含a ，也一定包含a 的后继数a ，那么这个集合包含所有的自然数。

定理1 （最小数原理）任意一个自然数的集合N ，如果不是空集，必有最小数。

定理2 （第一数学归纳法）如果关于自然数n 的某个命题)(n P 具备下列条件：
（1）)1(P 真；
（2）)(k P 真则)1(+k P 真，那么对)(,n P N n ∈真。

定理3 （第二数学归纳法）如果关于自然数n 的某个命题)(n P 具备下列条件：
（1）)1(P 真；
（2）k n N k <∈,时，)(n P 真⇒)(k P 真，则对N n ∈，)(n P 真。

上述的定理2、定理3为我们提供了证明关于自然数n 的命题的一种方法。

应用定理2或定理3实现证题的方法叫做用数学归纳法证题。

例1 求证对.|,n n b a b a N n --∈
例2 证明：).67403(|6412-++n k
例3 用天平称重量，若砝码只能放在一边，证明：用1,2,4,8,…,21-n 克的砝码，可以称出1,2,3,…，12-n 克的重量。

例4 证明：如果1x 和2x 是方程0162=+-x x 的根，则n n x x 21+对任意N n ∈都是整
数，且不能被5整除。

例5 证明：任何由)(3N n n ∈个相同的数字组成的整数，能被n 3整除（如222,777都能被3整除，而222222222和555555555都能被932=整除等等）。

例6 1985个点分布在一圆的圆周上，每个点标上+1或1-，一个点称为“好点”，如果从这点开始，依任一方向绕圆周前进到任何一点时，所经过的各数的和都是正数。

证明：如果标有1-的点少于662个时，圆周上至少有一个“好点”。

§2 无穷递降法
哪个无理数最“古老”？不容置疑是2。

虽然我们不能确切知道是谁第一个证明了2是无理数，但仍有必要对历史上证明2为无理数的方法作些分析。

2是无理数的第一个证明： 假设2是有理数，在几何学上，这意味着正方形的对角线长c 同它的边长a 可以公度，即存在长为d 的线段和整数m 、n 使得：.,dn a dm c ==在对角线AC 上放置1-m 个点，在边DC 上放置1-n 个点。

它们分这两条线段的长是d 的小段。

在AC 上取线段AK ，使AD AK =；在DC 上取线段DE ，使.EC DE =点K 和E 与取的分点重合（如图） 我们证明，ACD ∆∽KEC ∆。

因为这两个三角形中ACD ∠为公用角，这意味着只要检验AC
CD EC KC =就足够了。

由于c a EC a c KC -=-=2,，所以ac
a c ac a c EC KC 442222222-+-+=， 因为222a c =，所以222222214623AC AD ac a ac a EC KC ==--=，开方得AC
CD EC KC = 这样一来，KEC ∆∽.ACD ∆由于ACD ∆是等腰直角三角形，KEC ∆也是等腰直角三角形，并且我们可以在CEK ∆的边上通过类似于对ACD ∆的边上那样的作法，在EC 上截取线段1EK ，使得KC EK =1，在KC 上截取线段1KE ，使C K KE 11=，点1K 和1E 又与分点重合，11CE K ∆有是等腰直角三角形，对11CE K ∆我们用同样的方法作22CE K ∆，这个程序可以无止境地继续下去，在这种情况下，11CE K ∆变得非常小，但任意多次后点1K 和1E 仍将重合于线段AC 和CD 在开始时的分点。

这些分点只有有限个，而11CE K ∆无限变小，即11CE K ∆的边长无限变小，这样引出了矛盾，从而证明了2是无理数。

第二个证明：
2的无理性意味着没有这样的自然数x 与y 满足方程222y x =。

假设有这样的解，并且n y m x ==,是解中的一个，即.222n m =
由方程得出m 是偶数，设12m m =，代入方程222n m -中，得到2122m n =，即
1,m y n x ==也是方程的解。

我们发现，此时.,1n m m n <<由于n 是偶数，设12n n =，因
此，21212n m =，这样一来，11,n y m x ==是方程的解。

在这种情况下，n m <1，.11m n <我们可以进一步同样求得比小根1m 、1n 还小的方程的解22,n m ；…. 这已经得到了矛盾。

因为所有数11,,,n m n m 都是自然数，,11 >>>>n m n m 而自然数的无穷递降序列是不可能存在的，这意味着，我们的假设是错误的，数2应是无理数。

以上关于2是无理数的两个证明，实质上是按一个模式进行的。

即假设问题有序，我们构造某个无穷递降过程，同时根据问题本身的意义，这个过程应当是有限的。

这种方法叫做无穷递降法。

在证明过程中，我们经常采用简单形式的递降法，即假设我们已经达到过程的唯一的终点，但我们发现，“停止”是不可能的。

相传历史上无穷递降法可能被古希腊数学家描述过。

比较有根据的推测是：费尔玛曾企图应用这个方法证明),3(N n n z y x n n n ∈≥=+没有自然数解。

第三个证明：
设n y m x ==,是方程222y x =的解中x 取值最小的。

数m 应当是偶数，12m m =.因此，1,m y n x ==也是方程的解。

然而n m >，这与m x =是取值最小的解相矛盾。

在这个证明中，我们见到递降法与数学归纳法都把前面介绍过的最小数原理作为证明的依据。

递降法的特点决定了它对地些证明“否定式”的命题很方便。

例1 证明：在自然数范围内，方程4444248t z y x =++没有解。

例2 证明：方程xyzu u z y x 22222=+++没有自然数解。

例3 求方程1222=-y x 的全部自然数解。

例4 有12+n 个砝码，它们每一个重量都是整数克。

已知其中任意n 2个砝码都可以这样放在天平上，每边放n 上即可实现天平平衡。

证明：所有的砝码具有相同的重量。

例5 试问能够把一个立方体分割成若干个彼此不等的立方体吗？
例6 给出一个网格为正方形的坐标纸，证明：当4≠n 时，不存在这样的正n 边
形，它的顶点都在格点上。

§3递推方法
我们先看一个趣题。

例 有一个10层的台阶，若是每次可以上一层或二层，问共有多少种上法？ 解 设n 层台阶有)(n f 种上法，依题意
1)1(=f ，2)2(=f ；
)2()1()(-+-=n f n f n f （*）
在（*）式中，令10,,5,4,3 =n ，求得
3)1()2()3(=+=f f f ，
532)2()3()4(=+=+=f f f ，
835)3()4()5(=+=+=f f f ，
1358)4()5()6(=+=+=f f f ，
21813)5()6()7(=+=+=f f f ，
341321)6()7()8(=+=+=f f f ，
.552134)7()8()9(=+=+=f f f
.893455)8()9()10(=+=+=f f f
即上10层台阶共有89种上法。

这里)2()1()(-+-=n f n f n f 表明了第n 项与第1-n 项和第2-n 项之间的关系，我们把这种关系叫递归关系。

定义 一个数列的连续项之间的关系叫做递归关系。

由递归关系确定的数列叫递归数列。

用递归关系来解题的方法是一种重要的数学方法，通常叫递推方法。

一个数列 ,,,,,321n a a a a 叫做一阶递归数列，如果它满足递归关系)(1-=n n a f a ),3,2( =n 。

由此可推得)(,),(),(123221a f a a f a a f a n n n n ===---- .其中1a 叫初始值，一阶递归数列由递归关系)(1-=n n a f a 和一个初始值1a 来确定。

等差数列：d a a n n +=-1（其中d 为非零常数）；
等比数列：1-=n n qa a （其中q 为常数）都是一阶递归数列。

满足关系n a ),(21--=n n a a f 的数列叫二阶递归数列。

二阶递归数列需要由递归关系和两个初始值来确定。

一般地，满足递归关系),,,(21k n n n n a a a f a ---= 的数列叫k 阶递归数列。

k 阶递归数列要由递归关系和k 个初始值来确定。

递归方法通常用来解决“集合计数”问题，即计算有限集中元素的个数。

有限集合计数，通过建立递推关系，求解递推关系来解决。

下面我们通过一些例题，讲讲怎样建立递推关系。

例1 在一个圆的直径两端写上自然数1，将此直径分得的两个半圆都对分，在每个
分点上写上该点相邻两数之和（即1+1=2）。

然后，又把所分得的四个4
1圆周各自对分，在所得分点写上该点相邻两数之和（即1+2=3）。

如此继续下去，问这样到第n 步，圆周上所有分点的数之总和是多少？
例2 把圆分成n 个不相等的扇形，并且用红、蓝、黄三种颜色给扇形染色，但不许相邻的扇形有相同的颜色。

问共有多少种染色法？
例3 假定有n 个外径不相等的圆环，套在一尖端朝上的木钉上，最大的圆环在最底层，形成一个上小下大的“塔”（如图）。

另外，在充分远处还有两个钉子竖直钉在木板上。

我们希望将这些圆环全部移到第二根钉子上，而一次仅能移动一个圆环，但在每一移动中，都不能将大圆环置于小圆环之上，这当然要靠第三个钉子的辅助。

试问最少的移动次数是多少？
例 4 某人给六个不同的收信人写了六封信，并且准备了六个写有收信人地址的信封。

问有多少种投放信笺的方法，使每封信笺与信封上的收信人都不相符？
例5 求方程m x x x n =+++ 21(m 是正整数)的正整数解的个数。

例6 设A 和E 是一个正八边形相对的顶点。

一青蛙由A 点出发，按照如下的规则跳跃；除E 点外，不论在哪一点，都可跳到与这点相邻的两个顶点之一，当到达E 点时，不得再跳，而停留在那里。

设n e 为以E 为终点的n 次跳跃的所有不同途径的数目。

求证：
012=-n e ，
).,3,2,1)((21
112 =-=--n y x e n n n 式中.22,22-=+=y x
求递推数列通项公式的十种策略
一、利用公式法求通项公式
例1、已知数列}{n a 满足2,23211=⋅+=+a a a n n n ，求数列}{n a 的通项公式。

二、利用迭加法求通项公式
例2、已知数列}{n a 满足1,1211=++=+a n a a n n ，求数列}{n a 的通项公式。

例3、已知数列}{n a 满足1321+⋅+=+n n n a a ，31=a ，求数列}{n a 的通项公式。

例4、已知数列}{n a 满足13231+⋅+=+n n n a a ，31=a ，求数列}{n a 的通项公式。

三、利用迭乘法求通项公式
例5、已知数列}{n a 满足n n n a n a ⋅+=+5)1(21，31=a ，求数列}{n a 的通项公式。

例6、（04年，全国，15）已知数列}{n a 满足)2()1(32,113211≥-++++==-n a n a a a a a n n 则}{n a 的通项⎩
⎨⎧≥==2,1,1n n a n 四、利用待定系数法求通项公式
例7、已知数列}{n a 满足n n n a a 5321⋅+=+，61=a ，求数列}{n a 的通项公式。

例8、已知数列}{n a 满足42531+⋅+=+n n n a a ，11=a ，求数列}{n a 的通项公式。

例9、已知数列}{n a 满足543221++⋅+=+n n a a n n ，11=a ，求数列}{n a 的通项公式。

五、利用对数变换法求通项公式
例10、已知数列}{n a 满足2132n n n a a ⋅⋅=+，71=a ，求数列}{n a 的通项公式。

六、利用迭代法求通项公式
例11、已知数列}{n a 满足n
n n n a a 2)1(31++=，51=a ，求数列}{n a 的通项公式。

七、利用数学归纳法求通项公式
例12、已知数列}{n a 满足221)32()12()1(8++++
=+n n n a a n n ，9
81=a ,求数列}{n a 的通项公式。

八 、利用换元法求通项公式
例13、已知数列}{n a 满足)24141(16
11n n n a a a +++=
+,11=a ，求数列}{n a 的通项公式。

九、利用不动点法求通项公式 例14、已知数列}{n a 满足1
424211+-=+n n n a a a ,41=a ，求数列}{n a 的通项公式。

例15、已知数列}{n a 满足32271+-=
+n n n a a a ,21=a ，求数列}{n a 的通项公式。

十、利用特征根法求通项公式
例16、已知数列}{n a 满足)2(311≥-=-+n a a a n n n ,121==a a ，求数列}{n a 的通项公式。

引申：可转化为特征方程求通项的几类递推数列
特征方程是解决递推数列问题的重要方法，但有些递推关系并不是以我们常见的形式出现，因此，不能直接使用特征方程，必须通过适当的转换。

现加以分类列述。

一、消常数转化法
例1：已知数列{}n a 满足)3(2,12
2121≥+===--n a a a a a n n n ，求通项公式。

例2：设数列{}n a ，{}n b 满足1,100==b a ，且),2,1,0(4783671
1 =⎩⎨⎧-+=-+=++n b a b b a a n n n n n n 。

证明：),2,1,0( =n a n 是完全平方数。

二、利用韦达定理转化
例4：数列{}n a
的定义如下：110,23(1)n n a a a n +==≥，证明：不可能有正
整数m ，使2m a 被2007整除。

三、强化，转换命题进行转化
例5：正整数数列{}n a 定义如下：)2(2
121,7,212121≥≤-<-==-+n a a a a a n n n 。

求该数列的通项。