【优化方案】2012高中数学 第一章章末综合检测 苏教版必修5

一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共计70分．把答案填在题中横线上)
1．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于__________．
解析：在△ABC 中，A ＝180°－(B ＋C )＝45°，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得b ＝a sin B sin A ＝8×322
2
＝4 6.
答案：4 6
2．在△ABC 中，已知(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C ＝________. 解析：∵(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，
∴设b ＋c ＝4k ，c ＋a ＝5k ，a ＋b ＝6k (k ＞0)， 解得a ＝72k ，b ＝52k ，c ＝32
k ， ∴sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝7∶5∶3.
答案：7∶5∶3
3．三角形两边之差为2，夹角的余弦值为35
，面积为14，那么这个三角形的此两边长分别是________．
答案：5和7
4．(2010年高考课标全国卷)在△ABC 中，D 为BC 边上一点，BC ＝3BD ，AD ＝2，∠ADB ＝135°，若AC ＝2AB ，则BD ＝________.
解析：
如图，设AB ＝k ，则AC ＝2k .
再设BD ＝x ，则DC ＝2x .
在△ABD 中，由余弦定理得
k 2＝x 2＋2－2·x ·2·⎝ ⎛⎭
⎪⎫－22＝x 2＋2＋2x .① 在△ADC 中，由余弦定理得
2k 2＝4x 2＋2－2·2x ·2·22
＝4x 2＋2－4x ， ∴k 2＝2x 2＋1－2x .②
由①②得x 2－4x －1＝0，解得x ＝2＋5(负值舍去)．
答案：2＋ 5
5．在△ABC 中，a ＝80，b ＝100，A ＝45°，则此三角形解的情况是________．
解析：∵b sin A ＝100×22
＝502，b sin A ＜a ＜b ， ∴有两解．
答案：有两解
6．已知△ABC 的三边a ，b ，c 满足b 2＝ac ，P ＝sin B ＋cos B ，则P 的取值范围为________．
解析：由余弦定理知：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B .
又∵b 2＝ac ，
∴ac ＝a 2＋c 2－2ac cos B ，
∴(1＋2cos B )ac ＝a 2＋c 2≥2ac ，
∴cos B ≥12
， ∴0＜B ≤π3
， ∴P ＝sin B ＋cos B ＝2sin(B ＋
π4
)， ∵0＜B ≤π3，∴π4＜B ＋π4≤π3＋π4
， ∴sin π4＜sin(B ＋π4)≤1， ∴22＜sin(B ＋π4
)≤1， ∴P 的取值范围是(1，2]．
答案：(1，2]
7．若在测量中，某渠道斜坡的坡度i ＝3∶4，设α为坡角，那么cos α为________．
解析：由已知tan α＝34，则cos α＝45
. 答案：45
8．等腰△ABC 中，一腰上的高为3，这条高与底边的夹角为60°，则这个三角形的外接圆半径等于________．
解析：由已知，得三角形的底角为30°，腰长为2.
R ＝2sin30°×12
＝2. 答案：2
9．钝角三角形边长为a ，a ＋1，a ＋2，其最大角不超过120°，则a 的取值范围是________．
答案：[32
，3) 10．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，则a cos C ＋c cos A 的值为________． 解析：将a ＝2R sin A ，c ＝2R sin C ，代入a cos C ＋c cos A ＝2R sin A cos C ＋2R sin C cos A ＝2R sin(A ＋C )＝2R sin B ＝b .
答案：b
11．如果满足∠ABC ＝60°，AC ＝12，BC ＝k 的三角形恰有一个，那么k 的取值范围是________． 解析：设AB ＝x ，由余弦定理得
122＝x 2＋k 2－2kx cos60°，
化简得：x 2－kx ＋k 2－144＝0，
因方程的两根之和x 1＋x 2＝k ＞0，故方程有且只有一个根等价于k 2－4(k 2－144)＝0或k 2－
144≤0，
解得0＜k ≤12或k ＝8 3.
答案：0＜k ≤12或k ＝8 3
12．在△ABC 中，若C ＝30°，AC ＝33，AB ＝3，则△ABC 的面积为________．
解析：由正弦定理得：AB sin C ＝AC sin B ，sin B ＝AC AB sin C ＝333·12＝32
，所以B ＝60°或120°. 当B ＝60°时，S △＝12AB ×AC ＝12·3·33＝932
； 当B ＝120°时，S △＝12AB ×AC ·sin30°＝934
.
答案：932或934
13．在△ABC 中，若AB ＝6，BC ＝3，AC ＝5，则AB →·BC →＝________.
解析：由余弦定理，得cos ∠ABC ＝59
， AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|cos(180°－∠ABC )
＝6×3×(－59
)＝－10. 答案：－10
14．(2010年高考江苏卷)在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若b a ＋a
b
＝6cos C ，则tan C tan A ＋tan C tan B
的值是________． 解析：由b a ＋a b ＝6cos C ，得b 2＋a 2
＝6ab cos C .
化简整理得2(a 2＋b 2)＝3c 2，将tan C tan A ＋tan C tan B
切化弦， 得sin C cos C ·⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A sin A ＋cos B sin B ＝sin C cos C ·A ＋B sin A sin B ＝sin C cos C ·sin C sin A sin B ＝sin 2C cos C sin A sin B
. 根据正、余弦定理得sin 2C cos C sin A sin B ＝c 2
ab ·a 2＋b 2－c 2
2ab
＝2c 2a 2＋b 2－c 2＝2c 232
c 2－c 2＝4. 答案：4
二、解答题(本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分14分)已知三角形的三条边长分别为a ＝22，b ＝2，c ＝6＋2，解此三角形． 解：由余弦定理的推论，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝4＋6＋22－86＋2
＝22，所以A ＝45°，
cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝8＋6＋22－42×226＋2＝32， 所以B ＝30°，于是C ＝180°－45°－30°＝105°.
16．(本小题满分14分)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是内角A 、B 、C 对边，a ＝2，B ＝45°，面积S △ABC ＝4.
(1)求b ；
(2)求sin 6A ＋3sin 6B －4sin 6C 2a 6＋6b 6－8c 6的值． 解：(1)由S ＝12
ac sin B ＝4， 即12
·2·c sin45°＝4，所以c ＝4 2. 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝20，
所以b ＝2 5.
(2)由于b ＝25，B ＝45°，所以sin B b ＝1210
. 根据正弦定理sin 6A 2a 6＝3sin 6B 6b 6＝－4sin 6C －8c 6＝1128000
， 由等比定理得sin 6A ＋3sin 6B －4sin 6C 2a 6＋6b 6－8c 6＝1128000
. 17．(本小题满分14分)已知△ABC 中，cos A ＝45
，且(a －2)∶b ∶(c ＋2)＝1∶2∶3，试判断三角形的形状．
解：令a －21＝b 2＝c ＋23
＝k ， 则a ＝k ＋2，b ＝2k ，c ＝3k －2， 又cos A ＝45，由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝45
， 得k ＝0(舍去)或k ＝4.
此时，a ＝6，b ＝8，c ＝10.
∴c 2＝a 2＋b 2，
∴△ABC 为直角三角形．
18．(本小题满分16分)△ABC 中，角A 、B 、C 对应边分别为a 、b 、c .求证：a 2－b 2c 2＝A －B sin C
. 证明：法一：由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，
b 2＝a 2＋
c 2－2ac cos B ，
得a 2－b 2＝b 2－a 2＋2c (a cos B －b cos A )，
即a 2－b 2＝c (a cos B －b cos A )，
变形得a 2－b 2c 2＝a cos B －b cos A c
＝a c cos B －b c
cos A ， 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C 得a c ＝sin A sin C ，b c ＝sin B sin C
， ∴a 2－b 2c 2＝sin A cos B －sin B cos A sin C ＝A －B sin C . 法二：A －B sin C ＝sin A cos B －cos A sin B sin C ＝sin A sin C cos B －sin B sin C
cos A ， ∵a sin A ＝b sin B ＝c sin C
， ∴sin A sin C ＝a c ，sin B sin C ＝b c
， cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos A ＝b 2＋c 2－a 2
2bc ， 代入上式得 A －B sin C ＝a c ·a 2＋c 2－b 22ac －b c ·b 2＋c 2－a 2
2bc
＝a 2＋c 2－b 22c 2－b 2＋c 2－a 22c 2＝a 2－b 22c 2＝a 2－b 2
c
2. ∴等式成立．
19．(本小题满分16分)(2010年高考辽宁卷)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )·sin B ＋(2c ＋b )sin C .
(1)求A 的大小；
(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．
解：(1)由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc .①
由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，
故cos A ＝－12
，A ＝120°. (2)由①得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C .
又sin B ＋sin C ＝1，故sin B ＝sin C ＝12
. 因为0°＜B ＜90°，0°＜C ＜90°，故B ＝C .
所以△ABC 是等腰的钝角三角形．
20．(本小题满分16分)
如图所示，a 是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a 上点A 处有一个水声监测点，另两个监测点B ，C 分别在A 的正东方20 km 处和54 km 处．某时刻，监测点B 收到发自静止目标P 的一个声波，8 s 后监测点A,20 s 后监测点C 相继收到这一信号．在当时气象条件下，声波在水中的传播速率是1.5 km/s.
(1)设A 到P 的距离为x km ，用x 分别表示B ，C 到P 的距离，并求x 的值；
(2)求静止目标P 到海防警戒线a 的距离(结果精确到0.01 km)．
解：(1)依题意，PA －PB ＝1.5×8＝12(km)，
PC －PB ＝1.5×20＝30(km)．因此PB ＝(x －12)km ，
PC ＝PB ＋30＝x －12＋30＝(18＋x )km.
在△PAB 中，AB ＝20 km ，
cos ∠PAB ＝PA 2＋AB 2－PB 22PA ·AB ＝x 2＋202－x －22x ·20
＝3x ＋325x
. 同理，cos ∠PAC ＝72－x 3x
， 由于cos ∠PAB ＝cos ∠PAC ，即3x ＋325x ＝72－x 3x
， 解得x ＝1327
(km)． (2)
如图所示，作PD ⊥a ，垂足为D .在Rt△PDA 中，
PD ＝PA ·cos∠APD ＝
PA ·cos∠PAB
＝x ·3x ＋325x ＝3×1327＋325
≈17.71(km)． 即静止目标P 到海防警戒线a 的距离为17.71 km.。