42时域分析法直接积分法

4.2 时域分析法——直接积分法 （时程分析）
4.2.1 概述
• 数值积分法是根据已知的初始时刻的位移、速度、加速
度和荷载条件，计算下一时刻振动响应的方法。
u
• 数值积分法属
于初值问题，
也称步步积分
法或时程分析 法。
O
u i ui+1
ti ti1
t
时程分析法基本概念
因此，时程分析法是对结构物的运动微分方程直接进行 逐步积分求解的一种动力分析方法。由时程分析可得到各 质点随时间变化的位移、速度和加速度动力反应，并进而 可计算出构件内力的时程变化关系。由于此法是对运动方 程直接求解，又称直接动力分析法。
• 显 计算式方积法分。是在第i步计算中状态ti满足运动方程式的
ui1 ui Δ t f ti ,ui
•当前时刻的位移只与前一时刻的加速度和位移有关，这就意味着当前 时刻的位移求解无需迭代过程。 另外，只要将运动方程中的质量矩阵 和阻尼矩阵对角化（线性无关），前一时刻的加速度求解无需解联立 方程组，从而使问题大大简化，这就是所谓的显式求解法。
方程左边的力增量表达式是近似的！
常用的隐式积分法
• 隐式积分归结为求解非线性方程组。但是从计算效率考虑，
在结构动力响应分析中一般对它的计算过程加以修正提高 计算收敛性和效率，各种改进算法中Newmark β法和 Wilson θ法是结构振动响应分析中最常用的两种方法。
非线性地震反应分析的逐步积分法 Newmark－β法

非线性问题：[C], [K] 为时变矩阵
x(t)

x(t)
fD
fs
x(t)
x(t)
2.增量平衡方程
fI (t) fD (t) fs (t) P(t)
t t 时刻： fI (t t) fD (t t) fs (t t) P(t t)
• Baidu Nhomakorabea显式积分法计算结构响应时，为了提高计算精
度，时间间隔Δt必须十分小，否则，随着计算步 数的增加，误差不断积累、出现发散的现象。
显式积分、隐式积分
• 隐式积分是满足ti+Δt时刻运动方程式的计算方法。
这种算法由于函数f包含未知的结构响应（求解 ti+Δt时刻的反应，但函数f却含有待求的ti+Δt时刻 的结构响应），因此，需要通过反复迭代的方法 计算ti+Δt时刻的响应，它是一个非线性计算的过 程。隐式积分归结为求解非线性方程组。
fD (t)
斜率c(t )
x
f D
dfD x dx
x(t)
x(t) x(t t)
f s 斜率k(t)
fs (t t) fs (t)
x fs
dfs x dx
结构在t时刻的刚度矩阵 由t时刻结构各构件的切线刚度确定
x(t)
x(t) x(t t)
[M ]x(t) [C(t)]x(t) [K(t)]x(t) P(t) ----增量方程(3)
[M ]x(t) [C(t)]x(t) [K(t)]x(t) [M ]1 xg
fI (t) fD (t) fs (t) P(t)
（1）
线性问题：[C], [K] 为常数矩阵
fs
fD
fs / x k tg
fD / x c tg
fI (t) fI (t t) fI (t) [M ]x(t t) x(t) [M ]x(t)
fD (t) fD (t t) fD (t) [C(t)]x(t) ct dfD
dx
fD
线性加速度法： t时间间隔内加速度线性变化假定 平均加速度法： t时间间隔内加速度为常数假定 Wilson－θ法
将(1),(2)两式相减：
（1） （2）
fI (t) fD (t) fs (t) P(t)
令 x t x t t x t x t x t t x t
{x t } {x(t t)}{x(t)} P(t) P(t t) P(t)
程表示，一个是用影视方程来表示。比如a(n)=a(n-1)+b(n-1),后一次 迭代可以由前一次直接求解，这就是显示方程，如果a(n)=a(n1)+f[a(n)]，f[a(n))为a(n)的函数，此时a(n)不能用方程显示表示， 及数学上的隐函数，一般很难直接求解，多用迭代试算法间接求解。
1.运动方程
fD (t) fD (t t) fD (t) [C(t)]x(t)
ct


dfD dx
t
fs (t) fs (t t) fs (t)
[K (t)]x(t)
k
t


dfs dx
t
fD
fD (t t)
• 显式方法(explicit)在方程求解过程中只涉及到历史的第i和i－1步的信
息，而当前的第i＋1步的信息（比如空间上的其他点）不会涉及到,而 隐式方法(implicit)在求解当前点(第i＋1步)时，会涉及到其他已知点 的第i+1步信息,所以需要迭代。
• 显式求解与隐式在数学上说主要是在求解的递推公式一个是用显式方
直接动力分析包括确定性动力分析与非确定性动力分 析两大类，即确定性动力分析中的时程分析法与非确定性 分析的随机振动分析法，这里主要介绍时程分析法。
《抗震规范》规定，重要的工程结构，例如：大跨桥 梁，特别不规则建筑、甲类建筑，高度超出规定范围的高 层建筑应采用时程分析法进行补充计算。
显式积分、隐式积分
fD (t t)
fD (t)
斜率c(t )
x
f D
dfD x dx
x(t)
x(t) x(t t)
fI (t) fD (t) fs (t) P(t)
fI (t) fI (t t) fI (t) [M ]x(t t) x(t) [M ]x(t)