2011届高考数学考前抢分押题卷——四川卷文理合卷2

A B C D
y y y y
x
x
x x
2011届高考数学考前抢分押题卷——四川卷：文理合卷2
第Ⅰ卷
一．选择题：本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（理）复数z 满足方程：(2)i z z =+，则z 所对应的点在 （ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 （文）函数2(1)(1)y x x =+-在1x =处的导数等于 （ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．设集合(){}(){},,,,20U x y x y A x y x y m =∈∈=-+>R R ，(){},0B x y x y n =+-≤，那么点(2,3)P ∈()U A
B ð的充要条件是
（ ） A ．1,5m n >-<
B ．1,5m n <-<
C ．1,5m n >->
D ．1,5m n <->
3．将函数sin()()6
y x x π
=+∈R 的图像上所有的点向左平行移动4π个单位长度，再把图像上各
点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图像的解析式为（ ） A ．5sin(2)()12
y x x π
=+∈R B ．5sin()()212
x y x π
=+∈R C ．sin()()212
x y x π
=-
∈R D ．5sin()()2
24
x y x π
=+
∈R 4．已知直线1ax by +=与圆224x y +=有交点，且交点为“整点”，则满足条件的有序实数对（,a b ）的个数为（ ） A ．6
B ．8
C ．10
D ．12
5．已知向量OZ 与1OZ 关于x 轴对称，j =（0，1），则满足不等式2
1OZ j ZZ +⋅≤0的点Z （x ，
y ）的集合用阴影表示为
（ ）
6．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，给出下列命题： ①l m αβ⇒⊥ ②l m αβ⊥⇒ ③l m αβ⇒⊥ ④l m α
β⊥⇒
其中正确命题的序号是
（ ） A ．①②③ B ．②③④ C ．①③ D ．②④
7．在数列{}n x 中，11211(2)n n n n x x x -+=+≥，且223x =，42
5
x =，则10x =
（ ）
A ．
211 B ．16
C ．
112
D ．15
8
．定义两种运算：a b ⊕=
，a b ⊗=，则函数2()(2)2
x
f x x ⊕=⊗-的解析式为
（ ）
A
．()[2,0)(0,2]f x x =∈-
B
．()(,2][2,)f x x =
∈-∞-+∞ C
．()(,2)[2,)f x x =∈-∞-+∞
D
．()[2,0)(0,2]f x x =∈-
9．把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a ，第二次出现的点数为b ，向量m =（a ，b ）n =（1，-2），则向量m 与向量n 垂直的概率是（ ）
A ．16
B ．19
C ．112
D ．118
10．（理）已知数列{}n a 的通项公式*
()n a n n =∈N ，目标函数2z y x =-满足的约束条件
10
2100
n x y x y x y a -+≥⎧⎪
--≤⎨⎪+-≥⎩
，则目标函数的最小值的取值集合为 （ ）
A ．【0,4】
B ．{0,1,2,3,4}
C ．{0}
D ．目标函数没有最
小值
（文）某仪表显示屏上有一排7个小孔，每个小孔可显示出0或1，若每次显示其中三个小
孔，且相邻的两个小孔不能同时显示，则这个显示屏可以显示不同信号的种数为 A ．10 B ．48 C ．60 D ．80
11．设定义在R 上的函数1
(2)|2|()1(2)x x f x x ⎧≠⎪
-=⎨⎪=⎩
，若关于x 的方程2()()3f x af x b ++=有三个
不同实数解，
123,,x x x ，且123x x x <<，则下列说法中正确的是
（ ）
A ．0a b +=
B ．1322x x x +>
C ．135x x +=
D ．22212314x x x ++=
12．已知双曲线22221x y a b -=与双曲线22
221y x b a
-=，设连接它们的顶点构成的四边形的面积为1S ，
连接它们的焦点构成的四边形的面积为2S ，则12
S
S 的最大值为 （ ）
A ．4
B ．2
C ．14
D ．12
第Ⅱ卷
二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13
．若多项式
10910
01910(1)(1)(1)x x a a x a x a x +=+++++++，则
02a a a +
+
+=
． 14．在平面几何里，已知Rt SAB ∆的两边,SA SB 互相垂直，且,SA a SB b ==,则AB 边上的高
h =
；现在把结论类比到空间：三棱锥S ABC -的三条侧棱,,SA SB SC 两两相互垂直，
SH ⊥平面ABC ,且,SA a =
,SB b SC c ==,则点S 到平面ABC 的距离h '= ．
15．（理）记max{,}a b 为,a b 两数的最大值，当正数,()x y x y >变化时，225max ,
()t x y x y ⎧
⎫
=⎨⎬-⎩
⎭
的
最小值为 ．
（文）已知0a b >>，则225
()
a b a b +
-的最小值为 ．
16．双曲线22
221(0)x y a b a b
-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，已知线段12F F 被点(,0)b 分成5:1
两段，则此双曲线的离心率为 ．
三．解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） 已知函数22()cos(2)sin cos .3
f x x x x π
=-+-
（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及图象的对称轴方程；
（Ⅱ）设函数2()[()](),g x f x f x =+求()g x 的值域．
18．（本小题满分12分）
甲乙两运动员进行射击训练，已知他们击中目标的环数都稳定在7，8，9，10环，且每次射击成绩互不影响，射击环数的频率分布表如下，
甲运动员 乙运动员
若将频率视为概率，回答下列问题， （Ⅰ）求甲运动员击中10环的概率
（Ⅱ）求甲运动员在3次射击中至少有一次击中9环以
上（含9环）的概率
（Ⅲ）若甲运动员射击2次，乙运动员射击1次，ξ表
示这3次射击中击中9环以上（含9环）的次数，
求ξ的分布列及E ξ．
19．（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，o 90BAC ∠=，AB =AC =a ，1AA b =，点E ，F 分别在棱1BB ，1CC 上，
且113BE BB =，1113C F CC =．设b
a
λ=．
射击环数
频数
频
率 7 1
0 0
．1
8 10 0．1
9 x 0
．45 10 35 y
合计
100
1
F
E
C 1
B 1
A 1
C
B A
第19题图
（Ⅰ）当λ=3时，求异面直线AE 与1A F 所成角的大小； （Ⅱ）当平面AEF ⊥平面1A EF 时，求λ的值．
20．（本小题满分12分）
（理）已知函数()f x 和()g x 的图象关于原点对称，且2()2f x x x =+． （Ⅰ）求函数()g x 的解析式；
（Ⅱ）解不等式()()|1|g x f x x ≥--；
（Ⅲ）若()()()1h x g x f x λ=-+在[]1,1-上是增函数，求实数λ的取值范围． （文）设函数1()ln x
f x x ax
-=
+在[1,)+∞上是增函数． （Ⅰ）求正实数a 的取值范围；
（Ⅱ）设0,1b a >>，求证：1ln .a b a b
a b b b
++<<+ 21．（本小题满分12分）
已知数列{}n a 满足：10a =，212
21,
,12,,2n n n n a n n a a -+⎧⎪⎪
=⎨++⎪⎪⎩为偶数为奇数，2,3,4,
.n =
（Ⅰ）求567,,a a a 的值；
（Ⅱ）设21
2n n n
a b -=，试求数列{}n b 的通项公式；
（Ⅲ）对于任意的正整数n ，试讨论n a 与1n a +的大小关系．
22．（本小题满分12分）
已知椭圆
22
22
:1
x y
C
a b
+=(0)
a b
>>的离心率为
1
2
，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆
与直线
x y
-相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设(4,0)
P，A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连结PB交椭圆C 于另一点E，
证明直线AE与x轴相交于定点Q；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点Q的直线与椭圆C交于M，N两点，求OM ON
⋅的取值范围．
参考答案
一：1-5 （理）B（文）D ABBC 6-10 CADC （理）B（文）D 11-12 DD
二：
13．【答案】：510
14．【答案】
15．【答案】：（理）10 （文）20
16．【答案】 三：
17．解：（I ）221()cos 22sin cos 2f x x x x x =+-
1cos 22cos 2sin(2)26x x x x π=-=- ∴最小正周期22
T π
==π 由2()62
x k k ππ
-=π+∈Z ， 得()23
k x k ππ
=
+∈Z 函数图象的对称轴方程为().23
k x k ππ
=+∈Z
…5分
（II ）22211
()[()]()sin (2)sin(2)[sin(2)].66624g x f x f x x x x πππ=+=-+-=-+-
当1
sin(2)62
x π-=-时，
()g x 取得最小值1
4
-，
当sin(2)16
x π
-=时，
()g x 取得最大值2，所以()g x 的值域为[,2].4
1
-
…10分
18．解： 45,0.35,32x y z ===
（Ⅰ）设“甲运动员击中10环”为事件A ，()0.35P A =∴甲运动员击中10环的概率为0．35． …2分
（Ⅱ）设甲运动员击中9环为事件1A ，击中10环为事件2A 则甲运动员在一次射击中击中9环以上（含9环）的概率 1212()()()P P A A P A P A =+=+0.450.350.8=+=
…4分
∴甲运动员在3次射击中至少有一次击中9环以上(含9环)的概率
[]3
1211()P P A A =--+310.20.992=-=
答：甲运动员在3次射击中至少有一次击中9环以上（含9环）的概率为0．992． …6分 （Ⅲ）ξ的可能取值是0，1，2，3
()200.20.250.01P ξ==⨯=
z A
A
第19题图
()1
2210.20.80.250.20.750.11P C ξ==⨯⨯⨯+⨯=
()21220.80.250.80.20.750.4P C ξ==⨯+⨯⨯⨯=
()230.80.750.48P ξ==⨯=
所以ξ的分布列是
…10分
00.0110.1120.430.48 2.35
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．
…12分
19．解：建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -． （Ⅰ）设a =1，则AB =AC =1，1AA =3，各点的坐标为A ．
(1,0,1)AE =，1(0,1,1)A F =-．
…2分 ∵12AE A F ==,11AE A F ⋅=-， ∴111,1
cos
2
2AE A F
AE A F AE A F
⋅==
=-
． ∴向量AE 和1A F 所成的角为o 120， ∴异面直线AE 与1A F 所成角为060．
…6分
（Ⅱ）∵(,0,)3b E a ，2(0,,)3b
F a ，
∴2(,0,),(0,,33
b b
AE a AF a ==．
设平面AEF 的法向量为1n (,,)x y z ，
则1n 0AE ⋅=，且1n 0AF ⋅=． 即03bz ax +
=，且203
bz ay +=． 令1z =，则2,33b b
x y a a
=-
=-．
∴12n (,,1)33b b a a =-
-=2(,,1)33
λλ
--是平面AEF 的一个法向量．
同理，22n (,,1)33b b a a ==2(,,1)33
λλ
是平面1A EF 的一个法向量．
…10分
∵平面AEF ⊥平面1A EF ，
∴12n n 0⋅=．∴22
221099
λλ--+=．
解得，3
2
λ=
． ∴当平面AEF ⊥平面1A EF 时，3
2
λ=．
…12分
20．（理）解：（Ⅰ）设函数()y f x =的图象上任意一点00(,)Q x y 关于原点的对称点为(),P x y ，
则000
0,,2
.0,2
x x
x x y y y y +⎧=⎪=-⎧⎪⎨⎨+=-⎩⎪=⎪⎩即
∵点()00,Q x y 在函数()y f x =的图象上
∴22y x x -=-，即22y x x =-+，故()22g x x x =-+．
…4分
（Ⅱ）由()()1g x f x x ≥--，可得2210x x --≤． 当1x ≥时，2210x x -+≤，此时不等式无解． 当1x <时，2210x x +-≤，解得1
12
x -≤≤． 因此，原不等式的解集为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
．
…8分
（Ⅲ）()()()21211h x x x λλ=-++-+
①当1λ=-时，()41h x x =+在[]1,1-上时增函数 1λ∴=- ②11.1x λ
λλ
-≠-=
+当时，对称轴的方程为 ⅰ）111, 1.1λ
λλλ
-<-≤-<-+当时,解得
ⅱ）111,10.1λ
λλλ
->-≥--<≤+当时,解得
0.λ≤综上，
…12分
（文）解：（Ⅰ）'2
1
()0ax f x ax
-=≥对[1,)x ∈+∞恒成立， 1a x ∴≥
对[1,)x ∈+∞恒成立 又1
1x
≤ 1a ∴≥为所求．
…5分
（Ⅱ）取a b x b +=
，1,0,1a b
a b b
+>>∴>， 一方面，由（Ⅰ）知1()ln x
f x x ax
-=+在[1,)+∞上是增函数， ()(1)0a b
f f b
+∴>= 1ln 0a b
a b b a b b a b
+-
+∴
+>+⋅即1ln a b b a b +>+．
…8分
另一方面，设函数()ln (1)G x x x x =-> '11
()10(1)x G x x x x
-=-=>>
∴()G x 在(1,)+∞上是增函数且在0x x =处连续，又(1)10G => ∴当1x >时，()(1)0G x G >>
∴ln x x > 即ln
a b a b
b b
++> 综上所述，
1ln .a b a b a b b b
++<<+
…12分
21．解：（Ⅰ）∵ 10a =，21121a a =+=，31222a a =+=，42123a a =+=， ∴ 52325a a =+=；63125a a =+=；73428a a =+=．
…3分
（Ⅱ）由题设，对于任意的正整数n ，都有：12121
11
1
221
2
2
2
n n n n n n n a a b b +--++++==
=
+， ∴ 112
n n b b +-=
． ∴ 数列{}n b 是以12111
02
a b -==为首项，1
2
为公差的等差数列．
∴ 1
2
n n b -=．
…6分
（Ⅲ）对于任意的正整数k ， 当2n k =或1,3n =时，1n n a a +<； 当41n k =+时，1n n a a +=；
当43n k =+时，1n n a a +>．
…8分
证明如下：
首先，由12340,1,2,3a a a a ====可知1,3n =时，1n n a a +<；
其次，对于任意的正整数k ，
2n k =时，()()122112120n n k k k k a a a a a k a k ++-=-=+-++=-<；
41n k =+时，14142n n k k a a a a +++-=-
()()()()221221
2121222222122120
k k k k k k k a a k a a k a k a ++=++-+=+-=++-++=
所以，1n n a a +=．
43n k =+时，14344n n k k a a a a +++-=-
()()()()()21222122
112221221222121221241
k k k k k k k k k a a k a a k k a a k a a ++++++=++-+=++-=++++-+=+-+
事实上，我们可以证明：对于任意正整数k ，1k k k a a ++≥（*）（证明见后），所以，此时，1n n a a +>．
综上可知：结论得证． …10分
对于任意正整数k ，1k k k a a ++≥（*）的证明如下： 1）当2k m =（*m ∈N ）时，
()()12212212120k k m m m m k a a m a a m a m a m +++-=+-=++-++=>，
满足（＊）式。

2）当1k =时，1211a a +==，满足（＊）式。

3）当()*21k m m =+∈N 时，
()()()()
12122
11
121211212312221k k m m m m m m m m k a a m a a m m a a m a a m a a m +++++++-=++-=++++-+=++-=+-++
于是，只须证明10m m m a a ++-≥，如此递推，可归结为1）或2）的情形，于是（＊）得证．
…12分 22．解：（Ⅰ）由题意知1
2
c e a =
=， 所以2222
22
1
4c a b e a a -===．
即224
3
a b =．
又因为b =
=，
所以24a =，23b =．
故椭圆C 的方程为22
143
x y +=．
…4分
（Ⅱ）由题意知直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为(4)y k x =-． 由22(4),1.4
3y k x x y =-⎧⎪
⎨+=⎪⎩ 得2222(43)3264120k x k x k +-+-=． ①
…6分
设点11(,)B x y ，22(,)E x y ，则11(,)A x y -． 直线AE 的方程为21
2221
()y y y y x x x x +-=--． 令0y =，得221221
()
y x x x x y y -=-
+．
将11(4)y k x =-，22(4)y k x =-代入， 整理，得12121224()
8
x x x x x x x -+=
+-． ②
由①得 21223243k x x k +=+，21226412
43
k x x k -=+代入②
整理，得1x =．
所以直线AE 与x 轴相交于定点(1,0)Q ．
…9分
（Ⅲ）当过点Q 直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为(1)y m x =-，且 (,)M M M x y ，(,)N N N x y 在椭圆C 上．
由22(1),1.4
3y m x x y =-⎧⎪
⎨+=⎪⎩ 得2222(43)84120m x m x m +-+-=．
易知0∆>．
所以22843M N m x x m +=+，2241243M N m x x m -=+， 2
2943
M N m y y m =-+．
则M N M N OM ON x x y y ⋅=+22
2512533
443
4(43)m m m +=-=--++． 因为20m ≥，所以21133
044(43)
m -
≤-<+． 所以5[4,)4
OM ON ⋅∈--．
当过点Q 直线MN 的斜率不存在时，其方程为1x =． 解得：3(1,)2
M -，3(1,)2
N -． 此时54OM ON ⋅=-．
所以OM ON ⋅的取值范围是5[4,]4
--．
…12分。