2020年北京市名校数学高二下期末质量跟踪监视试题含解析

2020年北京市名校数学高二(下)期末质量跟踪监视试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．若实数的取值如表，从散点图分析，与线性相关，且回归方程为
，则（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．设lg 2lg5a =+，e (0)x b x =<，则a 与b 大小关系为( ) A ．a b > B ．a b < C ．a b = D ．a b ≤ 3．已知，，，
成等差数列，，，
成等比数列，则（ ） A ．
B ．
C ．
或
D ．
或
4．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2
只测量过该指标的概率为
A ．
23 B ．
35 C ．25
D ．15
5．在各项都为正数的等差数列{a n }中，若a 1+a 2+…+a 10=30，则a 5•a 6的最大值等于（ ）
A ．3
B ．6
C ．9
D ．36
6． “0x =”是“复数()()2
1z x x x i x R =-+-∈为纯虚数”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
7．.盒子里有25个外形相同的球，其中10个白的，5个黄的，10个黑的，从盒子中任意取出一球，已知它不是白球，则它是黑球的概率为 A ． B ． C ． D ．
8．已知函数()()2
ln 1f x a x x =+-，在区间()0,1内任取两个实数p ，q ，且p q <，若不等式
()()
111f p f q p q
+-+>-恒成立，则实数a 的取值范围是
A ．()15,+∞
B ．[)15,+∞
C ．(),6-∞
D ．[)6,+∞
9．已知随机变量X 服从正态分布(
)2
3,N σ
, 且()40.84P X ≤=, 则()24P X <<= ( )
A ．0.84
B ．0.68
C ．0.32
D ．0.16
10．某批零件的尺寸X 服从正态分布(
)2
10,N σ
，且满足()198
P x <=，零件的尺寸与10的误差不超过1即合格，从这批产品中抽取n 件，若要保证抽取的合格零件不少于2件的概率不低于0.9，则n 的最小值为（ ） A ．7
B ．6
C ．5
D ．4
11．在平面直角坐标系xOy 中，曲线3cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）上的点到直线84:1x t
l y t =+⎧⎨=-⎩
的距离的
最大值为（ ） A ．5
B ．17
C ．17
55
D ．
5
1717
12．抛物线28y x =的焦点坐标为（ ） A ．()0,2
B ．()2,0-
C ．()2,0
D ．()0,2-
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则曲线()y f x =在点(1,3)-处的切线方程是__________．
14．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布2(1,)(0)N σσ>，若ξ在()0,1内取值的概率0.4，则ξ在
()0,2内取值的概率为 .
15．从双曲线
（
，
）的左焦点引圆
的切线，切点为，延长
交双曲
线右支于点，若是线段的中点，为坐标原点，则的值是____．
16．已知向量a r 与b r 的夹角为60°，|a r |=2，|b r |=1，则|a r
+2 b r |= ______ .
三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．设函数()271f x x =-+. (1)求不等式()f x x ≤的解集；
(2)若存在x 使不等式()21f x x a --≤成立，求实数a 的取值范围
18．随着智能手机的普及，网络搜题软件走进了生活，有教育工作者认为，网搜答案可以起到帮助人们学习的作用，但对多数学生来讲，过度网搜答案容易养成依赖心理，对学习能力造成损害.为了了解学生网搜答案的情况，某学校对学生一月内进行网搜答案的次数进行了问卷调查，并从参与调查的学生中抽取了男、女生各100人进行抽样分析，制成如下频率分布直方图：
记事件“男生1月内网搜答案次数不高于30次”为A ，根据频率分布直方图得到()P A 的估计值为0.65 (1)求a b ，的值；
(2)若一学生在1月内网搜答案次数超过50次，则称该学生为“依赖型”，现从样本内的“依赖型”学生中，抽取3人谈话，求抽取的女生人数X 的分布列和数学期望. 19．（6分）已知不等式25211x x ax -++>-. (1)当1a =时，求不等式的解集； (2)若不等式的解集为R ，求a 的范围.
20．（6分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos sin x y α
α
=⎧⎨
=⎩（α为参数）.在以坐标原点为
极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为cos sin 4ρθρθ+=. （I ）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； （II ）求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值.
21．（6分）为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下： 性别
是否需要志愿者
男
女
需要 40 30 不需要
160
270 （1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
（2）请根据上面的数据分析该地区的老年人需要志愿者提供帮助与性别有关吗
22．（8分）已知函数2()(1)ln(21)ln f x x a x b x =-+-+，,a b 为常数
（Ⅰ）若0a =时，已知()f x 在定义域内有且只有一个极值点，求b 的取值范围； （Ⅱ）若2b a =-，已知[1,)x ∈+∞，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围。

参考答案
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．D 【解析】 【分析】
计算出样本的中心点，将该点的坐标代入回归直线方程可得出的值。

【详解】
由表格中的数据可得
，
，
由于回归直线过点，所以，，解得，故选：D.
【点睛】
本题考查回归直线的基本性质，在解回归直线相关的问题时，熟悉结论“回归直线过样本的数据中心点
”是解本题的关键，考查计算能力，属于基础题。

2．A 【解析】
0lg2lg511x a b e e a b ，=+===∴,选A.
3．D 【解析】 【分析】
根据等差数列的性质可得出
的值，利用等比中项的性质求出的值，于此可得出
的值。

【详解】 由于、、、成等差数列，则
， 又
、、
成等比数列，则
，
，
当时，；当时，，因此，或，
故选：D 。

【点睛】
本题考查等差数列和等比数列的性质，在处理等差数列和等比数列相关问题时，可以充分利用与下标相关的性质，可以简化计算，考查计算能力，属于中等题。

4．B 【解析】 【分析】
本题首先用列举法写出所有基本事件，从中确定符合条件的基本事件数，应用古典概率的计算公式求解． 【详解】
设其中做过测试的3只兔子为,,a b c ，剩余的2只为,A B ，则从这5只中任取3只的所有取法有
{,,},{,,},{,,},{,,},{,,},{,,}a b c a b A a b B a c A a c B a A B ，{,c,},{,c,},{b,,},{c,,}b A b B A B A B 共10种．其
中恰有2只做过测试的取法有{,,},{,,},{,,},{,,},a b A a b B a c A a c B {,c,},{,c,}b A b B 共6种， 所以恰有2只做过测试的概率为63
105
=，选B ． 【点睛】
本题主要考查古典概率的求解，题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．应用列举法写出所有基本事件过程中易于出现遗漏或重复，将兔子标注字母，利用“树图法”，可最大限度的避免出错． 5．C 【解析】
试题分析：由题设，
所以，又因为等差数列各项都为正数，所以，
当且仅当
时等号成立，所以a 5·
a 6的最大值等于9，故选C ． 考点：1、等差数列；2、基本不等式． 6．C 【解析】
分析：首先求得复数z 为纯虚数时x 是值，然后确定充分性和必要性即可. 详解：复数()()2
1z x x x i x R =-+-∈为纯虚数，则：
2010
x x x ⎧-=⎨-≠⎩，即：01
1x x x ==⎧⎨
≠⎩或，据此可知0x =，
则“0x =”是“复数()()2
1z x x x i x R =-+-∈为纯虚数”的充要条件
本题选择C 选项.
点睛：本题主要考查充分必要条件的判断，已知复数类型求参数的方法，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 7．D 【解析】
解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件是从盒子中取出一个不是白球的小球，共有5+10=15种结果， 满足条件的事件是取出的球是一个黑球，共有10种结果， ∴根据等可能事件的概率得到P=故选D ．
8．B 【解析】 分析：首先，由
()()
11f p f q p q
+-+-的几何意义，得到直线的斜率，然后，得到函数图象上在区间（1，2）
内任意两点连线的斜率大于1，从而得到f′（x ）=
21
a
x x -+＞1 在（1，2）内恒成立．分离参数后，转化成 a ＞2x 2+3x+1在（1，2）内恒成立．从而求解得到a 的取值范围． 详解：∵
()()
11f p f q p q
+-+-的几何意义为：
表示点（p +1，f （p+1）） 与点（q +1，f （q+1））连线的斜率， ∵实数p ，q 在区间（0，1）内，故p +1 和q +1在区间（1，2）内． 不等式
()()
11f p f q p q
+-+-＞1恒成立，
∴函数图象上在区间（1，2）内任意两点连线的斜率大于1， 故函数的导数大于1在（1，2）内恒成立． 由函数的定义域知，x ＞﹣1， ∴f′（x ）=
21
a
x x -+＞1 在（1，2）内恒成立． 即 a ＞2x 2+3x+1在（1，2）内恒成立．
由于二次函数y=2x 2+3x+1在[1，2]上是单调增函数， 故 x=2时，y=2x 2+3x+1在[1，2]上取最大值为15， ∴a≥15
∴a ∈[15，+∞）．
故选A ．
点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：
（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；
（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为min ()0f x >，若
()0f x <恒成立，转化为max ()0f x <;
（3）若()()f x g x >恒成立，可转化为min max ()()f x g x >. 9．B 【解析】 【分析】
先计算出()()414P X P X >=-≤，由正态密度曲线的对称性得出()2P X <=
()4P X >，于是得出()()()24124P X P X P X <<=-<->可得出答案．
【详解】
由题可知，()()41410.840.16P X P X >=-≤=-=， 由于(
)2
~3,X N σ
，所以，()()240.16P X P X <=>=，
因此，()()()2412410.160.160.68P X P X P X <<=-<->=--=，故选B. 【点睛】
本题考查正态分布在指定区间上的概率，考查正态密度曲线的对称性，解题时要注意正态密度曲线的对称轴，利用对称性来计算，考查运算求解能力，属于基础题． 10．D 【解析】 【分析】
计算()39114P X <<=，根据题意得到1
01131C C 0.1444n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+< ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，设()()1314n
f n n ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
，判
断数列单调递减，又()40.1f <，()30.1f >，得到答案. 【详解】 因为(
)2
10,X N σ
:，且()198P X <=，所以()3
9114
P X <<=， 即每个零件合格的概率为
3
4
. 合格零件不少于2件的对立事件是合格零件个数为零个或一个.
合格零件个数为零个或一个的概率为1
01131C C 444n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，
由1
01
131C C 0.1444n
n n
n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+< ⎪ ⎪⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，得()1310.14n
n ⎛⎫
+< ⎪⎝⎭
①，
令()()()1314n
f n n n *⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭
N .因为
()()1341124f n n f n n ++=<+， 所以()f n 单调递减，又因为()40.1f <，()30.1f >， 所以不等式①的解集为4n ≥. 【点睛】
本题考查了正态分布，概率的计算，数列的单调性，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 11．B 【解析】 【分析】 将直线84:1x t
l y t
=+⎧⎨=-⎩，化为直角方程，根据点到直线距离公式列等量关系，再根据三角函数有界性求最值.
【详解】
Q 84:1x t
l y t =+⎧⎨
=-⎩
可得：4120x y +-=
根据点到直线距离公式，可得C 上的点到直线l 的距离为
=≤=【点睛】
本题考查点到直线距离公式以及三角函数有界性，考查基本分析求解能力，属中档题. 12．C 【解析】 【分析】
根据抛物线的标准方程可得出抛物线的焦点坐标. 【详解】
由题意可知，抛物线2
8y x =的焦点坐标为()2,0，故选：C.
【点睛】
本题考查抛物线焦点坐标的求解，考查计算能力，属于基础题.
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．21y x =-- 【解析】
试题分析：当0x >时，0x -<，则()ln 3f x x x -=-．又因为()f x 为偶函数，所以
()()ln 3f x f x x x =-=-，所以1
()3f x x
=-'，则切线斜率为(1)2f '=-，所以切线方程为32(1)y x +=--，即21y x =--．
【考点】函数的奇偶性与解析式，导数的几何意义．
【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当0x >时，函数()y f x =，则当0x <时，求函数的解析式”．有如下结论：若函数()f x 为偶函数，则当0x <时，函数的解析式为()y f x =-；若()f x 为奇函数，则函数的解析式为()y f x =--． 14．0.8 【解析】 【分析】 【详解】
由于正态分布N(1，σ2)(σ>0)的图象关于直线ξ＝1对称，且ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，因此ξ在(1,2)内取值的概率也为0.4，故ξ在(0,2)内取值的概率为0.8. 15．
【解析】
试题分析：如图所示，设双曲线的右焦点为，连接
，
，，则
，在中，
，
，所以
，又是线段
的中点，为
中点，
所以，所以即
，故应填入.
考点：1.双曲线的定义；2.直线与圆相切；3.数形结合的应用. 16．3【解析】 【分析】 【详解】
∵平面向量a r 与b r 的夹角为060，21a b ==r r ，
∴021cos601a b ⋅=⨯⨯=r r .
∴2222(2)4(2)44423a b a b a a b b +=+=+⋅+=++=r r r
r r r r r 故答案为3点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式． (2) a a a =⋅r r r
常用来求向量的模． 三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．（1）863x x ⎧⎫
≤≤⎨⎬⎩⎭
；（2）4a ≥- 【解析】 【分析】
本题需要分类讨论，对27x -去绝对值的两种情况分类讨论。

可以先令()()21g x f x x =--，在对()g x 进行分类讨论求出最小值，最后得出a 的取值范围。

【详解】
(1)由()f x x ≤得271x x -+≤，
∴270270787
:6271271232x x x x x x x x
或解得或-≥-<⎧⎧≤≤≤<⎨
⎨-+≤-++≤⎩⎩ ∴不等式()f x x ≤的解集为8
{|
6}3
x x ≤≤ (2)令()()2127211g x f x x x x =--=---+
则()6,17410,1274,2x g x x x x ⎧⎪≤⎪
⎪
=-+<≤⎨⎪
⎪
->⎪⎩
，∴()min 4g x =-
∵存在x 使不等式()21f x x a --≤成立，∴()min ,4g x a a ≤∴≥-
【点睛】
在遇到含有绝对值的不等式的时候，一定要根据函数解析式去绝对值的几种情况进行分类讨论。

18．（1）0.005a =，0.03b =（2）详见解析
【解析】
【分析】
（1）根据()P A 的估计值计算出b 的值，然后根据频率和为1计算出a 的值；（2）先计算出男、女“依赖型”人数，然后根据超几何分布的概率计算去求解X 的分布列和数学期望.
【详解】
解：（1）由已知得()(0.0150.020)100.65P A b =++⨯=，
所以0.03b =，
又因为(0.0150.0200.030.0200.010)101a +++++⨯=，
所以0.005a =；
（2）样本中男生“依赖型”人数为0.005101005⨯⨯=，
女生“依赖型”人数为0.010*******⨯⨯=，
X 的所有可能取值为01
23，，，.. 031210510533151510210020(0),(1)4559145591
C C C C P X P X C C ======== 213105103315154554512024(2),(3)4559145591
C C C P X P X C C ⨯======== X ∴的分布列为
()215
E X == 【点睛】
本题考查频率分布直方图的理解以及离散型随机变量的均值，难度一般.根据频率分布直方图去求解相应值的时候，注意隐含条件：频率和为1；书写分布列的时候注意检验一下概率和是否为1.
19．（Ⅰ）
,)-∞+∞（;（Ⅱ）是14[4,)5
- 【解析】 试题分析：（1）由题意，根据两个绝对值式的零点，对x 的取值范围进行分段求解，综合所有情况，从而
可得不等式的解；（2）由不等式25211x x ax -++>-的解集为R ，由（1）作函数()f x 图形，结合图形，可直线斜率()
614502
a ---≤≤-，从而可求出实数a 的取值范围，由此问题可得解. 试题解析：（1）由已知，可得()144,21525216,22544,2x x f x x x x x x ⎧-+≤-⎪⎪⎪=-++=-<≤⎨⎪⎪->⎪⎩
当1a =时，若12x ≤-
，则441x x -+>-，解得12
x ≤- 若1522x -<≤，则61x >-，解得1522
x -<≤ 若52x >，则441x x ->-，解得52x > 综上得，所求不等式的解集为R ；
（2）不妨设函数1y ax =-，则其过定点()0,1P -，如图所示，
由（1）可得点5,62A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由此可得()614502
a ---≤<-，即1445a -≤<. 所以，所求实数a 的范围为144,5⎡
⎫-⎪⎢⎣⎭
.
20．（I ）2214x y +=，40x+y =-；（II ）1022
. 【解析】
【分析】
（I ）曲线C 的参数方程消去参数，能求出曲线C 的普通方程；由直线l 的极坐标方程，能求出直线l 的直角坐标方程．（II ）在曲线C 上任取一点(2cos ,sin )P αα利用点到直线的距离公式能求出曲线C 上的点到直线l 的最小距离．
【详解】
（I ）曲线C 的普通方程为2214x y +=， 直线l 的直角坐标方程为40x+y =-.
（II ）设曲线C 上的点的坐标为(2cos ,sin )P αα，
则点P 到直线l 的距离|5sin()4|22
d αϕ+-==， ∴当sin()1αϕ+=-时，d 取得最大值
54102222+=+， ∴曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为1022+. 【点睛】
本题考查曲线的普通方程和直线的直角坐标方程的求法，考查曲线上的点到直线的最小距离的求法，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程互化公式的应用，考查运算求解能力、转化化归思想，是中档题． 21．（1）0014；（2）有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关.
【解析】
试题分析：（1）由列联表可知调查的500位老年人中有4030=70+位需要志愿者提供帮助，两个数据求比值得到该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估算值；（2）根据列联表所给的数据，代入随机变量的观测值公式，得到观测值的结果，把观测值的结果与临界值进行比较，看出有多大把握说该地区的老年人是否需要帮助与性别有关.
试题解析：
解：（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估算值为
（2）根据表中数据计算得：。

由于9.967>6.635,所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关。

考点：独立性检验.
22．（1）12
b <（2）1a ≤
【解析】
分析：⑴将0a =代入，求出()f x 的表达式，求导，然后综合只有一个极值点即可求出结果⑵法一：将2b a =-代入，求导后利用单调性来求解；法二：整体思想，采用放缩法进行求解
详解：（Ⅰ）当0a =时，()()2
1ln f x x b x =-+， ()()22221b x x b f x x x x
='-+=-+，12x > 因为()f x 在定义域内有且只有一个极值点，
所以2
220x x b -+=在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内有且仅有一根，则有图知0∆>， 所以12
b < （Ⅱ）2b a =-，()()()21ln 212ln f x x a x a x =-+--
法1： ()()()()()()()21222121211212121a x a a a f x x x x x x x x x x ⎡⎤-=-+-=-+=--⎢⎥---⎢⎣⎦
'⎥ ()()222121x x a x x x ⎡⎤--=-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
因()10f =，[)1,x ∈+∞，()0f x ≥恒成立，则[
)1,x ∈+∞内，先必须递增，即()f x '先必须0≥，即()22h x x x a =--先必须0≥，因其对称轴14
x =，有图知()10h ≥（此时在[)1,x ∈+∞ ()0f x '≥），所以1a ≤
法2： 因()0f x ≥，所以()2
21ln 212ln 0x x a x a x -++--≥， 所以()()22
ln 21ln 21x a x x a x -≥---， 令()ln g x x a x =-，因()1,x ∈+∞， 221x x >-，
所以()g x 递增，()0g x '≥，所以10a x
-≥，1a ≤ 点睛：本题考查了含有参量的导数极值问题和恒成立问题，在解答此类题目时将参数代入，然后根据题意进行转化，结合导数的单调性进行证明，本题有一定难度。