2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市高一下学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市高一下学期期中数学试题
一、单选题
1．设复数（为虚数单位），则的模等于（ ）1i z =--i 2z -A
B ．5
C
D ．10
【答案】C
【分析】先计算，再根据模长公式即可求解.2z -【详解】因为，所以，1i z =--23i z -=+
所以
.
2-=故选：C
2．已知非零向量，
，则与的夹角为（ ）
a b ()(
)
32a b a b -⊥+ a b A ．45°B ．135°C ．60°
D ．120°【答案】B
【分析】根据
得到
，然后
()()32a b a b
-⊥+ ()(
)
320
a b a b -⋅+= 2
a b a ⋅=- 求
即可得到与的夹角.
cos θa
b
【详解】根据题意，设与的夹角为θ，
a b
因为
()(
32a b a b
-⊥+ 所以
，变形可得．
()(
)
222
32320
a b a b a a b b a b a -⋅+
=-⋅-=-
⋅-= 2
a b a ⋅=- 则
cos
θ
又由，所以θ＝135°．
180θ≤≤
故选：B ．
3
．已知正三棱锥 ）
A BCD
-A B C D
【答案】C
心上，则外接球的球心在高线上，且到各个顶点的距离相等，构造直角三角形，从而即可求出外接球的半径为，进而可求出外接球的体积．
r 【详解】由
A BCD -则高线的投影在底面正三角形的重心上，则外接球的球心在高线上，且到各个顶点的距离相等，如图，取的中点，连接，过作平面，且垂足为，则，
CD
BF A ⊥AE BCD E 2BE
EF =由AB BC CD AD BD =====则在中，有
，
Rt BCF 3
2BF ==
所以，231
3
2BE =⨯=
则在中，有
Rt ABE △AE =
=
设外接球的半径为，r 则，即
，解得
，
()2
2
2
BE AE r r
+-
=)
2
22
1r
r +
=r =
故外接球的体积为．
3
344
ππ33V r ==⨯=故选：C ．
4．三条直线两两相交，最多可以确定平面（ ）A ．1个B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】C
【分析】根据题意，画出图形，结合公理2，即可得出答案.【详解】在空间中，两两相交的三条直线最多可以确定3个平面.
如图，相交于一点，且不共面，则确定一个平面，
,,PA PB PC P ,,PA PB PC ,PA PB PAB 确定一个平面，确定一个平面.
,PB PC PBC ,PA PC PAC 故选：C.
5．在中，，若解三角形时有两解，则x 的取值范围是（ ）ABC ,2,45a x b B ==∠=︒A ．B ．2x >2x <
C ．
D ．2x <<2x <≤【答案】C
【分析】根据题意画出图形，根据三角形有两个解的条件列式即可求得x 的取值范围.【详解】根据题意作图，如下图所示
当x 的值确定以后，以C 为圆心，2为半径的圆与c 边的交点即为顶点A 的位置，由图可知，两种临界条件分别为：
（1）圆与c 边所在直线相切，此时，三角形只有一个解，90CAB ∠=︒
此时根据正弦定理，，可得；
sin sin a b
A B =
x =（2）圆过B 时，，三角形只有一个解，此时；45CAB ∠=︒2x =
所以当时，三角形有两个解，2x <<
所以x 的取值范围为2x <<故选：C.
6．在中，设，那么动点的轨迹必通过的（ ）
ABC (
)222AC AB AM AC AB
-=⋅- M ABC A ．垂心B ．内心C ．重心
D ．外心
【答案】D
【分析】设线段的中点为，推导出，结合外心的定义可得出结论.
BC D DM BC ⊥【详解】设线段的中点为，则、互为相反向量，
BC D DB
DC 所以，
，
()()()
22AB AC AD DB AD DC AD DB DC AD
+=+++=++=
因为
，即，
(
)222AC AB AM AC AB
-=⋅- (
)()
2AC AB AC AB AM BC
+-⋅⋅= 所以，
，即，
()()
2AC AB AC AB AM BC
+-⋅⋅= 22AD BC AM BC ⋅=⋅ 即
，即，
(
)
BC AM AD BC DM ⋅-=⋅=
DM BC ⊥所以，垂直且平分线段，
DM BC 因此动点的轨迹是的垂直平分线，必通过的外心.M BC ABC 故选：D.
7．已知复数z 的共轭复数，满足，则
的最小值为（ ）
z 42i 1
z +-=
i
z -A ．4B
．8
C D 1
1
+【答案】A
【分析】设先分析出点(x ,y )在以（-4，-2）为圆心，1为半径的圆上.利用几何法求出
i,z x y =+的最小值.
i
z -【详解】设（是虚数单位）.则.i,z x y =+,R,i x y ∈i z x y =-因为，所以
表示点(x ,y )在以（-4，-2）为圆心，1为半径的圆上.
421
z i +-=()()22
421
x y ++-
-=表示圆
上任意一点到（0，1）的距离.
()()22
421
x y +++=由几何法可知：
的最小值为（0，
1）到圆心（-4，-2）减去圆的半径，即为
i
z -.
1514-=
-=故选：A
8．秦九韶是我国南宋数学家，其著作《数书九章》中的大衍求一术、三斜求积术和秦九韶算法是具有世界意义的重要贡献.秦九韶把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，三斜求积术即已
知三边长求三角形面积的方法，用公式表示为：
是
ABC
S = ,,a b c 的内角的对边.已知
中，
，则面
ABC
,,A B C ABC cos a B C c =
=
ABC 积的最大值为（ ）A B C ．D ．2434
2438
【答案】B
【分析】利用正弦定理结合三角恒等变换可得，利用余弦定理可得，将
代入题干b =3a =,,a b c 中的面积公式即可求解.
【详解】解：∵，∴，
∴，
cos a
B C c
=+()cos a c B C
=+()
sin sin cos A C B C =
即
，
()sin cos cos sin sin cos cos sin C B C C B C B C B C
=+=+
，又且
，则，
cos sin cos C C B C
=()0,C π∈2C π
≠
cos 0C ≠∴，∴；
sin
B C
=b =，
，则，即
=)cos cos a C c A ac +=22222
2
22a b c b c a ac b b ⎫+
-+-+=⎪
⎭，则
，
ac =3a =∴
S =
=
∴时，3c =max S =
故选：B.
二、多选题
9．下列说法正确是（ ）
A ．三棱锥是四面体，正三棱锥是正四面体
B ．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形
C ．平行的线段在直观图中仍然平行
D ．圆心和圆上两点可确定一个平面【答案】BC
【分析】根据棱锥分类、平行六面体的定义、直观图的特征和平面的确定方法依次判断各个选项即可.
【详解】对于A ，正四面体是各棱长均相等的三棱锥，是正三棱锥的一种，A 错误；对于B ，平行六面体两个相对的面为全等的平行四边形，B 正确；对于C ，平行的线段在直观图中的位置关系不变，仍然平行，C 正确；对于D ，若圆心和圆上两点共线，此时过三点的平面有无数个，D 错误.
故选：BC.
10．已知两个单位向量、的夹角为，若，则把有序数对叫做向量1e 2e π2θθ⎛⎫≠ ⎪
⎝
⎭12c xe ye =+ (),x y 的斜坐标，若，，则（ ）
c
()11,a x y = ()22,b x y =
A ．
B ()1212,a b x x y y -=--
C ．
D ．
()11,a x y λλλ= 1212
a b x x y y ⋅=+ 【答案】AC
【分析】根据向量线性运算、向量模的定义、数量积的定义判断．【详解】由已知
，，1112a x e y e =+ 2122b x e y e =+
因此
，所以的斜坐标为，A 正确；121122()()a b x x e y y e -=-+- a b -
1122(,)x y x y --，因此的斜坐标是，C 正确；
1112a x e y e λλλ=+
a λ
11(,)x y λλ
=，在与不垂直时，BD 错；1212122112()a b x x y y x y x y e e ⋅=+++⋅ 1e 2e
故选：AC ．
11．某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，12O O ABCD ，且，下列说法正确的有（ ）
2cm AB AD BC ===2CD AB =
A ．该圆台轴截面面积为ABCD 2
B ．该圆台的体积为3
14πcm 3C ．该圆台的侧面积为2
6πcm
D ．沿着该圆台表面，从点到中点的最短距离为C AD 5cm 【答案】ACD
【分析】求出圆台的高，由梯形的面积公式可判断选项A ；由台体的体积公式可判断选项B ；由台体的侧面积公式可判断选项C ；将圆台补成圆锥，侧面展开，取的中点为，连接，可判断AD P CP 选项D.
【详解】对于，由，且，
A 2A
B AD B
C ===2C
D AB =
可得，高，
4CD =12O O ==
则圆台轴截面的面积为，故A 正确；ABCD ()2
1
4m 22⨯+=
对于B ，圆台的体积为，故B 错误；
()3
1π124cm 3V =++=对于C ，圆台的体积为
，故C 正确；
()π1226π
S =+⨯=侧对于，由圆台补成圆锥，可得大圆锥的母线长为，底面半径为，侧面展开图的圆心角
D 4cm 2cm ．
2π2
π4θ⋅=
=设的中点为，连接，可得，
AD P CP 90,4,213COP OC OP ∠===+=
则．
5CP ==所以沿着该圆台表面，从点到中点的最短距离为，故正确．
C A
D 5cm D
故选：ACD ．
12．在中，角所对的边分别为，的面积为S ，若，则下列结ABC 、、A B C a b c 、、ABC 22a S =
论一定正确的有（ ）A ．B ．
bc a =2
22
22tan a A b c a =+-
C ．
D ．有最小值
c b b c +2
bc a 【答案】BCD
【分析】由已知条件结合三角形面积公式，余弦定理辅助角公式，以及基本不等式，然后对各选项进行判断即可．
【详解】∵的面积为，若，ABC S 21sin 22a S bc A ==
可得，∴
，故A 错误；2
sin bc A a =2
sin a bc A =由余弦定理可得，，
222
2cos a b c bc A =+-
∴，所以
，故B 正确；2222
2cos 1
22sin tan b c a bc A a bc A A +-==22222tan a A b c a =+-由余弦定理可得，，
222
2cos a b c bc A =+-所以
，
()
2222cos sin 2cos b c a bc A bc A A +=+=+
∴（其中），故C 正确；22sin 2cos ()b c c b
A A A bc b c θ++==+=+≤tan 2θ=又∴当且仅当时取等号；22sin 2cos 2b c c b
A A bc b c ++==+≥，
b c =sin 2cos 2A A ∴+≥，
所以，即，即2cos 2sin A A ≥-22
4cos 44sin +sin A A A ≥-25sin 4sin 0
A A -≤所以
，又，所以，40sin 5A ≤≤sin 0A >4
0sin 5A <≤
，即最小值，故D 正确．
215sin sin 4bc bc a bc A A ==≥
54故选：BCD ．
【点睛】关键点点睛：本题对选项D 的判断，容易产生误解，在解答过程中应该使用基本不等式
得到进而求出
，是判断选项D 是否正确的关键.22sin 2cos 2b c c b
A A bc b c ++==+≥，
40sin 5A <≤三、填空题
13．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为，弧长为的扇形，则该圆锥的体积为22π__________________.
【分析】根据侧面展开图扇形弧长可求得底面半径，并利用勾股定理求得圆锥的高，代入圆锥体积公式即可求得结果.
【详解】设圆锥底面半径为，则，解得：，
r 2π2πr =1r =
圆锥的高，圆锥的体积
∴h ==∴2211ππ133V r h ==⨯=
.
14．在中，点F 为线段BC 上任一点（不含端点），若
，则
ABC ()
20,0AF xAB y AC x y =+>>
的最小值为____________.
12x y +
【答案】9
【分析】根据向量共线定理得推论得到，再利用基本不等式“1”的妙用求解最小值.21x y +=【详解】因为点F 为线段BC 上任一点（不含端点），所以，又，
21x y +=0,0x y >>
故，()12122221459y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当，即时等号成立.22y x x y =13x y ==
故答案为：9.15．已知集合（其中 为虚数单位）
，则满足条件的集合M 的个数为
{
}i i ,N n n M x x n -+
⊆=+∈∣i ___________.【答案】8
【分析】因为具有周期性，分别计算n 取1,2,3,4时x 的值，根据集合元素的个数，写出子集个数.
i n
【详解】周期为4，当时，；当时，；
i n
1n =1i i 0x -=+=2n =22i i 2x -=+=-当时，；当时，，所以集合
的子集个数为个.
3n =33i i 0x -=+=4n =44i i 2x -=+={}2,0,2-32=8故答案为：8个.
16．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A ，B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得，，，，则A 、B 35m CD =135ADB ∠=
15BDC DCA ∠=∠=
120ACB ∠=
两点的距离为___________m ．
【答案】【分析】根据已知的边和角，在中，由正弦定理解得，在中，由余弦定理得.
BCD △BD ABD △AB
【详解】因为，，所以，，所135ADB ∠= 15BDC DCA ∠=∠= 150ADC ∠= 15DAC DCA ∠=∠=
以，
35AD CD ==又因为，所以，，
120ACB ∠=
135BCD ∠= 30CBD ∠=
在中，由正弦定理得
，解得
BCD △sin BD BCD ∠sin CD CBD =
∠35
12
=BD =在中，由余弦定理得
，
ABD △22
2
2cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅⋅∠所以
，解得．
(
2
22
352
35AB ⎛=+-⨯⨯
⎝m AB =故答案为：
四、解答题
17．如图，在棱长为1的正方体中，截去三棱锥
，求：
1A A BD -(1)截去的三棱锥
的体积；
1A A BD -(2)剩余的几何体的表面积．
【答案】(1)1
6【分析】（1）利用棱锥的体积公式计算可得答案;（2）计算各个面的面积相加可得答案.【详解】（1）∵正方体
的棱长为1，
1111ABCD A B C D -三棱锥
的体积1A A BD -1111111
1113326--==⋅=⨯⨯⨯⨯= A A BD A ABD ABD V V S AA
（2）
1A BD 1123A BD S π== ∴
，11111
2===
CBD A D D A B B S S S ，
1
1111111
1
BCB C CDD C A B C D S S S ===
1
3312+⨯+⨯=
18．在平面直角坐标系中，已知向量，，
.m = ()sin ,cos n x x = 2,0x π⎛∈⎫ ⎪⎝⎭(1)若，求的值；
m n ⊥
tan x (2)若与的夹角为，求的值.
m n
3πx 【答案】(1)1
(2)512
π【分析】（1）依题意可得，根据数量积的坐标运算得到方程，再根据同角三角函数的基本0m n ⋅= 关系计算可得；
（2）首先求出
，
，依题意可得
，再利用两角差的正弦公式计算可得；
m
n
1cos 3
2
m n m n
π⋅==
⋅ 【详解】（1）解：因为，且，m =
(
)sin ,cos n x x = m n ⊥ 所以，即，所以；
m
n x x ⋅=
= sin cos x x =tan 1x =（2）解：因为
，，m = ()
sin ,cos n x x =
，
1=
1
=因为与的夹角为，所以，m n 3π1cos 32
m n m n π⋅==⋅ 12x x =所以，因为，所以，所以，所以；1sin 42x π⎛⎫-= ⎪⎝
⎭2,0x π⎛∈⎫ ⎪⎝⎭,444x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭46x ππ-=
512x π=19．已知中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，,
.
ABC 7a =()2cos 32cos c B a b C
=-
(1)求；
cos C (2)若，M 为的内心，求的面积.
2B C =ABC AMC 【答案】(1)2
3
(2)【分析】（1）已知等式利用正弦定理边化角，再利用两角和的正弦公式化简，可得；cos C （2）由和（1）中结论，解得，由结合正弦定理，求出，面积法求2B C =sin ,sin ,sin C B A 7a =,b c 出内切圆半径，可求的面积.AMC 【详解】（1）
，由正弦定理得，
()2cos 32cos c B a b C
=-2sin cos 3sin cos 2sin cos C B A C B C =-∴，得，.
2sin cos 2sin cos 3sin cos C B B C A C +=()2sin +3sin cos B C A C
=∴，2sin 3sin cos A A C =∵A 为三角形内角，，sin 0A ≠∴
.
2
cos 3C =
（2）由（1）可得
sin C =
∵，∴
，， 2B C =sin sin 22sin cos B C C C ===
21cos 12sin 9B C =-=-
∴
，
()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+=
，由正弦定理，
7a =sin sin sin a b c
A B C ==
解得，，
12b =9c =
则有
11sin 71222ABC S ab C =
=⨯⨯=
设内切圆半径为r ，则
，
ABC ()1
142ABC S r a b c r =
++== r =
∴1
122AMC S =⨯= 20．如图，一座山其高为，一辆汽车在一条水平的公路上沿直线从往匀速行驶，在
AD 100m B C 处测得山顶的仰角为，经过后汽车到达处，这时测得山顶的仰角为，且
B A 30
20s C A 45
.
90BAC ∠=
（1）求这辆汽车的速度；
（2）若汽车从往行驶5秒时到达处，求此时山顶与汽车的距离.B C E A AE
【答案】（1）；（2）/s AE =
【分析】（1）根据题意得，，进而由勾股定理得，进而得答200m AB =AC =BC =案；
（2）由题知，
中利用余弦定理求解即可得答案.
BE =cos ABC ∠=
ABE 【详解】解：（1）根据题意得，，平面，
100m,30,45AD ABD ACD =∠=∠=
AC AB ⊥AD ⊥BCD
所以在中，，在中，，Rt ABD 2200m AB AD ==Rt ACD AC ==
所以在中，
Rt ABC BC =
=
所以这辆汽车的速度为.
/20BC
s =
（2）汽车从往行驶5秒时到达处，此时，
B C E BE =
在中，
Rt ABC cos AB ABC BC ∠=
==所以在中，由余弦定理得，
ABE 222
2cos AE AB BE AB BE ABC =+-⋅∠
即
，故.
(2
22200220023750AE =+-⨯⨯=AE =
21．记的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知．
ABC cos sin 1sin 1cos A B
A B =
++
(1)求角C ；
(2)求的取值范围．
2ab bc ca
c ++【答案】(1)
π
2
C =
(2)⎛ ⎝
【分析】（1）利用倍角公式化简为，再弦化切得，再逆用和
cos
sin sin 222sin cos cos 222A A B A A B -=+1tan 2tan 2tan 12A
B A -=+角正切公式可得，进而可求解；
tan 1
2A B +⎛⎫
= ⎪⎝⎭（2）利用正弦定理边化角得，令，则
，sin cos cos sin A A A A ++sin cos t A A =+21
sin cos 22t A A =-
转化为求
取值范围，从而利用二次函数在区间的最值求法可得.()21
22t f t t =+-
【详解】（1）因为，
cos sin 1sin 1cos A B
A B =
++所以，
2
2222cos sin 2sin cos 2222sin cos 2sin cos 12cos 1
22222A A B B
A A A A
B -=
+++-，2
2cos sin cos sin 2sin cos
2222222cos
sin cos 222A A A A B B
B A A ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭因为
，
()
,0,πA B ∈所以
，π,0,222A B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以
，
sin
cos 0,cos 0222A B B
+≠≠上式整理得，即，
cos
sin sin 222sin cos cos 222A A B A A B -=+1tan 2tan 2tan 12A
B A -=+所以
，
tan
tan 1tan tan 2222A B A B +=-
所以.
tan
tan
22tan 121tan tan 22A B A B A B
++⎛⎫=
= ⎪⎝⎭-因为，所以
，πA B C +=-πtan 122C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭因为，
π0,22C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ0,222C ⎛⎫
-∈ ⎪⎝⎭所以，即，解得
.ππ224C -=π24C =π2C =
（2）因为
2
+ab bc ca c +2sin sin sin sin sin sin sin A B B C C A
C ++=sin sin sin sin A B B A
=++ππ=sin sin sin sin 22A A A A
⎛⎫⎛⎫
-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
sin cos cos sin A A A A =++所以令
，πsin cos 4t A A A ⎛
⎫=+=+ ⎪
⎝⎭因为
，所以π0,2A ⎛⎫
∈ ⎪
⎝⎭ππ3π,444A
⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭所以
，则.πsin 4A ⎤
⎛
⎫+∈⎥
⎪⎝⎭⎦(
t ∈则
，
()2
2sin cos 1
1sin cos 2
22A A t A A +-=
=-所以
，21
sin cos cos sin 22t A A A A t ++=+-
令，()21
22t f t t =+-
因为的对称轴为，且开口向上，()f
t 1t =-所以
在区间
上单调递增，
()
f t (
所以的取值范围为，()f t ⎛ ⎝
所以的取值范围为.2
+ab bc ca c +⎛ ⎝【点睛】关键点睛：
第二问中求的取值范围，利用与的关系，设
sin cos cos sin A A A A ++sin cos A A cos sin A A +，从而，最终问题转化为求
的取值范围.sin cos t A A =+21
sin cos 22t A A =-
()2122t f t t =+-22．在锐角中，设边所对的角分别为，且．
ABC ,,a b c ,,A B C 22
a b bc -=(1)求角的取值范围；
B (2)若，求中边上的高的取值范围．
4c =ABC
AB h 【答案】(1)；64ππ,B ⎛⎫∈ ⎪
⎝⎭(2)
.
)4【分析】（1）根据正余弦定理及三角恒等变换结合条件可得，然后根据三角形为锐角三角形2A B =进而即得；
（2）根据三角形面积公式及正弦定理可得，然后根据三角恒等变换及正
4sin 2sin sin sin 3B B
h a B B ==
切函数的性质结合条件即可求解.
【详解】（1）因为，
22
a b bc -=所以
，2222cos 222b c a c bc c b
A bc bc b +---===
所以，，又，
2cos c b b A -=sin sin 2sin cos C B B A -=()
πC A B =-+所以
，整理可得
，
()sin sin 2sin cos A B B B A
=+-()sin sin A B B
-=所以或(舍去)，A B B -=πA B B -+=所以，又为锐角三角形，
2A B =ABC 所以，π02π022π0π32B A B C B ⎧
<<⎪⎪
⎪
<=<
⎨⎪
⎪
<=-<⎪⎩所以
；64ππ,B ⎛⎫
∈ ⎪
⎝⎭（2）由题可知
，即，
11
sin 22S ch ac B =
=sin h a B =
又
，
()sin 2sin sin π3a b c
B B B ==
-所以
，
4sin 2sin 3B a B =
所以
，
4sin 2sin 4sin 2sin sin sin 3sin 2cos cos 2sin B B B B
h a B B B B B B
==
=
+248tan 811
3
3tan tan tan tan
2tan B
B
B B B
B =
=
=
-+
-由，可得
，64ππ
,B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭tan B ⎫∈⎪
⎪
⎭所以，
3
tan tan
B B ⎛-∈ ⎝所以
，
)4h ∈
即中边上的高的取值范围是
.
ABC AB h )4。