江苏省连云港市赣榆县海头高级中学高三数学理基础大题

高三理科数学基础大题训练六
1、设数列{a n }和{b n }满足a 1=b 1=6, a 2=b 2=4, a 3=b 3=3, 且数列{a n+1－a n }（n ∈N*）是等差数理，数列{b n －2}(n ∈N*)是等比数列. （Ⅰ）求数列{a n }和{b n }的通项公式； （Ⅱ）是否存在k ∈N*，使a k －b k ∈（0，2
1
）？若存在，求出k ；若不存在，说明理由.
2、已知函数f(x)=a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+……+a n x n (n ∈N *),且y= f(x)的图象经过点（1，n 2）,数列｛a n ｝(n ∈N *)为等差数列。

（1）求数列｛a n ｝通项公式； （2）当n 为奇数时，设g(x)=
21[ f(x)- f(-x)]，是否存在自然数m 和M ，使不等式m<g(2
1)<M 恒成立，若存在，求出M-m 的最小值；若不存在，说明理由.
3、已知22()2
x a
f x x -=
+在区间[1,1]-上是增函数． （1）求实数a 的值组成的集合A ；
（2）设关于x 的方程1
()f x x
=
的两个非零实根为12,x x ，试问：是否存在实数m ，使得不等式2121||m tm x x ++-≥对任意a A ∈及[1,1]t ∈-恒成立？若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由．
高三理科数学基础大题训练六
1、设数列{a n }和{b n }满足a 1=b 1=6, a 2=b 2=4, a 3=b 3=3, 且数列{a n+1－a n }（n ∈N*）是等差数理，数列{b n －2}(n ∈N*)是等比数列. （Ⅰ）求数列{a n }和{b n }的通项公式； （Ⅱ）是否存在k ∈N*，使a k －b k ∈（0，
2
1
）？若存在，求出k ；若不存在，说明理由. 解：（I ）由已知a 2－a 1=－2, a 3－a 2=－1, －1－(－2)=1 ∴a n+1－a n =(a 2－a 1)+(n －1)·1=n －3
n ≥2时，a n =( a n －a n －1)+( a n －1－a n －2)+…+( a 3－a 2)+( a 2－a 1)+ a 1 =(n －4)+(n －5) +…+(－1)+(－2)+6
=2
1872+-n n
n=1也合适. ∴a n =2
18
72+-n n (n ∈N*) ……………………3分
又b 1－2=4、b 2－2=2 .而
2142= ∴b n －2=（b 1－2）·(21)n －1即b n =2+8·(2
1)n …6分 ∴数列{a n }、{b n }的通项公式为：a n =2
18
72+-n n ，b n =2+(21)n －3
（II ）
设k k k k k k k b a k f )2
1
(887)27(21)21(872721)(22⋅-+-=⋅-+-=
-= 当k ≥4时87)27(212+-k 为k 的增函数，－8·(21)k 也为k 的增函数，而f (4)= 2
1
∴当k ≥4时a k －b k ≥2
1
………………10分
又f(1)=f(2)=f(3)=0 ∴不存在k ， 使f(k)∈（0，2
1）…………12分
2、已知函数f(x)=a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+……+a n x n (n ∈N *),且y= f(x)的图象经过点（1，n 2）,数列｛a n ｝(n ∈N *)为等差数列。

（1）求数列｛a n ｝通项公式； （2）当n 为奇数时，设g(x)=
21[ f(x)- f(-x)]，是否存在自然数m 和M ，使不等式m<g(2
1
)<M 恒成立，若存在，求出M-m 的最小值；若不存在，说明理由.
解：（1）据题意：f(1)=n 2 即a 0+a 1+a 2+a 3+……+a n = n 2
令n=1 则a 0+a 1=1，a 1=1–a 0
令n=2 则a 0+a 1+a 2=22，a 2=4–（a 0+a 1）=4–1=3 令n=3 则a 0+a 1+a 2+a 3=32，a 3=9–（a 0+a 1+a 2）=9–4=5
｛a n ｝为等差数列 ∴ d= a 3–a 2=5–3=2
a 1=3–2=1 a 0=0 a n =1+(n –1)·2=2n –1 ………………（6分） (2)由（1）f(x)= a 1x+a 2x 2+a 3x 3+……+a n x n
n 为奇数时，f(–x)=–a 1x 1+a 2x 2+a 3x 3+……+a n –1x n –1+a n x n ……………（7分） g(x)=2
1
[ f(x)–f(–x)]= a 1x 1+a 3x 3+a 5x 5+……+a n –2x n –2+a n x n
g （
2
1）=1·（
21）1+5·（21）3+……+（2n –5）（21）n--2+(2n-1) （2
1）n …（8分） 41g )21(=1·)21(3+5·)21(5+9·)21(7+……+（2n –5）（21）n +(2n-1) （2
1
）n+2
相减得43g )21(=1·
)21(+4[)21(3+)21(5+……+)21(n ]- (2n-1) （2
1
）n+2…（9分） ∴ g )21(=419–913·
（21）n -n 32（2
1
）n …（10分） 令C n =32n （21）n C n 1+-C n
=n 32（2
1
）n ·21n -≤0，n ∈N *
∴C n 1+≤C n , C n 随n 增大而减小
又
913·)21(n
随n 增大而减小 ∴ g )21(为n 的增函数，当n=1时，g )21(=21
而419–913·（21）n -n 32（21）n <419 ∴2
1≤ g )21(<419
∴使m< g )2
1
(<M 恒成立的自然数m 的最大值为0，M 最小值为2
M –m 的最小值为2
3、已知22()2
x a
f x x -=
+在区间[1,1]-上是增函数． （1）求实数a 的值组成的集合A ；
（2）设关于x 的方程1
()f x x
=
的两个非零实根为12,x x ，试问：是否存在实数m ，使得不等式2121||m tm x x ++-≥对任意a A ∈及[1,1]t ∈-恒成立？若存在，求m 的取值
范围；若不存在，请说明理由．
解：（1）222
224
()(2)x ax f x x -++'=+，
因为()f x 在区间[1,1]-上是增函数，所以()0f x '≥在区间[1,1]-上恒成立， 即220x ax --≤在11x -≤≤时恒成立． 令2()2g x x ax =--，则(1)0g ≤且(1)0g -≤， 所以11a -≤≤；
（
2
）
由
221
()2x a f x x x
-=
=+可得，220x ax --=，所以
12||x x -
由（1）可知，11a -≤≤，所以12||3x x -=， 由题意可知：213m tm ++≥对[1,1]t ∈-恒成立， 即当11t -≤≤时220m tm +-≥恒成立，
方法一：令2()2h t mt m =+-，则(1)0h -≥且(1)0h ≥，
即2
2
20,
20m m m m ⎧-+-⎪⎨+-⎪⎩
≥≥，解得2m -≤或2m ≥． 方法二：当0m =时，2220m tm +-=-≥显然不成立；
当0m >时，2t m m -+≥恒成立，所以2
1m m -+-≤，解得2m ≥； 当0m <时，2t m m -+
≤恒成立，所以2
1m m
-+≥，解得2m -≤； 所以，2m -≤或2m ≥．。