高考数学压轴专题最新备战高考《推理与证明》全集汇编含答案

新数学《推理与证明》复习知识点
一、选择题
1．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：
====
=“穿墙术”，则n=（）
A．35B．48C．63D．80
【答案】C
【解析】
【分析】
通过观察四个等式，发现存在相同性质，从而得出78763
n=⨯+=即可.
【详解】
因为====
==，==
所以===63
n=.
故选：C.
【点睛】
归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．
2．设a，b，c都大于0，则三个数
1
a
b
+，
1
b
c
+，
1
c
a
+的值（）
A．至少有一个不小于2 B．至少有一个不大于2 C．至多有一个不小于2 D．至多有一个不大于2
【答案】A
【解析】
【分析】
根据基本不等式，利用反证法思想，即可得出答案
【详解】
因为a，b，c都大于0
111111
6
a b c a b c
b c a a b c
+++++=+++++≥
当且仅当1a b c ===时取得最小值
若12a b +<，12b c
+<，12c a +<
则111
6a b c b c a
+++++<，与前面矛盾
所以三个数1a b +，1b c +，1
c a
+的值至少有一个不小于2 故选：A 【点睛】
本题是一道关于基本不等式应用的题目，掌握基本不等式是解题的关键.
3．已知数列{}n a 满足1
32n n a -=⨯，*n N ∈，现将该数列按下图规律排成蛇形数阵（第i
行有i 个数，*i N ∈），从左至右第i 行第j 个数记为(),i j a （*
,i j N ∈且j i ≤），则
()21,20a =（ ）
A ．20932⨯
B ．21032⨯
C ．21132⨯
D ．21232⨯
【答案】C 【解析】 【分析】
由题可观察得到第i 行有i 个数,当i 为奇数时,该行由右至左i 逐渐增大,()21,20a 表示第21行第20个数,即为第21行倒数第2个数,则先求得前20行的数的个数,再加2即为()21,20a 对应的数列的项,即可求解. 【详解】
由题可知,第i 行有i 个数,
当i 为奇数时,该行由右至左i 逐渐增大,
()21,20a 表示第21行第20个数,即为第21行倒数第2个数,
则前20行共有
()1+2020=2102
⨯个数,即第21行倒数第1个数为211a
,
所以()211
21221,2032a a ==⨯,
故选:C 【点睛】
本题考查合情推理,考查归纳总结能力,考查等差数列求和公式的应用.
4．数学家托勒密从公元127年到151年在亚历山大城从事天文观测，在编制三角函数表过程中发现了很多重要的定理和结论，如图便是托勒密推导倍角公式“2212cos a sin a =-”所用的几何图形，已知点,B C 在以线段AC 为直径的圆上，D 为弧BC 的中点，点E 在线段AC 上且,AE AB =点F 为EC 的中点.设2,AC r =,DAC a ∠=那么下列结论:
2,DC rcosa =① 22,AB rcos a =②
()12,FC r cos a =-③ ()22DC r r AB =-④.
其中正确的是（ ） A ．②③ B ．②④
C ．①③④
D ．②③④
【答案】D 【解析】 【分析】
在Rt ADC ∆中，可判断①，Rt ABC ∆中，可判断②，利用ADB ∆与ADE ∆全等及
ADC ∆与DFC ∆相似即可判断③④. 【详解】
在Rt ADC ∆中，
2sin ,DC r a =故①不正确； 因为 ,BD DC =所以2,BAC a ∠=在Rt ABC ∆中，2cos2AB r a =，故②正确； 因为AE AB BD DC ==，，易知ADB ∆与ADE ∆全等，故
DE BD DC DF EC ==⊥，，所以()1cos22
AB
FC r r a =-
=-， 又
C
C AC
D FC D =，所以()2
2DC AC FC r r AB =⋅=-，故③④正确， 由2sin 2cos2DC r a AB r a ==,，()2
2DC r r AB =-，可得
()
()2
2sin 22cos2r a r r r a =-，即22sin 1cos2a a =-.
故选：D. 【点睛】
本题考查推理与证明，考查学生在圆中利用三角形边长证明倍角公式的背景下，判断所需的边长是否正确，是一道中档题.
5．观察下列各式：2749=，37343=，472401=，…，则10097的末两位数字为（ ） A ．49 B ．43
C ．07
D ．01
【答案】C 【解析】 【分析】
先观察前5个式子的末两位数的特点，寻找规律，结合周期性进行判断即可. 【详解】
观察2749=，37343=，472401=，572401716807=⨯=，
67168077117649=⨯=，…，可知末两位每4个式子一个循环，2749=到10097一共有
1008个式子，且10084252÷=，则10097的末两位数字与57的末两位数字相同，为07. 故选：C. 【点睛】
本题主要考查归纳推理的应用，根据条件寻找周期性是解决本题的关键.
6．已知数组1()1，12(,)21，123()321，，，…，121(,
,,,)121n n
n n --L ，…，记该数组为
1()a ，23(,)a a ，456(,,)a a a ，…，则200a =( )
A ．
911
B ．
1011
C ．11
12
D ．
910
【答案】B 【解析】 【分析】
设a 200在第n 组中，则
()()112002
2
n n n n -+≤＜（n ∈N *），
由等差数列求和得：a 200在第20组中，前19组的数的个数之和为：1920
2
⨯=190， 再进行简单的合情推理得：a 2001010
2010111
==-+，得解．
【详解】
由题意有，第n 组中有数n 个，且分子由小到大且为1，2，3…n ，设a 200在第n 组中，则
()()112002
2
n n n n -+≤＜（n ∈N *），
解得：n ＝20，
即a 200在第20组中，前19组的数的个数之和为：1920
2
⨯=190， 即a 200在第20组的第10个数，即为
1010
2010111
=-+，
a 2001011=
， 故选B ． 【点睛】
本题考查了阅读理解及等差数列求和与进行简单的合情推理能力，属中档题．
7．对于实数a ，b ，已知下列条件：①2a b +=；②2a b +>；③2a b +>-；④1ab >；⑤log 0a b <．其中能推出“a ，b 中至少有一个大于1”的条件为（ ） A ．②③④ B ．②③④⑤ C ．①②③⑤ D ．②⑤
【答案】D 【解析】 【分析】
根据条件分别利用特殊值以及反证法进行判断即可． 【详解】
①当a ＝b ＝1时，满足a +b ＝2，但此时推不出结论，
②若a ≤1，b ≤1，则a +b ≤2，与a +b ＞2，矛盾，即a +b ＞2，可以推出，
③当a 12=
，b 1
2
=时，满足条件a +b ＞﹣2，则不可以推出， ④若a ＝﹣2，b ＝﹣1．满足ab ＞1，但不能推出结论，
⑤由log a b ＜0得log a b ＜log a 1，若a ＞1，则0＜b ＜1，若0＜a ＜1，则b ＞1，可以推出结论．
故可能推出的有②⑤， 故选：D ． 【点睛】
本题主要考查合情推理的应用，利用特殊值法以及反证法是解决本题的关键．比较基础．
8．学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为A 、B 、C 、D 、E 五个等级．某班共有36名学生且全部选考物理、化学两科，这两科的学业水平测试成绩如图所示．该班学生中，这两科等级均为A 的学生有5人，这两科中仅有一科等级为A 的学生，其另外一科等级为B ，则该班（ ）
A ．物理化学等级都是
B 的学生至多有12人 B ．物理化学等级都是B 的学生至少有5人
C ．这两科只有一科等级为B 且最高等级为B 的学生至多有18人
D ．这两科只有一科等级为B 且最高等级为B 的学生至少有1人 【答案】D 【解析】 【分析】
根据题意分别计算出物理等级为A ，化学等级为B 的学生人数以及物理等级为B ，化学等级为A 的学生人数，结合表格中的数据进行分析，可得出合适的选项. 【详解】
根据题意可知，36名学生减去5名全A 和一科为A 另一科为B 的学生105858-+-=人（其中物理A 化学B 的有5人，物理B 化学A 的有3人）， 表格变为：
A B
C
D E
物理 10550--= 16313-= 9
1
0 化学
8530--=
19514-=
7
2
对于A 选项，物理化学等级都是B 的学生至多有13人，A 选项错误；
对于B 选项，当物理C 和D ，化学都是B 时，或化学C 和D ，物理都是B 时，物理、化学都是B 的人数最少，至少为13724--=（人），B 选项错误；
对于C 选项，在表格中，除去物理化学都是B 的学生，剩下的都是一科为B 且最高等级为
B 的学生，
因为都是B 的学生最少4人，所以一科为B 且最高等级为B 的学生最多为
1391419++-=（人）， C 选项错误；
对于D 选项，物理化学都是B 的最多13人，所以两科只有一科等级为B 且最高等级为B 的学生最少14131-=（人），D 选项正确. 故选：D.
【点睛】
本题考查合情推理，考查推理能力，属于中等题.
9．平面内的一条直线将平面分成2部分,两条相交直线将平面分成4部分,三条两两相交且不共点的直线将平面分成7部分,…则平面内的六条两两相交且任意三条不共点的直线将平面分成的部分数为( )
A．20B．21C．22D．23
【答案】C
【解析】
【分析】
一条直线可以把平面分成两部分,两条直线最多可以把平面分成4部分,三条直线最多可以把平面分成7部分,四条直线最多可以把平面分成11部分,可以发现,两条直线时多了2部分,三条直线比原来多了3部分,四条直线时比原来多了4部分,即可求得答案.
【详解】
f n个部分,
设画n条直线,最多可将面分成()
Q;
==+=
n f
1,(1)112
==+=;
2,(2)(1)24
n f f
n f f
==+=;,
3,(3)(2)37
==+=; ,
n f f
4,(4)(3)411
==+=;
n f f
5,(5)(4)516
==+=.
n f f
6,(6)(5)622
故选:C.
【点睛】
本题解题关键是掌握根据题意能写出函数递推关系,在求解中寻找规律,考查了分析能力和推理能力,属于中档题.
10．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是( )
A．乙 B．甲 C．丁 D．丙
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意，这个问题的关键是四人中有两人说真话，另外两人说了假话，通过这一突破口，进行分析，推理即可得到结论.
【详解】
在甲、乙、丙、丁四人的供词中，可以得出乙、丁两人的观点是一致的，因此乙丁两人的
供词应该是同真同假（即都是真话或都是假话，不会出现一真一假的情况）；
假设乙、丁两人所得都是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说真话可推出丙是犯罪的结论；
由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是犯罪的结论；显然这两人是相互矛盾的；所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，
由甲、丙的供词可以断定乙是犯罪的，乙、丙、丁中有一人是犯罪的，
由丁说假话，丙说真话推出乙是犯罪的，综上可得乙是犯罪的，故选A.
【点睛】
本题主要考查了推理问题的实际应用，其中解答中结合题意，进行分析，找出解决问题的突破口，然后进行推理是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.
11．某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理在A层班级，生物在B层班级.该校周一上午选科走班的课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有（）
A．8种B．10种C．12种D．14种
【答案】B
【解析】
【分析】
根据表格,利用分类讨论思想进行逻辑推理一一列举即可.
【详解】
张毅同学不同的选课方法如下:
()1物理A层1班，生物B层3班,政治3班;
()2物理A层1班,生物B层3班,政治2班;
()3物理A层1班,生物B层2班,政治3班;
()4物理A层3班,生物B层2班,政治3班;
()5物理A 层3班,生物B 层2班,政治1班; ()6物理A 层2班,生物B 层3班,政治1班; ()7物理A 层2班,生物B 层3班,政治3班; ()8物理A 层4班,生物B 层3班,政治2班; ()9物理A 层4班,生物B 层3班,政治1班; ()10物理A 层4班,生物B 层2班,政治1班;
共10种. 故选:B 【点睛】
本题以实际生活为背景,考查学生的逻辑推理能力和分类讨论的思想;属于中档题.
12．某学校为响应国家强化德智体美劳教育的号召，积极实施国家课程校本化.每个学生除学习文化课程外，还可以根据自己的兴趣爱好来选修一门校本课程作为自己的特长课程来学习.该校学生小刚选完课后，本班的其他三位同学根据小刚的兴趣爱好对小刚的选课做出了自己的判断：甲说：小刚选的不是书法，选的是篮球；乙说：小刚选的不是篮球，选的是排球；丙说：小刚选的不是篮球，选的也不是国画.已知三人中有一个人说的全对，有一人说对了一半，另一个人说的全不对，由此推断小刚的选择的（ ） A ．可能是国画 B ．可能是书法
C ．可能是排球
D ．一定是篮球
【答案】B 【解析】 【分析】
依次假定小刚的选择，逐一验证得到答案. 【详解】
若小刚选择的是国画，则甲对一半，乙对一半，丙对一半，不满足，排除； 若小刚选择的是书法，则甲全不对，乙对一半，丙全对，满足； 若小刚选择的是排球，则甲对一半，乙全对，丙全对，不满足，排除； 若小刚选择的是篮球，则甲全对，乙全不对，丙对一半，满足； 故小刚可能选择的是书法和篮球. 故选：B . 【点睛】
本题考查了推理分析，意在考查学生的逻辑推理能力.
13．已知()()2739n
f n n =+⋅+,存在自然数m ,使得对任意*n N ∈,都能使m 整除()f n ,
则最大的m 的值为( ) A ．30 B ．9
C ．36
D ．6
【答案】C 【解析】
【分析】
依题意，可求得(1)f 、(2)f 、(3)f 、(4)f 的值，从而可猜得最大的m 的值为36，再利用数学归纳法证明即可. 【详解】
由()(27)39n
f n n =+⋅+，得(1)36f =，
(2)336f =⨯，(3)1036f =⨯， (4)3436f =⨯，由此猜想36m =.
下面用数学归纳法证明： (1)当1n =时，显然成立。

(2)假设n k =时，()f k 能被36整除，即
()(27)39k f k k =+⋅+能被36整除；
当1n k =+时,
1[2(1)7]39k k +++⋅+
1
3(27)391823k k k +⎡⎤=+⋅+-+⨯⎣⎦ ()
1
3(27)391831k k k -⎡⎤=+⋅++-⎣⎦
131k --Q 是2的倍数，
()
11831k -∴-能被36整除，
∴当1n k =+时，()f n 也能被36整除.由（1）（2）可知对一切正整数n 都有
()(27)39n f n n =+⋅+能被36整除， m 的最大值为36.
故选：C. 【点睛】
本题主要考查的是数学归纳法的应用，解题的关键是熟练掌握数学归纳法解题的一般步骤，考查的是推理计算能力，是中档题.
14．对大于1的自然数 m 的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”：
33313
7
3152{3{94{517
11
19
L ，，,仿此，若3m 的“分裂数”中有一个是73，则m 的值为（ ） A ．8 B ．9
C ．10
D ．11
【答案】B 【解析】
由题意可得3m 的“分裂数”为m 个连续奇数，设3m 的“分裂数”中第一个数为m a ，则由题意可得：3273422a a -=-==⨯，43137623a a -=-==⨯，…，
12(1)m m a a m --=-，将以上2m -个式子叠加可得
2(422)(2)(1)(2)2
m m m a a m m +---==+- ∴22(1)(2)1m a m m a m m =+-+=-+
∴当9m =时，73m a =，即73是39的“分裂数”中第一个数
故选B
15．为了调节高三学生学习压力，某校高三年级举行了拔河比赛，在赛前三位老师对前三名进行了预测，于是有了以下对话：老师甲：“7班男生比较壮，7班肯定得第一名”．老师乙：“我觉得14班比15班强，14班名次会比15班靠前”．老师丙：“我觉得7班能赢15班”．最后老师丁去观看完了比赛，回来后说：“确实是这三个班得了前三名，且无并列，但是你们三人中只有一人预测准确”．那么，获得一、二、三名的班级依次为( ) A ．7班、14班、15班
B ．14班、7班、15班
C ．14班、15班、7班
D ．15班、14班、7班
【答案】C
【解析】
【分析】
分别假设甲、乙、丙预测准确，分析三个人的预测结果，由此能求出一、二、三名的班级．
【详解】
假设甲预测准确，则乙和丙都预测错误， 14∴班名次比15班靠后，7班没能赢15班，故甲预测错误；
假设乙预测准确，则甲和乙都预测错误，
7∴班不是第一名，14班名次比15班靠前，7班没能赢15班，
则获得一、二、三名的班级依次为14班，15班，7班；
假设丙预测准确，则甲和乙都预测错误，
7∴班不是第一名，14班名次比15班靠后，7班能赢15班，不合题意．
综上，得一、二、三名的班级依次为14班，15班，7班．
故选：C ．
【点睛】
本题考查获得一、二、三名的班级的判断，考查合情推理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16．已知甲、乙、丙、丁四人各自去过阿勒泰、伊宁、喀什、库尔勒中的某一城市，且每个城市只有一人去过，四人分别给出了以下说法：
甲说：我去过阿勒泰；
乙说：丙去过阿勒泰；
丙说：乙、丁均未去过阿勒泰；
丁说：我和甲中有一人去过阿勒泰．
若这四人中有且只有两人说的话是对的，则去过阿勒泰的是（ ）
A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
【答案】C
【解析】
【分析】
先假设一人说真话，推出正确，即可，推出矛盾，则说的假话．
【详解】
解：如果甲说的是真话，则甲，丙，丁说的是真话，则矛盾，甲未去过；
如果乙说的是真话，则甲，丁说谎，丙说的真话，符合题意，丙去过．
故选：C ．
【点睛】
本题考查演绎推理的简单应用，难度一般.解答此类问题的关键是先进行假设，然后再逐个分析.
17．三角形的三个顶点的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，33(,)x y ，则该三角形的重心（三边中线交点）的坐标为123123,33x x x y y y ++++⎛⎫ ⎪⎝⎭
.类比这个结论，连接四面体的一个顶点及其对面三角形重心的线段称为四面体的中线，四面体的四条中线交于一点，该点称为四面体的重心.若四面体的四个顶点的空间坐标分别为111(,,)x y z ，222(,,)x y z ，333(,,)x y z ，444(,,)x y z ，则该四面体的重心的坐标为（ ）
A ．()123412341234,,x x x x y y y y z z z z +++++++++
B ．123412341234,,222x x x x y y y y z z z z +++++++++⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．123413341234,,333x x x x y y y y z z z z +++++++++⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．123412341234,,444x x x x y y y y z z z z +++++++++⎛⎫ ⎪⎝⎭
【答案】D
【解析】
【分析】
首先根据题意，三角形的重心的坐标是三个顶点坐标的算术平均数，从平面扩展到空间，从三角形扩展到四面体，得到四面体的重心的坐标是四个顶点的算术平均数，从而得到答案.
【详解】
根据题意，三角形重心的坐标是三个顶点的坐标的算术平均数，
从平面扩展到空间，从三角形推广到四面体，
就是四面体重心的坐标是四个顶点的算术平均数，
故选D.
【点睛】
该题考查的是类比推理，由平面图形的性质类比猜想得出空间几何体的性质，一般思路是：点到线，线到面，或是二维到三维，属于简单题目.
18．下列表述正确的是（ ）
①归纳推理是由特殊到一般的推理；②演绎推理是由一般到特殊的推理；
③类比推理是由特殊到一般的推理；④分析法是一种间接证明法；
A ．②④
B ．①③
C ．①④
D ．①②
【答案】D
【解析】分析：根据题意，结合合情推理、演绎推理的定义，依次分析4个命题，综合即可得答案.
详解：根据题意，依次分析4个命题：
对于①，归纳推理是由特殊到一般的推理，符合归纳推理的定义，所以正确； 对于②，演绎推理是由一般到特殊的推理，符合演绎推理的定义，所以正确； 对于③，类比推理是由特殊到特殊的推理，所以错误；
对于④，分析法、综合法是常见的直接证明法，所以错误；
则正确的是①②，故选D.
点睛：该题考查的是有关推理的问题，对归纳推理、演绎推理和类比推理的定义要明确，以及清楚哪些方法是直接证明方法，哪些方法是间接证明方法，就可以得结果.
19．设x 、y 、0z >，1a x y =+，1b y z =+，1c z x =+，则a 、b 、c 三数（ ） A ．都小于2
B ．至少有一个不大于2
C ．都大于2
D ．至少有一个不小于2
【答案】D
【解析】
【分析】
利用基本不等式计算出6a b c ++≥，于此可得出结论.
【详解】
由基本不等式得
111111a b c x y z x y z y z x x y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++++=+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎝
⎭6≥=， 当且仅当1x y z ===时，等号成立，因此，若a 、b 、c 三数都小于2，则6a b c ++<与6a b c ++≥矛盾，即a 、b 、c 三数至少有一个不小于2，
故选D.
【点睛】
本题考查了基本不等式的应用，考查反证法的基本概念，解题的关键就是利用基本不等式求最值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
20．设函数()()02x f x x x =>+，观察下列各式：()()12
x f x f x x ==+，()()()2134x f x f f x x ==+，()()()3278x f x f f x x ==+，()()()431516
x f x f f x x ==+，…，()()()1n n f x f f x -=，…，根据以上规律，若1122018
n f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则整数n 的最大值为( ) A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
【答案】C
【解析】 分析：由已知所给的前几函数的特点：分子都是x ，分母是关于x 的一次式，其常数项为2n ，一次项的系数比常数项小1，据此即可得出答案．
详解：观察：()()12x f x f x x ==+，()()()2134
x f x f f x x ==+，()()()3278x f x f f x x ==+，()()()431516
x f x f f x x ==+，…，()()()1n n f x f f x -=，…可知：分子都是x ，分母是关于x 的一次式，其常数项为2n ，一
次项的系数比常数项小1，故f n （x ）=(21)2n n
x x -+，所以11
1112()(21)2212201822
n n n n n
f +==>--++，即12122018n n +-+<20192673103
n n ⇒<=⇒<，故n 的最大值为9，选C. 点睛：善于分析、猜想、归纳所给的式子的规律特点是解题的关键．然后再结合函数的最值分析思维即可解决问题.。