2020版高考数学(文)江苏专用新精准大一轮复习：第五章1第1讲数列的概念与简单表示法含解析

1．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为________． 解析：a 8＝S 8－S 7＝64－49＝15. 答案：15 2．数列
53，108，17
a ＋b
，a －b 24，…中，有序实数对(a ，b )可以是________． 解析：法一：由数列中的项可观察规律，得 5－3＝10－8＝17－(a ＋b )＝(a －b )－24＝2，
则⎩
⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝15，
a －
b ＝26，解得⎩⎨⎧
a ＝412
，
b ＝－112.
法二：由数列中各项分母可观察规律为4－1，9－1，16－1，25－1，…， 分子规律为4＋1，9＋1，16＋1，25＋1，…，
所以⎩
⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝15，a －b ＝26，解得
⎩⎨⎧
a ＝412
，
b ＝－112.
答案：⎝⎛⎭⎫412
，－112 3．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝1
2(n ∈N *)，a 2＝2，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21＝________.
解析：因为a n ＋a n ＋1＝1
2，a 2＝2，
所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－32，n 为奇数，
2， n 为偶数.
所以S 21＝11×⎝⎛⎭⎫－32＋10×2＝7
2. 答案：7
2
4．(2019·江苏省模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝⎩
⎪⎨⎪⎧2a n ，n 为正奇数，
a n ＋1，n 为正偶数，则其前6项之和为
________．
解析：a 2＝2a 1＝2，a 3＝a 2＋1＝3，a 4＝2a 3＝6，a 5＝a 4＋1＝7，a 6＝2a 5＝14，所以前6项和S 6
＝1＋2＋3＋6＋7＋14＝33.
答案：33
5．已知数列{a n }满足a st ＝a s a t (s ，t ∈N *)，且a 2＝2，则a 8＝________． 解析：令s ＝t ＝2，则a 4＝a 2×a 2＝4，令s ＝2，t ＝4，则a 8＝a 2×a 4＝8. 答案：8
6．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，且a n ＝a n －1
a n －2
(n ≥3)，则a 2 016＝________．
解析：将a 1＝1，a 2＝2代入a n ＝a n －1a n －2
得a 3＝a 2a 1＝2，同理可得a 4＝1，a 5＝12，a 6＝1
2，a 7＝1，a 8
＝2，故数列{a n }是周期数列，周期为6，故a 2 016＝a 336×6＝a 6＝1
2
.
答案：12
7．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足log 2(S n ＋1)＝n ＋1，则其通项公式为________． 解析：由已知条件可得S n ＋1＝2n ＋
1.
则S n ＝2n ＋
1－1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋
1－1－2n ＋1＝2n ，
n ＝1时不适合a n ，故a n ＝⎩⎪⎨⎪
⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2.
答案：a n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，
2n ，n ≥2
8．(2019·江苏省名校高三入学摸底卷)已知数列{a n }满足a n ＋2＝a n ＋1＋a n (n ∈N *)，a n ＋1>a n ，a n
∈N *，数列{b n }是公比为2的等比数列，b n ∈N *，若a 10＝b 10<2 018，则a 1＋b 1的值是________．
解析：因为数列{b n }是公比为2的等比数列，所以b n ＝b 1·2n －
1.因为b 10＝29b 1<2 018，且b 1∈
N *，所以b 1∈{1，2，3}．由a n ＋2＝a n ＋1＋a n 得a 10＝a 9＋a 8＝2a 8＋a 7＝3a 7＋2a 6＝…＝34a 2＋21a 1.若b 1＝1，则a 10＝b 10＝29＝512，从而34a 2＋21a 1＝512，a 1＝512－34a 221＝24－2a 2＋8（1＋a 2）
21，
因为a n ∈N *，所以1＋a 2＝21k (k ∈N *)，所以a 1＝24－2(21k －1)＋8k ＝26－34k <0，不合题意，所以b 1≠1；若b 1＝2，则a 10＝b 10＝210＝1 024，从而34a 2＋21a 1＝1 024，a 1＝1 024－34a 2
21＝48－2a 2＋
16＋8a 2
21，分析可取a 2＝19，得a 1＝18，符合题意；若b 1＝3，则a 10＝b 10＝3×29＝1 536，从而34a 2
＋21a 1＝1 536，a 1＝1 536－34a 221＝73－2a 2＋3＋8a 2
21
，分析可取a 2＝39，得a 1＝10，符合题意．综
上所述，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝10，b 1＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝18，
b 1＝2，
故a 1＋b 1＝13或20. 答案：13或20
9．(2019·南京四校第一学期联考)已知数列{a n }满足a 1＝43，a n ＋1－1＝a n (a n －1)(n ∈N *)，且S n
＝1a 1＋1a 2＋…＋1
a n
，则S n 的整数部分的所有可能值构成的集合的真子集个数为________． 解析：因为数列{a n }满足a 1＝4
3，a n ＋1－1＝a n (a n －1)(n ∈N *)，所以a n ＋1－a n ＝(a n －1)2＞0，a n ＋1
＞a n ，因此数列{a n }单调递增．由a 1＝43，a n ＋1－1＝a n (a n －1)，得a 2－1＝43×⎝⎛⎭⎫43－1，a 2＝13
9
，同理
a 3＝13381，a 4＝13 4776 561，1a 3－1＝8152＞1，1a 4－1＝6 5616 916＜1，所以当n ≥4时，0＜1a n －1＜1.另一方面由
a n ＋1－1＝a n (a n －1)，
得1a n ＝1a n －1－1a n ＋1－1，所以S n ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝⎝⎛⎭⎫1a 1－1－1a 2－1＋⎝⎛⎭⎫1a 2－1－1a 3
－1＋…＋⎝⎛⎭⎫1a n －1－1a n ＋1－1＝3－1a n ＋1－1
.当n ＝1时，S 1＝1a 1＝34，其整数部分为0；当n ＝2时，S 2
＝34＋913＝1
＋
2352，其整数部分为1；当n ≥3时，S n ＝3－1
a n ＋1－1
∈(2，3)，其整数部分为2.综上，S n 的整数部分的所有可能值构成的集合为{0，1，2}，其真子集的个数为23－1＝7.
答案：7
10．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋2n ，数列{b n }的前n 项和T n ＝2－b n .求数列{a n }与{b n }的通项公式．
解：因为当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2＋2n )－[2(n －1)2＋2(n －1)]＝4n ， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝4也适合， 所以{a n }的通项公式是a n ＝4n (n ∈N *)．
因为T n ＝2－b n ，所以当n ＝1时，b 1＝2－b 1，b 1＝1. 当n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝(2－b n )－(2－b n －1)， 所以2b n ＝b n －1.
所以数列{b n }是首项为1，公比为1
2的等比数列．
所以b n ＝⎝⎛⎭
⎫
12n －1
.
11．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋4.若对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n ，求实数k 的取值范围．
解：由a n ＋1>a n 知该数列是一个递增数列，又因为通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4，可以看作是关于n 的二次函数，考虑到n ∈N *，所以－k 2<3
2
，即得k >－3.
所以实数k 的取值范围为(－3，＋∞)．。