2017_2018学年高中数学第二章随机变量及其分布2.2.3独立重复试验与二项分布学案含解析新人教

2．2.3独立重复试验与二项分布
独立重复试验
要研究抛掷硬币的规律，需做大量的掷硬币试验．
问题1：每次试验的前提是什么？
提示：条件相同．
问题2：试验结果有哪些？
提示：正面向上或反面向上，即事件发生或者不发生．
问题3：各次试验的结果有无影响？
提示：无，即各次试验相互独立．
独立重复试验
在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．
对独立重复试验概念的理解
(1)每次试验都是在相同的条件下进行；
(2)每次试验的结果相互独立；
(3)每次试验都只有两种结果(即某事件要么发生，要么不发生)，并且在任何一次试验中事件发生的概率均相等；
(4)独立重复试验是相互独立事件的特例.
二项分布
在体育课上，某同学做投篮训练，他连续投篮3次，每次投篮的命中率都是0.8.用A i(i＝1,2,3)表示第i次投篮命中这件事，用B1表示仅投中1次这件事．
问题1：试用A i表示B1.
提示：B 1＝(A1A2A3)∪(A1A2A3)∪(A1 A2A3)．
问题2：试求P(B1)．
提示：因为P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝0.8，
且A1A2A3，A1A2A3，A1A2A3两两互斥，
故P(B1)＝P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)
＝0.8×0.22＋0.8×0.22＋0.8×0.22
1
＝3×0.8×0.22.
问题3：用B k表示投中k次这件事，试求P(B2)和P(B3)．
提示：P(B2)＝3×0.2×0.82，P(B3)＝0.83.
问题4：由以上结果你能得出什么结论？
提示：P(B k)＝C k30.8k0.23－k，k＝0,1,2,3.
二项分布
在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)．此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．
二项分布的理解
(1)若X～B(n，p)，则X必须是n次独立重复试验中事件A发生的次数，且p为成功概率(即事件A发生的概率)．
(2)由于P(X＝k)恰好是n的展开式中的第k＋1项，与二项式定理有关，所以称随机变量X 的概率分布为二项分布．
求有关二项分布的概率
某安全监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检)，若安检不合格，则必须整改．设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率都是0.5.计算：
(1)恰有两家煤矿必须整改的概率；
(2)至少有两家煤矿必须整改的概率．
设需整改的煤矿有X家，则X～B(5，0.5)．
(1)恰好有两家煤矿必须整改的概率为
5
P(X＝2)＝C25×(1－0.5)2×0.53＝.
16
(2)“至少有两家煤矿必须整改”的对立事件为“5家都不用整改或只有一家必须整改”，
其概率为
3
P(X＝0)＋P(X＝1)＝C05×(1－0.5)0×0.55＋C15×(1－0.5)1×0.54＝，所以至少有两家煤
16
2
3 13
矿必须整改的概率为1－P(X＝0)－P(X＝1)＝1－＝.
16 16
1．二项分布的简单应用是求n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率．解题的一
般思路是：根据题意设出随机变量→分析出随机变量服从二项分布→找到参数n，p→写出二
项分布的分布列→将k值代入求解概率．
2．二项分布求解随机变量涉及“至少”“至多”问题的取值概率，其实质是求在某一取
值范围内的概率，一般转化为几个互斥事件发生的概率的和，或者利用对立事件求概率．
1 2
甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为，求：
2 3
(1)甲恰好击中目标2次的概率；
(2)乙至少击中目标2次的概率；
(3)乙恰好比甲多击中目标2次的概率．
解：(1)甲恰好击中目标2次的概率为
1 1 3
C23(2 )2·＝.
2 8
(2)乙至少击中目标2次的概率为
2 1 2 20
C23(3 )2·＋C3(3 )3＝.
3 27
(3)设乙恰好比甲多击中目标2次为事件A，乙恰好击中目标2次且甲恰好击中目标0次为事件B1，乙恰好击中目标3次且甲恰好击中目标1次为事件B2，则A＝B1∪B2，B1，B2为互斥事件．
2 1 1 2 1 1 1 1 1
P(A)＝P(B1)＋P(B2)＝C23(2··C3＋C 3·C·2＝＋＝.
3 )0 2 ) 2 (2 )
3(3 )13
3 18 9 6
求二项分布的分布列
(湖南高考节选)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次
抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1 个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有
红球，则不获奖．
(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；
(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布
列．
3
(1)记事件 A 1＝{从甲箱中摸出的 1个球是红球}，A 2＝{从乙箱中摸出的 1个球是红球}，
B 1＝{顾客抽奖 1次获一等奖}，B 2＝{顾客抽奖 1次获二等奖}，
C ＝{顾客抽奖 1次能获奖}．
－ － － － 由题意知 A 1与 A 2相互独立，A 1 A 2与 A 1A 2互斥，B 1与 B 2互斥，且 B 1＝A 1A 2，B 2＝A 1 A 2＋ A
1A 2，C ＝B 1＋B 2.
4 2
5 1 因为 P (A 1)＝ ＝ ，P (A 2)＝ ＝ ，
10 5 10 2
2 1 1 所
以 P (B 1)＝P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝ × ＝ ，
5 2 5 －
－ － －
P (B 2)＝P (A 1 A 2＋ A 1A 2)＝P (A 1 A 2)＋P (A 1A 2) － －
＝P (A 1)P (A 2)＋P (A 1)P (A 2) ＝P (A 1)(1－P (A 2))＋(1－P (A 1))P (A 2) 2 1 2 1 1
＝ × 2 )＋(1－5 )
× ＝ .
5 (
1－
2 2
1 1 7
故所求概率为 P (C )＝P (B 1＋B 2)＝P (B 1)＋P (B 2)＝ ＋ ＝ .
5 2 10 (2)顾客抽奖 3次可视为 3次独立重复试验， 1
由(1)知，顾客抽奖 1次获一等奖的概率为 ，
5
1
所以 X ～B
(3，5 ).
1
4
64 于是 P (X ＝0)＝C 0
3(5 )0
(5 )3
＝
， 125
1 4
48 P (X ＝1)＝C 13(5
)1
(5 )2
＝
，
125 1
4
12
P (X ＝2)＝C 23(5
)2
(5 )1
＝
， 125 1
4
1 P (X ＝3)＝C 5
)3
(5 )0
＝
. 3
(
125
故 X 的分布列为
X
1 2 3
P
64
125
48 125
12 125
1 125
解此类问题，一定要掌握如何建模，这一点至关重要，利用二项分布求解时，注意n是独立重复试验的次数，p是每次试验中某事件发生的概率．
4
袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．有放回抽样时，求取到黑球的个数X的分布列．
1 解：有放回抽样时，取到的黑球数X可能的取值为0,1,2,3.又每次取到黑球的概率均
为，
5
1
3次取球可以看成3次独立重复试验，则X～B
(3，5 ).
1 4 64
∴P(X＝0)＝C03×(5 )0×(5 )3＝，
125
1 4 48
P(X＝1)＝C13×(5 )1×(5 )2＝，
125
1 4 12
P(X＝2)＝C23×(5 )2×(5 )1＝，
125
1 4 1
P(X＝3)＝C ×3×0＝.
3 (5 )(5 )
125
∴X的分布列为
X 0 1 2 3
P 64
125
48
125
12
125
1
125
6.理解“至少”“至多”中的误区
某气象台预报每天天气的准确率为0.8，则在未来3天中，至少有2天预报准确的概率是________．
至少有2天预报准确，即为恰有2天或恰有3天预报准确概率为C23×0.82×0.2＋C
3 ×0.83＝0.896.
所以至少有2天预报准确的概率为0.896.
0.896
1．求解时对“至少有2天”的含义理解出错，误认为“恰有2天”，实际是“恰有2天”
和“有3天”两种情况．
2．在解题过程中，要明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰有一个
发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义．
5
在本例条件下，至少有一个连续2天预报都准确的概率是多少？
解：至少有一个连续2天预报都准确，即为恰有一个连续2天预报都准确或3天预报都准确，概率为2×0.82×0.2＋0.83＝0.768.所以至少有一个连续2天预报都准确的概率为0.768.
1．任意抛掷三枚硬币，恰有两枚正面朝上的概率为()
3 3
A. B.
4 8
1 1
C. D.
3 4
1 1
解析：选B每枚硬币正面朝上的概率为2，正面朝上的次数X～B(3，2 )，故所求概率为C
1 1 3
2
2 )
2×＝.
2 8
3 1
2．某电子管正品率为，次品率为，现对该批电子管进行测试，设第ξ次首次测到正品，
4 4
则P(ξ＝3)等于()
1 3 3 1
A．C23(2×B．C 4 )2×
4 ) 2
4 4
1 3 3 1
C.(4 )2×4
D.(4 )2×
4
解析：选Cξ＝3表示第3次首次测到正品，而前两次都没有测到正品，故其概率是
1 3
(4 )
2× .
4
3．下列说法正确的是________．(填序号)
①某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数X是一个随机变量，且X～B(10,0.6)；
②某福彩的中奖概率为P，某人一次买了8张，中奖张数X是一个随机变量，且X～B(8，P)；
③从装有5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数X
1 是
(n，2 ).
随机变量，且X～B
解析：①②显然满足独立重复试验的条件，而③虽然是有放回地摸球，但随机变量X的定义是直到摸出白球为止，也就是说前面摸出的一定是红球，最后一次是白球，不符合二项分布
的定义．
答案：①②
6
8
4．设 X ～B (4，p )，且 P (X ＝2)＝ ，那么一次试验成功的概率 p 等于________．
27 8
1
2
1 2 解析：P (X ＝2)＝C 24p 2(1－p )2＝
，即 p 2(1－p )2＝
2·
2，解得 p ＝
或 p ＝ . 27
(3 ) (3 )
3
3
1 2 答案： 或 3 3
2 3
5．甲、乙两人各射击一次击中目标的概率分别是 和 ，假设两人射击是否击中目标，相
3 4 互之间没有影响，每次射击是否击中目标，相互之间也没有影响．
(1)求甲射击 4次，至少 1次未击中目标的概率；
(2)求两人各射击 4次，甲恰好击中目标 2次且乙恰好击中目标 3次的概率． 2 3 解：设“甲、乙两人各射击一次目标击中分别记为 A ，B ”，则 P (A )＝ ，P (B )＝ . 3 4 (1)甲射击 4次，全击中目标的概率为 2 2 2
16
C 4(3
)4
(1－ 0＝ 3
)4
＝
. 3
) (
81
所以甲射击 4次至少 1次未击中目标的概率为 16 65 1－ ＝ . 81 81
(2)甲、乙各射击 4次，甲恰好击中 2次，概率为 2 2
2
1
8 C 24(3
)4
·(1－3 )2
＝6×(3 )2
×(3 )2
＝
.
27 3
3
27 乙恰好击中 3次，概率为 C 3
4(4 )3
·(1－4 )1
＝
.
64
8 27 1
故所求概率为 × ＝ . 27 64 8
一、选择题
3
1．某学生参加一次选拔考试，有 5道题，每题 10分．已知他解题的正确率为 ，若 40分
5 为最低分数线，则该生被选中的概率是( )
3 2
A ．C 45(5
)4
×
5
3 B ．C 5(5
)
5
3 2 3
C．C45(5 )4×＋C5(5 )5
5
7
3
2
D ．1－C 35(5
)3
×(5 )
2
解析：选 C 该生被选中包括“该生做对 4道题”和“该生做对 5道题”两种情形．
3
2
3 故所求概
率为 P ＝C 45
(5
)4
× ＋C 5
(5 )5
.
5
2．一位国王的铸币大臣在每箱 100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊， 他用两种方法来检测：方法一，在 10箱中各任意抽查一枚；方法二，在 5箱中各任意抽查两 枚．国王用方法一、方法二能发现至少一枚劣币的概率分别记为 p 1和 p 2，则( )
A ．p 1＝p 2
B .p 1<p 2
C .p 1>p 2
D ．以上三种情况都有可能
1
解析：选 B 方法一：每箱选中劣币的概率为 ，则 p 1＝1－C ×0.010×0.9910＝1－
100
100
99
C 929
98
(100 ) (C
1200
) (100 )
10；同理，方法二：所求事件的概率 p 2＝1－ 5＝1－
5，∴p 1<p 2.
3．在 4次独立重复试验中，随机事件 A 恰好发生 1次的概率不大于其恰好发生两次的概 率，则事件 A 在一次试验中发生的概率 p 的取值范围是( )
A ．
B ．(0,0.4]
C ．(0,0.6]
D ．
设有 12个西瓜，其中重 5 kg 的有 4个，重 6 kg 的有 3个，重 7 kg 的有 5个． 问题 1：任取一个西瓜，用 X 表示这个西瓜的重量，试想 X 可以取哪些值． 提示：X ＝5,6,7.
问题 2：X 取上述值时对应的概率分别是多少？ 4 3 5 提示： ， ， . 12 12 12
问题 3：试想每个西瓜的平均重量该如何求． 5 × 4＋6 × 3＋7 × 5 4 3 5
提示： ＝5× ＋6× ＋7× .
12
12 12 12
8。