运筹期末复习题【精选】

第二章 线性规划的图解法
P 23 1.考虑下面线性规划问题：
12
121212
2326..5315
,0max z x x x x s t x x x x =++≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩（1）画出可行域.
（2）当时，画出等值线.
6z =12236x x +=（3）用图解法求出最优解及最优目标函数值.
解：可行域为：OABCO .
3
5
2
3
6
x 1
x 2
等值线.最优解在B 点.由
21233
z
x x =-+
1212265315
x x x x +=⎧⎨
+=⎩解得最优解：.最优目标函数值：.12121577=
x x =，69
7
z *=P 25 4.考虑下面线性规划问题：
12
121212
105349..528
,0max z x x x x s t x x x x =++≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩（1）用图解法求解.
（2）写出此线性规划问题的标准型.
实”等矩，为对入期组员、专员
解：（1）可行域为：OABCO .
43
1.6
1
2.2
z =11z =5
z 等值线最优解在B 点.由2125
z
x x =-+
1212349528
x x x x +=⎧⎨
+=⎩解得最优解：.最优目标函数值：.123
12
=x x =
，17.5z *=（2）标准型为：
12
121
1221212
105349..528
,,,0max
z x x x x s s t x x s x x s s =+++=⎧⎪++=⎨⎪≥⎩（3）120,0
s s ==P 25 5.考虑下面线性规划问题：
12
121
2
1212min 118102203318..4936,0
f x x x x x x s t x x x x =++≥⎧⎪+≥⎪⎨+≥⎪⎪≥⎩（1）用图解法求解.
（2）写出此线性规划问题的标准型.
（3）求出此线性规划问题的三个剩余变量的值.解：（1）可行域为：ABCD .
看远，为、意
6
2
1
9
等值线最优解在B 点.由211188
f
x x =-
+
121210220
3318
x x x x +=⎧⎨
+=⎩解得最优解：.最优目标函数值：.
1215=x x =，51z *=（2）标准型为：
12
121
12
212
312max
118102203318..4936,0
z f x x x x s x x s s t x x s x x =-=--+-=⎧⎪+-=⎪⎨
+-=⎪⎪≥⎩（3）1230,0,13
s s s ===第五章 单纯形法
P 97 3. 请考虑表5-14所给出的不完全初始单纯形表。

表5-14
x 1x 2x 3s 1s 2
s 3B
X B
C 63025000b
θ
31010040021010502
1
-1
01
20
z j
σ
（1）把上面的表格填写完整.
政策员永远手以党谈信念温入党志愿中心组形式，定每月底组织一次党员方向”、“坚持根本宗集中学习讨论不得少”要求，开展党组班讲党课，邀请党校教系列 讲话，做合格，做合格党员”学习“学党章党规、学系发〈关于在全市党员16〕28号），结合我”学习教育，基础面贯彻落实党的十八严三实”专题教育成、创先争优，进一步强一步坚持问题导向上率下，为协调决胜全面小合
（3）这个初始解的基是什么？写出这个初始解和其对应的目标函数值.
（4）在进行第一次迭代时，请确定其入基变量和出基变量，说明理由，并在表格上标出主元.解：（1）
x 1x 2x 3s 1s 2s 3
B X B
C 63025000
b θs 103101004040s 200210105025s 302[1]-10012020
z j 000000
σ63025000
0(2)此规划的模型为：
（3）初始解的基为：
100010001B ⎛⎫ ⎪
= ⎪
⎪⎝⎭
初始解为：目标函数值为1231230,0,0,40,50,20,x x x s s s ======0
z =（4）入基变量为：，因为最大；出基变量为：，因为比值最小.2x 230=σ3s 30=2θ123
1223123123
max 630253402+50 220,,0z x x x x x x x x x x x x x =+++≤⎧⎪
≤⎪
⎨
+-≤⎪⎪≥⎩ 4
P 97 5. 用单纯形法解下列线性规划问题（1）
x 1x 2x 3x 4x 5
x 6B
X B
C 1285000b
θ
x 403211002020/3x 501110101111x 6
(12)41001484
z j
000000σ
12850000
x 400(1)3/410-1/488x 5002/311/1201-1/12721/2x 1
12
11/31/12001/12412
z j
1241001σ
04400-148
x 28013/410-1/4832/3x 5000(5/12)-2/311/125/34x 1
12
10-1/6-1/301/64/3---
z j
1284400σ
001-40080
x 2801011/5-9/5-2/55x 35001-8/512/51/54x 1
12
100-3/52/51/52z j
128512/512/51/5σ
000
-12/5
-12/5
-1/5
84
所有，所以当前的基本可行解是最优解。

0j σ≤最优解为：；最优值为：1232,5,4x x x ===84
z =123
123123123123
max 1285322011 12448,,0z x x x x x x x x x x x x x x x =++++≤⎧⎪
++≤⎪⎨
++≤⎪⎪≥⎩ 4 1
（2）
x 1x 2x 3x 4x 5
x 6B
X B
C -1-21000b
θ
x 4022-11004---x 501-2(2)01084x 6
11100155
z j
000000σ
-1-210000
x 405/21011/208x 311/2-1101/204x 6
-1/2200-1/211z j
1/2-1101/20σ
-3/2-1
-1/2
4
所有，所以当前的基本可行解是最优解。

0j σ≤最优解为：；最优值为：1230,0,4x x x ===4
z =第六章 单纯形法的灵敏度分析与对偶
P 123 1. 考虑下列线性规划：
123
12312
1
31232086832250250..43150,,0
max z x x x x x x x x s t x x x x x =++++≤⎧⎪+≤⎪⎨
+≤⎪⎪≥⎩此规划的最终单纯形表如表6-17所示.
表5-14
x 1x 2x 3s 1s 2s 3B
X B
C 2086000b
s 10-2/3001-3-2/30x 2821001050x 3
6
4/301001/350z j
2486082σ
-4
-8-2
700
（1）计算使最优解不变的的变化范围.
1c 123123123123123
min 2224228 5,,0f x x x x x x x x x x x x x x x =+-+-≤⎧⎪
-+≤⎪⎨
++≤⎪⎪≥⎩ 4 628
（2）计算使最优解不变的的变化范围.
2c （3）计算使最优解不变的的变化范围.
3c 解：（1）为非基变量，由得：1x 114c σ∆≤-=1
111420424c c c c '=+∆≤+=+=（2）为基变量，由，即得：2x (,0)k kj
j kj c a j k a σ''∆≥≠≠222(2,0)j j j c a j a σ''∆≥≠≠221
212242=c a c c σ'∆∆≥=-⇒∆≥-2222
2288=s s c a c c σ'∆∆≥=-⇒∆≥-，即：，亦即：22c ∴∆≥-2
2222826=c c c c '=+∆≥-=-26c '≥（3）为非基变量，由得：2s 228s s c σ∆≤-=22222088s
s s s s c c c c σ'=+∆≤-=+=P 123 3. 考虑下列线性规划：
123
12312
1
31232086832250
250..43150,,0
max z x x x x x x x x s t x x x x x =++++≤⎧⎪+≤⎪⎨
+≤⎪⎪≥⎩此规划的最终单纯形表如表6-17所示.
表5-14
x 1x 2x 3s 1s 2
s 3B
X B
C 2086000b
s 10-2/3001-3-2/30
x 2821001050x 3
6
4/301001/350z j
2486082σ
-400
-8
-2
700
（1）求出的变化范围，在此范围内其对偶价格不变.
1b （2）求出的变化范围，在此范围内其对偶价格不变.
2b （3）求出的变化范围，在此范围内其对偶价格不变.
3b 解：（1）
，121330101003B -⎛⎫-- ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1112130035001005005010500003B b b X B b -⎛
⎫-- ⎪∆∆⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+∆=+=≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪
⎝
⎭ 1
1111100250
b b b b b '⇒∆≥⇒=+∆≥+=（2）
212221300303500105005010500003B b X B b b b -⎛
⎫--
⎪-∆⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
+∆=+∆=+∆≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪
⎝
⎭
22222222
0,50500500050b b b b b b b b '⇒∆≤∆≥-⇒-≤∆≤⇒-≤+∆≤+⇒≤≤（3）
313322130003350010050050110005033+B b X B b b b -⎛⎫⎛⎫
---∆ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
+∆=+=≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∆⎝⎭⎝⎭⎝⎭
∆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
3330,1501500b b b ⇒∆≤∆≥-⇒-≤∆≤，
33332
15000150b b b b b '⇒-≤+∆≤+⇒≤≤P 124 5. 某公司制造三种产品，需要两种资源（劳动力和原材料），要求确定总利润最大的最优生
,,A B C 产计划.该问题的线性规划模型如下：
123
123123123
3563545
..34530,,0+max
z x x x x x x s t x x x x x x =++++≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩（劳动力）（原材料）
最优单纯形表如表6-18所示：
表5-14
x 1x 2x 3s 1s 2
B
X B
C 31500b
x 131-1/301/3-1/35x 3
5
011-1/52/53z j
34501σ
-30
-1
30
（1）求出使得最优解不变的产品A 的单位利润变动范围.问时最优解变不变？
12c =（2）假定能以10元的代价增加15个单位的材料，这样做法是否有利？
（3）求出使劳动力对偶价格不变的的变化范围.
2b （4）由于技术上的突破，每单位产品B 原材料的需要量减少为2单位，这时是否需要改变
1
（5）假如这时，又试制成新产品D ，生产一个单位新产品D 需要劳动力4单位，原材料3
单位，而每单位新产品D 的利润为3元.请问这时生产计划是否要进行修改？为什么？怎样修改？
解：（1）当前最优解为；最优值为：1235,0,3x x x ===30
z =为基变量，由，即得：1x (,0)k kj
j kj c a j k a σ''∆≥≠≠111(1,0)j j j c a j a σ''∆≥≠≠112
1211
393c a c c σ'∆=-∆≥=-⇒∆≤114
1411
003c a c c σ'∆=∆≥=⇒∆≥115
1511
133
c a c c σ'∆=-∆≥=-⇒∆≤，故当时最优解变.1111
0336
36+c c c c '∴≤∆≤≤∆≤≤≤，，12c =最优解变为：；最优值为：1230,0,6x x x ===30
z =（2）材料的对偶价格为1，即增加一个单位的原材料能增加1元的利润。

以10元的代价增
加15个单位的材料，平均每单位原材料花费0.7元，故有利.
（3）1
1133,
1255B -⎛⎫- ⎪= ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭
1
B X B b -+∆=111111550333,3120103555+b b b ⎛⎫⎛⎫-+∆ ⎪ ⎪∆⎛⎫⎛⎫⎛⎫=≥ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
--∆ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
111
50153b b +∆≥⇒∆≥-，
111
30155
b b -∆≥⇒∆≤，
1111151545154515,3060
b b b b '-≤∆≤-≤+∆≤+≤≤，（4）
1
22P B P -'==11133331221555⎛⎫⎛⎫- ⎪
⎪⎛⎫=
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
2
2T
B z
C P ''=()1113353521355=+=⎛⎫ ⎪=⨯⨯ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭
.故最优解不变，不需改变生产计划.2
221210c z σ''=-=-=-<（5）
1
44P B P -'==11143331232555⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎛⎫= ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
4
2T
B z
C P ''=()112335352355=+=3⎛⎫ ⎪=⨯⨯ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭
.故最优解不变，不需改变生产计划.4
44330c z σ''=-=-=7. 写出下列线性规划问题的对偶规划模型
(1)
123
123
123123max 2105200
z x x x x x x x x x x x x =++++≤⎧⎪++≤⎨⎪≥⎩，，
解：设与第1、2个约束对应的变量为，对偶规划为
12,y y
12
12121212min
102025110
f y y y y y y y y y y =++≥⎧⎪+≥⎪⎨
+≥⎪⎪≥⎩，(2)
123
123123123min 4421
2210024632000f x x x x x x x x x x x x =++⎧++≥⎪⎪
++≥⎨⎪≥⎪⎩
，，解：设与第1、2个约束对应的变量为，对偶规划为
12,y y
12
121
21212max
1002001
442264
2320
z y y y y y y y y y y =+⎧+≤⎪⎪⎪+≤⎨⎪+≤⎪≥⎪⎩，8. 写出下列线性规划问题的对偶规划模型（1）
123
12312313123max 2523103502000
z x x x x x x x x x x x x x x =++++≥⎧⎪++≤⎪⎨+=⎪⎪≥≥⎩无限制
解：设与第1、2、3个约束对应的变量为，对偶规划为
123,,y y y 123
12
3
1212
3
123min 105020231325
00
f y y y y y y y y y y y y y y =-++-++≥⎧⎪-+≥⎪⎨-++=⎪⎪≥≥⎩无限制
（2）123
1
231231
23123min 3223623200f
x x x x x x x x x x x x x x x =++++≥⎧⎪-+≤⎪⎨
-++=⎪⎪≥≤⎩无限制解：原规划变形为：
123
12
312312
3
13
2min 32236
232
,0f x x x x x x x x x x x x x x x '=+-'+-≥⎧⎪'-++≥-⎪⎨'-+-=⎪⎪'≥⎩无限制
解：设与第1、2、3个约束对应的变量为，对偶规划为：
123,,y y y 123
1
23123123
123max 63212332200z y y y y y y y y y y y y y y y =-+--≤⎧⎪++=⎪⎨
-+-≤-⎪⎪≥≥⎩无限制
123
123123
23123min
23428..2,,0
f x x x x x x x x x s t x x x x x =++-+≥⎧⎪++≤⎪⎨
-≥⎪⎪≥⎩引入松弛变量并化为标准型：
456,,x x x 123
12341235
236123max
23428..2,,0z x x x x x x x x x x x s t x x x x x x =----+-+=-⎧⎪+++=⎪⎨
-++=-⎪⎪≥⎩初始单纯形表：
x 1x 2
x 3
x 4x 5
x 6B X B
C -1-2
-3000b
x 40(-1)1-1100-4x 501120108x 600-1
1001-2z j 000000σ-1-2-30000
x 1-11-11-1004x 500211104x 600(-1)
1001-2z j -11-1100σ0-3-2-100-4
x 1-1100-10-16x 500031120x 2-201
-100-12z j -1-23103σ00
-6
-1
-3
-10
当前的基本可行解为最优解.
0,j σ≤最优解为：；最优值为：1236,2,0x x x ===10
z =第十章 动态规划
P 226.
1. 石油输送管道铺设最优方案的选择问题：如图10-4所示，其中A 为出发点，E 为目的地，B,C,D 分别为三个必须建立油泵加压站的地区，其中的B 1, B 2, B 3; C 1, C 2, C 3; D 1, D 2,分别为可供选择的各站站点.图中的线段表示管道可铺设的位置，线段旁的数字为铺设管线所需要的费用.问如何铺设管道才使总费用最小？
1
解：把全过程按A 、B 、C 、D 分为四个阶段;
状态变量s k -----第k 阶段初的建站点;
决策变量x k -----第k 阶段的建站线路终点;
状态转移方程 1(,)
k k k s T s x +=基本方程：1155()min{(,)+()},1,2,3,4,5
()=0k k k k k k k f x r s x f x k f x ++==⎧⎨
⎩
，4k =444(,)
r s x x 4s 4
E 44()
f s 4
x *D 133E D 2
4
4
E
，3k =33344(,)()
r s x f s + x 3s 3
D 1D 233()
f s 3
x *C 12+35+45
D 1C 27+34+48D 2C 3
5+3
4+4
8D 1,D 2
，2k =22233(,)()
r s x f s + x 2s 2
C 1C 2C 322()
f s 2
x *B 16+53+85+811C 1,C 2B 23+52+84+88C 1B 3
4+5
1+8
5+8
9
C 1,C 2
，1k =11122(,)()
r s x f s + x 1s 1
B 1B 2B 311()
f s 1x *
A
3+115+84+9
13
B 2,B 3
最优解：A- B 1- C 1- D 1- E ； A- B 3- C 1- D 1- E ； A- B 3- C 2- D 2- E ；最优值：13.
看永远畏、手握戒腐防变的防线得出，在X X 事业“发有为、建功立业。

树立党的意识、党员意识，中建功立业。

县处级以上党等重要论述，认真践行“三严三实矩，带头牢固树立和贯彻落实五大发 三、主要措施 （一）开展“两重温两对照为单位开展一次主题党日活动，组织党员重温，对照入党誓词找标准、找差距。

党支部书记作学志愿和入党誓词，交流思想体会。

（二）开展“三个式，定期组织集中学习，每次确定1个专题开展交流组织一次党员集中学习。

支部每季度召开一次全体党、“坚持根本宗旨，敢于担当作为”、“坚守纪律习讨论不得少于1天。

（三）开展“四个讲党，开展党组班子成员到联系区县X X 局带头，邀请党校教师、专家学者给党员干部讲话，做合格党员”学习教育实施合格党员”学习教育（以下简称章党规、学系列讲话，做合于在全市党员中开展号），结合我局教育，基础落实党的”专争
2. 某公司有资金400万元，向A, B , C 三个项目追加投资，三个项目可以有不同的投资额度，相应的效益值如表10-30所示，问如何分配资金，才能使总效益值最大？
表10-30
单位/百万元
投资额项目
1
2
3
4
A 475159
7176B 4952617178C 46707688
88
解：把全过程按项目A 、B 、C 分为三个阶段;
状态变量s k -----第k 阶段初拥有的可投资总额;决策变量x k -----第k 阶段项目的投资额;
状态转移方程 1k k k
s s x +=-基本方程：1144()max{(,)()},1,2,3,4
()=0k k k k k k k f x r s x f x k f x ++=+=⎧⎨
⎩
，
3k =333(,)
r s x
x 3
s 301
2
3
4
33()
f x 3
x *046
460170
701276
762388
8834
8888
4
，
2k =222322(,)()
r s x f s x +-
x 2
s 201
2
3
422()
f x 2
x *049+46950149+7052+461190249+7652+7061+461250349+8852+7661+7071+4613704
49+88
52+88
61+76
71+70
78+46
141
3
，
1k =111211(,)()
r s x f s x +-
x 1
s 10123411()
f x 1x *
4
47+141
51+137
59+125
71+119
76+95
190
3
最优解：123301
x x x ***
===（百万元）；（百万元）；（百万元）即：向项目A 追加300万元；项目B 不追加；向项目C 追加100万元。

最优值：190
4 11
第十二章 排序与统筹方法
P 283
1. 在一台机床上要加工7个零件，表12-18列出了它们的加工时间，请确定其加工顺序，以使各零件在车间里停留的平均时间最短.
表12-18
零件
1234567p i 1011281465解：这是一台机器，n 个零件的排序问题.应该将加工时间越少的零件排在越前面，才能使各零件在车间里停留的平均时间最短.
所以此题零件的加工顺序应为：3，7，6，4，1，2，5.
2. 有7个零件，先要在钻床上钻孔，然后在磨床加工.表12-19列出了各个零件的加工时间.确定各零件加工顺序，以使总加工时间最短，并画出相应的线条图.各台机器的停工时间是多少？
表12-19
零件
1234567钻床
6.7 2.3 5.1 2.39.9 4.79.1磨床
4.9 3.48.2 1.2 6.3 3.47.4解：此题为两台机器，n 个零件的排序问题.这种排序问题的思路为：一方面把在钻床上加工时间越短的零件越早加工；另一方面，把在磨床上加工时间越短的零件，越晚加工.所以此题零件的加工顺序应为：2，3，7，5，1，6，4
加工顺序
2375164钻床
2.3 5.19.19.9 6.7 4.7 2.3磨床
3.48.27.4 6.3
4.9 3.4 1.2钻床起始时间0-2.3 2.3-7.47.4-16.516.5-26.426.4-33.133.1-37.837.8-40.1磨床起始时间 2.3-
5.77.4-15.61
6.5-23.926.4-32.733.1-3838-41.4
41.4-42.6
钻床的停工时间是第40.1小时，磨床的停工时间是第42.6小时.
3. 指出图12-20，图12-21，图12-22所绘制的计划网络图中的错误，如能改正，请予改正.解：图12-20：工序j 在绘制上有错误，应加一个虚拟工序避免v 3、v 4间有两个直接工序.
图12-21：图中出现缺口，应在v 3、v 4之间加一个虚工序.图12-22：图中v 3、v 4、v 3、v 4之间存在闭回路.4. 请根据表12-20绘制计划网络图.
表12-20
工序紧前工序
a ---
b ---
c a,b
d a,b
e b
f c g
d,e
1 01628
v 1
2
v 6
5. 对习题4，给出其各工序的所需时间如表12-21所示：
表12-20
工序紧前工序所需时间/天a ---2b ---4c a,b 5d a,b 4e b 3f c 2g d,e
4
请计算出每个工序的最早开始时间，最晚开始时间，最早完成时间，最晚完成时间；找出关键工序；找出关键路线；并求出完成此工程项目所需的最少时间.解：计划网络图：
v 1
2
v 6
工序
作业时间
最早开始时间(ES)
最晚开始时间(LS)
最早完成
时间(EF)
最晚完成时间(LF)
时差(LS-ES)是否为关键工序a 202242否b 400440是c 5459101否d 444880是e 345781否f 291011121否g 488
12120是
本问题的关键路径是b-d-g 本工程的完工时间为第12天.
科学新要求，、有品行，讲信念时时处处体政策看齐，认真贯彻员永远是劳动人民的普、手握戒尺，廉洁从政变的防线；始终保持干事X 事业“十三五”规划功立业。

全体党员要坚员意识，强化党的宗旨以上党员领导干部要学须三严三实”要求和好干治规矩五大发展理念，带头攻任。

三、主两对照”主题党日活动支部为单位开党员重温入党志愿、重温信念，对照入党誓词记作学习动员，领导干入党志愿和入党誓词，“三个组形式，定期组织集中学流研讨。

按照“组织一次党员集中学习。

支会议，分别围坚持根本宗旨，敢于担当树立清风讨论不得少于1天。

（三部要开展党组班子成员到联系组邀请党校教师、专家学者话，做合格党员”学习教育党员”学习教育（以下简党规、学系列讲话，做合格在全市党员中开展“学党），结合我局实际，现制育，基础实党的十八大和十八届专题教育成果；要优，进一步强化问题导向为协调小。