重庆大学数学模型数学实验作业四讲解

盐的质量； V(t) 表示 t 时刻容器内水的体积； v1,v2 分别表示流入流出水的速度。
由于△ t 足够小，得微分方程 m’ (t)-=v2*m(t)/(V(0)+v1*t-v2*t) 。带入数据得
dm/dt=3m/(100+t)
在 MA TLAB 中建立脚本 Untitle.m
m=dsolve ( 'Dm=-3*m/(100+t)'
grid on
得到的图形为：
'g' )
当 a=0.2 ，积分区间改为 [0,100] 时：
当当 a=0.6 ，积分区间改为 [0,50] 时：
由此一系列图可知此空间图线是混沌的。
4. 编写函数 m文件 apollo.m:
function ep=apollo(t,y) syms y1 y2 y3 y4 u=1/82.45;u1=1-u; r1=((y(1)+u)^2+y(3)^2)^(1/2); r2=((y(1)-u1)^2+y(3)^2)^(1/2); ep(1)=y(2); ep(2)=2*y(4)+y(1)-u1*(y(1)+u)/r1^3-u*(y(1)-u1)/r2^3; ep(3)=y(4); ep(4)=-2*y(2)+y(3)-u1*y(3)/r1^3-u*y(3)/r2^3; ep=[ep(1);ep(2);ep(3);ep(4)];
实验内容
1． 微分方程及方程组的解析求解法； 2． 微分方程及方程组的数值求解法——欧拉、欧拉改进算法； 3． 直接使用 MATLAB命令对微分方程 ( 组) 进行求解 ( 包括解析解、数值解 ) ； 4． 利用图形对解的特征作定性分析； 5． 建立微分方程方面的数学模型，并了解建立数学模型的全过程。
1(x ) r13
(x r23
1) ,
y
2x y
1y r13
y r23 ,
1/ 82.45, 1 1 ,
r1
(x ) 2 y2 , r2
( x 1 )2 y2
x(0) 1.2, x(0) 0, y(0) 0, y(0) 1.04935751
二、实验过程
1．编辑程序代码 Untitle1:
s=dsolve( 'Dy=y+2*x' , 'y(0)=1' ezplot(s,[0,1])
得到 y1-t,y3-t 的图像
y1-y3 （ Apollo 卫星的运动轨迹）的图像：
应用实验（或综合实验）
一、问题重述
盐水的混合问题
一个圆柱形的容器，内装 350 升的均匀混合的盐水溶液。如果纯水以每秒
14 升的速度从容器顶部流
入，同时，容器内的混合的盐水以每秒
10.5 升的速度从容器底部流出。开始时，容器内盐的含量为
开课学院、实验室：数统学院
实验时间 ：2015 年 10 月 28 日
课程 数学实验 名称
实验项目 名称
种群数量的状态转移—— 微分方程
实验项目类型
验证 演示 综合 设计 其他
指导 肖剑 教师
成绩
实验目的
[1] 归纳和学习求解常微分方程 ( 组 ) 的基本原理和方法； [2] 掌握解析、数值解法，并学会用图形观察解的形态和进行解的定性分析； [3] 熟悉 MATLAB软件关于微分方程求解的各种命令； [4] 通过范例学习建立微分方程方面的数学模型以及求解全过程；
, 'x' )
运行得到 y =(2*x + 1)^(1/2) ，这是解析解。图像如下：
此题中向前欧拉公式更逼近解析解，其实，提高精度，即
n 的取值，两Байду номын сангаас方式都可以无限逼近解析解。
3. 首先编辑函数 m文件 rossler.m ： function eq=rossler(t,x) global a b c b=2;c=4; eq=[0 -1 -1;1 a 0;x(3) 0 -c]*x+[0;0;b];
然后在命令行窗口输入全局变量，并对 global a b c a=0.1; x0=[0;0;0];
a 赋值，当 a=0.1 时：
[t,x]=ode45(
'rossler'
,[0,1000],x0);
plot(t,x(:,1),
'r' ,t,x(:,2),
'k' ,t,x(:,3),
pause
plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3))
7千
克。求经过时间 t 后容器内盐的含量。
二、问题分析
由题意可以知道，此题中容器内的盐含量以及浓度随着时间在不停变化的，在流入到流出的过程 中，由于混合在水中的盐含量是不同的，所以溶解于水中的盐的量每一时刻都是不同的，流出的量随时间
也是不断变化的。可以选取一个无限小的时间微元进行讨论。
三、数学模型的建立与求解
运行程序代码 Untitle4 ：
[t,y]=ode45(
'apollo' ,[0,20],[1.2 0 0 -1.04935751]);
y1=y(:,1);
y2=y(:,2);
y3=y(:,3);
y4=y(:,4);
plot(t,y1,t,y3)
grid on
pause
plot(y1,y3)
grid on
, 'x' )
运行结果如下： s =3*exp(x) - 2*x
图形为：
–2
2．编写程序代码 Untitle2 ：
clc
y=dsolve( 'Dy=y-2*x/y'
, 'y(0)=1'
ezplot(y,[0,1])
hold on
x=[];x(1)=0;y1(1)=1;y2(1)=1;
for n=1:10
基础实验
一、问题重述
1．求微分方程的解析解 , 并画出它们的图形，
y’= y + 2x, y(0) = 1, 0<x<1;
2．用向前欧拉公式和改进的欧拉公式求方程
y’ = y - 2x/y, y(0) = 1 (0
解，要求编写程序，并比较两种方法的计算结果，说明了什么问题？
3． Rossler 微分方程组：
≤ x≤ 1,h = 0.1) 的数值
x' y z y' x ay z' b z(x c)
当固定参数 b=2, c=4 时，试讨论随参数 a 由小到大变化（如 a∈ (0,0.65)) 而方程解的变化情况，
并且画出空间曲线图形，观察空间曲线是否形成混沌状？
4.Apollo 卫星的运动轨迹的绘制
x 2y x
x(n+1)=x(n)+0.1;
y1(n+1)=1.1*y1(n)-0.2*x(n)/y1(n);
k1=y2(n)-2*x(n)/y2(n);
k2=y2(n)+0.1*k1-2*x(n)/(y2(n)+0.1*k1);
y2(n+1)=y2(n)+0.05*(k1+k2);
end
plot(x,y1,
'k:' ,x,y2, 'k-.' )
通过该实验的学习，使学生掌握微分方程 ( 组 ) 求解方法（解析法、欧拉法、梯度法、改进欧拉法等） ，
对常微分方程的数值解法有一个初步了解，同时学会使用
MATLAB软件求解微分方程的基本命令，学会建
立微分方程方面的数学模型。这对于学生深入理解微分、积分的数学概念，掌握数学的分析思维方法，熟
悉处理大量的工程计算问题的方法是十分必要的。
, 'm(0)=7'
, 't' )
ezplot(m,[0,150]) grid on
四、实验结果及分析
运行程序得到解析解 m =7000000/(t + 100)^3 ，以及它的图像
可以看出 t 越大时 y 是接近于 0 的，但是不等于 0，与真实情况相符。
教师签名
年月日
假设在 t 时刻到 t+ △ t（△ t 足够小） 时刻时， 由于时间变化非常微小， 可以认为这个△ t 时间内，
容器内溶液浓度没有发生变化浓度
c(t)=c(t+ △ t)=m(t)/V(t), 则这个过程中盐减少的质量为△ m=m(t+△
t)-m(t)=-v2*c(t)*
△ t，V(t)=V0+v1*t-v2*t 。其中 c(t) 表示 t 时刻容器内盐的浓度； m(t) 表示 t 时刻容器内